Übungsblatt 9: Wiederholung
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Übungsblatt 9: Wiederholung 1 Aufgabe: 20 Punkte Sie sollen die Funktion f (x, y) = a · x2 + b · x + c · y 2 + d · y + e · x · y optimieren. a) Bestimmen Sie die Kandidaten für optimale Werte von x und y (10 Punkte). b) Berechnen Sie die Matrix zweiter Ableitungen? (4 Punkte) c)Welche Vorzeichenbedingungen müssen die Parameter (a, b, c, d, e) erfüllen, damit ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt erreicht wird? (6 Punkte) Antwort: a) Aufstellen der Bedingungen erster Ordnung (2 Punkte): fx = ............................................................................................................ fy = ............................................................................................................ Die Übertragung des Gleichungssystem in den Gauß-Algorithmus sieht wie folgt aus (1 Punkt): x y RS Die letzte Stufe nach Anwendung des Gauß-Algorithmus sieht wie folgt aus (5 Punkte): x y RS Optimale Werte (2 Punkte) x∗ = ............................................................................................................ y ∗ = ............................................................................................................ b) Matrix zweiter Ableitungen (4 Punkte) 1 ⎛ fxx ⎜ ⎜ D2 f = ⎜ ⎝ fyx fxy fyy ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ c) Maximum: Allgemeine Vorzeichenbedingungen (1 Punkt): ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ Parameterbedingungen für f (x, y) (1 Punkt): ........................................................................................................................ Minimum: Allgemeine Vorzeichenbedingungen (1 Punkt): ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ Parameterbedingungen für f (x, y) (1 Punkt): ........................................................................................................................ Sattelpunkt: Allgemeine Vorzeichenbedingungen (1 Punkt): ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ Paremeterbedingungen für f (x, y) (1 Punkt): ........................................................................................................................ 2 2 Aufgabe: 10 Punkte a) Wie lauten die allgemeinen Bedingungen damit die Funktion f (x) strikt konkav bzw. konvex ist (2 Punkte)? b) Für welche Parameterwerte a ist die Funktion f (x) = ln [x−a ] strikt konkav bzw. konvex (8 Punkte)? Antwort: a) Allgemeine Bedingungen für (2 Punkte) Strikte Konvexität: .................................................................... Strikte Konkavität ...................................................................... b) f 0 (x) = .............................................................................(2 Punkte) f 00 (x) = .............................................................................(2 Punkte) f (x) ist strikt konvex für a ...............................................(2 Punkte) f (x) ist strikt konkav für a ...............................................(2 Punkte) 3 Aufgabe: 5 Punkte a) Unter welchen Bedingungen heißt eine Funktion f (x) stetig an der Stelle x0 (1 Punkt)? b) Überprüfen Sie folgende Funktion f (x) an der Stelle x0 = 2 auf Stetigkeit (4 Punkte) ⎧ 2 ⎪ 0<x<2 ⎨ x +x+2 f (x) = 2x f ür x=2 ⎪ ⎩ 1 x>2 x2 Antwort: a) Allgemein heißt eine Funktion f (x) stetig an der Stelle x0 , wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind (1 Punkt): ....................................................................................................................... b) Überprüfung von f (x) an der Stelle x0 = 2 auf Stetigkeit (3 Punkte) 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Die Funktion f (x) ist an der Stelle x0 = 2 ¤ stetig ¤ nicht stetig (1 Punkt) (richtig e s b itte a n k re u ze n !) 4
