Serie 4 - D-MATH

Lineare Algebra
Prof. Richard Pink
D-MATH, HS 2014
Serie 4
1. [Aufgabe] Berechnen Sie das folgende Produkt von



1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0
a 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0



 b 0 1 0 0 0 e 1 0 0 0 0 1 0



 c 0 0 1 0 0 f 0 1 0 0 0 h 1
d 0 0 0 1
0 g 0 0 1
0 0 i 0
Matrizen:

0
1 0
0 1
0


0
 0 0
0 0 0
1
0 0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
j

0
0

0
.
0
1
1. [Lösung]

1
a

Das Ergebnis ist 
b
c
d
0
1
e
f
g
0
0
1
h
i
0
0
0
1
j

0
0

0
 .
0
1
2. [Aufgabe] Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Falls a 6= c ist, so gilt für
jede nicht-negative ganze Zahl m ∈ Z≥0
m
m
m −cm a
b a a−c
a b
.
=
0 c
0
cm
Leiten Sie eine ähnliche Formel für den Fall a = c her.
2. [Lösung]
a 6= c: Wir benutzen vollständige Induktion über m. Im Basisfall m = 0 gilt
0
0 a0 −c0 a b
a b a−c
= I2 =
.
0 c
0
c0
Angenommen, die Behauptung gilt für ein m ∈ Z≥0 . Dann gilt
m+1
m a b
a b
a b
=
·
0 c
0 c
0 c
m am −cm a
b a−c
a b
IV
=
·
0 c
0
cm
m+1 m
am −cm
a
a b + b a−c c
=
.
0
cm+1
Wegen
am b + b
am+1 b − am bc + bam c − bcm+1
am+1 − cm+1
am − c m
c=
=b
a−c
a−c
a−c
folgt damit die Aussage auch im Fall m + 1.
a = c: Um eine Formel im Fall a = c zu finden, nehmen wir zuerst an, dass
a = c 6= 0 ist. Dann gilt
b m
m
a b
m 1 a
=a
.
(1)
0 a
0 1
1 e
Wir können uns deshalb auf den einfacheren Fall
für ein beliebiges
0 1
e ∈ K beschränken. Da für alle e, f ∈ K
1 e
1 f
1 e+f
·
=
(2)
0 1
0 1
0
1
gilt, folgt
1 e
0 1
2
=
1 2e
,
0 1
3 1 3e
1 e
=
,
0 1
0 1
... .
(3)
Die Gleichungen (1), (2), (3) und eine Betrachtung des Falls a = c = 0
führen deshalb zu der folgenden Behauptung.
Behauptung: Für alle a, b ∈ K und für alle m ≥ 0 gilt
m m
a
mam−1 b
a b
=
,
0
am
0 a
wobei wir im Fall m = 0 den Ausdruck mam−1 als 0 interpretieren.
Beweis. Der Fall m = 0 folgt aus
0
0
a 0·b
a b
= I2 =
.
0 a
0 a0
Für den Fall m ≥ 1 verwenden wir vollständige Induktion über m. Wegen
1 1
a b
a b
a 1 · a0 · b
=
=
0 a
0 a
0
a1
gilt der Basisfall m = 1. Angenommen, die Behauptung gilt für ein m ≥ 1.
Dann gilt
m+1 m a b
a b
a b IV am mam−1 b
a b
=
·
=
·
0 a
0 a
0 a
0
am
0 a
m+1 m
m+1
m−1
a
a b + ma
ba
a
(m + 1)am b
=
=
.
0
am+1
0
am+1
Es folgt damit die Aussage auch im Fall m + 1.
3. [Aufgabe] Wenden Sie elementare Zeilenumformungen auf die Matrix


1
2 1 0
A := −1 0 3 5
1 −2 1 1
über Q an, sodass die resultierende Matrix R auf der linken Seite die 3 × 3Einheitsmatrix enthält. Geben Sie explizit eine invertierbare Matrix W an,
sodass gilt
W · A = R.
Berechnen Sie auch W −1 .
3. [Lösung] Es gilt


1 0 0 −7/8
R = 0 1 0 −1/4
0 0 1 11/8
und


3/8 −1/4 3/8
0
−1/4 .
W = 1/4
1/8 1/4
1/8
Die Inverse von W ist dann

W −1

1
2 1
= −1 0 3 .
1 −2 1
4. [Aufgabe] Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens, für
welche Werte des Parameters α die folgende Matrix über Q invertierbar ist:

1
3 −4
2
2
1 −2
1 


 3 −1 −2 −2α
−6 2
1 α2 .

4. [Lösung] Durch Anwenden des Gaußschen Eliminationsverfahrens erhält man
die Matrix


1 3 −4
2
0 −5 6
−3 


0 0 −2
−2α 
0 0
0 α2 − α .
Eine obere Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Diagonaleinträge
ungleich null sind. Es folgt, dass die Matrix der Aufgabe genau dann invertierbar ist, wenn für α gilt:
α2 − α = α(α − 1) 6= 0.
Dies ist äquivalent zu α ∈
/ {0, 1}.
5. [Aufgabe] Sei K ein beliebiger Körper und sei n ∈ Z>0 eine beliebige positive
ganze Zahl. Zeigen Sie, dass die Permutationsmatrizen der Grösse n × n über
dem Körper K eine Gruppe bilden.
5. [Lösung] Sei G die Menge der Permutationsmatrizen der Grösse n × n. Wir
zeigen zuerst, dass die Menge G abgeschlossen ist unter Matrixmultiplikation.
Behauptung: Für beliebige A, B ∈ G gilt: A · B ∈ G.
Beweis. Seien A = (aij ) und B = (bij ) zwei beliebige Elemente in G. Das
Produkt von A und B ist gegeben durch
!
n
X
A·B =
aij bjk
.
j=1
1≤i,k≤n
Wir müssen zeigen, dass für jede Zeile und für jede Spalte von A · B gilt: Es
gibt genau einen Eintrag, der 1 ist, und alle anderen Einträge verschwinden.
Für ein beliebiges k mit 1 ≤ k ≤ n, sei m der Index des nicht-verschwindenen
Eintrages in der k-ten Spalte von B. Es gilt also bjk = δjm , wobei
(
1 für m = k
δmk =
0 für m 6= k.
das Kroneckerdelta bezeichnet. Dann gilt für die k-te Spalte von A · B:
!
n
X
aij bjk
= (aim bmk )1≤i≤n = (aim )1≤i≤n .
j=1
1≤i≤n
Es folgt, dass die k-te Spalte von A · B gleich der m-te Spalte von A ist. Da in
der m-ten Spalte von A nach Vorraussetzung es genau einen Eintrag mit Wert
1 gibt und alle anderen Einträge verschwinden, haben wir dies damit auch für
die k-te Spalte von A · B gezeigt.
Für ein beliebiges i mit 1 ≤ i ≤ n, sei r der Index des Eintrages in der i-ten
Zeile von A, der gleich 1 ist. Dann gilt für die i-te Zeile von A · B
!
n
X
aij bjk
= (air brk )1≤k≤n = (brk )1≤k≤n .
j=1
1≤k≤n
Es folgt, dass die i-te Zeile in A · B gleich der r-te Zeile in B ist. Da in der r-ten
Zeile von B es genau einen Eintrag mit Wert 1 gibt und alle anderen Einträge
verschwinden, gilt dies auch für die i-te Zeile in A · B.
Wir überprüfen die Gruppenaxiome:
(i) Assoziativität. Die Multiplikation auf G ist gegeben durch Matrixmultiplikation. Da diese assoziativ ist (siehe Vorlesung), folgt dass auch das
Produkt auf G assoziativ ist.
(ii) Einheitselement. Die Identitätsmatrix In ist eine Permutationsmatrix. Es
folgt, dass In ∈ G ein linksneutrales Element ist.
(iii) Linksinverses Element. Sei B = (bjk )j,k=1...n ∈ G beliebig. Die transponierte
Matrix B T = (bji )i,j=1...n liegt dann ebenfalls in G, weil die Definition von
Permutationsmatrizen invariant unter Vertauschung von Zeilen und Spalten ist. Es genügt also zu zeigen, dass B T · B = In ist.
Betrachte dafür beliebige 1 ≤ i, k ≤ n. Nach Definition der Matrixmultiplikation hat B T · B in Zeile i und Spalte k den Eintrag
cik :=
n
X
bji bjk .
j=1
Nach Definition einer Permutationsmatrix existiert zu k ein Index ` mit
b`k = 1 und bjk = 0 für alle j 6= l. In der angegebenen Summe verschwinden
daher alle Summanden für j 6= `, und der Summand für j = ` ist gleich
b`i · 1. Da b`k = 1 ist, gilt b`r = 0 für alle r 6= k. Daher ist cik = b`i = 1,
falls i = k ist und 0 sonst. Insgesamt folgt daher cik = δik , und somit ist
B T · B die Einheitsmatrix.
6. [Aufgabe] Zeigen Sie, dass die Menge
a −b H :=
a, b ∈ C
b a
zusammen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen ein nichtkommutativer Schiefkörper mit Einselement I2 ist.
6. [Lösung] Für zwei beliebige Elemente
a −b
M1 :=
,
b a
u −v
M2 :=
v u
in H gilt
au − bv −av − bu
M1 · M2 =
=
ub + av −bv + au
a + u −(b + v)
M1 + M2 =
.
b+v
a+u
au − bv
(av + bu)
!
−(av + bu)
(au − bv)
Insbesondere liegen M1 · M2 und M1 + M2 in H. Daher ist die Menge H unter
Addition und Multiplikation abgeschlossen.
Die Nullmatrix und die Identitätsmatrix liegen in H. Daher folgen alle Axiome
eines Schiefkörpers, mit Ausnahme der Existenz von additiven und multiplikativen Inversen, aus den Eigenschaften von 2 × 2-Matrizen.
a −b
Wir zeigen die Existenz der Inversen: Sei A =
∈ H ein beliebiges
b a
Element. Dann ist −A ∈ H und A + (−A) = 0. Das zeigt die Existenz der
additiven Inversen von A. Für A 6= 0, sei
1
a b
B= 2
.
|a| + |b|2 −b a
Dann ist B ∈ H und B · A = I2 . Das zeigt auch die Existenz einer multiplikativen Inverse. Wir schliessen, dass die Menge H ein Schiefkörper ist.
Wegen
0 −1
0 −i
i 0
·
=
,
1 0
−i 0
0 −i
0 −i
0 −1
−i 0
·
=
−i 0
1 0
0 i
ist das Kommutativgesetz in H nicht erfüllt: Der Schiefkörper H ist nichtkommutativ.