¨Ubungsaufgaben – Blatt 2

Algorithmik für schwere Probleme
Departement Informatik
Prof. Dr. Juraj Hromkovič
Dr. Hans-Joachim Böckenhauer
Dr. Richard Královič
http://www.ita.inf.ethz.ch/alscpr17
Übungsaufgaben – Blatt 2
Zürich, 28. Februar 2017
Aufgabe 2
Finden Sie ein stark N P-schweres Problem, für das es ein FPTAS gibt.
Hinweis: Als stark N P-schwere Probleme haben wir die Probleme definiert, die auch dann
N P-schwer bleiben, wenn in der Eingabe nur Zahlen polynomieller Grösse vorkommen.
Allerdings gibt es keine Einschränkung bezüglich der Kosten einer optimalen Lösung.
Zweiter Hinweis: In der Vorlesung wurde gezeigt, dass das TSP N P-schwer bleibt, wenn
die Kantenkosten auf 1 und 2 beschränkt werden.
10 Punkte
Aufgabe 3
Das einfache Knapsack-Problem besteht darin, eine Menge von Gegenständen mit den
Gewichten w1 , w2 , . . . , wn so in einen Rucksack mit der Kapazität b zu packen, dass er
bestmöglich gefüllt ist. Formal definiert ist es wie folgt:
Eingabe: x = (b, w1 , w2 , . . . , wn ) ∈ Nn+1
Zulässige Lösungen: M((b, w1 , w2 , . . . , wn )) = {T ⊆ {1, 2, . . . , n} |
P
i∈T
Kosten: Für jedes T ∈ M sind die Kosten cost(T, (b, w1 , w2 , . . . , wn )) =
wi ≤ b}
P
i∈T
wi
Ziel: Maximierung.
Konstruieren Sie für das einfache Knapsack-Problem einen Greedy-Algorithmus Alg
und analysieren Sie, wie gut die Lösung des Algorithmus Alg(x) im ungünstigsten Fall
ist, indem Sie den Quotienten cost(Opt(x))/cost(Alg(x)) aus den Kosten der optimalen
und der berechneten Lösung abschätzen. Geben sie eine Beispielinstanz an, für die Alg
eine entsprechend schlechte Lösung berechnet.
10 Punkte
Abgabe: Bis Dienstag, den 7. März 2017, nach der Vorlesung.