Ergänzung zur Vorlesung Topologie I

Ergänzung zur Vorlesung
Topologie I
Wintersemester 2012/2013
J. Ebert / U. Pennig
Produkte von CW-Komplexen Sei X ein CW-Komplex und Y ein endlicher CWKomplex. Wir zeigen in dieser kleinen Notiz, dass X × Y mit einer Zellenzerlegung ausgestattet werden kann, so dass der Raum mit der Produkttopologie ein CW-Komplex wird.
Hierzu benötigen wir den folgenden Hilfssatz, der nicht nur für die Aufgabe interessant
ist:
Lemma. Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y eine Quotientenabbildung. Sei
K ein lokalkompakter topologischer Raum, dann ist f × idK : X × K → Y × K ebenfalls
eine Quotientenabbildung.
Beweis. Wir haben zu zeigen, dass W ⊂ Y ×K genau dann offen ist, falls (f ×idK )−1 (W ) ⊂
X × K offen ist. Da f × idK als Produkt stetiger Abbildungen wieder stetig ist, ist eine
der beiden Implikationen klar.
Sei W ⊂ Y × K mit (f × idK )−1 (W ) offen. Es bleibt zu zeigen, dass W bereits offen ist.
Sei (y0 , k0 ) ∈ W . Wir müssen Umgebungen U 3 y0 in Y und L 3 k0 in K finden, so dass
U × L ⊂ W . Sei x0 ∈ f −1 (y0 ) und definiere K0 ⊂ K durch
{x0 } × K0 = ({x0 } × K) ∩ (f × idK )−1 (W ) .
Dann ist K0 offen in K. Aufgrund der lokalen Kompaktheit von K existiert eine kompakte
Umgebung L ⊂ K0 von k0 . Sei U = {y ∈ Y | {y} × L ⊂ W }. Um zu zeigen, dass U offen
in Y ist, genügt es nach Voraussetzung zu zeigen, dass f −1 (U ) = {x ∈ X | {x} × L ⊂
(f × idK )−1 (W )} offen in X ist, denn f ist eine Quotientenabbildung. Dies bedeutet, wir
müssen beweisen, dass für alle x ∈ f −1 (U ) eine Umgebung V ⊂ X von x existiert mit
V × L ⊂ (f × idK )−1 (W ).
Sei x ∈ f −1 (U ) fest. Da (f × idK )−1 (W ) offen ist, können wir für jeden Punkt (x, l) ∈
(f × idK )−1 (W ) eine offene Umgebung A(x,l) × B(x,l) ⊂ (f × idK )−1 (W ) finden. Aufgrund
T
der Kompaktheit von L reichen endlich viele B(x,li ) um L zu überdecken. Sei V = i A(x,li ) ,
S
dann gilt V × L ⊂ i (A(x,li ) × B(x,li ) ) ⊂ (f × idK )−1 (W ). Also ist U offen.
Somit ist U × L ⊂ W eine Umgebung von (x0 , k0 ) (U × Inn(L) ⊂ W ist eine offene
Umgebung), was die Behauptung zeigt.
Korollar. Sei X ein topologischer Raum, Y ein lokalkompakter topologischer Raum und
J eine Indexmenge. Sei X 0 der Raum, der aus X durch Ankleben von |J| n-Zellen via der
Anhefteabbildung φ : J × S n−1 → X entsteht, also
X 0 = X ∪φ (J × Dn ) ,
dann ist X 0 × Y homöomorph zu Z = (X × Y ) ∪φ×idY ((J × Dn ) × Y ).
Beweis. Sei p : (X q (J × Dn )) → X 0 die kanonische Quotientenabbildung. Nach dem
vorherigen Lemma ist q : (X q (J × Dn )) × Y → (X ∪φ (J × Dn )) × Y mit q = p × idY
ebenfalls eine Quotientenabbildung. Sei f : Z → X 0 × Y die stetige Abbildung, die durch
die Pushout-Eigenschaft von den offensichtlichen Abbildungen X × Y → X 0 × Y und
J × Dn × Y → X 0 × Y induziert wird. Wie sich leicht nachprüfen lässt, ist f bijektiv. Um
zu sehen, dass f offen ist, betrachte das folgende kommutative Diagramm:
g
∼
=
(X × Y ) q (J × Dn × Y )
q0
/ (X q (J × D n )) × Y
Z
q
/ X0 × Y
f
Die vertikalen Abbildungen in diesem Diagramm sind Quotientenabbildungen, die obere
horizontale Abbildung ist ein Homöomorphismus. Sei jetzt U ⊂ Z offen. Aufgrund der
Bijektivität von f gilt U = f −1 (f (U )). Da q 0 eine Quotientenabbildung ist, gilt q 0−1 (U ) =
(f ◦ q 0 )−1 (f (U )) = (q ◦ g)−1 (f (U )) ist offen in (X × Y ) q (J × Dn × Y ). Also ist q −1 (f (U ))
offen und da q eine Quotientenabbildung ist, folgt f (U ) offen.
Quotientenabbildungen spielen für die Aufgabenstellung aufgrund der folgenden Konstruktion eine Rolle:
n
b =`
Lemma. Sei Jn für n ∈ N0 eine Familie von Indexmengen und X
n∈N0 Jn × D . Sei
X ein topologischer Raum mit einer Filtrierung X0 ⊆ X1 ⊆ · · · ⊆ X, so dass als Menge
S
n
n∈N0 Xn = X. Seien weiterhin φn : Jn × D → Xn Abbildungen, so dass
Jn × S n−1
Jn × Dn
φn |Jn ×S n−1
φn
/ Xn−1
/ Xn
b → X eine
Pushout-Diagramme sind. Falls die von den φn induzierte Abbildung q : X
Quotientenabbildung ist, dann stimmt die Topologie auf X mit der schwachen Topologie
überein.
Beweis. Wir haben zu zeigen, dass U ⊂ X genau dann offen ist, falls U ∩ Xn offen in Xn
ist. Eine Richtung ist nach Definition der Unterraumtopologie klar. Sei jetzt U ⊂ X so,
bn → Xn die Einschränkung
bn = `n Jk × Dk und qn : X
dass U ∩ Xn offen in Xn ist. Sei X
k=1
bn . Sei ιn : Xn → X die Inklusion, dann ist (ιn ◦ qn )−1 (U ) = q −1 (U ∩ Xn )
von q auf X
n
−1 (U ) offen in X,
bn . Somit ist aber q −1 (U ) = S
b
offen in X
(ι
◦
q
)
denn
die
Inklusion
n
n∈N0 n
bn → X
b ist offen. Da q eine Quotientenabbildung ist, folgt U offen in X.
X
Jetzt betrachten wir einen CW-Komplex X und einen lokalkompakten CW-Komplex Y
(z.B. könnte Y ein endlicher CW-Komplex sein, dann ist Y sogar kompakt). Seien φn : Jn ×
Dn → Xn die Anhefteabbildungen von X, ψn : Jn0 × Dn → Yn die von Y . Der Raum
Dp × Dq ist homöomorph zu Dp+q und dieser Homöomorphismus identifiziert ∂Dp+q mit
Dp × S q−1 ∪S p−1 ×S q−1 S q−1 × Dq . Jetzt kommutiert das folgende Diagramm
(Jp × Jq0 ) × (Dp × S q−1 ∪S p−1 ×S q−1 S q−1 × Dq )
/ (Xp × Yq−1 ) ∪ (Xp−1 × Yq )
/ Xp × Yq
(Jp × Dp ) × (Jq0 × Dq )
φp ×ψq
Hier sind die beiden vertikalen Abbildungen gegeben durch die Inklusionen. Die obere
horizontale Abbildung ist die Einschränkung von φp × ψq auf (Jp × Jq0 ) × ∂(Dp × Dq ).
Zunächst wollen wir sehen, dass diese Diagramme Pushouts sind, d.h. wir müssen zeigen,
dass die induzierte Abbildung
W := [(Xp × Yq−1 ) ∪ (Xp−1 × Yq )] ∪Jp ×Jq0 ×∂Dp+q (Jp × Dp ) × (Jq0 × Dq ) → Xp × Yq
ein Homöomorphismus ist. Da X und Y CW-Komplexe sind, haben wir Xp = Xp−1 ∪Jp ×S p−1
(Jp × Dp ) und Yq = Yq−1 ∪Jq0 ×S q−1 (Jq0 × Dq ). Da Yq als abgeschlossener Unterraum eines
lokalkompakten Raumes wieder lokalkompakt ist, haben wir nach dem obigen Korollar
Xp × Yq ∼
= (Xp−1 × Yq ) ∪Jp ×S p−1 ×Yq (Jp × Dp × Yq )
Außerdem ist Jp × Dp für jede beliebige Indexmenge Jp ein lokalkompakter Raum. Demnach gilt
(Jp × Dp ) × Yq ∼
= (Jp × Dp × Yq−1 ) ∪J p ×Dp ×Jq0 ×S q−1 (Jp × Dp × Jq0 × Dq )
Jetzt induzieren die Abbildung Jp ×Dp ×Yq−1 → Xp ×Yq−1 → W und Jp ×Dp ×Jq0 ×Dq →
W eine Abbildung (Jp × Dp ) × Yq → W unter Ausnutzung des zweiten Homöomorphismus
und der Pushout-Eigenschaft. Zusammen mit der kanonischen Abbildung Xp−1 × Yq → W
erhalten wir aus dem ersten Homöomorphismus und der Pushout-Eigenschaft eine stetige
Abbildung Xp × Yq → W , von der leicht nachzuprüfen ist, dass sie invers zur obigen
Abbildung W → Xp × Yq ist.
S
Jetzt setzen wir (X × Y )n = p+q=n Xp × Yq und erhalten Pushout-Diagramme
`
`
p+q=n (Jp
/ (X × Y )n−1
× Jq0 ) × ∂Dp+q
p+q=n (Jp
× Dp ) × (Jq0 × Dq )
qφp ×ψq
/ (X × Y )n
analog zu dem obigen Pushout.
Wir sind jetzt in der Situation des letzten Lemmas, d.h. falls wir zeigen können, dass für
S
b × Yb die Abbildung q : X
b × Yb → X × Y ,
\
X
× Y = p∈N0 ,q∈N0 (Jp × Dp ) × (Jq0 × Dq ) = X
die von den Anhefteabbildungen Ψn = qφp × ψq induziert wird, eine Quotientenabbildung
b →X
ist, folgt, dass X × Y die schwache Topologie trägt. Wir wissen bereits, dass qX : X
b lokalkompakt ist, folgt aus dem
und qY : Yb → Y Quotientenabbildungen sind. Da X
b × Yb → X
b × Y eine Quotientenabbildung ist. Außerdem
ersten Lemma, dass idXb × qY : X
b ×Y →
ist Y nach Voraussetzung lokalkompakt, also folgt ebenso, dass qX × idY : X
X × Y eine Quotientenabbildung ist. Da die Eigenschaft, eine Quotientenabbildung zu
sein, kompatibel mit Verknüpfungen ist, folgt, dass q = qX × qY = (qX × idY ) ◦ (idXb × qY )
eine Quotientenabbildung ist.
Somit haben wir gezeigt, dass X × Y tatsächlich ein CW-Komplex ist.