Technische Universität Berlin Sommersemester 08 Fakultät II

Technische Universität Berlin
Fakultät II – Institut für Mathematik
Prof. V. Mehrmann
Dr. C. Schröder
Sommersemester 08
12. Übungsblatt zur VL “Einführung in die Numerik”
1. Aufgabe (1 Punkt)
(Nur ein Kästchen ankreuzen. Richtige Wahl: 1 Punkt, sonst 0 Punkte.)
Enthalte M(2, l, m) die Null und die Menge der normierten Maschienenzahlen mit lstelliger vorzeichenbehafteter Mantisse und m-stelligem vorzeichenbehaftetem Exponenten, jeweils zur Basis 2. Die Anzahl verschiedener Zahlen in M(2, l, m) ist
¤ 2l (2m − 1) + 1, ¤ 2l−1 (2m − 1) + 1, ¤ 2l (2m+1 − 1) + 1, ¤ 2l−1 (2m+1 − 1) + 1.
2. Aufgabe (2 Punkte)
(Jedes Kästchen mit W für wahr oder F für falsch ausfüllen. Richtige Wahl: 1/4 Punkt, falsche
Wahl: -1/4 Punkt, leer: 0 Punkte.)
M(2, l, m) is abgeschlossen bezüglich folgender Operationen (mit a, b ∈ M(2, l, m))
¤ a + b,
¤ a − b,
¤ a · b,
¤ min(a, b),
¤ halbieren: a/2,
¤ negieren: −a,
¤ invertieren: 1/a,
¤ Betrag bilden: |a|
3. Aufgabe (7 Punkte)
(Jedes Kästchen mit W für wahr oder F für falsch ausfüllen. Richtige Wahl: 1 Punkt, falsche
Wahl: -1 Punkt, leer: 0 Punkte.)
a) ¤ Sei a < b ∈ R und f : (a, b) → R 2mal stetig differenzierbar. Sei g : (a, b) × R+ →
R, g(x, h) = (f (x + h) − f (x))/h. Dann gibt es eine (von f abhängige) Konstante M so
dass |f 0 (x) − g(x, h)| ≤ M h2 für alle x ∈ (a, b − h) gilt.
b)R¤ Seien die Polynome
R 1 R y Ck (x), k = 0, 1, 2, . . . rekursiv definiert durch C0 (x) = 1806, Ck (x) =
x
k 0 Ck−1 (t)dt − k 0 0 Ck−1 (t)dtdy für k ≥ 1. Dann gilt Ck (0) = Ck (1) für k ≥ 2.
c) ¤ Wenn der Rückwärtsfehler klein ist, dann ist das Problem gut konditioniert.
d) ¤ Es gelten die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes. Dann ist die aposteriori-Abschätzung für den absoluten Abstand einer Fixpunktiterierten zum Fixpunkt immer kleiner oder gleich der a-priori-Abschätzung.
e) ¤ Für das Auswerten des durch die Wertepaare (x0 , f0 ) und (x1 , f1 ) definierten Interpolationspolynoms an einer dritten Stelle x̂ brauchte der Neville-Aitken-Algorithmus 2
Flops mehr als mittels Newton-Interpolation und Horner-Schema.
f) ¤ Sei A ∈ Rn,n eine symmetrisch positiv definite Matrix. Dann gibt es eine untere
Dreiecksmatrix L mit nur negativen Diagonalelementen, so dass gilt A = LLT .
g) ¤ Bei Benutzung der Fast Fourier Transform können die Koeffizienten eines interpolierenden trigonometrischen Polynoms schneller berechnet werden, als die Koeffizienten
eines interpolierenden periodischen Splines.
Abgabe: Anfang der Übung am 18. Juli
Bitte auf den Abgaben Vorname, Nachname, Matrikelnummer und Studiengang aller
Gruppenmitglieder vermerken. Diese Daten werden für den Schein benötigt.
Mögliche Übungsthemen
1. Erläutere den Begriff Kondition eines Problems. Was bedeutet das speziell bei
linearen Gleichungssystemen? Wie wirkt sich eine schlechte Kondition auf die Genauigkeit des Ergebnisses aus?
2. Erläutere den Gaußschen Eliminationsalgorithmus. Wozu macht man partielle Pivotisierung und wie wirkt sich das auf die Genauigkeit des Ergebnisses aus?
3. Erläutere die Grundidee des Cholesky-Algorithmus. Muss man hier pivotisieren?
Wenn nein, wie sehen die Fehlerschranken aus?
4. Erläutere die QR-Zerlegung. Welche Varianten gibt es und wie unterscheiden sie
sich? Was sind Vorteile/Nachteile gegenüber Gaußelimination?
5. Erläutere die Grundidee iterativer Verfahren für lineare Gleichungssysteme. Wann
liegt Konvergenz vor? Gibt es Situationen, in denen iterative Verfahren den direkten
vorzuziehen sind?
6. Beschreibe das Newton-Verfahren. Was weiß man über Konvergenz? Was ist der
grundsätzliche Unterschied beim modifizierten Newton-Verfahren und wie wirkt
sich das auf die Konvergenz aus?
7. Erläutere den Begriff Lagrange-Interpolation. Wie kann man die Interpolierende
in der Praxis berechnen? Welche Vorteile/Nachteile hat die Polynominterpolation
und was kann man dagegen machen?
8. Erkläre die Idee der trigonometrischen Interpolation. Wie kann man die Koeffizienten effizient berechnen? Wo ist der Unterschied zu Fourierreihen/Fourierpolynomen?
9. Beschreibe die Spline-Interpolation. Wie kann man die kubische Spline-Interpolierende
berechnen? Wo liegt der wesentliche Unterschied zur Polynominterpolation und was
weiß man über die Approximationseigenschaften?
10. Beschreibe die Grundidee der numerischen Integration. Wie unterscheiden sich Integration mit Hilfe von Polynomen gegenüber stückweise Polynomen. Wie kann
man die Qualität der Approximation verbessern?
11. Erläutere die Grundidee von Runge-Kutta-Verfahren. Was versteht man unter Konsistenzordnung? Welche Vorteile bringt eine hohe Konsistenzordnung mit sich?
Viel Erfolg in den Prüfungen und eine schöne vorlesungsfreie Zeit.