Előadás címe - Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
EINIGE ANMERKUNGEN DER
ZUVERLÄSSIGKEITSTHEORIE
VON TECHNISCHEN
SYSTEMEN (FAHRZEUGEN)
Dr. Zvikli Sándor
f. tanár
Széchenyi István Egyetem, Győr
Közlekedési Tanszék
E-mail: [email protected]
Web: http://rs1.sze.hu/~zvikli
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
  228
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Inhalt des Vortrages
Grundbegriffe der Zuverlässigkeit
 Definitionen
 Klassifikation von Systemen
Zuverlässigkeit der Komponenten. Nicht reparierbares Element
 Ausfallsfunktion, theoretische Funktion der Ausfallrate
 Zuverlässigkeitsfunktion, durchschnittliche Lebensdauer
Zuverlässigkeit des Systems mit unabhängigen, nicht reparierbaren Komponenten
 Serial-System, exponentielles Serial-System
 Parallel-System, exponentielles Parallel-System, Block-System
Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elementen
 Grundlagen
 Erneuerungsfunktion
Zuverlässigkeit des Systems mit unabhängigen, sofort reparierbaren Komponenten
 asymtotische Verfügbarkeit
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Inhalt des Vortrages
Zuverlässigkeit von Elementen mit langen Reparaturzeiten
 Grundlagen
 stationäre Verfügbarkeit
Zuverlässigkeit von Systemen mit langer Reparaturzeit, die über unabhängigen, während der Reparatur ausgeschaltenenen Komponenten verfügen
 Grundlagen - der stochastische Prozess
 homogener Poisson (Markov) - Prozess
 Zustandsübergandsgraph
 Chapman - Matrix Differentialgleichung
 Kolmogorov - Gleichungssystem
 Parameter-Empfindlichkeit.
Beispiel-Lösungen
 Berechnung der Zuverlässigkeitseigenschaften des Elements
 Berechnung der Zuverlässigkeitseigenschaften des Systems
Zuverlässigkeit von Systemen mit mehreren Zuständen
 semi Markov Prozess, Lösungsalgorithm
 Beispiel
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
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Közlekedési Tanszék
Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Ein wichtiges Merkmal des Betriebssystems von Fahrzeugen ist
die Verwendbarkeitsfunktion/Kennzahl.
Die Verwendbarkeit kann theoretisch als eine spezifische
integrierte Kenngröße der technischen Zuverlässigkeit
interpretiert werden.
Im weiteren Sinne versteht man unter dem Begriff Zuverlässigkeit
eines technischen Objekts, dessen Fähigkeit seine Qualität
(Eigenschaften des ursprünglichen Zustandes) im Laufe der
Lebensdauer (Verwendung und Nachhaltigkeit) zu bewahren. Die
Zuverlässigkeit lässt sich somit als die Änderungen der Qualität
im Laufe der Zeit definieren.
Dr. Zvikli Sándor
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Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Grundbegriffe der
Zuverlässigkeit
laut MSZ IEC
50(191)
Qualität  betriebliche Effizienz
Leistungfähigkeit
Verwendbarkeit
Fehlerlosigkeit
Nachhaltigkeit
Fähigkeit für
Nachhaltigkeit
Dr. Zvikli Sándor
R(t) Zuverlässigkeitsfunktion
F(t) Ausfallsfunktion
λ(t) Funktion derAusfallrate
M(t) Nachhaltigkeitsfunktion
H(t) Erneuerungsfunktion
μ(t) Funktion der
Wiederherstellungsrate
A(t)
Verwendbarkeitsfunktion
U(t) Unverwendbarkeitsfunktion
A – asymtotische
Verwendbarkeit
U – asymtotische
Unverwendbarkeit
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Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Die Verwendbarkeit
(Verfügbarkeit, Bereitschaft) ist diejenige Fähigkeit des
technischen Systems, zu einem bestimmten Zeitpunkt oder
Zeitraum unter bestimmten Bedingungen seine
vorgeschriebenen Funktionen durchzuführen, wenn die
dazu notwendigen Ressourcen vorhanden sind.
Die Fehlerlosigkeit
ist diejenige Fähigkeit des technischen Systems, zu einem
bestimmten Zeitpunkt oder Zeitraum unter bestimmten
Bedingungen seine vorgeschriebenen Funktionen
durchführen zu können.
(Es kann also vorkommen, dass das System fehlerlos ist, aber nicht verfügbar, weil die
dazu notwendige Ressoursen nicht zu erreichen sind.)
Dr. Zvikli Sándor
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Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Die Nachhaltigkeit
ist diejenige Fähigkeit des Systems, unter bestimmten
Betriebsbedingungen seinen Zustand zu erhalten oder
wiederherzustellen, unter welchem es seine vorgeschriebenen
Funktionen durchführen kann, falls seine Erhaltung bei
bestimmten Bedingungen und vorgeschriebenen Verfahren, mit
vorgeschriebenem Verwenden der Ressourcen organisiert ist.
Die Fähigkeit für Nachhaltigkeit
ist diejenige Eigenschaft des gekoppelten
Organisationssystems, unter bestimmten Bedingungen
diejenigen Ressourcen zur Verfügung zu stellen, die bei
gegebener Nachhaltigkeitspolitik für die Erhaltung notwendig
sind.
Dr. Zvikli Sándor
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A Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Klassifikation von Systemen.
technisches Mittel
(Element, System)
reparierbar
nicht reparierbar
sofort reparierbar
großer Zeitaufwand für die
Reparatur
unter der Reparatur
ausgeschaltet
unter der Reparatur
eingeschaltet
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: Die Ausfallfunktion.
Das Element (z.B.: ein Ersatzteil) beginnt seinen Betrieb zum
Zeitpunkt t = 0, zum Zeitpunkt t =  fällt es aus.

t
0
Die Lebensdauer des Elementes  kann als Zufallsvariable
interpretiert werden. In diesem Falle dient sie als
Charakteristik für die Lebensdauer.
F(t) = P(  t)
Verteilungsfunktion F(t) steht für die Wahrscheinlichkeit,
dass das Element zum Zeitpunkt „t” ausfallen wird, d. h. F(t)
ist nichts anderes, als die Ausfallfunktion des Elements.
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die Zuverlässigkeitsfunktion.
Ergänzung zur Ausfallfunktion ist die
Zuverlässigkeitsfunktion R(t),
die berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass das Element erst
nach dem Zeitpunkt „t” ausfallen wird, d. h. sie repräsentiert im
Intervall 0, t die Wahrscheinlichkeit des fehlerlosen
Betriebes.
R(t) = 1- F(t) = P( >t)
Die wichtigsten Eigenschaften der Zuverlässigkeitsfunktion:
R(t) monoton, nicht steigend
R(0) = 1
lim Rt   0
t 
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die durchschnittliche
Lebensdauer.
R(t)
F(t)
1,0
F(t)
R(t)
0
t
T0
T0  M   

t
0
f t  dt 

 Rt  dt
0
Die durchschnittliche Lebensdauer T0 kann als Erwartungswert
der Zufallsvariable  bestimmt werden. Dieser Wert ergibt den
durchschnittlichen Zeitraum des fehlerlosen Betriebes.
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die theoretische
Ausfallrate.
(t) theoretische Ausfallrate
berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass das bis zum Zeitpunkt „t” fehlerfrei
funktionierende Element im nachfolgenden Zeitraum (t 0) ausfällt.
f t 
 t  
R t 
d F t  d 1 Rt 
d Rt 
f t  


dt
dt
dt
 t   
d Rt  1
dt Rt 
t
   t dt  ln Rt   ln R0 
[wo R(0) = 1, bzw. ln(1) = 0]
o
t
   t  dt
Rt   e
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0
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die theoretische
Ausfallrate
(t)
Normale, bzw. Weibull ( >2)
Weibull ( < 1)
Exp. bzw. Weibull ( =1)
0
I
II
III
t
I. Abschnitt: frühzeitige Ausfälle. Herstellungsfehler, Konstruktionsfehler.
II. Abschnitt: Intervall des normalen Betriebes (t) =  = const. Dominanz der
unerwarteten Ausfälle.
III. Abschnitt: Intervall tendenziöser Ausfälle.
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: quantitative Kenngrößen.
I. Abschnitt: Intervall der frühzeitigen Ausfälle
Dieser Abschnitt kann in den meisten Fällen durch eine theoretische
Weibull-Verteilung mit Parameter  < 1 gekennzeichnet werden.
Die Zuverlässigkeitsfunktion:
Die Funktion der Ausfallrate:
t
R(t )  e
 (t ) 
 t
 1

 t
e
 t


  t
 1
e

Die durchschnittliche Lebensdauer:
T0   e t dt 
0
Dr. Zvikli Sándor

(1 
1



t
 1
To
)
1

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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: quantitative Kenngrößen
II. Abschnitt: Intervall des normalen Betriebes
In diesem Intervall folgen die Ausfälle einer typischen Exponentialverteilung,
die Zuverlässigkeitsfuntion R(t) ist auch exponentiell (man kann diesen
Abschnitt auch mit einer Weibull-Verteilung mit Parameter  =1
charakterisieren).
Die Zuverlässigkeitsfunktion:
Die Ausfallrate-Funktion:
 t
Rt   e
f ( t )  e  t
( t ) 

   const
R ( t ) e  t

Die durchschnittliche Lebensdauer :
T0 
 t
e
dt 

0
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1

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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: quantitative Kenngrößen
III. Abschnitt: Intervall der tendenziösen Ausfälle
Hier folgt die Funktion F(t) und die Funktion R(t) im allgemeinen einer
Normalverteilung.
Die Funktion (t) kann auch im diesen Abschnitt durch eine Weibull-Verteilung mit
einem geeigneten Parameter ( >2) gekennzeichnet werden.
Die Zuverlässigkeitsfunktion:
Die Funktion der Ausfallrate
und die durchschnittliche
Lebensdauer:
1
Rt  
2

u2
 exp[  2 ]du
u
t T0

λ(t)
y 
T0
Dr. Zvikli Sándor
u
t T0

t
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Lösung der Aufgabe.
Bestimmte Fahrzeugersatzteile vom gleichen Typ sind im kontinuierlichen normalen
Betriebsbereich zufallsweise in Zeitpunkten, wie folgt ausgefallen:
Fehlerereignisse, Betriebsstunden (Bst.)
275
290
292
297
301
303
309
313
308
314
Frage:
Wie hoch ist die Betriebszeit, die mit 90 % Warscheinlichkeit einen fehlerfreien Betrieb
ermöglichen kann?
Lösung:
Weil die zufälligen Ausfälle keinen Dominanzfaktor haben, kann man annehmen, dass die
Zuverlässigkeitsfunktion eine exponentielle Natur hat. Die Aufgabe ist also die Bestimmung der
Betriebszeit „t0,9”, die dem Wert 0,9 der exponentiellen Zuverlässigkeitsfunktion R(t) entspricht.
R(t)

1
R( t )  e
0,9
 t
t
0
t0,9
Dr. Zvikli Sándor
1
T̂
R( t )  e
0,9  e
 t
 t 0 , 9
ln 0,9    t 0,9  ln e
t 0,9  
ln 0,9 0,105

 0,105  T̂


T̂- durchschnittliche erwartete
Lebensdauer
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Lösung der Aufgabe.
R(t)
10
1
R( t )  e
0,90
0,37
 t
j1
t 0,9  0,105  T̂  0,105  300,2  31,5
t
0
300
t0,9 = 31,5
R(t)
0,8
0,7
0,6
0,5
t, (Bst.)
67
107
153
208
Dr. Zvikli Sándor
T̂   t j  f j  3002  0,1  300,2
Die Wahrscheinlichkeit, dass bis
T= 300,2 Betriebsstunden kein
Ausfall vorkommt: 0,37.
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Serial-System.
Ein System wird vom Aspekt der Zuverlässigkeit für seriell gehalten, wenn es
nur in dem Fall fehlerfrei funktioniert, in welchem alle seine – unabhängigen
– Elemente fehlerfrei sind, d.h. das System wird ausfallen, wenn ein
einziges von seinen Elementen ausfällt.
Die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion R(t) kann als Multiplikation der
Zuverlässigkeitsfunktion der Elemente von System Ri(t) hergestellt werden,
wo i = 1, 2, 3 … n ist der Zahl der unabhängigen Elemente des Systems.
n
Rt   R1 t  R2 t  R3 t   Ri t   Rn t    Ri t 
i 1
t
   t dt
e
0
t
t
t
t
t
  t dt   2 t dt   3 t dt
  i t dt
  n t dt
 e 0 1


0
0
0
e
e
e
e0
n
 t   1 t   2 t   3 t     i t     n t    i t 
i 1
Dr. Zvikli Sándor
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Közlekedési Tanszék
Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Serial-System von Elemente mit
exponentiellem Zuverlässigkeitscharakteristik.
n
n
i 1
i 1
 i t
Rt    Ri t    e
n
 i t
e 
i 1
Das von unabhängigen Elementen mit exponentieller
Zuverlässigkeitscharakteristik hergestellte Serial-System auch
exponentiell ist, wo die resultierende Ausfallrate  und die
durchschnittliche Lebensdauer T0 mit folgenden Formel berechnet
werden kann:
n
   i
i 1
Dr. Zvikli Sándor
T0 
1


1
n
 i
i 1

1
n
1
T
i 1 i
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Parallel-System.
Ein System wird vom Aspekt der Zuverlässigkeit für parallel gehalten, wenn
es auch in dem Fall fehlerfrei funktioniert, wenn mindestens eines seiner
unabhängigen Elemente fehlerfrei ist.
Das System wird ausfallen, wenn alle seine Elemente i = 1, 2, 3 … n
gleichzeitig ausgefallen sind.
Die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion R(t) kann als die ergänzende
Funktion der resultierenden Ausfallsfunktion F(t) von System hergestellt
werden.
n
Rt   1  F t   1  F1 t  F2 t  F3 t   Fi t   Fn t   1   Fi t 
i 1
Wenn alle Elemente die gleiche Zuverlässigkeit haben:
R(t) = 1 – [Fi (t)]n
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Parallel-System von Elemente mit
exponentiellem Zuverlässigkeitscharasteristik.
n

Ft    1  e
i 1

 i t
  1  e 
 t n

n



R t   1  1  e i t  1 1  e t
i 1


T0   R t dt   1Ft dt   1 1 e  t

0
0
0


1 n 1
dt  


 i 1 i
n
Im Fall einer parallelen Zuverlässigkeitsstruktur
durch die Steigerung der Zahl von Elemente mit gleichen
Eigenschaften kann nur im abnehmenden Maße die erwartete
Lebensdauer des Systems gesteigert werden.
Das zweite Element erhöht die resultierende Lebensdauer mit der
Hälfte der eigenen Lebensdauer, das dritte Element nur mit dem dritten
Teil, das vierte nur mit dem vierten Teil.
Dr. Zvikli Sándor
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n
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Gemischtes System.
1
1
2
:
m
2
3
…
s
1
2
…
n
[Ri(t)]s = Rsi(t) – resultierende Zuverlässigkeitsfunktion von einer seriellen
Zweiglinie (bei „s” unabhängigen Elemente, die gleiche Ri(t) Zuverlässigkeit
haben)
Fm(t) = 1 – Rsi(t)m – resultierende Ausfallfunktion von „m” parallel
geschaltetem Zweig
Resultierende Zuverlässigkeitsfunktion des Systems:
R(t) 
Dr. Zvikli Sándor


s
m n
1  [1  R i ( t )]
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Gemischtes System.
1
1
2
:
m
2
3
…
s
1
2
…
n
Wenn die Elemente verschiedene Zuverlässigkeiten haben, berechnet sich
die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion des Systems wie folgt:
m
s



R(t)   1   1   Ri t  
k 1 
j 1 
i 1

n
Ri (t) – Zuverlässigkeitsfunktion von i. Element
i = 1, 2 ….. s
s – Zahl der seriell geschalteten Elemente in einem parallel geschalteten Zweig
j = 1, 2 ….. m
m – Zahl der parallel geschalteten Zweige
k = 1, 2 ….. n
n – Zahl der seriell geschalteten gemischten Blöcke
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Lösung der Aufgabe.
Es gibt ein aus unabhängigen Elemente bestehendes System (siehe Abbildung
unten), das nur dann betriebsfähig ist, wenn neben Element R3 mindestens noch
ein Element betriebsfähig ist. Wie hoch ist die resultierende Zuverlässigkeit des
Systems im Zeitpunkt t= tv , wenn die Zuverlässigkeit der einzelnen Elemente die
folgenden sind?
R1 (tv) = R1 = 0,80
R2 (tv) = R2 = 0,90
R3 (tv) = R3 = 0,95
R1 =0,80
R3 =0,95
R2 =0,90
R(tv) = [1- (1- R1) (1- R2)] R3 = [1 – 0,2  0,1] 0,95 = 0,931
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Lösung der Aufgabe.
Verwendung des Bayes-Theorems.
E1
P1 = 0,80
E2
P2 = 0,90
E5
P5 = 0,95
E3
P3 = 0,80
Dr. Zvikli Sándor
E4
P4 = 0,90
Nehmen wir an, dass ein
System von Elementen E1
… E4 (siehe Abbildung
links) wegen der relativ
niedrigeren Zuverlässigkeit
von Elementen E1 und E3
mit einem solchen Element
E5 ergänzt wird, das mit
einer annehmbarer
Zuverlässigkeit die
Elemente E2 und E4
bedienen kann.
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Lösung der Aufgabe.
0,80
0,90
1. Wenn E5 fehlerhaft ist (Wahrscheinlichkeit dieses
Zustandes ist 0,05), beträgt die Wahrscheinlichkeit des
fehlerfreien Betriebes PR des Systems:
0,80
0,90
PR(Rf.frei / E5f.haft) = 0,9216
1.
2. Wenn E5 fehlerfrei ist (Wahrscheinlichkeit dieses
Zustandes ist 0,95), beträgt die Wahrscheinlichkeit des
fehlerfreien Betriebes PR des Systems:
2.
0,90
0,90
PR(Rf.frei / E5f.frei) = 0,99
Die Wahrscheinlichkeit des fehlerfreien Betriebes des
Systems im beliebig ausgewählten Zeitpunkt:
PtR = 0,050,9216 + 0,950,99 = 0,9866
Durch die Definition der Arbeitswege ist es möglich, diejenige Zustände des Systems
auszuwählen, die die Steigerung der Zuverlässigkeit des Betriebes ermöglichen.
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Grundlagen.
τ1
t=0
τ2
t1
t 1 = τ1
t2 = τ1 + τ2
t3 = τ1 + τ2 + τ3
.
.
ti = τ1 + τ2 + τ3 + … + τi
.
.
tn = τ1 + τ2 + τ3 + … + τn
Dr. Zvikli Sándor
τn
…
t2
...
tn
t
ti - die Zeitpunkte der unabhängigen Ausfälle
(Wiederherstellungen), die einen stochastischen
Erneuerungsprozess bilden.
i
ν(t)
- (zufälliger) Betriebsintervall zwischen
Ausfällen i. und (i –1).
- Zahl der Ausfälle in beliebigem Zeitraum t
(t = 0, 1, 2, …. n).
F(t) – Ausfall-Funktion (Verteilungsfunktion) der
Zufallsvariable .
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Die Erneuerungsfunktion.
τ1
t=0
τ2
t1
τn
…
t2
...
t
tn
Für quantitative Charakterisierung des Prozesses dient die Zahl der Ausfälle ν(t)
während beliebiger Zeit t, bzw. der Erwartungswert dieser Zahl M[ν(t)].
ν(t) ist eine diskrete (0, 1, 2, …. n) Zufallsvariable, derer Verteilung und
Erwartungswert mit Hilfe der Ausfall-Verteilungsfunktion F(t) von kontinuierlicher
Zufallsvariable  bestimmt werden kann.
Angenommen, dass i Zufallsvariablen unabhängig sind und die gleiche Verteilung
haben, die Erneuerungsfunktion H(t) und ihre Dichtefunktion h(t) kann wie folgt
bestimmt werden:
H(t) = M[ν(t)] = g[τ, F(t)]
h(t) 
dH( t )
dt
Die Erneuerung-Dichtefunktion ergibt für jeden Zeitpunkt „t” die Zahl der Ausfälle für die
nachfolgende Zeiteinheit.
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Die Erneuerungsfunktion.
Wenn die Zufallsvariable  einem exponentiellen Verteilung folg mit
Parameter λ (Poisson-Prozess), dann die Erneuerungsfunktion kann duch
die folgenden Formel bestimmt werden:
H(t) = λt
 
H( t )
t
Im Fall eines Prozesses mit Normalverteilung (Gauss-Prozess) – wenn σ <<
T0 – die Erneuerungsfunktion hat die Form:
H (t) 
Dr. Zvikli Sándor


n 1
 nT0

F t
 
n

÷

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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elementen. Die Erneuerungsfunktion.
Im Fall einer Weibull-Verteilung kann die Erneuerungsfunktion H(t) in
endlicher Form hergestellt werden. Für den Abschnitt [3 > α > 1] kann
eine Schätzung wie folgt gegeben werden:
t
t
 1  H( t ) 
T0
T0
Für beliebige Verteilungsfunktion F(t) kann bewiesen werden:
lim
t 
H( t )
1

t
T0
Für einen notwendig langen Zeitraum ist die durchschittliche Zahl der
Ausfälle pro Zeiteinheit (nahezu) gleich mit dem Reziprok von
durchschnittlicher fehlerfreien Betriebszeit.
Dr. Zvikli Sándor
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Systeme. Die Erneuerungsfunktion.
1. Element
2. Element
i. Element
n. Element
Die Erneuerungsfunktion des Systems kann als die Summe der
Erneuerungsfunktionen seiner Elemente bestimmt werden.
( t ) 
n
 i (t )
i 1
Dr. Zvikli Sándor
H( t )  M[ ( t )] 
n
n
i 1
i 1
 M[ i ( t )]   H i ( t )
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Zuverlässigkeit von Elemente mit bedautender Reperierungszeit. Grundlagen.

τ1
τ2
τ3
τi
τn
1
τ*1
τ*2
0
t=0
Dr. Zvikli Sándor
t1 t*1
t2
t*2
t3 t*i-1 ti t*n-1
t
tn=TG
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Közlekedési Tanszék
Zuverlässigkeit von Elemente mit bedeutender Reparaturzeit. Grundlagen.
t i – Zeitpunkte der Ausfälle d.h. Endpunkte der Betriebsperiode und gleichzeitig
Ausgangspunkte der Instandhaltungsperiode;
t*i – Endpunkte der Instandhaltungsperiode, und gleichzeitig Ausgangspunkte der nächsten
Betriebsperiode;
τ i = ti – t*i-1 : Betriebsintervalle (t*0 = 0);
τ*i = t*i – ti : Instandhaltungsintervalle.
t n = τ1 +
τ*
1
+ τ2 +
τ*
2
+…+τi+
τ*
i
n
n 1
i 1
i 1
n
+ … + τ n =  i   *i
t*n = τ1 + τ*1 + τ2 + τ*2 + … + τ i + τ*i + … + τ n + τ*n =  i  i 
*
i 1
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Zuverlässigkeit von Elemente mit bedeutender Reparaturzeit.
Die Verwendbarkeitsfunktion.
Angenommen die Zufallsvariablen in den Betriebsintervallen und Instandhaltungsintervallen sind
unabhängig voneinander und haben den gleichen Verteilungstyp, kann die gemeinsame
Zuverlässigkeitsfunktion für die Betriebsperioden und die Instandhaltungsperioden wie folgt
bestimmt werden:
R(t) = P(τi > t)
T0
Durchschn.
Betriebszeit
R*(t)
=
P(τ*i
> t)
T
Durchschn.
* Instandhal0
tunszeit
Die asymtotische Kenngröße „A” der Verwendbarkeitsfunktion A(t):
1
A  lim A( t ) 
t 
To  To*
Dr. Zvikli Sándor

 1  F( t ) dt
0

T0
To  To*
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Zuverlässigkeit von während der Reparatur ausgeschaltenen Systeme mit
bedeutender Reparaturzeit. Grundlagen.
Bei der Analyse der Zuverlässigkeit von Systeme mit bedeutender
Reparaturzeit muss der Zustand seiner Elemente während der
Wiederherstellung beabsichtigt werden.
Wenn während der Reparatur des ausgefallenen Elements die übrigen,
betriebsfähigen Elemente auch nicht arbeiten, dann spricht man über ein
während der Reparatur ausgeschaltetes System.
Es ist üblig anzunehmen, dass das System aus zahlreichen Elementen
besteht und die Ausfallsräte einzelner Elemente in bestimmenden Maße
die Ausfallrate des Systems nicht beeinflussen können. So kann man
das System beobachten, in dem die Betriebsperioden und
Erneuerungsperioden abwechselnd vorkommen.
Es kann bewiesen werden, dass in diesem Fall die Betriebsintervalle
einem stochastischen (Poisson) Prozess folgen mit abwechselnden
Parametern.
Dr. Zvikli Sándor
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Közlekedési Tanszék
Der stochastische Prozess. Grundlagen.
Der stochastische Prozess kann als eine bivariante Funktion ,t [kszí
omega té] in der Menge T x  definiert werden, wo T  ,  die
zählbare Parametermenge [in unserem Fall: T  0,  Zeitvariable)],
0,1 die zugeordnete Wahrscheinlichkeitsmenge ist.
,t
,t0
T

t
A
Der stochastische Prozess
kann auch als Menge von
Funktionen i,t
interpretiert werden, die sich
im Index i
unterscheiden.
0
ω
0,t
Dr. Zvikli Sándor
Tx
t0T
0,t - Realizierungsfunktion
,t0 - RandWahrscheinlichkeitsfunktion
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Közlekedési Tanszék
Homogener Poisson (Markov) - Prozess. Randbedingungen.
Randbedingungen im Falle eines im Zeitraum kontinuierlichen, im
Ereignisraum diskreten Prozesses
lim
t 0
P t  t    t  1 /  t   i t
t
0
1. Seltenheit
(im Fall eines Ausfalls it bezeichnet einen betriebsfähigen Zustand, in allgemeinem einen
diskreten Zustand im Zeitpunkt „t”)
P(, tn+1) = in+1/ (, t1) = i1, (, t2) = i2, … (, tn) = in = P(, tn+1) = in+1/
(, tn) = in
2. Erinnerungs(im Formel „t” bezeichnet einen Zeitpunkt, „i” einen Zustand)
losigkeit
Pt + t () - t() < X = Pv + t () - v() < X
für alle t, (t + t), v, (v + t)  T,    , v  t, X reelle Zahl
t   lim
t 0
P t  t    t  1 /  t   i t 
 const
t
Dr. Zvikli Sándor
3. Stationarität
f  ( t )    et
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Közlekedési Tanszék
Homogener Poisson (Markov) - Prozess. Grundgleichungen.
Grundgleichungen:
d Pt 
 Pt  Q
dt
Chapman
Matrix Differentialgleichung
t
0 PQ 

N

1   Pi 
i 1 

Kolmogorov
algebraisches
Gleichungssystem
P(t) – Zustandswahrscheinlichkeitsfunktion
P – Zustandswahrscheinlichkeit
Q – Erzeugermatrix
N – Zahl der diskreten Zustände im kompletten
Ereignissystem
Dr. Zvikli Sándor
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Közlekedési Tanszék
Homogener Poisson (Markov) - Prozess. System mit zwei Zuständen.
2
T   Zj
T
j1
Elementarer
Modell:
 t
Z1 betriebsfähiger
Z2 kein betriebsfähiger
Zustand
1 -  t
Zustand
1 - μ t
Z1 ∩ Z2 = Ø
μ t
f ( t )    et
P t 
   
P 2 t   P1 t  P2 t  

   
f ( t )    et
P t 
P 2 t    P1 t   P2 t  P1 t   P2 t 
Q




Dr. Zvikli Sándor
1
1


P1 t     P1 t    P2 t 



P2 t    P1 t    P2 t 

Chapman
System von
Differentialgleichungen
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Verfügbarkeitsfunktion.
P1(0)=1,0 und P2(0)=0,0 seien die Anfangswerte,
dann ergeben sich die LAPLACE-Transformierte wie folgt:
s
P1 (s) 
s(s    )
sd
 A eat  K
s(s  a )
d
d
A 1 ; K  
a
a
F(s) 
d
a  (   )


A 1

 

K

Dr. Zvikli Sándor
sP1(s) – 1 = -λ P1(s) + µP2 (s)
sP2 (s) = λ P1(s) - µP2 (s)
P2 (s) 

s(s    )

    t
P1t  

e
    

   t
P2 t  

e
    
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Verfügbarkeitsfunktion.
Pi (t)
P1 + P2 = 1
V1 t  
    t
e

P
A(t)=P1(t)
P1 t  
A = P1 =  /( +)
0,9
C1 

 
U(t)=P2 (t)
0,1
V2 t  
0
Dr. Zvikli Sándor

    t

e
    
C2 

 
    t
e

U = P2 = /( + )
P2 t  

    t

e
    
t
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Kolmogorov-Gleichungen,.
Grundgleichungen und Lösungen, wenn für praktische Kenntnisse die
Grenzwert-Verteilung PPi ausreichend ist (Fall t  ):
0PQ 

2

1   Pi 
i 1 
Kolmogorovalgebraisches
Gleichung-System
(N=2)
Q

0 0  P1



   
P2  

   
0    P1   P2 

0   P1   P2 

1  P1  P2

P1 =  /( +)
P2 =  /( +)
Lösung von
KolmogorovGleichungen bei
N=2
2 – die mögliche Anzahl von
diskreten Zustände
Dr. Zvikli Sándor
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Die Ausfallsereignisse einer bestimmten Schienenfahrzeugsflotte eines städtischen
Verkehrsunternehmens könnten von der Datenbank wie folgt hergestellt werden:
Ausfall-Ereignisse
Zeitintervall, Jahr
2006
2007
2008
2009
2010
Zahl der technischer Ausfälle, Stück
5446
6471
5593
6577
5615
relative Häufigkeit der Ausfälle, f(Δt)/Monat
0,015
0,018
0,016
0,018
0,016
kumulative Ausfallrate F(Δt)
0,000
0,217
0,401
0,590
0,811
empirische Zuverlässigkeitsfunktion R(Δt)
1,000
0,783
0,599
0,410
0,189
empirische Funktion der Ausfallrate λ(Δt), 1/Monat
0,015
0,023
0,026
0,045
0,083
Aufgabe:
A.Herstellung einer Prognose für die Verfügbarkeitsfunktion der Flotte A(t)=P1(t)
B.Herstellung einer Prognose für die asymtotische Verfügbarkeit der Flotte A=P1
Dr. Zvikli Sándor
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Der Mittelwert der Ausfallsraten mit Berücksichtigung der Daten der letzten Zeile
der Tabelle:  = 0,04/Monat
Die Ausgangsgröße des Mittelwertes der Reparaturrate konnte durch eine
fachmännische Schätzung - in gleicher Dimension wie  – im Maße μ = 0,05
bestimmt werden
(Wenn die Effizienz der Reparaturarbeiten im Wirklichkeit höher ist, als es geschätzt wurde,
muss man mit einem größeren Wert von μ, im Gegenteil mit einem niedrigeren Wert von μ
rechnen.)
Die Grundformeln:
 0,04
Q
0,05
0,04
 0,05
A( t )  P1t  
Dr. Zvikli Sándor
P1 t    0,04 P1 t   0,05P2 t  


P 2 t   0,04 P1 t   0,05P2 t 

0,05
0,04

e0,04 0,05t
0,05 0,04 0,05  0,04
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Berechnung der empirischen Werte der Verfügbahrkeitsfunktion A(t) = P1(t)
μ/(μ+λ)
λ/(μ+λ)
e exp[- (μ+λ)t]
P1 (t)
relative
Veränd.
von P1(t)
0,050
0,556
0,444
1,000
1,000
0,000
0,040
0,050
0,556
0,444
0,341
0,707
-29,301
24
0,040
0,050
0,556
0,444
0,116
0,607
-14,121
8
36
0,040
0,050
0,556
0,444
0,040
0,573
-5,602
9
48
0,040
0,050
0,556
0,444
0,013
0,562
-2,022
10
60
0,040
0,050
0,556
0,444
0,005
0,558
-0,703
11
72
0,040
0,050
0,556
0,444
0,002
0,556
-0,241
12
84
0,040
0,050
0,556
0,444
0,001
0,556
-0,082
2013
96
0,040
0,050
0,556
0,444
0,000
0,556
-0,028
t,
λ,
μ,
Jahr
Monat
1/Monat
1/Monat
2005
0
0,040
6
12
7
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
P1(t) Wahrscheinlichkeit
Verfügbarkeitsfuntion
Jahr
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Relative Veränderung der Verfügbarkeit
Base: Jahr 2005
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Asymtotische
Verfügbahrkeit
Dr. Zvikli Sándor
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Schlussfolgerungen:
 und der
Reparaturrate μ des Systems im stationären Zustand kann für
 bei den geschätzten Mittelwerten der Ausfallrate
das Funktionieren höchstens mit der Wahrscheinlichkeit 0,556
gerechnet werden
 durch die Verminderung der Zufallsrate auf 0,01 Monat-1
könnte die Verfügbarkeit auf 83% gesteigert werden.
 durch die Halbierung des Zeitaufwands der Instandhaltungsarbeiten könnte bei unveränderter Zufallsrate die Verfügbahrkeit
auf 64% gesteigert werden.
 mit der Verminderung der Zufallsrate auf den Wert 0,01 und die
gleichzeitige Steigerung der Reparaturrrate auf Wert 0,1 könnte
ein Verfügbarkeitspotential von 91% erreicht werden.
 die erhaltenen Ergebnisse sind als Informationen mit
Wahrscheinlichkeitscharakter zu verstehen.
Dr. Zvikli Sándor
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Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen.
Nehmen wir an, dass die
diskreten Betriebszustände
der Fahrzeugen die folgenden
sind:
 betriebsfähiger Zustand
 Störungsbehebung
 Ausbesserung (planmässig
und unplanmässig)
 Wartezeiten.
Ereignisdichte des Prozesses
kann, wie folgt, definiert werden:
   const, wenn die Verteilung exponenziell ist
( t )  
( t ), wenn die Verteilung nicht exponenziell ist
Zustandsübergangsgraph des
Betriebssystems
Dr. Zvikli Sándor
f(t)
f(t)
4.1 t
f  ( t )    e  t
6.1 t
λ
t
f(t)
t
λ
t
4. planmässige
Ausbesserung
1 – 4.1 t
6. unplanmässsige
Ausbesserung
1 – 6.1 t
f(t)
3.4 t
5.6 t
λ
f(t)
λ
t
t
3. Warten für Zustand 4
1 – 3.4 t
5. Warten für Zustand 6
1 – 5.6 t
f(t)
1.3 t
1.5 t
λ
f(t)
f(t)
λ
t
t
1. betriebsfähig
1 – ( 1.3+ 1.2+1.5.) t
2.1  t
2. Störungsaufhebung
1 – 2.1 t
Üzemeltetés elmélete
t
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Verwendbarkeit.
 (1.2  1.3  1.5 ) 1.2
1.3
0
1.5
0
 2.1
  2.1
0
0
0
0
0
0
 λ 3.4  3.4
0
0
Q
 4.1
0
0
  4.1
0
0
0
0
0
0
  5.6  5.6
 6.1
0
0
0
0
  6.1
d Pt 
 Pt  Q
dt
P1 t    1.2 1.3  1.5  P1 t    2.1P2 t    4.1P4 t    6.1 P6 t 

P 2 t     2.1P2 t   1.2 P1 t 


P3 t     3.4 P3 t   1.3 P1 t 


P 4 t     4.1P4 t    3.4 P3 t 


P5 t     5.6 P5 t   1.5 P1 t 


P6 t     6.1P6 t    5.6 P5 t 
t
P1 
1
λ
λ
λ
λ
1  λ1.2  λ1.3  λ1.3  λ1.5
2.1
3.4
4.1
5.6
Dr. Zvikli Sándor
λ
 λ1.5
6.1

1
T
T
T
T
T
1  T2.1  T3.4  T4.1  T5.6  T6.1
1.2
1.3
1.3
1.5
1.5
0PQ 

N

1   Pi 
i 1 
0   1.2 1.3  1.5  P1   2.1P2   4.1P4   6.1 P6 

0    2.1P2  1.2 P1


0    3.4 P3  1.3 P1

0    4.1P4   3.4 P3


0    5.6 P5  1.5 P1


0    6.1P6   5.6 P5

1  P1  P2  P3  P4  P5  P6

Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Beispiel.
Nehmen wir an, dass im vorher gezeigten Zustandsübergangsgraph die folgenden
Parameter gelten:
 durchschnittliche Zeitperiode
zwischen zwei aufeinander folgende Störungen T1.2 = 2880 Std.
 durchschnittlicher Zeitaufwand
 durchschnittliche Zeitperiode
zwischen zwei aufeinander folgende unerwartete Ausfälle T1.5=
4320 Std.
 durchschnittliche Wartezeit auf
 durchschnittlicher Zeitaufwand
 durchschnittliche Zeitperiode
Wiederherstellung nach einem unerwarteten Ausfall
T5.6 = 120 Std,
der Wiederherstellung eines unerwarteten Ausfalls
T6.1 = 340 Std.
zwischen zwei aufeinander folgende planmäßige Ausbesserungen
T1.3 = 8760 Std.
 durchschnittliche Wartezeit auf
 durchschnittlicher Zeitaufwand
Dr. Zvikli Sándor
der Behebung der StörungT2.1 = 0,5 Std.
eine planmässige Ausbesserung T3.4 = 6 Std.
der Wiederherstellung einer planmäßiger Ausbesserung T4.1 =
150 Std.
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Beispiel.
Időtartam
[óra]
T1.2
2880
T1.3
8760
T1.5
4320
T2.1
0,5
T3.4
6
T4.1
150
T5.6
120
T6.1
340
Dr. Zvikli Sándor
T2.1/ T1.2
T3.4 / T1.3
T4.1 / T1.3
T5.6 / T1.5
T6.1 / T1.5
0,000174
0,000685
0,017123
0,027778
0,078704
P1 = 0,889
P1 
1
1
T2.1
T1.2

T3.4
T1.3

T4.1
T1.3

T5.6
T1.5

T6.1
T1.5
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Parameter-Empfindlichkeit.
Die Empfindlichkeit der Wahrscheinlichkeit P1 – als abhängige Variable – von
verschiedenen λ-Parameter – als variablen Faktoren – kann durch die Formel für die
partielle Empfindlichkeit i.j bestimmt werden.

i. j

 P1 / P1
 P1 / P1

  i. j /  i. j
  i. j /  i. j
ε1.2
ε1.3
ε1.5
ε2.1
ε3.4
ε4.1
ε5.6
ε6.1
ΔP1
0,00001
0,00128
0,00772
-0,000014
-0,000054
-0,001352
-0,002191
-0,00618
ΔP1 %
0,0013%
0,1282%
0,7722%
-0,0014%
-0,0054%
-0,1352%
-0,2191%
-0,618%
Rangordnung
8
5
1
7
6
4
3
2
Empfindlich
-keit
(Im Falle der aufeinander folgenden Veränderung Ti.j um +10%)
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen.
2
T   Zj
Elementares
Modell:
f (t)    e
T
j1
(t) t
Z1 betriebsfähiger Zustand
1 - (t) t
t
f ( t )    e t
P1t 
Zustand
1 – μ(t) t
P t  P t   P t  P t   ( t ) ( t ) 
1
2
1
2
  ( t )  ( t ) 



 ( t ) ( t )
Q
( t )  ( t )


P 2 t    (t )P1t   (t )P2 t  (t )P1t   (t )P2 t 
Pt t    t   1 / t    it 
 t   lim
t 0
t
Dr. Zvikli Sándor
μ(t) t
Z1 ∩ Z2 = Ø
Z2 kein betriebsfähiger
P1 t    ( t ) P1 t   ( t ) P2 t 

P t   ( t ) P t   ( t ) P t 
2
1
2 

Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov Modell. Lösungsalgorithm zum System mit zwei und mehreren
Zuständen.
Auftragen des
Zustandsübergangsgraphen
f(t)
t
Bestimmung der Zeiträume der Ereignisse, Bestimmung
derer Verteilungstypen
NEIN
Bestimmung der
Ereignisdichten λi.j
k=k+1
nein
F(t)
Random- Generation
von Ti.j(k)
Bestimmung von
.
λi.j(k)
1
0
Ti.j(k)
t
JA
Statistische Analyse
von Pi(k)
λi.j(k) = 1/ Ti.j(k)
Aufschreiben der
Generatormatrix Q(k)
Herstellung und
Lösung der
KolmogorovGleichung.
Dr. Zvikli Sándor
λi.j = 1/ Ti.j
Aufschreiben der
Generator-Matrix Q
k > 30
k
rnd{0,1}
t
JA
exponentionelle
Verteilung
Einführung der
Zyklusvariablen k = 1
f(t)
λ
P / P
i. j   i.ij/ ii. j
P̂i  u
Pi
K
 P̂i  P̂i  u
Herstellung und
Lösung der
Kolmogorov_
Gleichung.
Empfindlichkeitsanalyse
 Pi
K
Auswertung der
Ergebnissen,
Vorschläge
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Nehmen wir an, dass in vorher gezeigter Stuktur mit mehreren Zuständen nach dem
Durchführung von H = 100 Beobachtungen konnte man die folgenden
durchschnittlichen Werte [Stunde] von exponenzieller Verteilung feststellen:
T1.2
T2.1
T1.3
T3.4
T4.1
T5.6
2880
0,5
8760
6
150
120
0,35
Häfigkeit
gyakoriság
előfordulási
relatívrelative
Häfigkeit
gyakoriság
előfordulási
relatívrelative
Im Falle t1.5 und t6.1 hatten die Zeitraumsverteilungen unterschiedliches von
exponenzieller Verteilung Merkmal:
0,3
0,25
f̂ ( t )
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
t(1.5) osztályköz
t1.5 sorszáma
Dr. Zvikli Sándor
7
8
0,4
0,35
0,3
0,25
f̂ ( t )
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t (6.1) osztálykozök
sorszáma
t
6.1
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
tapasztalati
Wert dereloszlásfüggvény
Verteilungsfunktionérték
Die empirische Verteilungsfunktion des Zeitraumes t1.5
1,20
2
1,00
k
0,80
0,60
Fˆ ( t )
1
k
0,40
0,20
2
1
0,00
3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400
t1.5 [Stunden]
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Wert dereloszlásfüggvény
Verteilungsfunktionérték
tapasztalati
Die empirische Verteilungsfunktion des Zeitraumes t6.1
1,20
1,00
2
0,80
k
Fˆ ( t )
k
0,60
1
0,40
2
1
0,20
0,00
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
t6.1 [Stunden]
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert T1.5(k)
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rnd(0,1)
0,41
0,92
0,75
0,48
0,22
0,77
0,43
0,25
0,74
0,05
T1.5(k)
3800
4175
3930
3825
3720
3950
3820
3725
3950
3600
k
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Rnd(0,1)
0,86
0,97
0,98
0,17
0,96
0,09
0,36
0,18
0,36
0,21
T1.5(k)
4075
4225
4230
3675
4220
3625
3775
3675
3775
3700
k
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Rnd(0,1)
0,44
0,01
0,29
0,50
0,26
0,65
0,72
0,81
0,43
0,69
T1.5(k)
3825
3525
3750
3845
3725
3875
3925
4000
3825
3900
[durchschnittlicher Wert vonT1.5(k) beträgt 3855,5 Stunden]
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert T6.1(k)
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rnd(0,1)
0,38
0,85
0,93
0,51
0,93
0,69
0,78
0,96
0,43
0,31
T6.1(k)
273
300
330
278
330
290
295
335
275
270
k
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Rnd(0,1)
0,27
0,61
0,97
0,41
0,34
0,69
0,67
0,59
0,05
0,16
T6.1(k)
265
285
340
275
270
290
285
280
230
260
k
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Rnd(0,1)
0,70
0,07
0,07
0,88
0,97
0,54
0,91
0,09
0,77
0,20
T6.1(k)
290
205
235
305
335
280
320
235
295
285
[durchschnittlicher Wert von T6.1(k) beträgt 284,7 Stunden]
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert der
Verfügbarkeitsfunktion P1(k)
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P1(k)
0,8917
0,8934
0,883
0,8913
0,878
0,8914
0,8876
0,8771
0,8897
0,8878
K
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
P1(k)
0,8989
0,8978
0,8875
0,8885
0.9005
0,8841
0,8887
0,8874
0,9003
0,8939
K
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
P1(k)
0,8887
0,9007
0,8987
0,8861
0,8771
0,8919
0,8849
0,9036
0,8877
0,8914
P̂1  u
 P1

 P̂1  P̂1  u P1
K
K
88,75 %  P1  89,23 %
(=0,05; u=1,96; k=30)
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Die Empfindlichkeitsindikatoren εi.j der Verfügbarkeit P1
i. j 
Empfindlichkeit
 P1 / P1
  i. j/  i. j
ε1.2
ε1.3
ε1.5
ε2.1
ε3.4
ε4.1
ε5.6
ε6.1
ΔP1
0,000013
0,001282
0,008
-0,000014
-0,000054
-0,001352
-0,002191
-0,005
ΔP1 %
0,0013%
0,1282%
0,89%
-0,0014%
-0,0054%
-0,1352%
-0,2191%
-0,56%
8
5
1
7
6
4
3
2
Rang
(Im Falle der aufeinander folgenden Veränderung Ti.j um +10%)
Dr. Zvikli Sándor
Üzemeltetés elmélete
Széchenyi István Egyetem
Közlekedési Tanszék
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
f(t)
f  ( t )    e  t
6.1  t
λ
f(t)
t
t
6. unplanmässsige
Ausbesserung
1 – 6.1 t
4. planmässige
Ausbesserung
1 – 4.1 t
6.m
f(t)
6.1
6.2
λ
f(t)
5.6 t
t
3. Warten für Zustand 4
1 – 3.4 t
λ5.6
t
5. Warten für Zustand 6
1 – 5.6 t
5.n
f(t)
5.2
5.1
λ
t
1.5.t
f(t)
t
1. betriebsfähig
1 – ( 1.3+ 1.2+1.5.) t
1.5s
Dr. Zvikli Sándor
1.52
2. Störungsaufhebung
1 – 2.1 t
1.51
Üzemeltetés elmélete