Physik V Einführung: Kern und Teilchenphysik

Vorlesung 2:
Werkzeuge
Physik V
Einführung:
Kern und Teilchenphysik
Georg Steinbrück, Dieter Horns
Universität Hamburg
Winter-Semester 2007/2008
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Inhalt
• Quantitative Beschreibung von Teilchenprozessen
• Einheiten
• Relativistische Kinematik
• Quantenfeldtheorie, Feynman-Diagramme
WS 2007/08
Steinbrück, Horns: Physik V
2
“Handwerkszeug zur quantitativen
Beschreibung”
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Teilchenprozesse : Zerfälle : z.B. µ - → e −ν eν µ
Teilchenreaktionen : z.B.
e − p → e −γp
gemessen werden : Impulse, Energien, Bahnen der Teilchen
Entdeckung des Ω durch ein einzelnes Ereignis :
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Steinbrück, Horns: Physik V
3
Quantitative Beschreibung …
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Kinematik: Zusammenhang der Energien und Impulse der beteiligten Teilchen
Energie- und Impulserhaltung
Dynamik: Häufigkeit, mit der Prozesse auftreten. Die eigentliche „nicht triviale“ Physik
Beispiel : Zerfall des Teilchen K 0 → π +π −
Kinematik * (Im Ruhesystem des K 0 )
E K 0 → Eπ + + Eπ − 
mK0 2
c = 249MeV
r
r
r  Eπ + = Eπ − =
p K 0 → pπ + + pπ − 
2
pπ + = pπ − = 206MeV / c
Dynamik : Zerfallshäufigkeit ⇒ mittl. Lebensdauer τ
Bemerkung : In der Teilchenphysik :

spezielle Relativitätstheorie, relativistische Kinematik
Geschwindigkeit v ≈ c 
E kin > mc 2
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4
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Einheiten
Wir werden SI Einheiten verwenden:
Zeit: s
Länge: m
Masse: kg
Strom: A
Klassische Physik: langsam, makroskopisch
Kern- und Teilchenphysik: relativistisch, quantenmechanisch
„Natürliche Einheiten“: c=1;
h =1
Formeln werden übersichtlicher
Übersetzung in SI-Einheiten durch Dimensions-Betrachtung und
c ≈ 30cm / ns
h = 6.58 ⋅10−22 MeVs
hc = 197.3MeV ⋅ fm ≈ 200MeV ⋅ fm
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5
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Einheiten
Größe
Nat. Einheit
Energie E
MeV (GeV, TeV)
Impuls p
MeV
Masse M
MeV
Zeit t
MeV-1
*Umrechnung
⋅1 / c
⋅1 / c
=SI-Einheit
Bemerkung
MeV (GeV,
TeV)
LHC ECM=14 TeV
MeV / c
2
MeV / c 2
s
⋅h
MeV-1
Geschwind. ß
1
⋅c
m/s
Drehimpuls L
1
⋅h
Js
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∆E∆t > h
1MeV −1 = 6.5 ⋅10 − 22 s
Länge l
⋅ hc
E=mc2
m(fm)
1GeV −1 = 0.2 fm
β = v / c ≤1
6
Relativistische Kinematik
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Newton: Absoluter Raum, absolute Zeit (unabhängig von physikalischen
Objekten und Vorgängen)
Galileo: Physikalische Prozesse in Initialsystemen gleich.
Elektromagnetismus: Ausbreitung e.m. Wellen immer mit Geschwindigkeit c
Widerspruch
Einführung des „Äthers“ (absoluter Raum)
Michalson-Morley: Lichtgeschwindigkeit hängt nicht
von der Geschwindigkeit Erde zu Weltall ab.
Einstein: Kein absoluter Raum, keine absolute Zeit.
1905 spezielle Relativitätstheorie
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Relativistische Kinematik 1
Lichtgeschwindigkeit c ist in allen Inertialsystemen gleich.
Maxwell-Gleichungen sind invariant unter Lorentz-Transformationen.
Einstein: Verallgemeinerung auf alle physikalischen Gesetze
Zeit und Ort müssen Lorentz-transformiert werden
t → t´ x → x´
Heutige Formulierung: 4-dim Minkowski-Raum
4-er Vektoren:
 ct   t 
   
 x   x  t 
a ≡   =   =  r  c = 1
y
y
x
     
 z  z
   
Aus Sicht eines Systems, das sich mit Geschwindigkeit ß in x-Richtung bewegt:
 t'   γ S
  
 x'   − γ S ßS
 y'  = 
  
 z'  
  
− γ S ßS
γS
 t   γ S t − γ S ßS x 
  

 x   γ S x − γ S ßS t 
2
=
mit
γ
=
1
/
1
−
ß
S

S
1  y  
y
  






1  z  
z

a' = Λa Lorentz - Transformation bei gleichem Ursprung
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Relativistische Kinematik 2
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Skalar-Produkt von 4er Vektoren:
r r
a ⋅ b = ta ⋅ tb − xa ⋅ xb − ya ⋅ yb − za ⋅ zb = t a ⋅ tb − xa ⋅ xb
Norm eines 4er-Vektors
r
a 2 = t a2 − x a2
+



−




−



− 

Metrik der Raum-Zeit
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Lorentztransformation
y‘
y
Linearer Ansatz:
β=v/c
S´
x´
S
x' = γ ( x − βct )
x = γ ( x'+ βct ' )
y' = y
z' = z
y = y'
z = z'
ct ' = γ (ct − βx)
ct = γ (ct '+ βx' )
Zwei
gleichberechtigte
Systeme
(Äquivalenzprinzip)
x
„Ereignis- Weltpunkt“
x = ct = t
x' = ct' = t'
{ct , x1 , y1 , z1} ≡ x
Lichtgeschwindigkeit in beiden
Systemen gleich
x
⇒ x' = γx - γvt = γx - γv = (γ - γβ ) x
c
x'
x = γx'+γvt = γx'+γv = (γ + γβ ) x'
c
1
1
x'
⇒ = γ - γβ =
⇒γ =
γ + γβ
x
γ −β2
Invarianz des Skalarprodukts
Betrachte:
t'2 − x'2 = (γt - γβx) 2 − (γx - γβt ) 2
= γ 2t 2 + γ 2 β 2 x 2 − 2γ 2 βtx
− γ 2 β 2t 2 + γ 2 x 2 + 2γ 2 βtx
= (γ 2 − γ 2 β 2 )(t 2 − x 2 )
14243
1
= t 2 − x2
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Zeitdillatation mit Lichtuhr
L = 2 L20 + (vT / 2) 2 mit T = L / c
L0
→ L2 = 4 L20 + v 2T 2 = T 2 c 2
v(T / 2)
T = T0 / 1 − v 2 / c 2
Zeiteinheit im bewegten System um
Zeiteinheit Periode
T0 = 2 L0 / c
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1 / 1 − v 2 / c 2 länger
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Längenkontraktion mit Lichtuhr
v
2
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Laufzeiten ( Ruheuhr ) :
L
v
v
1
L0
t
=
L
/
c
+
t
→
t
=
/(
1
−
)
L
0
1
1
c 1
c
c
Laufzeit 2 L0 / c
L
v
t 2 = L / c − vc t 2 → t 2 = /(1 + )
c
c
2
2 L / c Uhr im bewegten∗ 1 − v : t ´ + t ´ = 2 L / c = 2 L / c
t1 + t 2 =
1
2
0
2
2
2
c
v
v
System
1− 2
(1 − 2 )
c
c
L
v2
Länge erscheint um
= 1 − 2 verkürzt.
L0
c
meist verwendet man β =
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v
1
und γ =
2
c
1- v
c2
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Vierervektoren: Impuls
Lorentz-Transformation lässt das Skalarprodukt invariant!
a'⋅b' = a ⋅ b
Insbesondere:
r
a '2 = a 2 = t a2 − xa2
invariant!
4-er-Impulsvektor
Ableitung: Betrachte Linien-Element eines Teilchens im
Ruhesystem
Eigenzeit
τ
dτ
Bewegten System
v=0
(ds ' ) 2 = (dτ ) 2
t
r
r
mit β = dx / dt
dt
x´
dx
x´
v
(ds) 2 = (dt ) 2 − (dx ) 2
r
x = (t , x )
r
Lorentz - Invarianz : (ds' ) 2 = (ds) 2 ⇒ (dτ ) 2 = (dt ) 2 − (dx ) 2 = (dt ) 2 (1 − β 2 )
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Vierervektoren: Impuls
r
Definiere : 4er Impuls p ≡ ( E , p)
γ

γ   E 
dx
d t 
 r

= m  r  = m dx dt  = m r  ≡  r 
p=m
dτ
dτ  x 
βγ   p 



 dt dτ 
r
r
r
r
p
also : E = γm p = γβm β =
E
r2
2
2
2
Es folgt : p = m = E − p Norm des 4er Impulses = Masse
kinetischeEnergie :
Ekin = E − m = (γ − 1 )m
r
r
r
klassisch : p = mv ⇒ mγβ =
E = mc γ =
2
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mc 2
2
1 − vc 2
r
mv
1− β
2
" relativist ischer Massenzuwa chs"
≅ mc 2 + 12 mv 2 + ...
Äquivalenz Masse - Energie
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Lorentz-Trafo des 4er-Impulses
Vorlesung 2:
Werkzeuge
p' = Λp wie andere 4er Vektoren
− γ S ßS
 E'   γ S
 E 
  
 
γS
 p x '   − γ S ßS
 p x 
2
2
'
in allen Systemen
=
⇒
p
m
=


 p ' 

p
1
 y 
 y 
 p ' 
1  p z 
 z  
z.B. Geschwindigkeit : Additionstheorem
r
r pr r
p'
γ p − γ ß E ß − ßS
β=
βx = x = S x S S = x
E
E ' γ S E − γ S ßS p x 1 − ßS ßx
Grenzfälle:
r
r
ruhendes Teilchen : β = 0 γ = 1 p = 0 E = m p = ( E , p) = ( E ,0)
r
langsames Teilchen : β ≥ 0 γ ≥ 1 p << m E = m + 12 mβ 2 + ...β 4 + ...
r
r
r
ultrarelativistisch : β ≈ 1 γ >> 1 p >> m E ≈ p p ≈ E (1, e p )
r
r
masseloses Teilchen : β = 1 γ = ∞
p = E p = E (1, e p )
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Systeme von Teilchen
Vorlesung 2:
Werkzeuge
4er - Impuls : p = p1 + p2 + ...
p 2 = (Invariante Masse des Systems)2
( p1 + p2 ) 2 = p12 + p22 + 2 p1 p2
r r
= m12 + m22 + 2( E1 E2 − p1 p2 )
r r
2
= ( E1 + E2 ) 2 − ( p1 + p2 ) 2 = Schwerpunktsenergie E CM
=s
r r
= ( E '1 + E '2 ) 2 im CMS, denn p'1 + p'2 = 0 Center of Mass System
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16
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Beispiele
Streuung an einem ruhenden Teilchen : Fixed Target
 E1 
p1 =  r 
 p1 
 m2 
p2 =  
0 
p 2 = ( p1 + p2 ) 2 = m12 + m22 + 2 E1m2 → ECMS ~ E1
" langsamer Anstieg mit E1"
Kollider : Kollision von 2 Teilchenstrahlen
 E1 
 E2 
p1 =  r  p2 =  r 
 p1 
 p2 
r r
im CMS : p1 + p1 = 0 ⇒ ECMS = E1 + E2 " linear mit E!"
z.B. LEP e + e − : Ee− = Ee+ = 104 GeV ⇒ ECMS = 208 GeV
r
r
r r
r r
ultrarelativistisch : E1 ≈ p1 E2 ≈ p2 p1 p2 = − p1 p2 ⇒ ECMS = 4 E1 E2
z.B. HERA e ± p Ee± = 27,5GeV
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E p = 920GeV
ECMS = 318GeV
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Beispiele: Zerfall
Zerfall a → b + c
Energie - Impuls - Erhaltung :
pa = pb + pc ⇔ Ea = Eb + Ec
r
r r
pa = pb + pc
Masse von Teilchen a aus den Zerfallsprodukten :
r r 2
2
2
2
2
m a = p a = (p b + p c ) = (E b + E c ) − (p b + p c )
r
benötige Messung von E b,c und p b,c oder m b,c
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Relativistische Quantenmechanik
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Typische Prozesse und Energien:
Beispiel : n → p + e −
Zerfälle:
+ν e
Ekin = (mn − m p − me − mν e ) ⋅ c 2 = 0,79MeV → relativistische Energien möglich
Gebundene
Systeme:
Abschätzung aus Unschärferelation ∆x ⋅ ∆p ≈ h
Streuprozes
se:
Auflösungsvermögen bei λ ≈ R
Beispiel : Quarks im Proton
∆x = R p ≈ 10−15 m → ∆p x ≈ 200MeV / c
Beispiel : Radius des Elektrons R e < 10−18 m → Grenze des bisherigen Wissens
de Broglie : Impuls p = hk = h / λ → p ≈ 10−12 eV = 1TeV → extem relativistisch
Erzeugung
neuer
schwerer
Teilchen.
E = mc 2 Beispiel : Erzeugung des Top Quarks (m t = 175GeV )
→ Benötigt wird relativistische Form der Quantenmechanik mit
- Zerfallsprozessen
- Erzeugungs - und Vernichtungsprozessen
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19
Relativistische Quantenmechanik
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Nicht-relativistische QM: Schrödinger Gleichung
Relativistische QM:
Klein-Gordon Gleichung (Spin 0)
Dirac-Gleichung (Spin 1/2)
Vorhersage der Existenz von Anti-Teilchen:
Mathematische Struktur der Dirac-Gleichung erlaubt nur Lösungen mit 4
Freiheitsgraden, z.B.:
e− ↑ e− ↓ e+ ↑ e+ ↓
Elektron
Positron (Anti - Elektron)
M(e- ) = M(e+ )


Spin(e- ) = Spin(e+ )

Nur elektrische Ladung ändert Vorzeichen
+
Q(e ) = − Q(e )

Entdeckung des e + : 1932
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20
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Quantenphysik bei kleinsten Abständen
e−
e−
Betrachte Streuprozess e − e − → e − e −
e−
t
Anfangszustand
e−
Endzustand
V(r)
r
Streuung am 1/r-Potential des anderen
Teilchens
~1/r
Bei kleinen Abständen 1/r-Potential divergent!
Klassisch
Elektromagnetisches Potential
quantenmechanisch
Photonen
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
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21
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Quantenfeldtheorie (QFT)
γ
+
+
1. Näherung 2. Näherung
+
+
+…
Kleine Abstände,
kurze Zeiten
3. Näherung
Feynman-Diagramme:
Graphische Darstellung für Prozesse der QFT
Feynman-Regeln:
Berechnung der jeweiligen Amplituden
Beispiel: Erzeugung und Vernichtung von Antimaterie e + e − → e + e −
Kleine Abstände: klassisch: 1/r Potential: große Energiedichte
QFT: Erzeugung neuer Teilchen: E=mc2
+
+
+
-
Abschirmung des 1/r-Potentials durch
Polarisation der virtuellen Quanten im
„Vakuum“.
+
Energie-Unschärfe erlaubt für kurze Zeit die
- Erzeugung neuer, „virtueller“
Quanten. Jedes Teilchen ist von einer Wolke virtueller Teilchen umgeben.
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Steinbrück, Horns: Physik V
22
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Kräfte und Felder
Kraft klassisch: Q1
r
E
Q2 Beispiel: EM
r
F
r
Feld geht von Q1 aus und wirkt auf Q2.
r r
1 Q1Q2 r
F = EQ2 =
⋅n
2
4πε 0 r
Quantenfeldtheorie: Q1 sendet ständig Feldquanten aus, die von Q2 absorbiert werden. (und
umgekehrt) Feldquant: Photon (γγ).
Q1
r
F
Q2
q
Impulsänderung durch Emission und Absorption erzeugt Kraft:
r r
F = q& mit q =Impuls des Feldquants
Stärke der WW: Wahrscheinlichkeit für Austausch des Feldquants ~Q1Q2.
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23
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Kräfte und Felder
Reichweite der WW:
Impuls des Feldquants:
q = (a − a' )
r r
q 2 = a 2 + a'2 −2aa' = 2ma2 − 2( Ea E 'a − pa p'a )
Im allgemeinen ist q2 nicht gleich der Masse2 des Feldquants Feldquant virtuell
r
q 2 = Eγ2 − pγ2 ≠ mγ2
Erlaubt im Rahmen der Unschärferelation! ∆E ⋅ ∆t ≥ h
Zur Abschätzung: Setze ∆E ≈ mc
2
m: Masse des Feldquants
Lebensdauer des virtuellen Feldquants: ∆t ≈
h
mc 2
Reichweite des virtuellen Feldquants: r ≈ c∆t =
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hc
Compton Wellenlänge/2π
mc 2
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24
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Wechselwirkungen
Reichweite : Coulomb → Photon m = 0 → r0 =
hc
1
→
∞
[
]
m0 c 2
r2
0.2GeVfm
= 1.4 fm (Yukawa1935)
0.14GeV
0.2
fm = 2 ⋅10−18 m
Schwache WW : W/Z Bosonen m ~ 90 GeV/c2 → r0 =
90
Kernkraft : π - Meson mπ = 0.14GeV / c 2 → r0 =
WW
Ladung
Stärke
Feldquant
Gravitation
Masse
10-28
Graviton (m=0)
Elektro-magn.
el. Ladung
1/137
Photon (m=0)
Schwach
schw. Ladung
1/25
W/Z
(m=80/90 GeV/c2)
10-18 m
stark
Farbladung
1
Gluon (m=0)
10-15 m
Stärke ist Abstands/ Energie abhängig.
Werte angegeben für E=0.
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Reichweite
∞
∞
Widerspruch mit mG=0! Gluonen
sind keine freien
FeldquantenGluon-Selbst-WW
25
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Wechselwirkungen
Zusammenhang zwischen virtuellen Feldquanten und Kraftgesetz:
Unschärferelation : ∆p∆x ≈ h
q⋅r ≈ h ⇒ q ≈
h
r
Reichweite des Feldquants
Impuls des Feldquants
Impulsübertrag für Zeit t ≈ r / c
dq dq dr h dr hc
Kraft : F ≈
=
≈ 2⋅ ~ 2
dt dr dt r dt r
WS 2007/08
:
1
Abstandsverhalten
2
r
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26
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Feynman Diagramme
• Anschauliche Darstellung fundamentaler
Wechselwirkungsprozesse
• +mathematisches Rezept zur Berechnung
fundamentaler Prozesse
Beispiel: Vernichtungsreaktionen
Beispiel: Austauschreaktionen
• Teilchen A und B treffen aufeinander,
• annihilieren und erzeugen Teilchen X
• Teilchen A und B tauschen Feldquant X
aus
• X zerfällt in Teilchen C und D
• Teilchen A C, Teilchen BD
Bemerkung:
Zeit und Ortsachse können
auch vertauscht sein!
Keine einheitliche Regelung!
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Steinbrück, Horns: Physik V
27
Feynman Diagramme
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Bsp: n-Zerfall
Bsp: e- e- e- eBsp: WW zweier quarks
Bsp: π+µ+νµ
t
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Steinbrück, Horns: Physik V
28
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Feynman Diagramme…
Effekte schwerer (unbekannter) Teilchen (T)
Eigenschaften von T beeinflussen Reaktion
auch wenn ECM<<mT.
Beispiel: Vorhersage der Masse des
schwersten Quarks (Top Quark) durch
Präzisionsmessungen, bevor es am
Fermilab Tevatron entdeckt wurde.
WS 2007/08
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29
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Die Klein-Gordon Gleichung
Ziel: Relativistische Quantenmechanik
zunächst nichtrelativistisch :
∂
führe Operatoren ein : E → ih
∂t
r
r
p → −ih∇
r
h2 2
p2
∂
aus Energie - Impuls - Beziehung : E =
⇒ ih ψ = ∇ ψ
2m
∂t
2m
Schrödinger - Gleichung
rr
−i (ωt − k x )
Lösung : Ebene Welle : ψ = ψ 0 e
r
2
2 2
r hr
r
h
h k
2
ψ
⇒−
∇ ψ=
E = hω p = hk = ep
2m
2m
λ
De Broglie
relativistisch :
r
benutze die gleichen Operatoren : ih∂ t , − ih∇
r
Energie - Impuls - Beziehung : E 2 = p 2c 2 + m 2 c 4 ⇒ −h 2 ∂ t2ψ = −h 2 c 2∇ 2 ψ + m 2 c 4ψ
1 2 m 2c 2
(∇ − 2 ∂ t − 2 )ψ = 0
c
h
In natürlichen Einheiten : (∂ t2 − ∇ 2 + m 2 )ψ = 0 Klein - Gordon Gleichung für relativistische
2
d' Alembert Operator :
WS 2007/08
(
+ m 2 )ψ = 0
Spin 0 Teilchen
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30
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Die Klein-Gordon Gleichung II
Lösungsansatz : Ebene Wellen : ψ = ψ 0 e
rr
− (ωt − k x )
r2
∂ t2ψ = −ω 2ψ 
2
2
ω
k
m
−
+
+
=0
r

2
2
∇ ψ = −k ψ 
r
mit de Broglie Beziehungen : E 2 − p 2 − m 2 = 0 → Ebene Welle ist Lösung der KG Gleichung
Aber : Es existiert eine weitere Lösung : ψ = ψ 0 e
rr
+ i (ωt − k x )
!
r2
∂ t2ψ = −ω 2ψ 
2
2
ω
−
+
k
+
m
=0
r

2
2
∇ ψ = −k ψ 
aber : ih∂ tψ = −hωψ → E = −hω negative Energie!
entspricht Antiteilchen! (später mehr dazu in dieser Vorlesung!)
r
Quadratische Form von E 2 = p 2 + m 2 bedeutet zwei Lösungen
r
E = ± p 2 + m2
WS 2007/08
Steinbrück, Horns: Physik V
31
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Relativistische Quantenmechanik/
Quantenfeldtheorie …
Haben gerade gesehen:
r
h ω = ± p 2c 2 + m 2c 4
Ψ+ = N + e
rr
i ( k r −ωt )
rr
i ( − k r +ωt )
und Ψ− = N − e
r
Ψ− Teilchen mit Impuls - p und Energie hω < −mc 2
Dirac : Vakuum - alle E < 0 Zustände besetzt (Grundzustand)
mc 2
Ψ− ∝ e +iωt = Loch = nicht besetzter E < 0 Zustand → Antiteilchen
→ Dirac 1927 :Vorhersage Positron (e + )
e + ↔ e − identische Eigenschaften (m, s) bis auf Ladung
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− mc 2
32
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Antiteilchen: Entdeckung des Positrons
Anderson (1931): In Nebelkammer
Ladung: Krümmung der Spur im B-Feld
⊗
Masse: Energieverlust im Blei
Bemerkung zu Interpretation von Dirac:
6 mm Blei
⊗ r⊗ ⊗
Für Elektronen gilt das Pauli-Prinzip: Keine zwei
Fermionen im gleichen Zustand erlaubt.
Für Bosonen nicht:
B − Feld
E →∞
Moderne Erklärung (Feynman-Stückelberg): Ψ− ∝ e
Teilchen: E<0 vorwärts in der Zeit
t
=E>0 rückwärts in der Zeit
iωt
Teilchen
= Antiteilchen vorwärts in der Zeit *
QM+ spez. RT: Zu jedem Teilchen ein Antiteilchen
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⊗ ⊗
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Diagramm für Wechselwirkung
Antiteilchen
x
33
Teilchen Rückwärts in der Zeit?
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Versuch, das Konzept von Teilchen, die Rückwärts in der Zeit laufen, etwas zu motivieren:
Man betrachte die Bewegungsgleichung für ein Teilchen mit Ladung (-q) im Magnetfeld:
d 2 x − q dx
q dx
m 2 =
×B =
×B
dt
c dt
c d (−t )
Ein Teilchen mit Ladung +q, was sich rückwärts in der Zeit bewegt, erfüllt die gleiche
Bewegungsgleichung, wie ein Teilchen der Ladung –q vorwärts in der Zeit.
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Das Yukawa Potential
Betrachte Streuung von Teilchen B an A:
A sei sehr viel schwerer als B
A bleibt in Ruhe.
Austausch von X entspricht statischem
Potential
Betrachte Klein - Gordon Gleichung für X :
(∂ t2 − ∇ 2 + m 2 )ψ = 0 mit m = m X
statisch : ∂ tψ = 0 ⇒ ∇ 2ψ = m 2ψ
e2 1
statisches Potential : V(r) = -eψ = −
elektromagnetisches Potential mit m = 0 : Photon!
4πε 0 r
g 2 e −r / R
Yukawa Potential : V(r) = 4π r
mit R =
h
Reichweite
mc
V (r) = Yukawa-Potential = statische Lösung der Klein-Gordon Gleichung für massives
Austauschteilchen. V(r) fällt steiler als 1/r für alle r. Potential sehr klein für r>>R: Reichweite
Schwere Austauschteilchen:
m>0 kleine Reichweite
Masselose Austauschteilchen: m=0 Reichweite unendlich, V~1/r
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Streuprozesse und Wirkungsquerschnitt
Wichtige experimentelle Methode
elastisch :
Entdeckung des Gluon am DESY: 1979
a + b → a'+ b'
inelastisch : a + b → c + d
Beispiel : e + e − → qq
(Umwandlung von Teilchensorten)
total : elastisch + inelastisch
Experimente an Teilchenstrahlen
Bsp: Fixed Target Experimente
na Teilchendichte Strahl [cm-3 ]
nb Teilchendichte Target [cm-3 ]
dx Dicke Target
σ
[cm]
Wirkungsquerschnitt [cm 2 ]
(" effektive Fläche"Streuzentrum)
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Streuprozesse und Wirkungsquerschnitt
Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen a im Target reagiert :
w = σ ⋅ nb ⋅ dx Definition von σ ! (für dx → 0, i.e. w << 1)
Einheit für σ : 1 barn (1b) = (10fm)2 = 10− 24 cm 2
Teilchenfluss Strahl Φ a = na ⋅ va [Teilchen / cm 2 s]
Reaktionsrate :
dN
σ
= w ⋅ Φ a ⋅ A = A ⋅ Φ a ⋅ nb ⋅ dx ⋅
142
4 43
4 unabhängig{→Physik!
dt
Annahmen:
• Alle Teilchen im Strahl reagieren
unabhängig
(De Broglie WL<<Teilchenabstand)
• Target Dichte gering (keine
Vielfachstreuung)
•Ea>>Bindungsenergie im Target
abhängig vom Experiment
dN
= L ⋅σ
dt
(A : Detektorfläche)
Luminosität :
L[cm-2s -1 oder 1
Am Speicherring Experiment (Collider) : L =
a
b
σx
b ⋅s
]
Na ⋅ Nb ⋅ P ⋅ v / U Na ⋅ Nb ⋅ P ⋅ v / U
=
A
4πσ xσ y
P Anzahl der Strahlpakete
U Umfang des Beschleuniger - Rings
v Geschwindigkeit der Strahlteilchen (~ c)
N a , N b Anzahl Teilchen pro Strahlpaket
σ x , σ y Breite Strahlpaket ( σ der Gaussverteilung)
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Abschwächung eine Teilchenstrahl in Materie
(totaler Wirkungsquerschnitt)
Anwendung z.B. Röntgenabsorptionsmethode
dN = − N ⋅ w = − N ⋅ nb ⋅ σ ⋅ dx ⇒ N ( x) = N 0 e − nb ⋅σ ⋅dx = N 0 e − x / λ
λ .... mittlere freie Weglänge zwischen Wechselwirkungen
µ = 1 / λ = nb ⋅ σ .... Absorptionskoeffizient
NA ⋅ ρ
Berechnung von nb : nb =
A'
Vorlesung 2:
Werkzeuge
Ereignisrate für Detektoren mit
Volumen V, Absorptionslänge λ
im Teilchenfluss Φ a :
dN
Φ ⋅V
= Φ a ⋅V ⋅ nb ⋅ σ = a
dt
λ
N A Avogdrozahl, A' Atomgewicht [g/Mol]
ρ spez. Gewicht [g/cm3 ]
λ : Einheit cm
um unabhängig von Dichte zu sein
(fest - gas)
→ Tabellen ρλ[ g / cm 2 ]
Beispiel :
Photonenabsorptionslängen
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Differentieller Wirkungsquerschnitt
Teilchen zwischen b, b + db dσ = 2πbdb
Wechselwirkung : b → θ θ (b) ⇐ Physik!
Teilchen zwischen θ, θ + dθ : dΩ = σ = 2π sin θ dθ : Raumwinkelelement
differentieller Wirkungsquerschnitt :
dσ
2πbdb
b
db
=
=
⋅
dΩ 2π sin θ dθ sin θ dθ
Häufig einfach differentieller WQ :
dσ
dx1
dσ
doppelt differentieller WQ :
dx1dx2
dθ
θ
db
b
b: Stoßparameter
Streuzentrum
wobei x i Streuwinkel, Impulse der Reaktionsprodukte
Integration über alle anderen Freiheitsgrade
Beispiel :Harte Kugel Radius R : cos(θ / 2) = b/R
dσ R 2
⇒
=
dΩ
4
dσ
σ tot = ∫ dΩ = R 2π
dΩ
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b≤R
Querschnitt der Kugel!
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Teilchenzerfälle, Resonanzen
Instabile Teilchen zerfallen nach Exponetialgesetz :
dN ∝ N(t)dt → N(t) = N 0 e −t /τ
Halbwertzeit : T1/2 = τ ln 2
∞
∞
0
0
Mittlere Lebensdauer : ∫ tN(t)dt / ∫ N(t)dt = τ
Resonanz (Breit - Wigner Kurve)
(p1 + p 2 ) 2
E1CM
+2
m12 = effektive Masse (1) + (2) = [ 2 =
]
c
c
Γ2 / 4
dN/dE =
mit Γ = h / τ Zerfallsbreite
2
2
( E − Ea ) + (Γ / 4)
τ
(Heisenberg : ∆E∆t ≈ h / 2
Beispiel Z - Boson (LEP - Experimente) :
e+e− → Z → X
bei > 1 Zerfallskanälen : Γtot = ∑ Γi
1 / τ = ∑1 / τ i
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(totaler Γ = ∑ partielle Γi )
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Vorlesung 2:
Werkzeuge
Teilchenzerfälle, Resonanzen
Lebensdauern variieren über viele Größenordnungen :
238
92
U→23490Th + α : 6.5 ⋅109 Jahre
∆+ + → pπ + : 6 ⋅10− 24 s
Γ = h / τ hängt (auch) mit Stärke der WW zusammen.
Teilchen
m[MeV/c2]
τ[s]
Γ[eV]
WW
π+/-
139.6
2.6 10-8
2.5 10-8
Schwach
π0
135
8.4 10-17
7.8
EM
ρ+/-
770
4.4 10-24
1.5 108
stark
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