Aufgabe 8 (Public-Key-Schlüsselpaare). Gegeben sind die beiden

Aufgabe 8 (Public-Key-Schlüsselpaare).
Gegeben sind die beiden Primzahlen p = 13, q = 7.
(i) Der erste Teil der Aufgabe ist nun, d so zu bestimmen, dass ed mod TF(n) = 1 ist (hier für
vorgegebenes e, es kann auch sein, dass e selbst gewählt werden muß).
Vollziehen Sie den Ablauf des Algorithmus für die Eingaben 77 und TF(91) systematisch
nach und bestimmen sie so d. Verwenden Sie hierzu die vorgegebene Tabelle.
RELEVANT. Die Tabelle sollten Sie ausfüllen können (also dem Ablauf des Extended Euclid
folgen können!)
(ii) Ihre zweite Aufgabe ist es, m = 11 zunächst mit (e, n) zu verschlüsseln und dann mit
(d, n) zu entschlüsseln.
NICHT RELEVANT.
Aufgabe 9 (Mengenalgebraische Operationen).
Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6}.
1. Bestimmen Sie A ∪ B, A ∪ C, B ∪ B.
2. Bestimmen Sie A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, B ∩ B.
3. Bestimmen Sie A − B, C − A, A − C, B − C, B − B.
4. Bestimmen Sie schrittweise (also zuerst die jeweilige Menge in den Klammern)
(A ∪ B) ∪ C, A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∩ C).
5. Bestimmen Sie schrittweise
(A ∪ B ∪ C) − (A ∪ B) und
((A ∪ B ∪ C) − A) ∩ ((A ∪ B ∪ C) − B)
NICHT UNMITTELBAR RELEVANT (sollte man aber natürlich können!)
Aufgabe 10 (Einfache mengenalgebraische Aussagen).
1. Beweisen oder widerlegen Sie: (A ∩ B) ⊆ A ⊆ (A ∪ B)
2. Beweisen oder widerlegen Sie: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
3. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind (das Gleiche bedeuten).
(a) A ⊆ B
(b) A ∩ B = A
(c) A ∪ B = B
1
Vorgehensweise: Um eine Äquivalenz (Symbol: ⇔, manchmal auch andere Zeichen,
z.B. ≡) zu zeigen, z.B. die zwischen der ersten und der zweiten Aussage, müssen sie
zwei Richtungen untersuchen: zunächst zeigen Sie, dass aus der ersten Aussage die
zweite Aussage folgt (Implikation, Symbol ⇒) und dann, dass aus der zweiten Aussage
die erste folgt, also (a) ⇒ (b) und (b) ⇒ (a). Zusammen folgt daraus dann (a) ⇔ (b).
Um nun zu zeigen, dass drei Aussagen jeweils zu einander äquivalent sind, also dass
(a) ⇔ (b), (a) ⇔ (c) und (b) ⇔ (c), bzw. die 6 dem entsprechenden Implikationen
gelten, genügt es natürlich zu zeigen, dass (a) ⇔ (b) und (b) ⇔ (c) gelten. Das ist
klar, denn wegen der ersten Äquivalenz (die uns erlaubt, (a) mit (b) semantisch gleichzusetzen) gilt mit dem Beweis der zweiten natürlich auch, dass (a) zu (c) äquivalent ist.
Genau untersuchen werden wir dies im Rahmen der Logik.
Es gibt noch eine weitere Variante, die logisch gleichbedeutend ist. Man kann auch
einen geschlossenen Kreis von Implikationen beweisen, z.B. den folgenden: (a) ⇒ (b),
(b) ⇒ (c), (c) ⇒ (a). Auch diesen Beweisweg können Sie wählen.
Im Prinzip RELEVANT, aber mit KLASSENKALKÜL LÖSEN (s. Blatt 9). Schauen sie sich
hier auch noch mal die Erläuterung dazu an, wie man mit Äquivalenzen von mehreren Ausdrücken umgeht (also Paare bilden oder Ketten von Implikationen)
Aufgabe 11 (Einfache mengenalgebraische Aussagen).
Seien a, b, c, d Mengen und a, b ⊆ d. Zeigen (=Beweisen) sie die folgenden Aussagen:
1. (a ∩ ac ) = ∅
2. (a ∪ b)c = ac ∩ bc
3. (a ∪ b) ∩ c = (a ∩ c) ∪ (b ∩ c)
Im Prinzip RELEVANT, lösen mit KLASSENKALKÜL (s. Blatt 9).
Aufgabe 12 (Beispiele für Potenzmengen).
Bestimmen Sie die Potenzmengen von ∅, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {∅}. Zählen Sie jeweils die
Elemente der Potenzmengen.
Aufgabe 13 (Anzahl von Elementen in endlichen Potenzmengen).
Wieviele Elemente hat P({1, 2, . . . , n}), n ∈ N, n ≥ 1?
Beide RELEVANT für Ankreuzfragen.
2
Aufgabe 14 (Relationale Datenbanken). Zur Vorbereitung unseres nächsten Exkurses recherchieren Sie bitte und beantworten die folgende Frage: Was sind relationale Datenbanken?
Nur in dem Sinne relevant, dass auch Fragen zu relationaler Algebra vorkommen können (und
ihnen das hier ein Rahmen bietet)
Aufgabe 15 (Quantoren, Vorbereitung auf Logik).
Schauen Sie sich auf Seite 34 die dort vorgestellten Elemente einer “Logik-Sprache” noch einmal an. Interessant sind insbesondere die sogenannten Quantoren ∀ (für alle) und ∃ (es existiert
ein). Versuchen Sie, die Informationen aus der Aufgabe 6 von Blatt 1 mit dieser Logiksprache
zu formalisieren, also die Sätze “Alle Marsianer haben grüne Haare” und “Es existiert kein
Marsianer, der nicht grüne Haare hat” und die Information “Es gibt keine Marsianer”. Hierzu
brauchen Sie auch noch den Nicht-Operator ¬, der Sätze, Prädikate und Quantoren negieren
kann.
NICHT RELEVANT.
Aufgabe 16. Zeigen Sie, dass mit der Definition für geordnete Paare aus der Vorlesung für
alle Objekte a, b, c, d gilt: (a, b) = (c, d) gdw. a = c und b = d.
NICHT UNMITTELBAR (als Beweisaufgabe) RELEVANT – aber natürlich muß man wissen,
was geordnete Paare sind und wie sie definiert werden.
Aufgabe 17. Sei A eine Menge. Weiter sei P ⊆ P(A) eine Zerlegung von A, d.h. es gelte:
1. ∅ 6∈ P
S
2. P = A
3. P ∩ Q = ∅ für alle P, Q ∈ P mit P 6= Q
Zudem ist eine Relation ∼ wie folgt definiert: Für a, b ∈ A gilt (a, b) ∈ ∼ (bzw. a ∼ b in
Infixschreibweise) genau dann, wenn ein P ∈ P existiert mit a, b ∈ P .
Zeigen Sie: ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf A und es gilt A/∼ = P.
Um einen Einstieg in die Aufgabe zu finden, beantworten Sie zunächst die folgenden Fragen:
1. Bilden Sie zwei Zerlegungen der Menge {1, 2, 3, 4, 5} (Hinweise: Welche Eigenschaften hat eine Zerlegung? Das ist natürlich Inhalt der obigen Definition: eine Zerlegung ist
ein Mengensystem, ihre Elemente sind nicht-leere Teilmengen von A, die zusammengenommen A ergeben und jeweils paarweise überschneidungsfrei (=disjunkt) sind, also A
vollständig in voneinander getrennte Teile zerlegen.)
3
2. Wieviele Zerlegungen der Menge {1, 2, 3, 4} kann man bilden?
Als Beweisaufgabe nicht relevant. RELEVANT aber als ANKREUZAUFGABE zu den Begriffen Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse, Zerlegung.
Aufgabe 18 (Einfache Eigenschaften von Funktionen).
Zeigen Sie: Ist f : A → B injektiv, so ist f : A → rng(f ) bijektiv.
RELEVANT als Typ “Beweisaufgabe” (finden sie ähnliche Fragestellungen im Skript?)
Aufgabe 19 (Umkehrfunktion).
1. Geben Sie die Umkehrfunktion f −1 zu f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} an.
2. Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion an, zu der keine Umkehrfunktion existiert.
RELEVANT als ANKREUZAUFGABE zu Umkehrfunktion. Auswahl weiterer relevanter Begriffe: Funktion, Funktion von ... nach, injektiv, surjektiv, bijektiv, Einschränkung, Identität,
Verkettung, Fortsetzung, Potenzmenge, Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse, Zerlegung . . .
Aufgabe 20 (Verkettung und Einschränkung).
Seien f : A → B und g : B → C Funktionen und sei h = g ◦ f .
Zeigen Sie: Ist g| rng(f ) surjektiv nach C, so ist h surjektiv nach C.
RELEVANT als Typ “Beweisaufgabe” – finden sie im Skript ähnliche Fragestellungen?
Aufgabe 21 (Mengen und Funktionen).
Es folgt eine Aufgabe aus der letzten Klausur. Gegeben sind die folgenden Mengen:
A = {a, b, c, d}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 10}
C = {d, e, f }
JA oder NEIN? (Sie können hier die richtige Antwort ankreuzen und diese dann auf
ihren Lösungszettel übertragen)
1. JA oder NEIN :
R1 = {(a, 1), (b, 3), (c, 5), (d, 7)} ist eine bijektive Funktion von A nach B.
2. JA oder NEIN :
R2 = R1 ∪ {(e, 10), (f, 9)} ist eine surjektive Funktion von A ∪ C nach B.
4
3. JA oder NEIN :
R3 = R2 |C ist eine umkehrbare Funktion.
4. JA oder NEIN :
rng(R1−1 ◦ R2 ) = A.
5. JA oder NEIN :
Sei f eine injektive Funktion. Dann ist f −1 eine bijektive Funktion von dom(f −1 ) nach
dom(f ).
6. JA oder NEIN :
P = {{1, 10, 9}, {3, 5}, {1, 7, 9}, ∅} ist eine Zerlegung von B.
7. JA oder NEIN :
R4 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c), (d, d)} ist eine Äquivalenzrelation auf A und {a, b, c} und {d} sind die Äquivalenzklassen.
8. JA oder NEIN :
{{1, {2}}, {1}, {{2}}, ∅} ist die Potenzmenge der Menge {1, {2}}.
9. JA oder NEIN :
Jede surjektive Funktion von A nach B, die umkehrbar ist, ist bijektiv von A nach B.
10. JA oder NEIN :
Jede surjektive Funktion, die umkehrbar ist, ist bijektiv.
RELEVANT.
Wichtig: Mögliche Ankreuzfragen zur Einführungsveranstaltung über Gödel, Turing etc. finden sie auf der letzten Seite! (ist Funktion xyz berechenbar, ist Problem yyy entscheidbar,
...)
Aufgabe 22. Sei |A| ≤ |B| und |B| ≤ |C|. Zeigen Sie: Dann gilt |A| ≤ |C|.
Hinweis: Denken Sie an die Definition von ≤ für den Größenvergleich von Mengen (Def. 29)!
Was müssen wir zeigen? Was wissen wir? Denken Sie auch an die Definition der Verkettung
von Funktionen (Def. 25).
RELEVANT als Beispiel für den Typ “Beweisaufgabe”
Aufgabe 23. Zeigen Sie: Seien A und B abzählbare Mengen. Dann ist auch A ∪ B abzählbar.
Hinweis: geschickte Anwendung von Satz 51 spart viel Arbeit! (Und es ist viel einfacher, als
sie denken, wenn sie den Beweis von Satz 51 anschauen - den brauchen Sie hier gar nicht,
sie wollen den SATZ anwenden, nicht dessen Beweis! Einen Satz kann man anwenden, wenn
seine Voraussetzungen erfüllt sind – und dann kann man den Schluß ziehen, der Inhalt des
Satzes ist.)
5
RELEVANT als Beispiel für den Typ “Beweisaufgabe” in der einfach zu beantwortenden Form
(also mit Hilfe von Satz 51).
Aufgabe 24 (Logik). “Worin besteht das Geheimnis ihres langen Lebens?” wurde ein 100jähriger gefragt. “Ich halte mich streng an die folgenden Diätregeln: Wenn ich keinen Wein zu
einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fleisch. Immer, wenn ich Fleisch und Wein zur
selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Schokopudding. Wenn ich Schokopudding habe oder
Wein meide, dann rühre ich Fleisch nicht an”. Der Fragende fand diesen Ratschlag ziemlich
verwirrend, können Sie ihn vereinfachen?
Logik ist natürlich relevant, aber TEXTAUFGABEN in dieser FORM wird es NICHT GEBEN.
Aufgabe 25.
Konstruieren Sie eine Wahrheitstafel für F = ¬(¬A ∨ ¬(¬B ∨ ¬A)) (vereinfachen sie die
Formel zu Übungszwecken bitte vorher nicht). Ist die Formel erfüllbar? Ist sie gültig?
Aufgabe 26.
Zeigen Sie die folgende Äquivalenz per Wahrheitstafel: ¬(F ∧ G) ≡ (¬F ∨ ¬G)? Wie heißt
diese Regel?
Beide im Prinzip RELEVANT, aber zu einfach.
Aufgabe 27 (Exponentielles Wachstum). Bitte vervollständigen Sie die folgende Tabelle (die
z.B. Abschätzungen für den Aufwand für die Wahrheitstafelmethode erlaubt). Um die Zeitspalte auszufüllen, nehmen Sie bitte an, dass jede der 2n Zeilen in der Wahrheitstafel in einer
Mikrosekunde (= 0, 0001 Sekunden) geprüft werden kann, d.h. um die Zeit in Sekunden zu
bestimmen, multiplizieren Sie einfach den Eintrag in der Spalte 2n mit 0, 0001. Sie können für
größere n natürlich auch größere Zeiteinheiten (Stunden, Jahre etc.) . . .
n
1
2
5
8
10
16
64
100
1000
2n
2
4
32
Zeit
0,0002 Sekunden
0,0004 Sekunden
0,0032 Sekunden
NICHT RELEVANT.
6
Aufgabe 28. Zeigen Sie per Induktion, dass es zu jeder Formel H, die mit den Operatoren
¬, ∨ oder ∧ aufgebaut ist, eine äquivalente Formel G gibt, die nur die Operationen ¬ und →
enthält.
RELEVANT. Auch die Form der Durchführung spielt dann eine Rolle, wenn so eine Aufgabe
dran käme. Zentral ist es aber natürlich, eine Ersetzung für die Operatoren ∨, ∧ (und ggfs. ¬)
zu finden.
Aufgabe 29 (Üben: DNF (Wahrheitstafel), KNF (beide Methoden)).
Gegeben ist die Formel (¬A → B) ∧ ((A ∧ ¬C) ↔ B).
(a) Leiten Sie aus der Wahrheitstafel von F eine DNF von F ab.
(b) Leiten Sie aus der Wahrheitstafel von F eine KNF von F ab.
(c) Wenden Sie die Umformungsmethode aus der Vorlesung auf F an, um eine KNF
von F zu erhalten. Gestalten Sie ihre Darstellung so, dass man die Anwendung der Umformungsmethode nachvollziehen kann!
RELEVANT (KNF bilden muß man beherrschen!), aber das wird dann eher eingebettet in eine
andere Aufgabe vorkommen, s. unten.
Aufgabe 30 (Üben: Folgerung, Formelmenge, Unerfüllbar).
Definition: Eine Formel G heißt genau dann Folgerung der Formeln F1 , . . . , Fk , wenn für
jede Belegung A, die sowohl zu F1 , . . . , Fk als auch zu G passend ist, gilt: Wenn A Modell
von {F1 , . . . , Fk } ist, dann ist A auch Modell von G.
Zeigen Sie: Die Aussage
G ist eine Folgerung von F1 , . . . , Fk
ist äquivalent
zur Aussage
Vk
( i=1 Fi ) ∧ ¬G ist unerfüllbar.
RELEVANT. Auch der Folgerungsbegriff ist sehr wichtig und damit natürlich auch die Aussage, die in dieser Aufgabe steckt. Eine mögliche Modifikation der Aufgabenstellung ist z.B.
anstelle der Unerfüllbarkeit einer bestimmten Formel im zweiten Teil die Gültigkeit einer
bestimmten “verwandten” Formel zu betrachten (möglicherweise erhält man die verwandte
Formel über eine Negation?).
Aufgabe 31 (Üben: Markierungsalgorithmus).
Wenden Sie den Markierungsalgorithmus für Hornformeln auf die folgende Formel an:
F = (¬A ∨ ¬B ∨ ¬D) ∧ ¬E ∧ (¬C ∨ A) ∧ C ∧ B ∧ (¬G ∨ D) ∧ G
RELEVANT. Allerdings kömmt das möglicherweise nur versteckt vor, weil sie bei der Untersuchung der Gültigkeit einer Formel möglicherweise eine KNF erzeugen, die “horn” ist
(also nur höchstens ein positives Literal je Disjunktion aufweist) – dann können sie nämlich
7
markieren, was manchmal schneller geht, als nach einer Herleitung zu suchen (oder gar den
Resolutionsalgo komplett anwenden zu müssen).
Aufgabe 32. Bringen Sie die folgende Formel in Klauselform:
F = (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C).
Beachten Sie: Es gibt hier viele mögliche Lösungen, die alle semantisch äquivalent sind. Noch
ein kleiner Hinweis: die Formel F kam oben schon einmal vor.
RELEVANT (wieder als Teil einer Aufgabe vom Typ “Ist die Formel F gültig... (also ¬F
unerfüllbar?)”)
Aufgabe 33. Bestimmen Sie für die folgende Formel F die Mengen Res0 (F ), Res1 (F ) und
Res2 (F ) (zunächst müssen Sie die Formel in Klauselform bringen):
F = (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (B ∨ C) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) ∧ ¬C
Im Prinzip RELEVANT, aber so natürlich viel zu aufwändig für die Klausur. Denken Sie daran,
dass man mit einer Matrix schön übersichtlich nach Resolventen suchen kann.
Aufgabe 34. Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode, dass
A∧B∧C
eine Folgerung (s. oben) aus der Klauselmenge
{{¬A, B}, {¬B, C}, {A, ¬C}, {A, B, C}}
ist. Beachten Sie: Sie können den Algorithmus aus der Vorlesung anwenden oder direkt eine
Deduktion angeben.
Hinweis: Schauen Sie sich die Aufgabe zur Folgerung noch mal genau an – dort steht schon
sehr schön, welche Formel sie auf Unerfüllbarkeit untersuchen müssen, um die Gültigkeit der
obigen Aussage überprüfen zu können. Prägen sie sich dieses Vorgehen ein, es ist wichtig!
RELEVANT.
Aufgabe 35. Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode (s. auch vorstehende Erläuterung), dass
F = (¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B
eine Tautologie ist.
8
RELEVANT. (Diese und die vorige Aufgabe könnte man sich vom Typ her auch mit 4-5 (anstelle von 3) atomaren Formeln vorstellen)
Aufgabe 36.
Zeigen oder widerlegen Sie mit der Resolutionsmethode (also mit Algo oder Herleitung/Deduktion),
dass die folgende Formel eine Tautologie ist:
(¬(A ∨ B) ∧ (B ↔ C)) ∨ ¬((C → ¬A) ∧ (A → C) ∧ (C → A))
Im Prinzip natürlich RELEVANT, für die Klausur aber zu aufwändig. Trotzdem eine gute
Übung, denn beim Bilden von NEGATIONEN und KNFs müssen sie sicher sein, ebenso bei
der Suche nach Resolventen (ob nun für eine Herleitung oder den Resolutionsalgo, wie hier
erforderlich).
Außerdem kann man hier gut die einzige Hürde beim Negieren/KNF-bilden erkennen, die
Auflösung von ↔. Sie können F ↔ G bekanntermaßen (s. Skript) durch (F → G)∧(G → F )
oder durch (F ∧ G) ∨ (¬F ∧ ¬G) ersetzen. Wenn die entstehende Formel noch einmal negiert
wird (so wie in dieser Aufgabe), dann ist die ZWEITE FORM gut, sonst (also, wenn nicht
mehr negiert wird) ist die erste Form besser (weil sie sofort auf eine Mini-KNF führt: die
Implikationen werden zu Disjunktionen mit einem und dazwischen).
Aufgabe 37 (Mengenlehre und Logik).
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen mit Hilfe des Klassenkalküls.
a,b,c seien jeweils beliebige Mengen:
1. (a − b) ∪ c = (a ∪ c) − ((a ∩ b) − c)
2. (a ∪ (b ∩ c)) ∩ ((b ∪ c) − a) = ∅
3. (a ∪ (b ∩ c)) ∩ ((b ∪ c) − a) = (b ∩ c) − a
4. Die folgenden Ausdrücke sind äquivalent a ⊆ b, a − b = ∅, a ∩ b = a, a ∪ b = b
5. Wenn a ∩ b = b ∪ c ist, dann ist c ⊆ a und b ⊆ a.
6. Es gilt (a − b) ∩ c = ∅ oder (a − b) ⊆ c
Übrigens: Wenn in einem Ausdruck die leere Menge vorkommt, dann können Sie sie durch
die Nullklasse ausdrücken, d.h. z.B. durch (a ∩ a) oder (a ∩ (b − a)).
RELEVANT.
Übrigens dürfen sie die leere Menge auch direkt durch ein 0 in der aussagenlogischen Formel
repräsentieren (haben wir uns für die Implikationsform bei den Hornformeln auch erlaubt).
Schauen sie sich noch einmal sehr genau den Punkt 6. bei der Untersuchung der Gültigkeit
von Ausdrücken des Klassenkalküls an! Ein schönes Beispiel ist der letzte Fall oben – der
9
Ausdruck mit dem “Oder” ist 1-gültig (d.h. für Mengen, die nur höchstens ein Element haben, stimmt er immer), aber nicht (allgemein) gültig! (weil nicht einer der beiden einfachen
Ausdrücke für sich betrachtet gültig ist). Ein Gegenbeispiel finden sie leicht (das kann man
dann auch als Beweis der Nichtgültigkeit nehmen), genauso gut können sie es aber formal
untersuchen.
Aufgabe 38 (Relationale Algebra).
Gegeben sind die Relationen
A
1
R= 2
3
4
B
b
b
c
b
B
b
S= b
c
c
C
c
c
d
d
C
b
c
d
d
D
4
3
3
4
Bilden sie die folgenden Relationen:
(1) R ./ S, (2) σ$1>2 (R) ./ S, (3) π1,3 (R) ./ S, (4) πR.A,S.D (R ./ S), (5) R ./2=3 S
RELEVANT (als ANKREUZAUFGABE oder Anwendungsaufgabe zum Warmwerden).
Aufgabe 39 (Relationale Algebra). Manchmal findet man auch die sogenannte “Quotient”Operation, R\S. Hier sind R und S Relationen mit der Stelligkeit r und s, r > s und S 6= ∅.
Dann ist R\S die Menge aller (r − s)-Tupel (a1 , . . . , ar−s ), so dass wir zu jedem s-Tupel
(ar−s+1 , . . . , ar ) in S das r-Tupel (a1 , . . . , ar ) in R finden.
Beispiel (mit Relationen ohne Attributnamen, die sind hier nicht von Bedeutung):
a
a
b
e
e
a
b
b
c
d
d
b
c
e
e
c
e
d
d
f
f
d
f
e
\
c
e
d
f
=
a
e
b
d
Drücken Sie diese Operation unter Verwendung von ×, π und − aus, d.h. sie sollen eine
Gleichung hinschreiben in der Form R\S = π... (R) − π... ((π · · · × . . . ) − . . . )). Hier können
die . . . auch nur für eine einzelne Sache stehen.
Möglicherweise RELEVANT als Ersatz/Alternative zu einer Beweisaufgabe (natürlich kann
es dann nicht wieder der Quotient sein!)
Aufgabe 40 (XML/Graphen). Recherchieren Sie: Was ist XML? Was will man mit XML
erreichen? Auf welche spezielle Graphstruktur kann man XML-Dokumente abbilden? Was ist
und was kann XML-Schema?
Formulieren Sie ihre Antwort auf ca. einer halben Seite.
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Greifen wir im nächsten Semester auf, NICHT RELEVANT für die Klausur (höchstens in der
Art, dass man eine einfache Eigenschaft von Bäumen beweisen sollte).
Aufgabe 41 (Graphen/Teilgraphen). Bestimmen Sie alle Teilgraphen von
G = ({a, b, c}, {{a, b}, {b, c}, {c, a}}).
Welche Teilgraphen sind zusammenhängend? Welche sind ausfallssicher? Wieviele Teilgraphen haben sie gefunden?
RELEVANT als ANKREUZAUFGABE (z.B. Graphen G1 ,G gegeben, ist G1 Teilgraph von
G, ist G1 Untergraph von G, ist G ausfallssicher?).
Die Begriffe könnten zudem in einer kleinen Beweisaufgabe zu Graphen vorkommen (auch
die anderen Begriffe zu Graphen, am ehesten natürlich die genau definierten, wie Pfad, Kreis
etc. Das sind natürlich auch Kandidaten für Ankreuzaufgaben: hat G einen Zyklus? ist G
zusammenhängend?).
Aufgabe 42. Zeigen Sie: Jeder ungerichtete Graph ohne Schleifen mit n >= 2 Knoten enthält mindestens zwei Knoten mit gleichem Grad. [Sie dürfen sich auf die Betrachtung von
verbundenen Graphen beschränken].
Hinweise zur Erinnerung: eine Schleife ist eine Kante, die einen Knoten unmittelbar mit sich selbst verbindet
(die gibt es hier also nicht); der Grad eines Knotens entspricht der Anzahl der Kanten, die in ihm enden oder
beginnen (die also “inzident” zu diesem Knoten sind). Übrigens kann man das mit einem Größenvergleich von
Mengen lösen . . . richtig, wie ging das noch? Ja, das hatte etwas mit injektiven oder bijektiven Funktionen zu
tun! Wenn jeder der n Knoten einen anderen Grad hätte, und sie diese Gradzahlen in eine Menge packen würden,
dann müßten da __ verschiedene natürliche Zahlen drin sein. Kann das aber sein? Wie groß
kann die Gradzahl eines Knotens in einem ungerichten Graphen ohne Schleifen bei n Knoten
höchstens werden: __, wieviel verschiedene Gradzahlen kann man deshalb höchstens in einem
verbundenen ungerichteten Graphen haben __?
RELEVANT als Beispiel für den Typ “Beweisaufgabe zu Graphen” – allgemein kann es sein,
dass es in den Beweisaufgaben Stellen zum Ausfüllen gibt (die man auch ausfüllen kann, wenn
man keine richtige Beweisidee hat, aber die relevanten Definitionen und die Aufgabenstellung
kennt) und die, korrekt ausgefüllt, Punkte bringen – füllen sie die also aus, wenn sie Zeit
finden, auch, wenn sie glauben, sie können die Aufgabe nicht komplett lösen!
Aufgabe 43 (D IJKSTRA ).
Gegeben ist der folgende ungerichtete, gewichtete Graph G:
VG = {a, b, c, d, e}, EG = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, {b, d}, {c, e}, {c, d}, {d, e}} mit den Gewichten w(ab) = 3, w(ac) = 5, w(bc) = 1, w(bd) = 4, w(ce) = 3, w(cd) = 2, w(de) = 1
(hier steht ab für die Kante {a, b}).
Als Startknoten s sei a ausgewählt.
11
1. Zeichnen sie den gewichteten Graphen.
2. Bestimmen Sie die kürzesten Wege von a zu allen anderen Knoten mit Hilfe des
Dijkstra-Algorithmus.
Verwenden Sie bitte die unten stehende Tabelle (der Initialisierungsschritt wurde schon
ausgeführt).
Runde
0
1
2
3
4
5
6
7
v∗
-
D(a) V(a) D(b) V(b)
0
3
a
D(c) V(c) D(d) V(d) D(e) V(e)
5
a
∞ a
∞ a
3. Geben Sie die gefundenen kürzesten Wege und deren Länge an:
RELEVANT. Halten sie sich an die Tabelle, füllen sie sie so aus, wie in den Lösungshinweisen!
Aufgabe 44 (M OORE -B ELLMANN -F ORD ).
Nehmen Sie wieder den Graph von oben, aber ändern sie das Gewicht der Kanten bd und ce
jeweils auf −1.
1. Wenden Sie dann den M OORE -B ELLMANN -F ORD-Algorithmus an, um alle kürzesten
Wege von a zu den anderen Knoten zu finden.
Tragen Sie die Werte bitte direkt in die Tabelle ein (möglicherweise brauchen Sie nicht
7 Runden . . . ).
Runde
0
1
2
3
4
v∗
-
D(a) V(a) D(b) V(b)
0
∞ a
D(c) V(c) D(d) V(d) D(e) V(e)
∞ a
∞ a
∞ a
2. Geben Sie die gefundenen kürzesten Wege an: ...
NICHT RELEVANT.
12
Aufgabe 45 (P RIM ). Gegeben sei wieder der Graph von der D IJKSTA-Aufgabe (also nur positive Kanten).
1. Bestimmen Sie mit P RIMS Algorithmus einen minimalen Spannbaum für den oben angegebenen Graphen (das können sie erst am Montag, es sei denn, sie schauen sich den
Algorithmus in den Unterlagen schon einmal an, er ist nur eine kleine Abwandlung vom
D IJKSTRA).
Tragen Sie die Werte bitte direkt in die Tabelle ein (möglicherweise brauchen Sie nicht
7 Runden . . . ).
Runde
0
1
2
3
4
5
6
7
v∗
-
D(a) V(a) D(b) V(b)
0
3
a
D(c) V(c) D(d) V(d) D(e) V(e)
5
a
∞ a
∞ a
2. Zeichnen Sie den gefundenen minimalen Spannbaum.
3. Geben Sie das Gesamtgewicht des minimalen Spannbaums an: ____
4. Richtig oder Falsch? Der von P RIMS Algorithmus bestimmte Spannbaum ist identisch
mit dem Spannbaum, den die Anwendung des D IJKSTRA-Algorithmus oben generiert.
5. Richtig oder Falsch? Von P RIMS Algorithmus bestimmte Spannbäume sind immer besser, als die Spannbäume, die aus der Anwendung des D IJKSTRA-Algorithmus entstehen.
RELEVANT. Halten sie sich an die Tabelle, füllen sie sie so aus, wie in den Lösungshinweisen!
13
RELEVANT (Typ: normale Aufgabe): 8, 10 (mit Klassenkalkül), 11 (mit Klassenkalkül), 25
(zu einfach), 26 (zu einfach), 29, 31, 32 (zu einfach), 33 (zu aufwänfdig), 34, 35, 36 (zu
aufwändig), 37, 43, 45
RELEVANT (Typ: Beweisaufgabe): 18, 20, 22, 23, 28, 30, 39, 42
RELEVANT (Typ: Ankreuzaufgabe): 12, 13, 19, 21 (s. auch Hinweis zu Fragen zur einführenden Veranstaltung), 38 (oder als einfache Anwendungsaufgabe), 41
NICHT UNMITTELBAR RELEVANT, aber interessant (z.B. weil Grundbegriffe vorkommen): 9, 16, 17, 24
NICHT RELEVANT: 14, 15, 27, 40, 44
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