Algebra - Uni Trier

Algebra
(a + b)2
(a − b)2
(a + b) (a − b)
ab ac
ab
ac
b c
(a )
=
=
=
=
a2 + 2ab + b2
a2 − 2ab + b2
a2 − b 2
ab+c
= ab−c
a1/2
√
ab
r
a
b
1/q
a
= abc = (ac )b
ap/q =
n
X
(ai + bi ) =
i=1
n
X
n
X
cai = c
i=1
n
X
ai +
i=1
n
X
n
X
=
=
=
=
√
a (valid if a ≥ 0)
√ √
a b
√
a
√
b
√
q
a
√ p
a1/q = (ap )1/q = q ap
bi
i=1
ai
i=1
i = 1 + 2 + ... + n =
i=1
1
n (n + 1)
2
n
X
1
i2 = 12 + 22 + ... + n2 = n (n + 1) (2n + 1)
6
i=1
!2
2
n
n
X
X
1
i
i3 = 13 + 23 + ... + n3 =
n (n + 1) =
2
i=1
i=1
n
X
ai =
i=0
1 − an+1
1−a
2
ax + bx + c = 0
x2 + px + q = 0
√
b2 − 4ac
2a
r
p
p2
−q
x=− ±
2
4
⇔
x=
⇔
−b ±
K steigt pro Jahr um p%. Nach t Jahren ist der Wert dann:
p t
f (t) = K 1 +
100
K sinkt pro Jahr um p%. Nach t Jahren wird sie folgenden Wert haben
p t
f (t) = K 1 −
100
ln 1
ln e
eln x
ln ex
ln (xy) = ln x + ln y
x
ln
= ln x − ln y
y
ln (xp ) = p ln x
1
=
=
=
=
0
1
x
x
Ableitungen
• Regel 1: f (x) = A
• Regel 2: y = A + f (x)
y 0 = f 0 (x)
⇒
• Regel 3: y = Af (x)
• Regel 4:
f 0 (x) = 0
⇒
y 0 = Af 0 (x)
⇒
f (x) = xa
f 0 (x) = axa−1
⇒
wobei a eine beliebige Konstante ist.
• Regel 5 (Summen): Wenn f und g differenzierbar sind in x, dann ist die Summe f + g
und die Differenz f − g ebenfalls differenzierbar in x, und
h(x) = f (x) ± g(x)
⇒
h0 (x) = f 0 (x) ± g 0 (x)
• Regel 6 (Produkt): Wenn f und g differenzierbar sind in x, dann ist auch h = f · g
differenzierbar und
h(x) = f (x) · g(x)
h0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
⇒
• Regel 7 (Quotient): Wenn f und g differenzierbar sind in x und g(x) 6= 0, dann ist h = f /g
differenzierbar in x, und
h(x) =
f (x)
g(x)
h0 (x) =
⇒
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
(g(x))2
• Regel 8 (Kettenregel): Wenn g differenzierbar ist in x und f ist differenzierbar in u = g(x),
dann ist die verkettete Funktion h(x) = f (g(x)) differenzierbar in x, und
h0 (x) = f 0 (u) · g 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
• Regel 9:
f (x) = ex
⇒
f 0 (x) = ex
Die Ableitung von f (x) = ex entspricht der Ausgangsfunktion.
• Regel 10:
f (x) = ln x
⇒
1
f 0 (x) = x
• Wenn z = F (x1 , ..., xn ) mit
x1 = f1 (t1 , ..., tm ),
dann
... , xN = fn (t1 , ..., tm )
∂z
∂z ∂x1
∂z ∂x2
∂z ∂xn
=
+
+ ... +
∂tj
∂x1 ∂tj
∂x2 ∂tj
∂xn ∂tj
2
j = 1, 2, ..., m
Optimierung
Annahme: f (x, y) sei eine zweifach differenzierbare Funktion im Definitionsbereich S und sei
(x0 , y0 ) ein interner stationärer Punkt von S.
(a) Wenn
∂ 2f
∂ 2f ∂ 2f
<
0
and
−
∂x2
∂y 2 ∂x2
dann ist (x0 , y0 ) ein (striktes) lokales Maximum.
∂ 2f
∂x∂y
2
∂ 2f
∂x∂y
2
>0
(b) Wenn
∂ 2f
∂ 2f ∂ 2f
>
0
and
−
∂x2
∂y 2 ∂x2
dann ist (x0 , y0 ) ein (striktes) lokales Minimum.
>0
(c) Wenn
∂ 2f ∂ 2f
−
∂y 2 ∂x2
dann ist (x0 , y0 ) ein Sattelpunkt.
∂ 2f
∂x∂y
2
<0
(d) Wenn
2 2
∂ f
∂ 2f ∂ 2f
−
=0
∂y 2 ∂x2
∂x∂y
dann kann (x0 , y0 ) ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt sein.
Matrix Algebra
•
(A0 )0 = A
A+0 = A
A+B = B+A
A0 + B0 = (A + B)0
• Es sei A eine (Z × S)-Matrix. Dann gilt
AIS
IZ A
A0S
0Z A
=
=
=
=
A
A
0
0
• Wenn die Berechnungen zulässig sind für die Matrizen A, B, C, und D, dann gilt
(AB) C
(A + B) C
A (B + C)
(A + B) (C + D)
(AB)0
(ABC)0
=
=
=
=
=
=
3
A (BC)
AC + BC
AB + AC
AC + AD + BC + BD
B0 A0
C0 B0 A0
• Es sei λ ein Skalar. Dann gilt
λAB = AλB = ABλ
•
rang(A) ≤ min(Z, S)
rang(A0 ) = rang(A)
rang(A0 A) = rang(AA0 ) = rang(A)
rang(IZ ) = Z
•
A−1
−1
=A
• Rechenregeln für inverse Matrizen:
A−1
0
−1
= (A0 )
(λA)−1 = λ−1 A−1
• Es seien A, B, und C drei beliebige reguläre (Z × Z)-Matrizen. Dann gilt:
(AB)−1 = B−1 A−1
und
(ABC)−1 = C−1 B−1 A−1
• Die quadratische Form einer quadratischen (S × S)-Matrix A ist
0
b Ab =
S X
S
X
aij bi bj
i=1 j=1
wobei b0 = [b1 b2 ... bS ].
• A sei eine beliebige (Z × S)-Matrix mit Rang(A) = S:
A0 A ist immer positiv definit
• A sei eine positiv definite Matrix. Dann ist
A−1 ebenfalls positiv definit
• A sei eine positiv definite (Z × Z)-Matrix und B ein (Z × S)-Matrix mit Rang(B) = S.
Für die (S × S)-Matrix B0 AB gilt dann:
B0 AB ist positiv definit
• Für jede positiv definite (S × S)-Matrix C gilt:
rang(C) = S
• A und B seien zwei reguläre Matrizen der gleichen Ordnung:
A − B positiv definit ⇐⇒ B−1 − A−1 positiv definit
• A sei eine positiv definite Matrix. Dann existiert mindestens eine reguläre Matrix B mit:
B0 B = A−1
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