Blatt 5

Übungsblatt 5 zur Elektrodynamik
Prof. K. Hornberger, B. Stickler
Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp
Abgabe bis Donnerstag 03.12.2015 10:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 13 — Darf das Potential sich selbst beschreiben?
(9 Punkte)
Im Folgenden ein paar elektrostatische Fingerübungen:
(a) Zeigen Sie, dass im ladungsfreien Raum das elektrostatische Potential Φ(r) an jedem Punkt r
durch sein Mittel über die Oberfläche einer beliebigen Kugel um diesen Punkt gegeben ist,
Z
1
dA0 Φ(r0 ).
Φ(r) =
2
4πR |r−r0 |=R
(b) Berechnen Sie die elektrostatische Feldenergie von zwei konzentrischen Kugelschalen, wobei die
innere mit Q1 und die äußere mit Q2 geladen ist. Was erhalten Sie für Q2 = −Q1 ?
(c) Zeigen Sie, dass es mit einem elektrostatischen Feld nicht möglich ist, ein geladenes Teilchen
stabil an einem ladungsfreien Punkt im Raum festzuhalten. Hinweis: Bedenken Sie, was in einem
stabilen mechanischen Gleichgewicht gilt. Die Spur einer symmetrischen Matrix, definiert als die
Summe ihrer Diagonalelemente, ist darstellungsunabhängig gleich der Summe der Eigenwerte.
Aufgabe 14 — Soll man glauben, was der Müller sagt?
(10 Punkte)
In der Vorlesung haben Sie gelernt, wie man das elektrostatische Potential Φ(r) bei gegebener Ladungsdichte und Randbedingung als Integral über das Volumen V sowie über den Rand ∂V ausdrücken kann.
(a) Zeigen Sie, dass für zwei glatte und hinreichend schnell abfallende Skalarfelder ψ(r) und ϕ(r)
gilt,
Z
Z
3
dA · (ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) .
d r (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) =
V
∂V
(b) Wir betrachten ein Volumen V , das von einer ideal leitenden Grenzfläche ∂V begrenzt wird.
Zeigen Sie, dass wenn Φ1 (r) das Potential in V zur Ladungsdichte ρ1 (r) und der Oberflächenladungsdichte σ1 (r) auf ∂V ist, und wenn Φ2 (r) das Potential zu einer anderen Ladungsdichte
ρ2 (r) und einer anderen Oberflächenladungsdichte σ2 (r) ist, dann gilt
Z
Z
Z
Z
3
3
d r ρ1 (r)Φ2 (r) +
dA σ1 (r)Φ2 (r) =
d r ρ2 (r)Φ1 (r) +
dA σ2 (r)Φ1 (r).
V
∂V
V
∂V
(c) Die Punktladung q befinde sich zwischen zwei unendlich großen, parallelen, geerdeten Platten,
die den Abstand d zueinander haben. Verwenden Sie den Satz aus (b) um die auf einer der Platten
induzierte Gesamtladung zu bestimmen. Hinweis: Verwenden Sie als Referenzproblem ein einfaches, von dem Sie die Lösung kennen, wie zum Beispiel ρ2 (r) = 0 und σ2 (r) = σ0 für die obere
beziehungsweise σ2 (r) = −σ0 für die untere Platte.
Aufgabe 15 — Ist es gestattet, in der Ebene zu rechnen?
(11 Punkte)
Wie Sie sicher wissen, erlaubt das Coulombpotential dank der Identität ∆|r|−1 = −4πδ(r) die Lösung
der Poisson-Gleichung für nahezu beliebige Ladungsverteilungen. Im Folgenden sollen Sie ein dazu
analoges Ergebnis für den zweidimensionalen Laplace Operator ∆2D = ∂x2 + ∂y2 beweisen.
(a) Auch in zwei Dimensionen gilt ein Gaußscher Satz für das Vektorfeld b(r),
Z
I
dA ∇2D · b =
ds n · b,
A
∂A
wobei die Fläche A und der geschlossene Rand ∂A das Volumen V und dessen Rand ∂V in 3D
ersetzen. Der Normalenvektor n ist nach außen gerichtet und steht senkrecht auf der geschlossenen Randkurve. Zeigen Sie den Satz von Gauß in zwei Dimensionen. (Hinweis: Sie können den
Satz von Stokes in drei Dimensionen verwenden.)
p
(b) Im Folgenden verwenden wir die Abkürzung ψ0 (x, y) = ln[( x2 + y 2 )/`], wobei ` = const
eine frei wählbare Referenzlänge ist. Überzeugen Sie sich davon, dass ∆2D ψ0 (x, y) = 0 für alle
(x, y) 6= 0.
(c) Im nächsten Schritt berechnen wir das Integral von ∆2D ψ0 (x, y) über eine beliebige Fläche A um
den Ursprung. Argumentieren Sie zunächst, wieso man ohne Einschränkung das Integral über
eine im Ursprung zentrierte Kreisfläche durchführen kann. Zeigen Sie dann, dass das Integral den
Wert 2π annimmt. Was folgt daraus für ∆2D ψ0 (x, y)?
(d) Geben Sie die allgemeine Lösung Φ(x, y) der zweidimensionalen Poisson-Gleichung
∆2D Φ(x, y) = −
ρ(x, y)
,
ε0
für (x, y) ∈ R2 an. Wie lautet das zweidimensionale Analogon zum Coulombpotential?