Propädeutikum Mathematik

Propädeutikum Mathematik
Sommersemester 2017
Prof. Dr. Jörg Stephan
Abteilung Wirtschaftsinformatik
Vorkurs Mathematik WI
SoSe 2017
Seite 1
Propädeutikum Mathematik
für
Wirtschaftsinformatiker (BIS)
Beispiele
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Eingangstest
Beispiel 1:
In einem Land mit 20% Mehrwertsteuer kostet ein
Fernseher inclusive MWSt 240,00 Geldeinheiten.
Wie hoch ist der Mehrwertsteueranteil, bzw. wie hoch ist
der Nettopreis?
Beispiel 2:
Ein Sportler läuft auf dem Hinweg seiner Laufstrecke mit
einer Geschwindigkeit von 8 km/h und auf dem Rückweg
derselben Strecke mit 12 km/h.
Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?
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1. Mengen
Beispiel 1:
A = Menge der natürlichen Zahlen kleiner 5
Beispiel 2:
B = Menge der geraden natürlichen Zahlen kleiner 5
Beispiel 3:
C = Menge der Primzahlen kleiner 10
Beispiel 4:
X = Menge der am 31. 12. 2015 in Deutschland
zugelassenen PKW
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2. Zahlbereiche
ℕ abgeschlossen gegenüber Addition und Multiplikation
ℕ0 = {0, 1, 2, 3, …} = ℕ  {0}
ℤ abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation und
Subtraktion
ℚ abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation,
Subtraktion und Division
ℝ abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation,
Subtraktion, Division und Wurzelziehen etc.
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4. Bruchrechnen
𝟐𝟒
Kürzen:
𝟑𝟔
=
𝟏𝟐∙𝟐
𝟏𝟖∙𝟐
=
𝟏𝟐∙𝟐
𝟏𝟖∙𝟐
=
𝟐𝟒
ggT(24, 36) =12
𝟑𝟔
𝟔𝒙+𝟏𝟖𝒚
𝟏𝟐𝒙−𝟐𝟒𝒚
−
𝟏−𝒄
𝟑𝒂𝒃
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=
𝟔∙𝟐
𝟗∙𝟐
𝟐∙𝟏𝟐
𝟑∙𝟏𝟐
=
𝟔
𝟗
𝟑∙𝟐
𝟑∙𝟑
𝟐+𝟏𝟓
𝟐𝟎
𝟏𝟕
𝟐𝟎
=
= =
=
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
Kürzen?
𝟏
kgV(10,4)=20
𝟏𝟎
𝒂+𝒃
𝟐𝒂
𝟏𝟐
𝟏𝟖
𝟑
𝟒
+ =
𝟐
𝟐𝟎
+
𝟏𝟓
𝟐𝟎
=
=
=?
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Multiplikation:
𝟑
𝟓
Division:
𝟑
:𝟕
𝟓
=
Doppelbruch:
𝟑
𝟓
𝟔
𝟕
𝟑 𝟔
:
𝟓 𝟕
Gemischter Bruch:
𝟐
𝟑
𝟕
Verwechslung mit:
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∙𝟕=
=
𝟑 𝟕
∙
𝟓 𝟏
𝟑 𝟕
:
𝟓 𝟏
=
𝟑∙𝟕
𝟓∙𝟏
=
𝟑 𝟏
∙
𝟓 𝟕
𝟑 𝟕
∙
𝟓 𝟔
=
𝟐
𝟕
=𝟑+ =
𝟐
𝟕
𝟑∙ =
𝟑∙𝟐
𝟕
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=
=
𝟐𝟏
𝟓
=
𝟑∙𝟏
𝟓∙𝟕
=
𝟑∙𝟕
𝟓∙𝟔
𝟐𝟏
𝟕
𝟐
+
𝟕
=
𝟑
𝟑𝟓
=
𝟏∙𝟕
𝟓∙𝟐
=
𝟐𝟑
𝟕
=
𝟕
𝟏𝟎
𝟔
𝟕
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5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten
Beispiel 1:
6
1+2+3+4+5+6=
𝑘
𝑘=1
Beispiel 2:
100
−2 + −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 =
𝑖
𝑖=−2
Beispiel 3:
𝑛
2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑛 =
2𝑗
𝑗=1
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5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten
Beispiel 4:
4
1 + 5 + 9 + 16 = 12 + 22 + 32 + 42 =
𝑘2
𝑘=1
Beispiel 5:
10
1 + 3 + 5 + 7 + 9 … + 19 =
9
2𝑖 − 1 =
𝑖=1
(2𝑖 + 1)
𝑖=0
Beispiel 6:
1 1
1
+ + ⋯+
=
2 4
2𝑛
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𝑛
𝑗=1
1 1
=
2𝑗 2
𝑛
𝑗=1
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1 1
1 1
1
=
1 + + + ⋯+
𝑗 2
2 3
𝑛
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5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten
Beispiel 7:
9
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 =∙
𝑘
𝑘=1
Beispiel 8:
7
1 ∙ −2 ∙ 3 ∙ −4 ∙ 5 ∙ −6 ∙ 7 =
7
𝑖 −1
𝑖=1
𝑖+1
𝑖(−1)𝑖−1
=
𝑖=1
Beispiel 9:
𝑛
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ⋯ ∙ 𝑛 =∙
𝑗 = 𝑛!
sprich: n−Fakultät
𝑗=1
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6. Binomische Formeln
(a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Pascalsches Dreieck:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
5 + 10 10
5
1
6
15 20 15
6
1
usw.
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7. Potenzen und Wurzeln
Beispiel 1:
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
Beispiel 2:
(−1)4 = −1 ∙ −1 ∙ −1 ∙ −1 = 1
Beispiel 3:
(−1)𝑛 =
1, 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑛 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒
−1, 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑛 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒
Beispiel 4:
12𝑥 2 𝑦 2 𝑧
3(𝑥𝑦𝑧)3
3
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=?
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Beispiel 5:
5
32 =
5
25 = 2
Beispiel 6:
4
32
1
−3
125 =?
=?
Beispiel 7:
3
𝑎6
∙
𝑏9
2 3
=?
𝑥 12 = ?
Beispiel 8:
9 + 16 ≠
Achtung!
Beispiel 5:
Vereinfache
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9+
16
𝑎+𝑏
𝑐+ 𝑑
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8. Logarithmen
Beispiel 1:
𝑙𝑜𝑔10 (1000) = 3 denn 103 = 1000
Beispiel 2:
𝑙𝑜𝑔3 (81) = 4 denn 34 = 81
Beispiel 3:
𝑙𝑑(1024) = 𝑙𝑜𝑔2 (1024) = 10 denn 210 = 1024
Beispiel 4:
Achtung!
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𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 + 𝑣 ≠ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑣
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9. Gleichungen mit einer Unbekannten
Beispiel 1:
Drei Schwestern sind zusammen 33 Jahre alt. Die Älteste ist
doppelt so alt wie die Jüngste. Die Mittlere ist zwei Jahre
jünger als die Älteste.
Wie alt sind die drei Geschwister?
Beispiel 2:
Kurz nach der Tagesschau schaut ein Fernsehzuschauer
kurz auf die Wanduhr und stutzt: Sind großer und kleiner
Zeiger in diesem Moment nicht exakt gleich weit von der 6
auf dem Ziffernblatt entfernt? Die Winkel scheinen in der Tat
gleich groß zu sein. Aber ist das überhaupt möglich? Und
falls ja: Wie lautet die genaue Uhrzeit in diesem Moment?
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Beispiel 3:
Am 1. 1. 2010 werden 1000 Euro auf ein Sparkonto
eingezahlt. Zum Jahresende werden jeweils die Zinsen gut
geschrieben und weitere 100 Euro eingezahlt.
Am 31. 12. 2011 befinden sich 1307,50 Euro auf dem Konto.
Wie groß war der Zinssatz?
Beispiel 4:
4− 6−𝑥 =𝑥
Beispiel 5:
2𝑥 + 7
𝑥 − 10
=
4𝑥 − 3
4𝑥 − 5
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Beispiel 6:
x5 – x4 – 6x3 = 0
Beispiel 7:
x6 – 35x3 + 216 = 0
Beispiel 8:
x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
Beispiel 9:
x3 – 3x2 + 4 = 0
Beispiel 10:
x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 = 0
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Beispiel 11:
52x-3 = 2x+1
Beispiel 12:
5x 32x = 7xx
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10. Dreisatz und Prozentrechnung
Beispiel 1:
Ein PKW fährt mit konstanter Geschwindigkeit und legt in 20
min. eine Strecke von 40 km zurück.
Welche Strecke legt der PKW bei Beibehaltung der
Geschwindigkeit in 3½ Stunden zurück?
Beispiel 2:
Fünf Maschinen erledigen eine bestimmte Arbeitsmenge in
drei Stunden.
Wie lange würden 15 Maschinen benötigen?
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10. Dreisatz und Prozentrechnung
Beispiel 3:
45% der Studierenden an der Fakultät IV sind weiblich.
Insgesamt gibt es 4000 Studierende an der Fakultät.
Wie viele davon sind weiblich?
Beispiel 4:
200 Euro werden auf einem Sparbuch mit 3% p.a. verzinst.
Wie hoch ist der Kontostand des Sparbuches nach einem
Jahr?
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11. Ungleichungen mit einer Unbekannten
y
Beispiel 1:
6
5
2x + 4 < 3x + 5
4
3
Wo liegt die linke Gerade
unter der rechten Geraden?
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
Beispiel 2:
𝑥+1
𝑥−2
>
y
1
3
6
5
4
3
Wo liegt der linke Bruch
unter ein Drittel?
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
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y
Beispiel 3:
6
5
2x2 – 6x + 4 < 0
4
3
In welchen Intervallen ist der
Ausdruck 2x2 - 6x + 4 positiv,
wo ist er negativ?
2
1
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
-1
Beispiel 4:
y
5
2x2 > 4x
4
In welchen Intervallen ist der
Ausdruck 2x2 - 4x positiv,
wo ist er negativ?
2
3
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
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Beispiel 5:
-x2
y
+ 5x – 6 > 0
2
1
In welchen Intervallen ist der
Ausdruck -x2 + 5x - 6 positiv,
wo ist er negativ?
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
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12. Gleichungssysteme
Beispiel 1:
y
6
5
(1) 2x + 3y = 7
(2) 3x – 2y = 4
4
3
2
Wo schneiden sich die
Geraden?
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
Beispiel 2:
(1) 2x – 4y = 10
(2) – 3x + 6y = – 15
Die Geraden sind identisch und liegen übereinander!
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Beispiel 3:
y
6
(1) 4x – 6y = 7
(2) – x + 1,5y = 4
5
4
3
2
Wo schneiden sich die
Geraden?
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
Beispiel 4:
x2 + 3y – 7 = 0
2x + y = 0
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Beispiel 5:
y2 + y = 0
x2 – 4 = 0
Beispiel 6:
x2 + 4xy + 8x = 0
xy - 4 = 0
Beispiel 7:
x-1 =0
xy – y/x = 0
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12. Grundlagen der ebenen Geometrie
Beispiel 1:
Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch die
Punkte P = (2; 4), Q = (-1; 1) geht?
Beispiel 2:
Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch
den Punkt P = (-1; 1) geht und die Steigung m = ½ besitzt?
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