Der S attigungsbereich
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Sättigungsbereich Röntgenphysik Es soll im folgenden die prinzipielle Methode zur Lösung beschrieben werden und deren Ergebnisse diskutiert werden. Im Sättigungsbereich lassen sich keine analytischen Lösungen mehr finden und das Problem muß numerisch gelöst werden Überschreitet die eingekoppelte Leistung Wext einen bestimmten Wert, nimmt die Leistung nimmt nicht mehr linear zu und erreicht irgendwann die Sättigung – dieser Bereich wird dann als nicht linearer oder Sättigungsbereich bezeichnet Im diskutierten low und high Gain Bereich hängen die Ausgangsleistung und die eingekoppelte Leistung linear zusammen Der Sättigungsbereich Freie Elektronen Laser 240 Sättigungsbereich Länge des Undulators Undulatorwellenzahl Magnetfeld des Undulators Frequenz der FEL Strahlung Nomienelle Energie des Elektronenstrahl Elektronenstromdichte am Anfang des Undulator Energieverteilung des Elektronenstrahl Amplitude des eingekoppelten Master Signals Röntgenphysik Wir nehmen im folgenden als Energieverteilung eine Gaussverteilung an lu ku Hu ω T0 j0 h∆T 2 i Eext Der FEL Verstärker kann durch die folgenden Parameter beschrieben werden FEL Parameter Freie Elektronen Laser 241 Sättigungsbereich aus. Röntgenphysik lˆu , Ĉ, Λ̂2p , und Λ̂2T 242 Länge des Undulators Detuning Parameter Raumladungsparameter Energieverteilung des Elektronenstrahl Effizienzparameter eKEext Êext = Eext /E0 = Normierte Master Amplitude ρT0 Γγ Für den linearen Bereich reichen sogar lˆu = Γlu Ĉ Λ̂2p Λ̂2T ρ̂ Durch die Wahl von geeigneten dimensionslosen Variablen, kann die Beschreibung auf 6 Parameter reduziert werden. FEL Parameter Freie Elektronen Laser Sättigungsbereich Röntgenphysik Ẽsat = D(Ĉ, Λ̂2p , Λ̂2T ) Im Bereich der Sättigung wird die Ausgangsamplitude Eout nicht mehr von lˆu und Êext abhängen, so daß dort dann gelten wird Ẽout = D(lˆu , Ĉ, Λ̂2p , Λ̂2T , Êext ) Wenn ρ sehr klein ist, wird das FEL Feld Ẽout nicht mehr von ρ abhängen und somit erhält man gelten. ρ≪1 243 Aufgrund der verschiedenen Näherungen, die wir gemacht haben, muß für den Effizienzparameter Der Sättigungbereich – Hamiltonfunktion Freie Elektronen Laser Sättigungsbereich j=1 Röntgenphysik 244 Wie sehen die Lösungen dieser numerischen Simulationen aus ? Damit hat man dann 2N + 2 Gleichungen, die den Verstärkungsprozess beschreiben. ĵz (ψ + 2π · n, z) = ĵz (ψ, z) ĵz N X 2π = − δ(ψ − ψ(j) ), 0 ≤ ψ ≤ 2π N Der Elektronenstrahl wird durch N Makropartikle pro Interval (0, 2π) über die Phase ψ simuliert. Die reduzierte Stromdichte ist periodisch in der Phase und ergibt sich zu FEL Verhalten im Sättigungsbereich Freie Elektronen Laser Freie Elektronen Laser Sättigungsbereich 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 Röntgenphysik 2 8 Reduzierte Undulator Länge z 6 10 12 14 Reduzierte Feldamplitude û in Abhängigkeit von der reduzierten Undulatorlänge ẑ (Ĉ = 0, Λ̂2p → 0, Λ̂2T = 0, ûext = 0.1) FEL Verhalten im Sättigungsbereich Rduzierte Feldamplitude u 245 Sättigungsbereich Röntgenphysik Das Verhalten läßt sich gut im Phasenraum (P̂, ∆ψ) betrachten. ∆ψ = ψ + ψ0 ist die Phase relativ zur Phase ψ0 des ponderomotiven Potentials. Für einen längeren Undulator fallen ein Teil der Elektronen in die Beschleunigungsphase des ponderomotiven Potentials und es wird wieder Energie aus dem FEL Feld an den Elektronenstrahl übertragen. Im Maximum ist der Elektronenbunch vollständig durchmoduliert Das Feld û steigt bis zu einem Maximalwert an und fällt dann wieder ab. Sättigungsbereich Freie Elektronen Laser 246 3π/2 2π π/2 π 3π/2 2π -4 0 -3 -2 -1 0 1 2 20 15 10 5 0 Röntgenphysik Phase ψ relative zum ponderomotiven Potential 0 -2 π/2 -0,2 3π/2 2π 0 π -1 -0,1 -0,5 π/2 0 0 0 -1 0 1 0,1 0 40 30 20 10 0 Sättigungsbereich 0,5 1 2 4 π Freie Elektronen Laser FEL – Phasenraum Kanonischer Impuls P Histogramm π/2 π 3π/2 2π 247 Verteilung im linearen Bereich (ẑ = 4) Kurz vor dem Sättigungsbereich (ẑ = 7) Sättigung (ẑ = 8.4) 2 3 4 Röntgenphysik Unmodulierter Strahl am Eingang des Undulators (ẑ = 0) Sättigungsbereich 1 FEL – Phasenraum Freie Elektronen Laser 248 SASE Röntgenphysik Beschreibung der Statistik des Elektronenstrahls Ursache der Synchrotronstrahlung sind Dichtefluktuationen im Elektronenstrahl, die durch das Shot Noise (Schrotrauschen) beschrieben werden. SASE: Self-amplified spontaneous emission Das Feld kann in dem Undulator selbst in Form von spontan emitierter Synchrotronstrahlung erzeugt werden. Ein FEL Verstärker, der in diesem Modus betrieben wird, wird als SASE FEL bezeichnet Bis jetzt wurde immer nur der Fall eines Verstärkers betrachtet, bei dem ein externes Feld Eext eingekoppelt und dieses dann im Undulator bis zur Sättigung verstärkt wird. Woher erhalten wir aber ein geeignetes, externes Feld ? Der SASE Prozess Freie Elektronen Laser 249 SASE k=1 δ(t − tk ) Röntgenphysik 1 t2 F (t) = √ exp − 2 2σT 2πσT gegeben. Für ein Gaussprofil wäre ! beschrieben werden. tk ist die zufällige Ankunftszeit eines Elektrons e am Undulatoreingang. Die Mittlere Verteilung entspricht dem Elektronenbunchprofil und ist durch hI(t)i = −e · N · F (t) I(t) = −e N X Der Elektronenstrahl besteht aus einer großen Zahl N von Elektronen und kann durch Schrotrauschen des Elektronenstrahls Freie Elektronen Laser 250 SASE 1 2π ∞ k =1 N X k=1 N X eiωtk Ī(ω)e−iωt dω = −e I(t)eiωt dt = −e −∞ Z −∞ ∞ δ(t − tk ) Röntgenphysik Die Fouriertransformierte Ī(ω) kann somit als die Summe einer großen Zahl von komplexen Phasen mit dem zufälligen Wert φk = ωtk beschrieben werden. I(t) = Ī(ω) = Z Wir definieren die Fouriertransformierte Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Elektron in der Zeit t, t + dt am Undulatoreingang ankommt ist genau F (t) Schrotrauschen des Elektronenstrahls Freie Elektronen Laser 251 SASE Röntgenphysik In diesem Fall kann der Zentrale Grenzwertsatz angewandt werden und das bedeutet, daß der Real und der Imaginäranteil von Ī(ω) normalverteilt sind. 2 1 ReĪ(ω) p(ReĪ(ω)) = exp − hReĪ(ω)i hReĪ(ω)i ist. Dann können die Phasen als gleichmäßig über das Intervall (0, 2π) verteilt betrachtet werden. ω · σT ≫ 1 Sei nun die Dauer des Elektronbunches σT so lang, das Schrotrauschen des Elektronenstrahls Freie Elektronen Laser 252 SASE =e 2 N X k=1 * Röntgenphysik exp(i(ω − ω )tk ′ + + e 2 hĪ(ω)Ī ∗ (ω ′ )i = e2 N X N X k 6=n X + exp(iωtk − iω ′ tn ) hexp iωtk ihexp iω ′ tn i k=1 n=1 * Spektrale Korrelationsfunktion 1. Ordnung einer negativen Exponentialfunktion. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung |Ī(ω)|2 hat damit die Form 2 |Ī(ω)| 1 2 exp − p(|Ī(ω)| ) = 2 h|Ī(ω)| i h|Ī(ω)|2 i Korrelationsfunktionen Freie Elektronen Laser 253 Z ∞ SASE N|F̄ (ω)|2 ≪ 1, Röntgenphysik Damit trägt nur der Teil bei, der das Schrotrauschen e2 N beschreibt. < Ī(ω)Ī ∗ (ω ′ ) >= e2 N F̄ (ω − ω ′ ). dann ist der zweite Term vernachlässigbar und es ist Wenn < Ī(ω)Ī ∗ (ω ′ ) >= e2 N F̄ (ω − ω ′ ) + e2 N(N − 1)F̄ (ω)F̄ ∗ (ω ′ ) die Fouriertransformierte des Gaussprofils F (t) Damit ist dann ω 2 σT2 < exp iωtk >= F (tk ) exp(iωtk )dtk = F̄ (ω) = exp − 2 −∞ Es ist Korrelationsfunktionen Freie Elektronen Laser ! 254 SASE Röntgenphysik ⇒ N · |F̄ (ω)|2 ≪ 1 N (Zahl der Elektronen im Bunch) ist typisch im Bereich von 1011 ωσT = 10 ⇒ exp(−100) ∼ = 10−44 ωσT ≫ 1 Die obige Bedingung ist i.A. erfüllt. Es war vorausgesetzt, daß Korrelationsfunktionen Freie Elektronen Laser 255 SASE Röntgenphysik Wir betrachten jetzt den komplizierten Fall, daß das Eingangssignal durch das Schrotrauschen gegeben ist, daß ein weißes Rauschen besitzt. Man kann dann zeigen, daß ein mit der Frequenz ω modulierter Elektronenstrahl ohne externes Mastersignal Eext im wesentlich zum gleichen Ergebnis führt Das Ausgangsignal Eout hat dann die gleiche Frequenz ω und wächst im linearen, high Gain Bereich exponentiell mit der Undulatorlänge z Ẽ(ω, z) ∝ exp(Λz) Die bis jetzt hergeleitete Theorie des FEL im linearen Bereich wurde für die Bedingung eines unmodulierten Elektronenstrahls und eines Mastersignals Eext durchgeführt, daß mit der Frequenz ω moduliert ist. 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 256 SASE gegeben. Röntgenphysik Die Verknüpfung zwischen der Zeit und Frequenzdomäne ist durch Z ∞ 1 E(z, t) = Ē(ω, z) exp(−iωt)dω 2π ∞ beschrieben. Ē(ω, z) = Ẽ(ω, z) exp(iω(z/c) − t) + C.C. Das Laserfeld wird durch Im linearen Bereich werden alle Frequenzen unabhängig voneinander verstärkt. Deshalb zerlegen wir das Eingangssignal in seine Fourierkomponenten und berechnen für jede Harmonische die Verstärkung. 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 257 SASE Röntgenphysik Diese Bedingung bedeutet, daß der Elektronenbunch viel länger ist, als die Slippage der FEL Strahlung relativ zum Elektronenbunch, Durch diese Annahme können Randeffekte bernachlässigt werden. (Resonanzfrequenz ω0 , Effizienzparameter ρ) Wir betrachten nun einen Elektronenbunch mit der Dauer T , so daß gilt ρω0 T ≫ 1. j̄(ω) Ī(ω) = j0 I0 Wir nehmen an, daß die transversale Komponenten des Schrotrauschens am Eingang des Undulators direkt mit dem Schrotrauschen des Strahlsstrom verknüpft ist. 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 258 SASE Für ω < 0 ist Röntgenphysik Ē ∗ (ω, z) = Ē(−ω, z) Es soll nun aus dem Elektroneneingangsstrom I(t) bzw. Ī(ω) das elektrische Feld E(z, t) bzw. Ē(ω, z)berechnet werden. Die Fourierkomponenten sind über eine Green’sche Funktion G(ω, z) gekoppelt. Ē(ω, z) = G(ω, z)Ī(ω) Ursache der Slippage sind die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der FEL Strahlung und des Elektronenbunches in z-Richtung 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 259 SASE Röntgenphysik Durch Entwicklen der Lösungen von (41) um Ĉ = 0 erhält man ! ! √ 3 Ĉ 2 1 4Ĉ ReΛ̂ = 1− und ImΛ̂ = 1− 2 9 2 3 gegeben. Wir betrachten nur die Lösung, die das exponentielle Wachsum beschreibt. In 0. Ordnung (Ĉ = 0) war die Lösung 1 √ Λ̂ = ( 3 + i) 2 260 Wir betrachten den Fall eines vernachlässigbaren Raumladungsfeld Λ̂2p → 0 und einer scharfen Geschwindigkeitsverteilung des Elektronenstrahls Λ̂2T = 0. Im linearen Bereich sind die Propagationskonstanten Λ̂ durch die Lösungen von Λ̂(Λ̂ + i Ĉ)2 = i (41) 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser SASE 1− 4Ĉ 3 E0 I0 Röntgenphysik 261 Das Spektrum eines einzelnen, die Dauer T besitzenden Bunches sollte Spikes mit einer typischen Breite 1/T besitzen ∆ω = ω − ω0 = 2ρω0 Ĉ ∼ = ρω0 = ρω0 Ĉ ∼ berechnet sich die Bandbreite ∆ω zu ẑ ! # gegeben. Einsetzen liefert sofort das gewünschte Ergebnis. Aus der Green’schen Funktion folgt, daß der SASE FEL im linearen Bereich nur ein schmales Frequenzband um die Resonanzfrequenz ω0 verstärkt. Mit Ĉ = (ω − ω0 )/(2ρω0 ) Damit ist die Green’sche Funktion dann durch "√ ! 2 Ĉ 2 ω i 3 G(ω, z) = exp(i z) exp 1− ẑ + 3 c 2 9 2 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser SASE Röntgenphysik Wie groß ist jetzt die Leistung am Ausgang des FEL ? Wie sieht nun das Spektrum hinter dem Undulator aus ? Die typischen Dauer eines Spikes sollte dann 1/(ρω0 ) sein. betragen. ∆ω ∼ = ρω0 T 1/T ⇒ Zahl der Spikes (Wellenpakete) sollte dann ungefähr 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 262 Freie Elektronen Laser SASE -3 -2 0 1 2 Röntgenphysik Detuning parameter C -1 3 Feld nach dem Undulator mit ẑ = 10 0 0 20 40 60 80 20 40 60 80 100 263 Statistik des Elektronenstrahls am Eingang des FEL Simulation eins Elektronenbunches mit nur 1000 Elektronen 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL 2 |E(ω)| SASE = = = = 0 Z 0 T 1 2π ∞ −∞ Z E 2 (t)dt |Ē(ω, z) exp(−iωt)|2 dωdt Z T Z cS ∞ | exp(−iωt)|2 dt |Ē(ω, z)|2 dω · 8π −∞ 0 Z ∞ cS |Ē(ω, z)|2 dω 2· 8π Z ∞0 cS |Ē(ω, z)|2 dω 4π 0 cS 4π = T Röntgenphysik S ist die transversale Ausdehnung des Elektronenstrahl W cS 4π Z Die Leistung ist durch den Pointing Vektor gegeben 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 264 SASE = < |G(ω, z)|2 >< |Ī(ω)|2 > < |Ē(ω, z)|2 > = < |G(ω, z)Ī(ω)|2 > einen Beitrag. exp Ĉ 2 1− 9 Röntgenphysik 3 2 "√ ẑ ! #2 √ Ĉ 2 √ 3 ẑ = exp( 3ẑ) · exp 9 " # Von der Green’schen funktion G(ω, z) liefert nur der Realteil gegeben. 265 Die Leistung, gemittelt über viele Elektronenbunche ist durch Z ∞ cS < E >= < |Ē(ω, z)|2 > dω (42) 4π 0 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser SASE Ĉ = (ω − ω0 )/(2ρω0 ) 4 A= 9 E0 I0 2 √ exp( 3ẑ) und σA = 3 s 2 ρω0 √ √ 3 ẑ Röntgenphysik mit der Elektronenstrahlleistung Wb = γmc 2 I/ e und der Zahl der Elektronen pro Frequenzintervall Nλ = 2πI0 /(eω0 ) Integration von < |Ē(ω, z)|2 > liefert dann √ √ 4πρ exp 3ẑ < Wout >= ρWb p√ 3 3ẑNλ mit läßt sich < |Ē(ω, z)|2 > schreiben als # " (ω − ω0 )2 2 2 < | Ī(ω)| > < |Ē(ω, z)| >= A exp − 2 2σA Da 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 266 SASE Röntgenphysik 267 Hinter einem schmalbandigen Monochromator ist die gemessene Intensität proportional zu |Ē(ω)| und dementsprechend wird die Intensitätverteilung hinter dem Monochromator der negativen Exponentialfunktion entsprechen. Zur Analyse der Strahlung wird ein Monochromator verwendet Der Monochromator hinter dem Undulator wird durch eine Transmissionsfunktion GM (ω) beschrieben. Das Laserfeld ergibt sich dann aus Ē(ω) = GM (ω)G(ω, z)Ī(ω) Es sollen jetzt die Eigenschaften der SASE FEL Strahlung diskutiert werden. Die Statistik der Strahlung |Ē(ω, z)| ist durch die Statistik des Elektronenstrahls Ī(ω) gegeben und somit gleich 2 |Ē(ω, z)| 1 2 exp − . p(|Ē(ω, z)| ) = 2 2 < |Ē(ω, z)| > < |Ē(ω, z)| > Eigenschaften der SASE-FEL Strahlung Freie Elektronen Laser SASE ∗ (ω ′ ) > < Ē(ω) Ē g1 (ω, ω ′ ) = [< |Ē(ω)|2 >< |Ē(ω ′ )|2 >]1/2 Röntgenphysik ist. Nehmen wir jetzt für den Elektronenbunch E(z, t) einen Rechteckeckpuls der Zeit T an. < Ī(ω)Ī ∗ (ω ′ ) >= e2 N F̄ (ω − ω ′ ) Wir hatten gezeigt, daß 1. Ordnung Es soll zunächst die spektrale Korrelation berechnet werden Diese Verteilung ist eine Eigenschaft von vollständig chaotischer polarisierter Strahlung 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 268 SASE ω ′ )T −1 Röntgenphysik 2π ∆ωc = T Für einen Rechteckbunch ist dies gleich −∞ ω ′ )T (ω − sin 2 Wir definieren die spektrale Kohärenz Z ∞ ∆ωc = |g1 (ω, ω ′ )|2 d(ω − ω ′ ) ′ (ω − g1 (ω, ω ) = F̄ (ω − ω0 ) = 2 Die Fouriertransformierte einer Recheckfunktion ist eine Sinc Function sin(ω)/ω. Damit kann man schreiben 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 269 SASE < |Ē(ω)|2 |Ē(ω ′ )|2 > [< |Ē(ω)|2 >< |Ē(ω ′ )|2 >] = 1 + |g1 (ω, ω ′ )|2 g2 (ω, ω ) = ′ 0 ∞ |Ē(ω, z)| dω = 2 4π ce2 SN 0 Z ∞ Röntgenphysik 270 |GM (ω)|2 |G(ω, z)|2 dω Die mittlere Energie hängt also von dem Verstärkungsprofil des FEL und der Apparatefunktion des Monochromators ab. gegeben. cS < E >= 4π Z Die mittlere Energie hinter dem Monochromator ist nun durch 2. Ordnung 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser SASE = = = < (E− < E >)2 > <E > R∞ R∞ ′ < |Ē(ω)|2 |Ē(ω ′ )|2 > dω dω 0 R∞ 0 R∞ 2 ′ )|2 > dω ′ < | Ē(ω)| > dω · < | Ē(ω 0 R∞ R0∞ ′ < |Ē(ω)|2 >< |Ē(ω ′ )|2 > |g (ω, ω ′ )|2 dω dω 1 0 R∞ R ∞0 ′ )|2 > dω ′ 2 > dω · < | Ē(ω < | Ē(ω)| 0 0 Röntgenphysik Hier geht zusätzlich noch das Profil des Elektronenbunches ein Für die Apparatefunktion des Monochromators nehmen wir jetzt ein Gaussprofil an " # 2 (ω − ω0 ) 2 |GM | = exp − 2 2σM σE2 Definition der normierten Dispersion 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 271 SASE Röntgenphysik σE2 ∼ =1 π 2 ∼ σE = σM · T √ π 2 ∼ σE = σA · T Asymptotisch ergibt sich gegeben. σM · T ≪ 1 1 ≪ σM · T ≪ σA · T σA · T ≪ σM · T für für für Die normierte Dispersion ist dann durch √ Z σ̂ σ̂A σ̂M π 2 q erf(x)dx mit σ̂ = σE = 2 , σ̂x = σx · T σ̂ 2 0 σ̂A2 + σ̂M 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 272 SASE Röntgenphysik gegeben (I > 0). Für thermisches, polarisiertes Licht ist die Dichtefunktion der Intensität durch 1 I pI (I) = exp − <I> <I> Die Dichtefunktion pU (u) berechnet sich damit aus der Fouriertransformation von MU (ω) Z ∞ 1 MU (ω) exp(−iωu)dω pU (u) = 2π −∞ −∞ 273 Sei U eine Zufallsvariable und pU (u) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Dann ist die Charakteristische Funktion MU (ω) definiert als der Erwartungswert von exp(iωu). Z ∞ MU (ω) = exp(iωu)pU (u)du Grundlagen Statistische Optik Freie Elektronen Laser SASE k=1 (43) Röntgenphysik 274 wobei das Integral hier durch eine Summe genähert wird. Für die Intensität Ik in jedem Intervall k von polarisierter, thermischer Strahlung, die statistisch unabhängig sind gilt nun Gleichung (43). k =1 gegeben. Es soll nun die integrierte Intensität betrachtet werden Z T /2 m m X X T Ik , W = I(t)dt ∼ I ∆t = = k m −T /2 1 MI (ω) = 1 − iω < I > Berechnung wurde ebend für das Schrotrauschen des Elektronenstrahls durchgeführt. Die Charakteristische Funktion ist damit durch die Fouriertransformierte Statistische Optik Freie Elektronen Laser SASE (44) Röntgenphysik 275 Literatur: J.W. Goodman, Statistical Optics, John Wiley & Sons (1985) Die Wahrscheinlichkeitsdichefunktion ist dann die Fouriertransformation W m−1 exp −m m m W <I>T ∼ pW (W ) = <I>T Γ(m) gegeben. −m <I>T ∼ MW (ω) = 1 − iω m Damit ist die Charakteristische Funktion MW (ω) durch Statistische Optik Freie Elektronen Laser SASE Γ(M) E <E > E 1 exp −M <E > <E > 1 M= 2 σE M−1 Röntgenphysik M ist die Zahl der Freiheitsheitsgrade (Moden) in dem Strahlungspuls. mit p(E) = MM 276 Dies entspricht der Integration über die Dauer T des Bunches, so daß wir Gleichung (44) anwenden. Wir möchte jetzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Strahlung nach dem Monochromator p(E) für einen kompletten Elektronenbunch berechnen. 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser Freie Elektronen Laser SASE 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1 2 M=1 3 5 Röntgenphysik 4 0 1 3 E / <E> 2 M=3 4 5 0 1 2 3 M=10 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Strahlung nach einem Monochromator 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL p(E) 4 5 277 Freie Elektronen Laser SASE 0 0,5 1 0 0,5 Röntgenphysik 1,5 1 0 E / <E> 1,5 0,5 1 1,5 0 Ergebnis einer Simulation über 1000 FEL Pulse 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Wahrscheinlichkeit 0,5 1 1,5 278 SASE Röntgenphysik Wie groß sind nun diese Zahlen z.B. bei FLASH ? ρω0 T 279 Was bedeuten nun diese Verteilungen ? Schmalbandiger Monochromator (σM · T ≪ 1 ⇔ M ∼ = 1) Hinter dem Monochromator wird immer nur ein Spike (Wellenpaket) beobachtet. Ein Spike hat genau die Statistik einer negativen Exponentialfunktion. Hinter einem schmalbandigen Monochromator wird also Licht beobachtet, dessen Intensität sehr stark schwankt. Breitbandiger Monochromator Das Spektrum nähert sich für sehr viele Moden nach und nach einer Gauss-Funktion an Wie viele Moden schwingen in dem SASE FEL an ? Abschätzung hatte ergeben 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser SASE Röntgenphysik Im FEL schwingen also sehr viele Moden an! M∼ = 100 Γ 0.957 m−1 ρ 0.017 Λ̂2p 0.126 ω0 3 · 1016 s−1 Die Zahl der Moden M liegt damit dann im Bereich Daraus ergeben sich die folgenden Werte Elektronenbunch: Dauer T = 100 fs, Ladung Q = 1 nC, Durchmesser D = 0.1 mm, Elektronenenergie E = 1 GeV FEL Strahlung: ~ω = 20 eV Undulatorparameter: K = 1 Wir nehmen die folgenden Werte an 1-Dimensionale Theorie des SASE FEL Freie Elektronen Laser 280 SASE Röntgenphysik Problem: Zeitauflösung ist durch den gesamten Elektronenbunch gegeben und nicht durch einen einzelnen Spike. 281 Die Zeitdauer eines Spikes kann im Bereich von einigen fs liegen, was für die zeitaufgelöste Experimente sehr interessant ist. Spektrum besteht aus vielen, sehr kurzen Spikes Die Zeitstruktur des SASE FEL ergibt sich aus der Fouriertransformation des Frequenzfrequenzspektrums SASE FEL – Zeitstruktur Freie Elektronen Laser SASE Röntgenphysik Schrotrauschen des Elektronenstrahls und Bewegung im Undulator erzeugt spontane Synchrotronstrahlung Wechselwirkung der erzeugten Strahlung mit dem Elektronenbunch erzeugt eine Modulation des Elektronenstrahls (Microbunching) Höhere Teilchendichte und Kohärente Bewegung der Elektronen führt zu einer Verstärkung der Strahlung Vollständige Modulation führt zur Sättigung des FEL Take Home Message – SASE FEL Freie Elektronen Laser 282
