Schulstoff III

Einführung in das Mathematikstudium und dessen Umfeld (Unterrichtsfach)
LVA 405.700
C. Fuchs, K. Fuchs, C. Karolus
Wiederholung Schulstoff III
5
WS 2015/16
Vektorrechnung
In diesem Kapitel sollen einige Grundlagen aus der Vektorrechnung, insbesondere im R2
und R3 , behandelt werden. Ein Vektor im Rn ist ein (geordnetes) n-Tupel


x1
 x2 
*


x=  .  .
.
 . 
xn
*
Wir schreiben dafür auch manchmal x= (x1 , . . . , xn )T (T steht für transponiert). Der Vek*
tor 0 = (0, 0, . . . 0)T heißt Nullvektor und wird mit dem Ursprung des Koordinatensystems
*
identifiziert (nicht zu verwechseln mit der Zahl 0). Zwei Vektoren x= (x1 , . . . , xn )T und
*
y = (y1 , . . . , yn )T sind gleich, wenn sie komponentenweise übereinstimmen, also xi = yi
für alle i = 1, 2, . . . , n gilt.
Vektoren können als gerichtete Pfeile angesehen werden. So
hat beispielsweise der Vektor ( 23 ) im R2 die rechts abgebildete
Gestalt. Geometrisch gesehen sind zwei Vektoren gleich, wenn
sie die gleiche Länge und gleiche Richtung haben.
Die Summe zweier Vektoren ist durch die koordinatenweise Addition definiert, also

 
 

u1
v1
u1 + v1
 u2   v2   u2 + v2 

 
 

 ..  +  ..  = 
.
..
 .   .  

.
un
vn
un + vn
Ebenso ist das Produkt eines Vektors mit einem Skalar λ ∈ R definiert als

 

u1
λu1
 u2   λu2 

 

λ ·  ..  =  .. 
 .   . 
un
λun
57
(nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren). Geometrisch kann die
Summe zweier Vektoren folgendermaßen interpretiert werden: hängt man die beiden Pfeile
*
*
*
*
u und v aneinander, so ist u + v durch den Vektor vom Ausgangspunkt zum Endpunkt
gegeben.
*
Das Multiplizieren eines Vektors u mit einem Skalar λ stellt hingegen eine Streckung des
Vektors um den Faktor λ dar. Dabei wird lediglich die Länge des Vektors verändert, seine
Richtung bleibt gleich.
* *
Dadurch erhält man also parallele Vektoren. Zwei Vektoren u, v sind parallel, wenn es
*
*
ein t ∈ R gibt, sodass u= t· v .
Bsp. 5.1. Es seien






1
−3
−2
*
*
*
u=  −2  , v = 
6  , w=  4  .
0.5
−4.5
1
*
*
Die ersten beiden Vektoren sind parallel, denn die Gleichung u= t· v führt auf
I : 1 = −3t,
II : −2 = 6t,
III : 0.5 = −4.5t.
*
*
Jede der Gleichungen führt auf t = −1/3 und somit folgt u= −1/3· v .
*
*
Im Gegensatz dazu sind u und v nicht parallel, denn es müsste für ein t ∈ R gelten, dass
I : 1 = −2t,
II : −2 = 4t,
III : 0.5 = t.
58
Die ersten beiden Gleichungen liefern zwar denselben Parameter t = −1/2, jedoch muss
nach der letzten Gleichung t = 0.5 sein. Also gibt es keinen gemeinsamen Wert für t, d.h.
*
*
es gibt kein t mit u= t· w. Also sind die beiden Vektoren nicht parallel.
*
*
Die Länge eines Vektors v = (v1 , . . . , vn ) ist durch seinen Betrag (bzw. Norm) | v | gegeben,
q
*
v12 + v22 + . . . + vn2 .
| v |=
Da die damit definierte Funktion eine Normfunktion ist, wird dies auch kurz als die Norm
*
*
von v bezeichnet und auch als k v k geschrieben.
*
Unter einem Einheitsvektor versteht man einen Vektor der Länge 1. Zu jedem Vektor w
erhält man einen zugehörigen Einheitsvektor w0 , indem man w durch Multiplikation mit
dem Skalar *1 auf die Länge 1 skaliert.
| w|
*
*
3
Bsp. 5.2. Zum Vektor w= ( −2
) berechne man den
w0 . Es ist |w| =
√Einheitsvektor
p
√
*
3/
13
1
3
32 + (−2)2 = 13 und somit ist w0 = √13 ( −2 ) = −2/√13 .
*
Das Skalarprodukt zweier Vektoren u=
durch · : Rn × Rn → R,

 
v1
u1
 u2   v2

 
 ..  ·  ..
 .   .
vn
un
*
(u1 , . . . , un )T und v = (v1 , . . . , vn )T ist definiert



 = u1 v1 + · · · + un vn .

Achtung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt keinen Vektor, sondern eine relle Zahl.
Das Skalarprodukt ist beispielsweise bei der Berechnung von Winkel von Bedeutung, denn
es gilt:
*
*
Satz 5.3. Für den von zwei Vektoren v und u eingeschlossenen Winkel α gilt
*
cos α =
*
v ·u
*
*
| v |·| u |
.
*
*
Beweis: Nach dem Cosinussatz gilt für das von den Vektoren u und v aufgespannte
Dreieck, dass
*
*
*
*
*
*
| v − u |2 = | u |2 + | v |2 − 2| u | · | v | · cos α.
Gleichbedeutend damit ist offenbar
*
*
*
*
*
*
2| u | · | v | · cos α = | u |2 + | v |2 − | v − u |2 .
59
Nun gilt aber
*
| v |2 = v12 + v22 + . . . + vn2 ,
*
| u |2 = u21 + u22 + . . . + u2n ,
*
*
| v − u |2 = (v1 − u1 )2 + (v2 − u2 )2 + . . . + (vn − un )2 .
Damit erhalten wir
*
*
*
*
*
*
| u |2 + | v |2 − | v − u |2 = 2(v1 u1 + v2 u2 + . . . + vn un ) = 2 v · u .
Oben eingesetzt ergibt dies aber gerade
*
*
*
*
2| u || v | · cos α = 2 v · u .
Daraus folgt die Behauptung.
180◦ , welchen
* *
Bsp. 5.4. Man bestimme jenen Winkel 0 ≤ α ≤
die beiden Vektoren
√
*
*
*
−4
3
u= ( 7 ) und v = ( 5 ) miteinander einschließen. Es ist u · v = −12+35 = 23, | u | = 65,
√
*
| v | = 24 und damit
23
cos α = √
.
65 · 24
Damit erhalten wir α ≈ 54.39◦ .
*
*
*
Es sei u ein Vektor des Rn . Ein Normalvektor von u ist ein Vektor v des Rn , welcher
*
*
*
orthogonal zu u ist, d.h. u und v schließen miteinander einen Winkel von 90◦ ein.
*
*
Ist α ein Winkel zwischen u und v , so ist dies genau dann der Fall, wenn cos α = 0.
Daraus ergibt sich sofort das folgende Orthogonalitäts-Kriterium.
*
*
Satz 5.5. Zwei Vektoren u und v stehen genau dann orthogonal aufeinander, wenn
*
*
| u | · | v | = 0.
Im R2 kann man auf folgende Weise ganz leicht einen Normalvektor zu einem gegebenen
*
◦
Vektor bestimmen: Ist u= ( xy ), so ist ( −y
x ) der um 90 nach links gekippte Vektor und
y
◦
( −x ) der um 90 nach rechts gekippte Vektor.
Zwischen Punkten und Vektoren besteht eine enge Beziehung: Jedem Punkt P (p1 , . . . , pn )
entspricht in eindeutiger Weise sein Ortsvektor


p1
 p2 
*


P =  ..  ,
 . 
pn
*
also dem Vektor vom Ursprung zum Punkt P (oft wird dafür auch OP geschrieben).
60
*
Der Vektor von einem Punkt P zum Punkt Q wird mit P Q bezeichnet und durch
*
*
*
P Q=Q − P berechnet ( Spitze minus Schaft“). Dazu beachte man die äquivalente Be”
*
*
*
ziehung P + P Q=Q und ihre geometrische Interpretation:
Geraden
Durch zwei Punkte P und Q ist eine Gerade festgelegt. Alternativ dazu ist eine Gerade
*
*
auch durch einen Punkt P und eine Richtung r (etwa dem Vektor P Q) eindeutig bestimmt: Man gelangt zu jedem beliebigen Punkt auf der Geraden, wenn man zunächst zu
P geht und sich von dort aus nur weit genug in die vorgegebene Richtung (oder gegebenenfalls in die entgegengesetzte Richtung) bewegt. Damit kann man jede Gerade g im Rn
durch eine Gleichung der Gestalt
*
*
*
g : X =P +t· r , t ∈ R
*
beschreiben. Man nennt dann r einen Richtungsvektor der Geraden und t einen Parameter. Entsprechend heißt diese Art einer Geradengleichung Parameterdarstellung. Indem
man den Parameter alle möglichen Werte aus R durchlaufen lässt, erhält man jeden Punkt
*
*
auf der Geraden. Ist r ein Richtungsvektor von g, so ist auch jeder zu r parallele Vektor
ein Richtungsvektor der Geraden.
Auf diese Weise können Geraden im Rn beschrieben werden. Im R2 können Geraden
auch in anderer Form beschrieben werden, nämlich in der sogenannten Normalvektorform
(manchmal einfach als allgemeine Gleichung bezeichnet). Es sei P ein Punkt auf g und
*
n= (n1 , n2 )T ein Normalvektor von g (ein Vektor, welcher auf jeden Richtungsvektor von
61
*
g normal steht). Es liegt ein Punkt X genau dann auf g, wenn der Vektor P X parallel
*
*
zu g ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn P X normal auf n steht, d.h. die Menge
aller Punkte X = (x, y) auf g wird beschrieben durch die Gleichung
*
*
g : n · P X= 0,
oder gleichbedeutend
*
*
*
*
g : n · X=n · P ,
oder wiederum gleichbedeutend
g : n1 x + n2 y = n1 xP + n2 yP .
Man beachte, dass man diese Gleichung sofort in die dazu äquivalente altbekannte Form
y = kx + d, k, d ∈ R umformen kann.
*
Ist eine Gerade durch die Gleichung ax + by + d = 0 gegeben, so ist n= ( ab ) ein Normal*
vektor der Geraden. Ist n normiert (also ein Einheitsvektor), dann nennt man diese Form
der Geradengleichung die Hessesche Normalform von g.
In höheren Dimensionen (also im Rn für n ≥ 3) ist es nicht mehr möglich, Geraden
durch Gleichungen dieser Form zu beschreiben, denn allein durch einen Punkt und einen
Normalvektor ist dann die Lage der Geraden nicht mehr eindeutig bestimmt. Hingegen
werden allgemein durch Gleichungen dieser Gestalt sogenannte Hyperebenen (d.h. affine
Teilräume mit Dimension n − 1) des Rn beschrieben – und eine Gerade ist nichts anderes
als eine Hyperebene des R2 .
5.1
Vektorrechnung im R2 – ausgewählte Beispiele
Bsp. 5.6. Es seien die beiden Punkte A(1, 2) und B(3, −2) gegeben. Eine Gleichung der
dadurch festgelegten Geraden erhalten wir folgendermaßen.
*
Als Richtungsvektor eignet sich AB,
*
*
*
2
AB=B − A=
.
−4
Damit ist eine Parameterdarstellung von g
*
1
2
g : X=
+t·
.
2
−4
Wir könnten aber auch einen anderen Punkt und einen anderen, zum oben verwendeten
Richtungsvektor parallelen Vektor als Richtungsvektor verwenden. Somit ist zum Beispiel
62
auch
*
g : X=
3
−2
+s·
1
−2
eine Parameterdarstellung von g. Man beachte, dass es sinnvoll ist, bei verschiedenen
Parameterdarstellungen von (nicht unbedingt derselben) Geraden verschiedene Bezeichnungen für den Parameter zu verwenden, damit es zu keinen Verwechslungen kommt.
Durch die beiden Darstellungen wird zwar dieselbe Gerade beschrieben, aber für einen
festen Punkt ist der Wert des Parameters unterschiedlich, je nachdem welche Gleichung
man verwendet. So liegt zum Beispiel der Punkt R(2, 0) auf g, denn
1
2
2
1
.
=
+ ·
−4
0
2
2
Mit der anderen Gleichung entspricht dem Punkt ein anderer Wert des Parameters:
2
3
1
=
+ (−1) ·
.
0
−2
−2
Möchten wir überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt, etwa S(4, 1), so
überprüft man ob es einen Wert für s gibt, sodass die Gleichung für unseren Punkt gilt.
Es muss also gelten
I : 4 =3 + s,
II : 1 = − 2 − 2s.
Die erste Gleichung führt auf s = 2, die zweite auf einen anderen Wert, s = − 32 . Also gibt
es keinen Wert für s, sodass die S die Geradengleichung erfüllt. Somit liegt der Punkt
nicht auf der Geraden.
Bsp. 5.7. Die Gerade g ist durch die beiden Punkte A(−7, −3) und B(1, 5) festgelegt.
Man gebe jeweils eine Gleichung von g in Parameterdarstellung und in Normalvektorform
an.
63
*
Um einen möglichen Richtungsvektor von g zu bestimmen, berechnen wir zunächst AB=
8
1
( 15 ) − −7
−3 = ( 8 ) || ( 1 ). Damit ist
*
1
1
+t·
g : X=
5
1
eine Parameterdarstellung von g.
Um eine Gleichung in Normalvektorform von g zu erhalten, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Es sollen an dieser Stelle drei davon vorgestellt werden.
1
Eine Möglichkeit ist die folgende: da ( 11 ) ein Richtungsvektor von g ist, ist ( −1
) ein
* * * *
x
1
1
Normalvektor. Die Gleichung bestimmen wir aus n · X = n · A, also ( −1 )·( y ) = ( −1 )·( 15 ),
also
g : x − y = −4.
Alternativ dazu hätten wir auch einfach aus der Parameterdarstellung t eliminieren können:
Aus der Parameterdarstellung ergibt sich
I : x = 1 + t,
II : y = 5 + t.
Daraus erhält man x − y = 1 − 5, also wieder
g : x − y = −4.
*
Eine dritte Möglichkeit ist diese: aus dem Richtungsvektor r = ( 11 ) lesen wir die Steigung
k = 1 ab. Wir setzen für g die Gleichung y = kx + d an. Nachdem A(1, 5) ∈ g folgt
5 = 1 + d, also d = 4. Somit ergibt sich die Gleichung y = x + 4, oder gleichbedeutend in
Normalvektorform g : x − y = −4.
Bsp. 5.8. An der Geraden g : x + 4y = −2 ist der Punkt P (−4, −3) zu spiegeln.
Den Spiegelpunkt P 0 erhalten wir, indem wir durch P eine zu g normal verlaufende Gerade
*
h bestimmen, diese mit g schneiden und schließlich vom Schnittpunkt S den Vektor P S
64
4
abtragen. Die Gerade g hat den Normalvektor ( 14 ), also ist ( −1
) ein Normalvektor von h.
Damit erhalten wir eine Gleichung von h,
h : 4x − y = 4(−4) − (−3) = 13.
Als Schnittpunkt von g und h ergibt sich somit S( −54/17
). Damit ergibt sich für den
5/17
Spiegelpunkt
* *
*
*
*
2
1
−54
−4
−40
−2.35
0
P =S + P S= 2 S − P =
−
=
≈
.
5
−3
61
3.59
17
17
Bsp. 5.9. Von einem
√ Deltoid ABCD kennt man A(1, 1), C(13, −5) sowie die Länge der
Diagonale BD = 20. Der Schnittpunkt E der beiden Diagonalen teilt die Strecke AC
im Verhältnis 1:2. Man berechne die Eckpunkte B und D, sowie den Umfang u und den
Flächeninhalt F .
Wir berechnen zunächst den Diagonalenschnittpunkt E. Da E die Strecke AC im Verhältnis 1 : 2 teilt, ist AE = 13 AC. Daher ergibt sich
*
*
1 *
E =A + AC
3
1
1
13
1
=
+
−
1
−5
1
3
1
4
=
+
1
−2
5
=
.
−1
*
Es gilt
AC ||
2
−1
*
⇒ BD⊥
2
−1
*
⇒ BD ||
1
2
.
√
√
Wegen BD = 20√= 2 5 erhält
√ man die Eckpunkte B und D, indem man von
√
√ E aus einen
Vektor der Länge 5 = 1/2· 20 in Richtung ±( 12 ) abträgt. Wegen |( 12 )| = 22 + 12 = 5
hat der Vektor aber bereits die richtige Länge und wir berechnen
* *
5
1
6
1
=
+
=
,
D=E +
2
−1
2
1
* *
1
5
1
4
=
−
=
.
B =E −
2
−1
2
−3
2
(man beachte, dass der Vektor ( 12 ) der um 90◦ nach linksgekippte Vektor ( −1
) ist und
*
somit in Richtung BD zeigt). Damit haben wir die Eckpunkte B(4, −3) und D(6, 1) bestimmt.
65
*
Den Umfang berechnen wir, indem wir die Strecken AB und BC aus den Vektoren AB
*
und BC bestimmen:
*
*
√
4
1
3
AB=
−
=
⇒ AB = | AB | = 9 + 16 = 5,
−3
1
−4
*
*
√
√
13
4
9
BC=
−
=
⇒ BC = | BC | = 81 + 4 = 85.
−5
−3
−2
√
Damit erhalten wir U = 2 · (5 + 85) ≈ 28.4 für den Umfang. Für die Fläche F berechnen
wir
√
√
√
BD = 20, AC = 122 + 62 = 180
√
√
⇒ F = 20 · 180/2 = 30.
√
Bsp. 5.10. Ein Kreis mit Radius r = 13 hat im Punkt P (6, y) die Tangente tP :
3x + 2y = 20. Man bestimme den Mittelpunkt und die Gleichung des Kreises.
Zunächst bestimmen wir y aus der Tangentengleichung. Dabei erhalten wir y = 1, also
*
P (6, 1). Aus der Tangentengleichung lesen wir den Normalvektor nt = ( 32 ) ab. Es gilt
*
√
√
*
*
nt || M P und | nt | = 9 + 4 = 13. Als Mittelpunkt von k kommen somit zwei Punkte
infrage:
*
*
3
3
M1 =P −
=
,
2
−1
*
*
3
9
M2 =P +
=
.
2
3
Es gibt also zwei mögliche Kreise: Einen mit Mittelpunkt M1 (3, −1) und einen mit Mittelpunkt M2 (9, 3).
Wir geben die Kreisgleichung in der Form (x − xm )2 + (y − ym )2 = r2 an:
k1 : (x − 3)2 + (y + 1)2 = 13,
k2 : (x − 9)2 + (y − 3)2 = 13.
66
Man hätte die Kreise auch in etwas anderer Form beschreiben können. Tatsächlich ist die
Menge der Punkte auf dem Kreis gerade dadurch charakterisiert, dass sie alle denselben
Abstand vom Mittelpunkt haben, nämlich r. Also kann man auch schreiben
* k : M X = r,
x − xm = r,
oder gleichbedeutend k : y − ym oder gleichbedeutend
k : (x − xm )2 + (y − ym )2 = r2 .
Gegenseitige Lage von Geraden im R2
In der Ebene können zwei Geraden g und h die folgenden Lagebeziehungen aufweisen:
Sind die Geraden nicht parallel, so schneiden sie sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt
g ∩ h = {S}. Falls sie parallel sind, so sind sie entweder disjunkt parallel, d.h. sie haben
keine Punkte gemeinsam, oder sie sind identisch parallel, d.h. die beiden Geraden fallen
zusammen und haben somit unendlich viele gemeinsame Punkte.
4
3
Bsp. 5.11. Die Gerade g ist gegeben durch g : X =
+t·
, die Gerade
4
−4
h ist festgelegt durch die beiden Punkte A(2, 9) und B(0, 7). Man bestimme die gegen*
67
seitige Lage der beiden Geraden und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt und Schnittwinkel.
*
Wir bestimmen zunächst eine Gleichung von h. Um einen Richtungsvektor rh zu bestim*
1
*
men, berechnen wir AB= ( 07 ) − ( 29 ) = −2
−2 ||( 1 ) =:rh . Damit ist eine Gleichung von h
gegeben durch
*
2
1
h : X=
+s·
.
9
1
Die beiden Geraden sind nicht parallel, denn für ihre Richtungsvektoren gilt
3
1
6k
.
−4
1
Daher müssen sich die beiden Geraden schneiden. Den Schnittpunkt bestimmen wir, indem wir die beiden Geraden schneiden
4
3
2
1
g∩h:
+t·
=
+s·
⇔ I : 4 + 3t = 2 + s,
1
4
−4
9
II : 4 − 4t = 9 + s.
Daraus erhalten wir den richtigen Parameter für S: t = −1 (und s = 1). Es folgt
*
4
3
1
+ (−1) ·
=
,
S=
4
−4
8
also schneiden sich g und h im Punkt S(1, 8).
Den Schnittwinkel bestimmen wir als denjenigen Winkel, den die beiden Richtungsvektoren miteinander einschließen,
*
cos α =
*
rg · rh
*
*
| rg | · | rh |
=√
3
( −4
) · ( 11 )
1
√
=− √ .
9 + 16 1 + 1
5 2
Daraus erhalten wir den Schnittwinkel α ≈ 98.13◦ .
Der Komplementärwinkel α0 = 180◦ − α ≈ 86.87 kann ebenfalls als Schnittwinkel angesehen werden.
68
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Abstand eines Punktes von einer gegebenen Geraden zu bestimmen. Eine davon ist die folgende: Man stelle die Gleichung jener Geraden
auf, welche durch den Punkt verläuft und normal auf g steht. Man schneide die beiden
Geraden und berechne damit ihren Schnittpunkt S. Man berechne die Entfernung von P
und S, indem man den Betrag des Vektors P~S bestimmt.
Eine andere Möglichkeit ist folgende: Es sei Q irgend ein Punkt auf der Geraden g. Man
*
*
bestimme die Länge des Vektors P Q und den Winkel α, den P Q mit g einschließt. Den
Abstand d von P zu g kann man aus der Gleichung sin α = *d berechnen (man betrachte
|P Q|
dazu das rechtwinkelige Dreieck aus P , Q und dem Lotfußpunkt von P auf g).
Eine dritte Möglichkeit: Wir gehen davon aus, dass Q ein Punkt auf der Geraden g und
*
n0 ein Einheitsnormalvektor von g ist. Dann kann man zeigen, dass der Abstand von P
zu g gegeben ist durch
*
*
d = P Q · n0 .
Abstand zweier paralleler Geraden
Der Abstand zweier paralleler Geraden ist dasselbe wie der Abstand eines Punktes der ersten Gerade von der zweiten Gerade. Dementsprechend kann man den Abstand ermitteln.
Bsp. 5.12. Man berechne den Abstand der beiden Geraden
*
*
−2
1
0
−2
g : X=
+t·
h : X=
+s·
.
7
−1
9
2
Wie oben bereits angemerkt, gibt es mehrere Wege. Eine Möglichkeit ist folgende: Wir
bestimmen eine zu g und h normal liegende Gerade l, schneiden diese mit den zwei
Geraden und bestimmen den Abstand der beiden Schnittpunkte S1 und S2 voneinander.
1
Da ( −1
) parallel zu g und h liegt, liegt ( 11 ) normal dazu und kann als Richtungsvektor
für l verwendet werden. Als Startpunkt“ wählen wir einfach den Punkt (−2, 7), dann ist
”
dies auch gleich der Schnittpunkt S1 von l und g. Eine Gleichung von l ist also gegeben
durch
*
−2
1
l : X=
+λ·
.
7
1
69
Wir bestimmen S2 aus h ∩ l. Dazu lösen wir das Gleichungssystem
I : 0 − 2s = −2 + λ,
II : 9 + 2s = 7 + λ.
Es ergibt sich λ = 2 und somit
*
S2 =
−2
7
+2·
1
1
=
0
9
.
*
2
Aus S1 S2 = ( 09 ) − ( −2
7 ) = ( 2 ) erhalten wir für den Abstand d = S1 S2 =
√
√
22 + 22 = 2 2.
Alternativ dazu kann man zum Beispiel die oben beschriebene Abstandsformel verwenden.
Sie besagt, dass der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g gegeben ist durch
*
*
d = | P Q · n0 |,
wobei Q ein beliebiger Punkt auf g und n0 ein Einheitsnormalvektor (also ein Normalvektor mit Länge 1) ist. Wir berechnen den Abstand der beiden Geraden, indem wir den
Abstand des Punktes P (−2, 7) von der Geraden h (auf welcher der Punkt Q(0, 9) liegt)
*
damit bestimmen. Es ist n0 = √12 ( 11 ) und wir erhalten mit P Q= ( 22 ) wieder den Abstand
√
√
2
1
1
√ = |4 · 2| = 2 2.
d = ·
2
1
2
Merkwürdige Punkte im Dreieck
Hier sollen noch kurz verschiedene Geraden angesprochen werden, welche zur Bestimmung merkwürdiger Punkte im Dreieck Verwendung finden. Darunter fallen Inkreismittelpunkt (als Schnittpunkt der Winkelsymmetralen), Schwerpunkt (Schnittpunkt der Schwerelinien), Höhenschnittpunkt (Schnittpunkt der Höhenlinien) und Umkreismittelpunkt
(Schnittpunkt der Seitensymmetralen). Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt liegen auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden.
Winkelsymmetralen sind also von Bedeutung, um den Inkreismittelpunkt von Dreiecken
zu bestimmen. Den Richtungsvektor einer Winkelsymmetrale kann man einfach mithilfe
*
*
der Parallelogrammregel bestimmen: Sind u und v die beiden Vektoren, die den Win*
*
kel miteinander einschließen, so ist u0 + v0 ein Richtungsvektor der winkelhalbierenden
Geraden.
70
Bsp. 5.13. Vom Dreieck mit den Eckpunkten A(−4, −1), B(20, −1) und C(8, 8) sind die
Winkelsymmetralen und der Inkreismittelpunkt zu bestimmen.
Wir bestimmen zunächst die Vektoren
*
*
24
12
AB =
, AC=
,
0
9
*
BC=
−12
9
.
Wir bezeichnen mit wa die Winkelsymmetrale durch A, mit wb die Winkelsymmetrale
durch B und mit wc die Winkelsymmetrale durch C. Dann ist ein Richtungsvektor von wa
*
*
gegeben durch AB 0 + AC 0 , und analog für die beiden anderen Geraden. Damit erhalten
wir
1
1
1
1
*
24
12
27
3
12
1
+√
=
||
,
ra =
=
+
2
2
0
9
9
1
9
0
24
15
15
12 + 9
1
1
1
1
*
−24
−12
−1
−12
−27
−3
√
rb =
=
+
=
||
,
0
9
0
9
9
1
24
15
15
122 + 92
1
1
1
*
−12
12
0
0
rc = √
+√
=
||
.
−9
−1
15 −18
122 + 92
122 + 92 −9
Die Winkelsymmetralen beschreiben wir in Parameterdarstellung:
*
−4
3
wa : X =
+t·
,
−1
1
*
20
−3
wb : X =
+s·
,
−1
1
*
8
0
wc : X =
+u·
.
8
−1
Um den Inkreismittelpunkt zu bestimmen, müssen wir den Schnittpunkt der Winkelsymmetralen berechnen. Wir schneiden zum Beispiel wa und wb . Dazu lösen wir das
Gleichungssystem
I : −4 + 3t = 20 − 3s
II : −1 + t = −1 + s.
71
Daraus gewinnen wir den richtigen Parameter für den Schnittpunkt, nämlich t = 4, bzw.
s = 4, und der Schnittpunkt ist somit gegeben durch
*
−4
3
8
+4·
=
.
S=
−1
1
3
Der Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der Höhenlinien, also derjenigen Geraden,
welche normal auf eine Seite des Dreiecks stehen und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verlaufen.
Bsp. 5.14. Man bestimme den Höhenschnittpunkt des Dreiecks mit den Eckpunkten
A(−0.5, 0), B(2, 2.5) und C(0.5, 7).
Um den Höhenschnittpunkt H zu bestimmen, stellen wir zunächst die Geraden der Höhenlinien auf. Wir bezeichnen mit ha jene Gerade, welche normal auf die Seite a verläuft und
durch den Punkt A geht und analog für hb und hc . Dazu berechnen wir die Vektoren
*
*
−1.5
−1
BC =
||
=na ,
4.5
3
*
*
1
AC =
=nb ,
7
*
*
2.5
1
AB =
||
=nc .
2.5
1
Wir schreiben die Geraden in Form einer Gleichung. Damit erhalten wir die Geraden
ha : −x + 3y = 0.5 ,
hb : x + 7y = 2 + 7 · 2.5 = 19.5 ,
hc : x + y = 0.5 + 7 = 7.5 .
Den Höhenschnittpunkt erhalten wir, wenn wir zwei der Geraden miteinander schneiden
(die Wahl der beiden Geraden ist unwichtig, der Schnittpunkt ist derselbe). Wir berechnen
H indem wir ha und hb schneiden. Indem wir deren Gleichungen addieren erhalten wir
10y = 20, also y = 2. Damit ergibt sich x = 5.5 und somit die Lösung H(5.5, 2).
72
5.2
Vektorrechnung im R3
In diesem Abschnitt soll noch ein kleiner Überblick zum Rechnen mit Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum gegeben werden.
Geraden im R3
Geraden im R3 werden analog zum R2 (und wie auch in höheren Dimensionen) in Parameterdarstellung angegeben, also in der Form
*
*
*
X =P + t· r , t ∈ R.
Im Gegensatz zum R2 ist es nun nicht mehr möglich, Geraden in Normalvektorform zu
beschreiben, denn allein durch die Angabe eines Punktes und eines zur Geraden normal
liegenden Vektors ist die Gerade nicht mehr eindeutig festgelegt.
*
Dies führt uns zu folgender Beobachtung: Zu einem Vektor r ∈ R2 ist dessen Normalvektor
*
*
b ) für ein λ ∈ R.
eindeutig bis auf skalare Vielefache, d.h. ist r = ( ab ), so folgt n= λ · ( −a
*
Im R3 allerdings gibt es unendlich viele Möglichkeiten, wie ein zu r ∈ R3 normaler Vektor
liegen kann – nicht nur seine Länge, auch seine Richtung ist nicht mehr eindeutig. Allerdings sind alle seine Normalvektoren parallel zu einer gemeinsamen Ebene. Man könnte
auch sagen, je drei der Normalvektoren sind linear abhängig. Wir werden weiter unten
noch auf das Rechnen mit Ebenen zurückkommen.
Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum
Bevor wir uns weiter mit Normalvektoren auseinandersetzen, stellen wir fest, dass es neben
den drei Lagebeziehungen zweier Geraden, die wir schon aus dem R2 kennen (nämlich
schneidend, disjunkt parallel oder identisch) nun noch eine weitere Möglichkeit gibt, wie
zwei Geraden im Raum liegen können: nun können sie nämlich auch windschief sein. In
dieser Situation sind sie weder parallel, noch haben sie einen gemeinsamen Schnittpunkt
– sie führen in einem gewissen Abstand aneinander vorbei.
Wie im R2 überprüft man bei der Lagebestimmung zunächst auf Parallelität um je nach
Situation weiter vorzugehen. Sind beide Geraden parallel, so überprüft man noch, ob sie
identisch sind, indem man etwa nachrechnet, ob ein Punkt der einen Gerade auch auf
der anderen Gerade liegt. Falls die Geraden nicht parallel sind, so versucht man einen
gemeinsamen Schnittpunkt zu ermitteln. Je nachdem ob dies möglich ist, liegt entweder
die eine oder die andere Situation vor.
73
Bsp. 5.15. Es sind folgende zwei Geraden gegeben, welche auf ihre gegenseitige Lage hin
untersucht werden sollen:
 


 


1
1
6
−1
*
*
g : X =  2  + t ·  −1  , h : X =  5  + s ·  −1  .
0
1
7
0
Nachdem (1, −1, 1)T 6k (−1, −1, 0)T gilt, folgt, dass g und h nicht parallel sind. Folglich
sind sie entweder windschief, oder sie schneiden sich. Wir versuchen einen gemeinsamen
Schnittpunkt zu ermitteln. Dazu setzen wir
 

  


1
1
6
−1
 2  + t ·  −1  =  5  + s ·  −1  .
0
1
7
0
Daraus erhalten wir das Gleichungssystem
I: t+s=5
II : − t + s = 3
III : t = 7.
Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich s=4 und t=1. Dies steht offenbar im Widerspruch zur letzten Gleichung, also gibt es keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Somit
liegen die beiden Geraden windschief zueinander.
Kreuzprodukt
Wie wir gesehen haben, ist im R3 zu einem gegebenen Vektor die Lage eines Normalvektors
*
*
nicht mehr eindeutig bestimmt. Dies ändert sich, wenn wir zwei Vektoren u und v gegeben
haben, welche nicht parallel zueinander sind. In diesem Fall ist die Lage eines zu beiden
Vektoren orthogonalen Vektors wieder (bis auf skalare Vielfache) eindeutig festgelegt. So
einen Vektor kann man mit dem Kreuzprodukt bestimmen.
Def. 5.16. Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt oder inneres Produkt) zweier
Vektoren im R3 ist definiert mittels × : R3 × R3 → R3 ,

 
 

u1
v1
u2 v3 − u3 v2
 u2  ×  v2  =  −(u1 v3 − u3 v1 )  .
u3
v3
u1 v2 − u2 v1
Insbesondere zwei Eigenschaften des vektoriellen Produkts sind sehr nützlich, wenn man
mit Vektoren im R3 rechnet:
*
*
*
*
1. u × v steht im rechten Winkel sowohl auf u als auch auf v .
*
*
*
*
2. | u × v | ist gleich der Fläche des von u und v aufgespannten Parallelogramms.
74
Ersteres ist zum Beispiel nützlich, um einen Normalvektor einer Ebene zu bestimmen.
Die zweite Eigenschaft kann man bei der Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken
verwenden:
*
*
Sind P, Q, R die Eckpunkte des Dreiecks, so gilt A = 12 | P Q × P R |.
Ebenen im R3
Durch drei Punkte im Raum ist (sofern sie nicht auf einer Geraden liegen) nicht nur ein
Dreieck, sondern auch dessen Trägerebene festgelegt. Im Sinne der linearen Algebra ist
eine Ebene des R3 ein zweidimensionaler affiner Teilraum des R3 (allgemeiner ist eine
Hyperebene des Rn ein (n − 1)-dimensionaler affiner Teilraum des Rn ). Salopp gesagt,
ist also eine Ebene des R3 eine unendlich ausgedehnte nichtgekrümmte Fläche im Raum,
sozusagen das zweidimensionale Analogon einer Geraden.
Eine Ebene ist beispielsweise festgelegt durch...
• ...drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen.
• ...ein Punkt und zwei Richtungsvektoren der Ebene, welche nicht parallel sind.
• ...einen Punkt und einen Normalvektor der Ebene.
• ...zwei parallele Geraden.
• ...zwei schneidende Geraden.
Analog zur Beschreibung von Geraden im R2 können Ebenen im R3 in Parameterdarstellung oder in Normalvektorform beschrieben werden:
Ebenengleichung in Parameterdarstellung. Um eine Gleichung einer Ebene in Parameterform angeben zu können, benötigt man einen Punkt P der Ebene sowie zwei nicht
*
*
parallele (man könnte auch sagen, zwei linear unabhängige) Richtungsvektoren r1 und r2 .
Darunter versteht man (wie wir es schon von den Geraden kennen) Vektoren, welche parallel zu der Ebene liegen. Um von einem Punkt der Ebene zu jedem anderen zu gelangen,
75
reicht es nicht aus, nur in eine Richtung vor und zurück gehen zu können – man muss sich
auch nach links und rechts“ bewegen können. Daher sind für Ebenen zwei (nichtparallele)
”
Richtungsvektoren notwendig. Die Ebene kann dann in der folgenden Form beschrieben
werden.
* *
*
*
E : X =P +t· r1 +s· r2 , s, t ∈ R.
*
Als Richtungsvektoren eignen sich alle Vektoren AB mit A, B ∈ E.
Ebenengleichung in Normalvektorform. Wie bei Geradengleichungen im R2 sind die
Punkte einer Ebene dadurch charakterisiert, dass der Verbindungsvektor von einem festen
gegebenen Punkt P der Ebene zu ihnen stets im rechten Winkel auf den (jeden) Normalvektor der Ebene steht. Damit kann man auf die selbe Weise, wie bereits für Geraden im
*
R2 bekannt, die Gleichung für Ebenen in Normalvektorform begründen; ist n ein Normalvektor der Ebene (d.h. ein Vektor, der im rechten Winkel auf jeden Richtungsvektor
von E liegt), so ist eine Gleichung der Ebene gegeben durch
*
bzw.
*
*
*
E : n · X=n · P
E : n1 x + n2 y + n3 z = d, wobei d = n1 xp + n2 yp + n3 zp .
Umgekehrt kann man aus so einer Gleichung wiederum einen Normalvektor der Ebene
aus den Koeffizienten ablesen.
Die folgende Graphik verdeutlicht beide Sichtweisen (links für die Parameterdarstellung,
rechts für Normalvektorform).
Bsp. 5.17. Es seien die Punkte A(0, 2, 3), B(4, 4, 3) und C(6, 2, 5) gegeben. Man stelle –
falls möglich – eine Gleichung der durch A, B, C festgelegten Ebene (a) in Parameterdarstellung bzw. (b) in Normalvektorform auf. Liegt der Punkt P (1, 1, 1) auf der Ebene?
*
*
(a) Wir bestimmen zunächst die beiden Vektoren AB und AC.
       
4
0
4
2
*
*
AB=  4  −  2  =  2  k  1  =: r1 ,
3
3
0
0

      
6
0
6
3
*
*
AC=  2  −  2  =  0  k  0  =: r2 .
5
3
2
1
76
*
*
Weil AB6kAC ist, liegen A, B, C nicht auf einer gemeinsamen Geraden und sie legen somit
*
*
eine Trägerebene fest. Offenbar sind dann auch r1 und r2 parallel zur Ebene und es
* *
gilt r1 6kr2 , also können wir die beiden Vektoren als Richtungsvektoren verwenden. Eine
Gleichung der Ebene ist somit
 
 
 
0
2
3
*
E : X=  2  + t ·  1  + s ·  0  .
3
0
1
Der Punkt P liegt genau dann auf
  
1
 1 =
1
der Ebene, wenn es s und t gibt, sodass

 
 
0
2
3




2
1
0 .
+ t·
+s·
3
0
1
Aus den ersten beiden Zeilen ergibt sich t = −1 und s = 1. Wenn P ∈ E ist, muss auch
die Gleichung aus der letzten Zeile mit denselben Parameterwerten erfüllt sein. Doch es
ist 1 6= 3 + 1 = 4. Also liegt P nicht auf der Ebene.
(b) Wir bestimmen einen Normalvektor der Ebene, indem wir das Kreuzprodukt der
beiden in (a) bestimmten Richtungsvektoren berechnen (offenbar muss ein Normalvektor
der Ebene auf alle Richtungsvektoren der Ebene normal stehen).
    

2
3
1
*
*
*
r1 × r2 =  1  ×  0  =  −2  =: n .
0
1
−3
*
*
*
*
*
*
Damit erhalten wir aus der Gleichung n · X = n · A und aus n · A= 1·0−2·2−3·3 = −13
die Gleichung
E : x − 2y − 3z = −13.
Wir überprüfen wieder, ob P auf der Ebene liegt, indem wir seine Koordinaten in die
Ebenengleichung einsetzen. Es sist aber 1 − 2 − 3 6= −13, also liegt P nicht auf E.
Lagebeziehungen einer Geraden und einer Ebene
Eine Geraden g und eine Ebene E können im R3 die folgenden Lagebeziehungen aufweisen:
entweder sie sind disjunkt parallel, die Gerade liegt vollständig in der Ebene oder aber
die Gerade und die Ebene schneiden sich in genau einem gemeinsamen Schnittpunkt.
77
Die Vorgehensweise zur Bestimmung der gegenseitigen Lage ist wieder dieselbe wie bisher. Zunächst untersucht man, ob Gerade und Ebene parallel sind. Dies kann man zum
Beispiel machen, indem man überprüft, ob ein Normalvektor der Ebene normal auf den
Richtungsvektor der Geraden steht. Ist dies der Fall, so schaut man für einen Punkt der
Geraden, ob er auch ein Punkt der Ebene ist, um zu unterscheiden ob g ⊂ E gilt oder
nicht. Falls Gerade und Ebene disjunkt parallel sind, kann man noch den Abstand der
Geraden von der Ebene bestimmen, indem man den Abstand eines Punktes der Geraden
von der Ebene ausrechnet (siehe weiter unten).
Falls keine Parallelität vorliegt, so müssen sich die Objekte in genau einem Punkt schneiden. In dem Fall kann man noch den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel ausrechnen.
Den Schnittwinkel α (wir verstehen darunter in weiterer Folge stets denjenigen Schnittwinkel α mit 0 ≤ α ≤ 90◦ ) kann man folgendermaßen berechnen. Man bestimmt zunächst den
Winkel β, den die Gerade mit einem Normalvektor der Ebene einschließt. Der gesuchte
Schnittwinkel ist dann die Ergänzung dieses Winkels auf 90◦ .
Bsp. 5.18. Es seien die Gerade g und die Ebene E gegeben durch


 
2
6
*
g : X =  0  + t ·  2  , E : 3x + 12y − 4z = −4.
−5
3
Wir zeigen, dass sich g und E schneiden und bestimmen den gemeinsamen Schnittpunkt
S sowie den Schnittwinkel α (0 < α ≤ 90◦ ).
*
Zunächst stellen wir fest, dass ein Normalvektor nE der Ebene und ein Richtungsvektor
*
rg der Geraden gegeben sind durch


 
3
6
*
*
nE =  12  , rg =  2  .
−4
3
Wären die Ebene und die Gerade parallel oder würde die Gerade gar in der Ebene liegen,
*
*
so müsste nE ⊥ rg gelten. Also berechnen wir das Skalarprodukt

  
3
6
*
*
nE · rg =  12  ·  2  = 30 6= 0.
−4
3
78
Nachdem die beiden Vektoren nicht normal aufeinander stehen, schneiden sich E und g
in (genau) einem Punkt S.
Wir berechnen S, indem wir die beiden Objekte schneiden. Dazu lesen wir aus der Gleichung von g ab, dass x = 2+6t, y = 2t und z = −5+3t. Durch Einsetzen in die Gleichung
von E erhalten wir
3(2 + 6t) + 12(2t) − 4(−5 + 3t) = −4.
Es ergibt sich t = −1. Mit diesem Parameterwert berechnen wir


  

2
6
−4
*
S =  0  + (−1) ·  2  =  −2  .
−5
3
−8
Den Schnittwinkel berechnen wir, indem wir zunächst den Winkel β berechnen, den die
Gerade g mit dem Normalvektor der Ebene einschließt. Der gesuchte Schnittwinkel α
ergibt sich dann als Ergänzung auf 90◦ .
  

6
3
 2  ·  12 
*
*
3
−4
30
rg · nE
√
=√
= .
cos β = *
*
91
36 + 4 + 9 · 9 + 144 + 16
| rg | · | nE |
Daraus erhalten wir β = cos−1 (30/91) ≈ 70.75◦ und somit α = 90 − β ≈ 19.25◦ .
Abstand eines Punktes zu einer Geraden oder einer Ebene
Im R3 kann man den Abstand d eines Punktes P von einer gegebenen Geraden g zum Beispiel folgendermaßen berechnen: Man wählt irgendeinen Punkt A auf der Geraden. Dann
*
gilt offenbar für den von AP und der Gerade eingeschlossenen Winkel α, dass sin α =
Somit folgt
d
*
|AP |
.
*
d = | AP | · sin α.
Um den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E zu berechnen, kann man zum
Beispiel folgendermaßen vorgehen. Man bestimmt eine Gerade g durch P , welche normal
auf E verläuft. Diese schneidet man mit der Gerade und erhält deren Schnittpunkt S.
*
Der gesuchte Abstand ist dann d = | P S |.
79
Eine andere Möglichkeit ist es, die Formel
*
*
d = | AP · n0 |
zu verwenden, wobei A ein beliebiger Punkt auf der Ebene und n0 ein Einheitsnormalvektor von E ist.
Bsp. 5.19. Die Eckpunkte des Tetraeders ABCD haben die Koordinaten A(1, 2, 1),
B(7, 10, 1), C(−3, 6, 3) und D(2, 3, 9). Man berechne die Höhe h auf die Grundfläche
ABC und das Volumen V des Tetraeders.
Wir berechnen zunächst die Vektoren

    
7
1
6
*





10
2
8 ,
AB=
−
=
1
1
0

   

−3
1
−4
*
AC=  6  −  2  =  4  .
3
1
2
Um die Abstandsformel verwenden zu können, berechnen wir einen Einheitsnormalvektor
80
*
n0 der Trägerebene von ABC. Dazu bilden wir zunächst das Kreuzprodukt
  
 

6
−4
16
*
n=  8  ×  4  =  −12  .
0
2
56
Damit ist ein Einheitsnormalvektor der Ebene








16
16
16
4
1
1
1 
1
*
· −12  = √
· −12  = √
· −12  = √
· −3  .
n0 = √
162 + 122 + 562
3536
4
221
221
56
56
56
14
Die gesuchte Höhe entspricht dem Abstand von D von der Ebene E durch ABC. Damit
berechnen wir
  

1
4
*
1
113
1
*
| = |(4−3+8·14)· √
|= √
.
h = d(D, E) = | AD · n0 | = |  1  ·  −3  · √
221
221
221
8
14
Das Volumen berechnen wir mittels V = G·h
, wobei G die Grundfläche, also der Flächen3
inhalt des Dreiecks ABC ist. Diese können wir mittels
*
*
1
G = · | AB × AC |
2
bestimmen. Damit ergibt sich also
1 √
G = · 162 + 122 + 562
2
1 √
= · 3563
2
1 √
= · 221 · 16
2√
= 2 221.
Das Volumen berechnet sich demnach aus
√
2 · 221 · 113
226
G·h
√
=
=
.
V =
3
3
3 · 221
Lagebeziehungen zweier Ebenen
Analog zur Situation zweier Geraden im R2 sind die möglichen Lagebeziehungen zweier
Ebenen im R3 wieder die, dass die Ebenen disjunkt parallel oder identisch parallel liegen
können, oder aber dass sie sich in einer gemeinsamen Geraden schneiden.
81
Um zu überprüfen, ob einer der beiden Parallelitäts-Fälle vorliegt, kann man etwa die
Normalvektoren der beiden Ebenen betrachten. Sind diese parallel, so sind es auch die
Ebenen. In dem Fall kann man wieder deren gegenseitigen Abstand dadurch berechnen,
dass man den Abstand eines Punktes der einen Ebene von der anderen ermittelt.
Falls die Ebenen nicht parallel sind, so kann man noch die gemeinsame Schnittgerade
bestimmen.
Bsp. 5.20. Gegeben sind die beiden Ebenen


 


−2
0
−1
*
E1 : X =  0  + t ·  4  + s ·  −2 
7
3
1
E2 : −10x + 3y − 4z = −8.
Wir bestimmen einen Normalvektor der ersten Ebene, indem wir das Kreuzprodukt der
beiden Richtungsvektoren berechnen,
  
 

0
−1
10
*
n1 =  4  ×  −2  =  −3  .
3
1
4
Einen Normalvektor der anderen Ebene lesen wir einfach aus der Gleichung ab,


−10
*
3 .
n2 = 
−4
Offenbar sind die beiden Normalvektoren parallel, also sind es auch die Ebenen. Wir
überprüfen, ob der Punkt P (−2, 0, 7) auf E2 liegt,
−10 · (−2) + 3 · 0 − 4 · 7 = −8.
Dies ist also der Fall. Also sind die beiden Ebenen identisch.
Bsp. 5.21. Gegeben sind die beiden Ebenen E1 : 4x−3y+5z = 8 und E2 : 2x+3y+z = 4.
Der Vergleich der beiden Normalvektoren ergibt sofort, dass E1 und E2 nicht parallel sind,
denn aus


 
4
2
 −3  = t ·  3 
5
1
82
würde sich in jeder Koordinate ein anderer Wert für t ergeben. Somit schneiden sich die
Ebenen in einer gemeinsamen Schnittgerade.
Um diese zu bestimmen, können wir folgendes machen: Wir setzen eine der Variablen
gleich dem Parameter s, sagen wir z = s. Damit erhalten wir aus den beiden Ebenengleichungen
I : 4x + 3y = 8 − 5s,
II : 2x + 3y = 4 − s.
Es folgt x = 2 − s und y = 31 s. Damit erhalten wir die Schnittgerade
  
  


x
2−s
2
−1
*
g : X =  y  =  s/3  =  0  + s ·  1/3  .
z
s
0
1
Hier sei zuletzt noch angemerkt, dass man bei dieser Methode zur Bestimmung der
Schnittgeraden folgendes beachten muss: Kommt eine der Variablen in beiden Ebenengleichungen nicht vor (wir gehen hier davon aus, dass beide Ebenen in Form einer allgemeinen
Gleichung vorliegen), so muss man den Parameter gerade dieser Variablen gleichsetzen
(warum?). Es kann aber nicht sein, dass in zwei Variablen in beiden Gleichungen nicht
vorkommen, denn dann wären die Ebenen parallel.
Aufgaben
*
*
*
*
*
*
1
5
1. Es sei a= ( −3
) und b = ( −1
7 ). Berechnen Sie a −3· b , 3 · b , | a | und den Winkel
α, den die beiden Vektoren miteinander einschließen.
2. Überprüfen Sie, ob es sich bei den Punkten A(−2, 1), B(1, −0.5), C(2.5, 2.5) um
Eckpunkte eines Quadrates handeln kann. Wenn ja, bestimmen Sie den vierten
Eckpunkt D.
3. Stellen Sie die folgenden Geraden in Parameterdarstellung dar:
(a) 3x − y = 5,
(b) 3x = 9.
*
6
4. Gegeben ist g : X = ( −4
0 ) + t · ( 1 ). Bestimmen Sie eine Gleichung von g in Normalvektorform.
5. Geben Sie eine Gleichung jener Geraden an, welche durch den Punkt P (1, 1) geht
und eine Steigung von 60◦ aufweist.
83
6. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (3, 5) von der Geraden
*
3
−3
g : X=
+t·
.
−4
−2
*
7. Man zeige, dass die beiden Geraden g : 3x − 5y = −7 und h : X = ( 12 ) + t · ( 53 )
identisch sind.
*
8. Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von g : X = ( 12 ) + t · ( 34 ) und h : 4x − 3y = 12.
*
8
9. Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g : X = ( −3
6 ) + t · ( −5 ) und
h : 4x+10y = 31 und berechnen Sie gegebenenfalls Schnittpunkt und Schnittwinkel
bzw. im Falle der Parallelität den Abstand der Geraden.
10. Die
√ Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ABC mit der Spitze C(4, 9) hat die Länge
4 5 und liegt auf der Geraden x − 2y = 1. Man berechne A und B.
11. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(0, 0), B(3, 0) und C(1, 4). Geben Sie eine Darstellung der Seitensymmetralen des Dreiecks an und ermitteln Sie die Koordinaten
des Umkreismittelpunktes sowie den Radius dem Umkreises.
12. Legen die Punkte A(3, 2, −1), B(0, 0, 0) und C(4, 2, 5) eine eindeutige Ebene fest?
Geben Sie eine Parameterdarstellung sowie eine Gleichung in Normalvektorform der
Trägerebene von ABC an.
13. Prüfen Sie, ob der Punkt P (2, 1, 4) auf der Ebene E liegt, wobei
 


 
1
1
0
*





0
−1
1 .
E : X=
+t·
+s·
2
0
1
14. Geben Sie die Schnittpunkte A, B, C der Ebene E : 7x − 4y + 4z = 8 mit den
Koordinaten-Achsen an und zeichnen Sie das Dreieck ABC in einem Koordinatensystem.
15. Spiegeln Sie den Punkt P (5, 1, 7) an der Ebene E : 4x + y = 38.
16. Geben Sie eine zur
√ Ebene E : 2x − 7y + z = 12 parallele Gerade g an, welche von
E den Abstand 216 hat.
17. Geben Sie eine zur Ebene E : 5x − 6z = 28 normale Gerade g an, welche durch den
Punkt P (2, −9, 0) verläuft.
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