Mathematik und Logik

Mathematik und Logik
WS 2002/03, Vorlesungsklausur
2003-01-28
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MatNr:
1. Ist jede Äquivalenzrelation eine Ordnungsrelation?
Nein, denn eine Äquivalenzrelation muß nicht antisymmetrisch sein. Bsp: {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
2. Welche Relation auf {1, 2, 3} ist sowohl Äquivalenz- als auch Ordnungsrelation?
Die Diagonale, also {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
3. Warum sind Partitionen und Äquivalenzklassen dasselbe?
Ausgehend von einer Äquivalenzrelation bildet das System aller Äquivalenzklassen eine Partition,
aus der die ursprüngliche Relation auf natürliche Weise wiedergewonnen werden kann.
4. Was ist der Unterschied zwischen einer Eliminations- und einer Einführungsregel?
Eine logische Aussage, die einen bestimmten logischen Operator enthält, läßt sich mit Hilfe der
zugehörigen Einführungsregel beweisen. Die zugehörige Eliminationsregel verwendet die Tatsache,
daß so eine Aussage bewiesen wurde.
Auch andere Antworten, wie der Hinweis auf den Zusammenhang mit Konstruktoren/Selektoren
oder daß der betroffene logische Operator ober/unter dem Strich steht, wurden üblicherweise als
richtig gewertet.
5. Warum ist (B, ∨, F, ¬, ∧, T ) kein Ring?
Das ¬ ist kein Inverses. a ∨ ¬a = T , sollte aber gleich dem neutralen Element, also = F sein.
Daß es kein neutrales Element gäbe, ist hier definitiv falsch.
6. Mit welcher Verknüpfung bilden die Funktionen auf einer beliebigen Menge ein Monoid?
Mit der Hintereinanderausführung von Funktionen. Die identische Funktion ist das neutrale Element.
7. Finden Sie zwei Äquivalenzrelationen, deren Vereinigung keine Äquivalenzrelation mehr ist.
Die Vereinigung von {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} und {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)} ist keine
Äquivalenzrelation, weil sie z.B. (2, 3) nicht beinhaltet, weshalb die Transitivität verletzt ist.
8. Wie hängt das Beweisen mit Wahrheitstafeln mit dem Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten
zusammen?
Das Beweisen mit Wahrheitstafeln funktioniert gerade deshalb, weil jede Aussage als wahr oder
falsch angenommen wird, was gerade das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten ist.
9. Wie kann man multiplikative Inverse im Körper (Z5 , ⊕5 , 0, 5 , 1,
−1
) finden?
Mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus.
Weil 5 eine doch recht kleien Zahl ist, kann man hier auch einfach probieren, welche der Zahlen
zwischen 1 und 4 beim Multiplizieren modulo 5 das neutrale Element 1 ergibt.
10. Sei A der öffentliche und A−1 der geheime Schlüssel von Alice, und B bzw. B −1 der öffentliche/geheime Schlüssel von Bob. Alice möchte eine Nachricht x an Bob schicken, sodaß sich
Bob sicher sein kann, daß nicht Carol die Nachricht geschickt hat. Welche Nachricht muß
Alice schicken, wie kann kann sie Bob lesen, und warum kann er sich sicher sein, daß sie von
Alice stammt?
Alice muß die Nachricht A−1 (x) an Bob schicken. Dieser kann dann einfach durch Anwenden von
A lesen. Da zur Erzeugnung von A−1 (x) der geheime Schlüssel von Alice notwendig ist, muss die
Nachricht wohl von ihr stammen.
11. Bilden die natürlichen Zahlen, zusammen mit der Teilbarkeitsrelation einen Verband?
Ja, denn die Teilbarkeitsrelation ist eine Ordungsrelation und je zwei Elemente haben stets ein
Minimum (ggT,gcd) und ein Maximum (kgV,lcm).
12. Was hat die Konjunktion von Aussagen mit dem direkten Produkt von Mengen zu tun?
Der Beweis einer Konjunktion A ∧ B ist eine eine Paar von Beweisen, einem für A und einem für
B. Auch die Elemente von A × B sind Paare von Elementen aus A bzw B.
13. Was bedeutet die Wohldefiniertheit von Funktionen?
Gleiche Elemente müssen auf gleiche Elemente abgebildet werden.
14. Wozu dient eine Basis?
Nach Fixieren einer Basis kann man Vektoren mit Zahlenpaaren oder -listen identifizieren und daher
damit effektiv rechnen.
15. Wie hängen Induktion und Rekursion zusammen?
Aussagen über rekursiv definierte Mengen werden prinzipiell mit Induktion bewiesen.
Oder: Das Beweisschema einer Induktion ist rekursiv, etc.
16. Zwischen welchen Monoiden ist map ein Homomorphismus?
map : (A → A, ◦, idA ) → (A∗ → A∗ , ◦, id∗
A ) ist wegen Satz 4.2.7 ein Homomorphismus.
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