Numerische Simulation von Streuprozessen

Numerische Simulation von Streuprozessen
Bertram Bitsch und Moritz Nadler
Fakultät für Mathematik und Physik
Universität Tübingen
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 1/30
Überblick
● Gliederung
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Überblick
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 2/30
Gliederung
Überblick
● Gliederung
n
Streuung und Streuphasen
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 3/30
Gliederung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
n
Berechnung der Streuphase
● Gliederung
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 3/30
Gliederung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
n
Berechnung der Streuphase
n
Born’sche Näherung
● Gliederung
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 3/30
Gliederung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
n
Berechnung der Streuphase
n
Born’sche Näherung
n
Streuquerschnitt
● Gliederung
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 3/30
Überblick
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
Streuung und Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 4/30
Anschauliche Beschreibung
Überblick
n
Streuung : Aufschluss über Aufbau der Materie
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 5/30
Anschauliche Beschreibung
Überblick
n
Streuung : Aufschluss über Aufbau der Materie
n
Einlaufende Wellenfunktion wird am Potential gestreut
⇒ Überlagerung aus gestreuter und ungestreuter Wellenfunktion
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 5/30
Anschauliche Beschreibung
Überblick
n
Streuung : Aufschluss über Aufbau der Materie
n
Einlaufende Wellenfunktion wird am Potential gestreut
⇒ Überlagerung aus gestreuter und ungestreuter Wellenfunktion
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 5/30
Mathematische Beschreibung
Überblick
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
n
Einlaufende Welle:
φ~k (~r) = e
i~k0~r
0
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 6/30
Mathematische Beschreibung
Überblick
n
φ~k (~r) = e
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Einlaufende Welle:
i~k0~r
0
n
Ansatz führt zur Lösung des Problems durch stationäre
Schrödinger Gleichung.
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 6/30
Mathematische Beschreibung
Überblick
n
Einlaufende Welle:
φ~k (~r) = e
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
0
n
Ansatz führt zur Lösung des Problems durch stationäre
Schrödinger Gleichung.
n
Wellenfunktion nach der Streuung:
⇒ Überlagerung aus einlaufender und auslaufender Welle:
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
eikr
ψ~k = φ~k (~r) + f~k (θ )
0
0
0
r
Rückblick
n
Streuamplitude:
m
f~k (θ ) = −
0
2π h̄2
28. April 2006
i~k0~r
Z
3 0
d x e
−i~kStreu~x0
V (~x)ψ~k (~x0 )
0
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 6/30
Streuquerschnitt
Überblick
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
n
Differentieller Streuquerschnitt:
dN(Ω)
dσ
=
dΩ Nein dΩ
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 7/30
Streuquerschnitt
Überblick
n
Differentieller Streuquerschnitt:
Streuung und Streuphasen
dN(Ω)
dσ
=
dΩ Nein dΩ
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
n
Born’sche Näherung
Zahl der einfallenden Teilchen:
Z
Nein =
Streuquerschnitt
Rückblick
n
h̄k0
m
dt|ψ0 (~xQuelle ,t)|2
Zahl der ins Winkelelement dΩ gestreuten Teilchen:
Z ∞
h̄k0
dN(Ω) = | f~k (Ω)| dΩ
0
m
2
28. April 2006
−∞
ˆ
dt |ψ0 (~k0 r,t)|2
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 7/30
Streuquerschnitt
Überblick
n
Differentieller Streuquerschnitt:
Streuung und Streuphasen
dN(Ω)
dσ
=
dΩ Nein dΩ
● Anschauliche Beschreibung
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
n
Born’sche Näherung
Zahl der einfallenden Teilchen:
Z
Nein =
Streuquerschnitt
Rückblick
n
h̄k0
m
dt|ψ0 (~xQuelle ,t)|2
Zahl der ins Winkelelement dΩ gestreuten Teilchen:
Z ∞
h̄k0
dN(Ω) = | f~k (Ω)| dΩ
0
m
2
dσ
= | f~k (θ , ϕ )|2
⇒
0
dΩ
28. April 2006
⇒
−∞
ˆ
dt |ψ0 (~k0 r,t)|2
σ=
Z
dΩ | f~k (θ , ϕ )|2
0
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 7/30
Streuamplitude
Überblick
n
Entwicklung der Streuamplitude nach Kugelfunktionen
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
fk (θ , ϕ ) = f k (θ ) =
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
n
∞
∑ (2l + 1) fl Pl (cos θ )
l=0
Partialwellenamplituden
e2iδl − 1 eiδl sin δl
=
fl =
2ik
k
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 8/30
Streuamplitude
Überblick
n
Entwicklung der Streuamplitude nach Kugelfunktionen
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
fk (θ , ϕ ) = f k (θ ) =
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
n
∞
∑ (2l + 1) fl Pl (cos θ )
l=0
Partialwellenamplituden
Born’sche Näherung
e2iδl − 1 eiδl sin δl
=
fl =
2ik
k
Streuquerschnitt
Rückblick
n
Streuamplitude
1 ∞
fk (θ ) = ∑ (2l + 1)eiδl sin δl Pl (cos θ )
k l=0
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 8/30
Streuamplitude
Überblick
n
Entwicklung der Streuamplitude nach Kugelfunktionen
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
fk (θ , ϕ ) = f k (θ ) =
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
n
∞
∑ (2l + 1) fl Pl (cos θ )
l=0
Partialwellenamplituden
Born’sche Näherung
e2iδl − 1 eiδl sin δl
=
fl =
2ik
k
Streuquerschnitt
Rückblick
n
Streuamplitude
1 ∞
fk (θ ) = ∑ (2l + 1)eiδl sin δl Pl (cos θ )
k l=0
⇒
28. April 2006
1 ∞
dσ
= 2 ∑(2l +1)(2l 0 +1)ei(δl −δl 0 ) sin δl sin δl 0 Pl (cos θ )Pl 0 (cos θ 0 )
dΩ k l,l 0
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 8/30
Anschauliche Betrachtung der Streuphase
Überblick
Streuung und Streuphasen
● Anschauliche Beschreibung
n
Streuphase δl : Phasendifferenz zwischen gestreuter und
ungestreuter Welle
● Mathematische Beschreibung
● Streuquerschnitt
● Streuamplitude
● Streuphase
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 9/30
Überblick
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 10/30
Numerische Anpassung
Überblick
Streuung und Streuphasen
n
Einlaufende Welle: E > 0
⇒ Kontinuum an Energien
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 11/30
Numerische Anpassung
Überblick
n
Einlaufende Welle: E > 0
⇒ Kontinuum an Energien
n
Numerisch: Anpassung an Box mit endlichem R = 20 fm
⇒ nur diskrete Energien möglich!
⇒ Eigenenergien E~k des Hamilton Operators
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 11/30
Numerische Anpassung
Überblick
n
Einlaufende Welle: E > 0
⇒ Kontinuum an Energien
n
Numerisch: Anpassung an Box mit endlichem R = 20 fm
⇒ nur diskrete Energien möglich!
⇒ Eigenenergien E~k des Hamilton Operators
n
Einlaufende Welle entspricht der ungestreuten Welle
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 11/30
Numerische Anpassung
Überblick
n
Einlaufende Welle: E > 0
⇒ Kontinuum an Energien
n
Numerisch: Anpassung an Box mit endlichem R = 20 fm
⇒ nur diskrete Energien möglich!
⇒ Eigenenergien E~k des Hamilton Operators
n
Einlaufende Welle entspricht der ungestreuten Welle
n
Darstellung des Radialteils durch sphärische Besselfunktionen j l
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
1
l=0
l=1
l=2
Rückblick
0.8
0.6
y
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
28. April 2006
0
2
4
6
8
10
12
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 11/30
Streuung am Wood Saxon Potential
Überblick
n
Wood-Saxon-Potential:
Streuung und Streuphasen
V (r) =
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
mit
u
u
u
V0
r−r0
1 + exp a0
Potentialtiefe: V0 = −40 MeV
Radius: r0 = 3 fm
Oberflächendicke: a0 = 0.5 fm
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 12/30
Streuung am Wood Saxon Potential
Überblick
n
Wood-Saxon-Potential:
Streuung und Streuphasen
V (r) =
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
mit
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
u
Born’sche Näherung
u
Streuquerschnitt
u
Rückblick
n
28. April 2006
V0
r−r0
1 + exp a0
Potentialtiefe: V0 = −40 MeV
Radius: r0 = 3 fm
Oberflächendicke: a0 = 0.5 fm
Wood-Saxon-Potential zusätzlich zu Box
⇒ Eigenfunktionen des Gesamtpotentials entsprechen der
gestreuten Wellenfunktion
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 12/30
Veranschaulichung des Potentials
Überblick
Wood Saxon Potential mit Wellenfunktion
0.5
Wood Saxon Potential
Wellenfunktion
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
0
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
-0.5
Streuquerschnitt
Rückblick
-1
-1.5
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
r
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 13/30
Berechnung der Streuphase
Überblick
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
n
Ungestreute Wellenfunktion (wegen Box):
ψungestreut (r = R) = jl (kil R) = 0
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 14/30
Berechnung der Streuphase
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
ψungestreut (r = R) = jl (kil R) = 0
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Ungestreute Wellenfunktion (wegen Box):
n
Durch Vergleich der Argumente der Wellenfunktionen bei r = R
errechnet sich die Phasendifferenz δl
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 14/30
Berechnung der Streuphase
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
ψungestreut (r = R) = jl (kil R) = 0
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
n
Durch Vergleich der Argumente der Wellenfunktionen bei r = R
errechnet sich die Phasendifferenz δl
n
Beispiel für l = 0:
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
Ungestreute Wellenfunktion (wegen Box):
sin(kR + δl ) = sin(|{z}
α )=0
=nπ
⇒ δl = nπ − kR
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 14/30
Berechnung der Streuphase
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
ψungestreut (r = R) = jl (kil R) = 0
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
n
Durch Vergleich der Argumente der Wellenfunktionen bei r = R
errechnet sich die Phasendifferenz δl
n
Beispiel für l = 0:
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Born’sche Näherung
Ungestreute Wellenfunktion (wegen Box):
Streuquerschnitt
sin(kR + δl ) = sin(|{z}
α )=0
Rückblick
=nπ
⇒ δl = nπ − kR
n
28. April 2006
Für l > 0: α entspricht dem Abstand der Nullstellen der
zugehörigen Besselfunktion
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 14/30
Abhängigkeit der Streuphase von R
Streuphase in Abhängigkeit der Energie für l = 0 und sich änderndes R
Überblick
4
R = 15
R = 20
R = 30
R = 50
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
3.5
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
3
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
Streuphase δl
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
2.5
2
1.5
1
0.5
0
50
100
150
200
250
Energie
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 15/30
Abhängigkeit der Streuphase von l
Streuphase in Abhängigkeit der Energie für das Wood Saxon Potential
Überblick
4
l=0
l=1
l=2
l=3
l=5
Streuung und Streuphasen
3.5
Berechnung der Streuphasen
● Numerische Anpassung
● Streuung
● Veranschaulichung
● Berechnung der Streuphase
3
● Abhägigkeit von R
● Abhängigkeit von l
Streuquerschnitt
Rückblick
2.5
Streuphase δl
Born’sche Näherung
2
1.5
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
600
Energie
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 16/30
Überblick
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
Born’sche Näherung
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 17/30
Herleitung der Born’schen Näherung
Überblick
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
n
Für die Streuamplitude gilt:
Z
m
3 0 −i~k0~x0
0
0
fk (θ ) = −
d
x
e
V
(r
)
ψ
(~
x
)
~
k
2
2π h̄
Z
2m ∞
= − 2 ∑ (2l + 1)Pl (cos θ ) dr r2V (r) jl (kr)Rl (r)
h̄ l=0
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 18/30
Herleitung der Born’schen Näherung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
m
3 0 −i~k0~x0
0
0
fk (θ ) = −
d
x
e
V
(r
)
ψ
(~
x
)
~
k
2
2π h̄
Z
2m ∞
= − 2 ∑ (2l + 1)Pl (cos θ ) dr r2V (r) jl (kr)Rl (r)
h̄ l=0
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
Für die Streuamplitude gilt:
Z
n
Durch Vergleich folgt für die Partialwellenamplitude:
Z
fl = −
28. April 2006
2m
h̄2
dr r2V (r) jl (kr)Rl (r)
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 18/30
Herleitung der Born’schen Näherung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
m
3 0 −i~k0~x0
0
0
fk (θ ) = −
d
x
e
V
(r
)
ψ
(~
x
)
~
k
2
2π h̄
Z
2m ∞
= − 2 ∑ (2l + 1)Pl (cos θ ) dr r2V (r) jl (kr)Rl (r)
h̄ l=0
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Für die Streuamplitude gilt:
Z
n
Rückblick
Durch Vergleich folgt für die Partialwellenamplitude:
Z
fl = −
n
28. April 2006
2m
h̄2
dr r2V (r) jl (kr)Rl (r)
Für schwaches Potential:
Rl ≈ jl (kr) und δl ≈ k fl
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 18/30
Herleitung der Born’schen Näherung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
m
3 0 −i~k0~x0
0
0
fk (θ ) = −
d
x
e
V
(r
)
ψ
(~
x
)
~
k
2
2π h̄
Z
2m ∞
= − 2 ∑ (2l + 1)Pl (cos θ ) dr r2V (r) jl (kr)Rl (r)
h̄ l=0
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Für die Streuamplitude gilt:
Z
n
Rückblick
Durch Vergleich folgt für die Partialwellenamplitude:
Z
fl = −
2m
h̄2
n
Für schwaches Potential:
Rl ≈ jl (kr) und δl ≈ k fl
n
Born’sche Näherung:
2mk
δl = − 2
h̄
28. April 2006
dr r2V (r) jl (kr)Rl (r)
Z ∞
0
dr r2V (r)[ jl (kr)]2
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 18/30
Gültigkeit der Born’schen Näherung
Überblick
Streuung und Streuphasen
n
δl ≈ k fl gültig, wenn ψgestreut ≈ ψungestreut
⇒ nur gültig für schwache Potentiale
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 19/30
Gültigkeit der Born’schen Näherung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
δl ≈ k fl gültig, wenn ψgestreut ≈ ψungestreut
⇒ nur gültig für schwache Potentiale
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
n
Realisierung von schwachen Potentialen:
u kleine Potentialetiefe, d.h. kleines V0
u großer Drehimpuls l , d.h. großer Abstand vom Potential
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 19/30
Gültigkeit der Born’schen Näherung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
δl ≈ k fl gültig, wenn ψgestreut ≈ ψungestreut
⇒ nur gültig für schwache Potentiale
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
n
Realisierung von schwachen Potentialen:
u kleine Potentialetiefe, d.h. kleines V0
u großer Drehimpuls l , d.h. großer Abstand vom Potential
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 19/30
Gültigkeit der Born’schen Näherung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
δl ≈ k fl gültig, wenn ψgestreut ≈ ψungestreut
⇒ nur gültig für schwache Potentiale
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
n
Realisierung von schwachen Potentialen:
u kleine Potentialetiefe, d.h. kleines V0
u großer Drehimpuls l , d.h. großer Abstand vom Potential
n
Vorteil: keine Berechnung der Lösung des Hamiltons notwendig
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 19/30
Born’sche Näherung vs. exakter Lösung
Vergleich Bornsche Näherung mit exakter Streuphase für V = −4 und l = 0
Überblick
0.8
Born
Streuphase
Streuung und Streuphasen
0.7
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
0.6
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
0.5
Streuphase δl
● Vergleich
● Vergleich
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Energie
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 20/30
Born’sche Näherung vs. exakter Lösung
Vergleich Bornsche Näherung mit exakter Streuphase für V = −40 und l = 0
Überblick
6
Born
Streuphase
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
5
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
4
Streuphase δl
● Vergleich
● Vergleich
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Energie
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 21/30
Born’sche Näherung vs. exakter Lösung
Vergleich Bornsche Näherung mit exakter Streuphase für V = −100 und l = 0
Überblick
14
Born
Streuphase
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
12
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
10
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
Streuphase δl
● Vergleich
● Vergleich
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Energie
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 22/30
Born’sche Näherung vs. exakter Lösung
Vergleich Bornsche Näherung mit exakter Streuphase für V = −40 und l = 5
Überblick
0.8
Born
Streuphase
Streuung und Streuphasen
0.7
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
● Herleitung
● Gültigkeit
0.6
● Vergleich
● Vergleich
Streuquerschnitt
Rückblick
0.5
Streuphase δl
● Vergleich
● Vergleich
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
Energie
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 23/30
Überblick
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
● Mathematische Betrachtung
Differentieller Streuquerschnitt
● Abhängigkeit vom Drehimpuls
● Abhängigkeit von der Energie
● Abhängigkeit von der Energie
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 24/30
Mathematische Betrachtung
Überblick
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
● Mathematische Betrachtung
● Abhängigkeit vom Drehimpuls
● Abhängigkeit von der Energie
● Abhängigkeit von der Energie
n
Differentieller Streuquerschnitt:
dN(Ω)
dσ
=
dΩ Nein dΩ
1 ∞
dσ
= 2 ∑(2l + 1)(2l 0 + 1)ei(δl −δl 0 ) sin δl sin δl 0 Pl (cos θ )Pl 0 (cos θ 0 )
dΩ k l,l 0
Rückblick
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 25/30
Mathematische Betrachtung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
Differentieller Streuquerschnitt:
dN(Ω)
dσ
=
dΩ Nein dΩ
1 ∞
dσ
= 2 ∑(2l + 1)(2l 0 + 1)ei(δl −δl 0 ) sin δl sin δl 0 Pl (cos θ )Pl 0 (cos θ 0 )
dΩ k l,l 0
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
● Mathematische Betrachtung
● Abhängigkeit vom Drehimpuls
● Abhängigkeit von der Energie
● Abhängigkeit von der Energie
Rückblick
n
Totaler Streuquerschnitt
Z
σ=
n
28. April 2006
4π
dσ
= 2
dΩ
dΩ
k
∞
∑(2l + 1) sin2 δl
l
Klassisch: Fläche des Streuobjekts
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 25/30
Abhängigkeit vom Drehimpuls
Differentieller Wirkungsquerschnitt für E = 10, verschiedene l
Überblick
90
l=1
l=2
l=3
l=4
l=5
Streuung und Streuphasen
80
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
70
Streuquerschnitt
● Mathematische Betrachtung
● Abhängigkeit vom Drehimpuls
● Abhängigkeit von der Energie
60
Rückblick
dσ/dΩ
● Abhängigkeit von der Energie
50
40
30
20
10
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Streuwinkel θ
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 26/30
Abhängigkeit von der Energie
Differentieller Wirkungsquerschnitt für E = 5, lmax = 4
Überblick
140
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
120
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
100
● Mathematische Betrachtung
● Abhängigkeit vom Drehimpuls
● Abhängigkeit von der Energie
● Abhängigkeit von der Energie
80
dσ/dΩ
Rückblick
60
40
20
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Streuwinkel θ
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 27/30
Abhängigkeit von der Energie
Differentieller Wirkungsquerschnitt für E = 15, lmax = 6
Überblick
120
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
100
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
● Mathematische Betrachtung
● Abhängigkeit vom Drehimpuls
● Abhängigkeit von der Energie
80
Rückblick
dσ/dΩ
● Abhängigkeit von der Energie
60
40
20
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Streuwinkel θ
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 28/30
Überblick
Streuung und Streuphasen
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
Rückblick
● Zusammenfassung
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 29/30
Zusammenfassung
Überblick
Streuung und Streuphasen
n
Streuung: Darstellung durch Überlagerung aus gestreuter und
ungestreuter Wellenfunktion
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
Rückblick
● Zusammenfassung
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 30/30
Zusammenfassung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
Streuung: Darstellung durch Überlagerung aus gestreuter und
ungestreuter Wellenfunktion
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
Streuquerschnitt
n
Es existiert eine Phasendifferenz δl zwischen gestreuter und
ungestreuter Welle
Rückblick
● Zusammenfassung
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 30/30
Zusammenfassung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
Streuung: Darstellung durch Überlagerung aus gestreuter und
ungestreuter Wellenfunktion
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
n
Streuquerschnitt
Rückblick
● Zusammenfassung
28. April 2006
n
Es existiert eine Phasendifferenz δl zwischen gestreuter und
ungestreuter Welle
dσ
Durch Streuphase δl kann messbare Größe dΩ
berechnet
werden.
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 30/30
Zusammenfassung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
Streuung: Darstellung durch Überlagerung aus gestreuter und
ungestreuter Wellenfunktion
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
n
Streuquerschnitt
Rückblick
● Zusammenfassung
n
n
28. April 2006
Es existiert eine Phasendifferenz δl zwischen gestreuter und
ungestreuter Welle
dσ
Durch Streuphase δl kann messbare Größe dΩ
berechnet
werden.
Zwei Arten der Berechnung von δl :
u Direkte Bestimmung nach Lösung des Hamiltons
u Bornsche Näherung
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 30/30
Zusammenfassung
Überblick
n
Streuung und Streuphasen
Streuung: Darstellung durch Überlagerung aus gestreuter und
ungestreuter Wellenfunktion
Berechnung der Streuphasen
Born’sche Näherung
n
Streuquerschnitt
Rückblick
● Zusammenfassung
n
n
Es existiert eine Phasendifferenz δl zwischen gestreuter und
ungestreuter Welle
dσ
Durch Streuphase δl kann messbare Größe dΩ
berechnet
werden.
Zwei Arten der Berechnung von δl :
u Direkte Bestimmung nach Lösung des Hamiltons
u Bornsche Näherung
E NDE
28. April 2006
Bertram Bitsch & Moritz Nadler - p. 30/30