§9 Ableitungen höherer Ordnung

Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
$Id: mtaylor.tex,v 1.8 2015/07/10 11:14:04 hk Exp $
§9
Ableitungen höherer Ordnung
Schon in §1.1 hatten wir partielle Ableitungen höherer Ordnung eingeführt und
eine Funktionen f : U → R definiert auf einer offenen Menge U ⊆ Rn wurde r-fach
partiell differenzierbar genannt wenn alle partiellen Ableitungen der Funktion f bis
zur Ordnung r auf ganz U existieren. Diesen Begriff können wir auf vektorwertige
Funktionen f : U → Rm verallgemeinern indem wir eine solche Funktion r-fach partiell
differenzierbar nennen wenn dies auf alle Komponenten fj für 1 ≤ j ≤ m zutrifft. Sind
zusätzlich diese sämtlichen Ableitungen auch noch stetig, so nennen wir f dann rfach stetig partiell differenzierbar. In dieser Terminologie haben wir im letzten Kapitel
gezeigt, dass eine Funktion f : U → Rm genau dann stetig differenzierbar ist wenn
sie stetig partiell differenzierbar ist. Auch mehrfache Differenzierbarkeit können wir
induktiv definieren. Für eine differenzierbare Funktion f : U → Rm mit U ⊆ Rn offen
ist die Ableitung eine Funktion
f 0 : U → Rm×n = Rmn .
Ist auch diese differenzierbar so nennen wir f zweifach differenzierbar und haben eine
zweite Ableitung
2
f 00 : U → Rmn .
So fortfahrend ergibt sich:
Definition 9.1 (Höhere Ableitungen)
Seien n, m ∈ N mit n, m ≥ 1, U ⊆ Rn offen und f : U → Rm eine Funktion. Weiter
sei r ∈ N mit r ≥ 2 und die (r − 1)-fache Differenzierbarkeit von f sowie die (r − 1)-te
r−1
Ableitung f (r−1) : U → Rmn
seien bereits definiert. Wir nennen f dann in einem
Punkt x ∈ U r-fach differenzierbar wenn f (r − 1)-fach differenzierbar ist und f (r−1)
in x differenzierbar ist. Die r-te Ableitung von f in x definieren wir in diesem Fall als
r
f (r) (x) := (f (r−1) )0 (x) ∈ Rmn .
Ist f dann in jedem Punkt x ∈ U stets r-fach differenzierbar, so heißt f eine r-fach
differenzierbare Abbildung und die obige Formel definiert eine Funktion f (r) : U →
r
Rmn , genannt die r-te Ableitung von f . Schlieslich heißt f r-fach stetig differenzierbar
wenn f r-fach differenzierbar ist und die r-te Ableitung f (r) stetig ist.
Nach §8.Lemma 4 sind die Komponenten von f 0 gerade die partiellen Ableitung
∂fj /∂xi . Eine weitere Anwendung dieses Lemmas liefert das das Komponenten von
f 00 = (f 0 )0 die partiellen Ableitungen
∂
∂fk
∂2f
=
(1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i, j ≤ n)
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
23-1
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zweiter Ordnung sind. So fortfahrend sind die Komponenten von f (r) die partiellen
Ableitungen r-ter Ordnung. Für die erste Ableitung r = 1 wissen wir aus §8 auch das
stetige Differenzierbarkeit gleichwertig zu stetiger partieller Differenzierbarkeit ist, und
wenden wir diese Tatsache mehrfach an, so ergibt sich das folgende Lemma.
Lemma 9.1: Seien n, m, r ∈ N mit n, m, r ≥ 1, U ⊆ Rn offen und f : U → Rm eine
Funktion. Dann ist f genau dann r-fach stetig differenzierbar wenn f r-fach stetig
partiell differenzierbar ist.
Beweis: Klar durch iterierte Anwendung des entsprechenden Resultats für r = 1.
Während r-fache Differenzierbarkeit also ein etwas diffiziler Begriff ist, ist die r-fache
stetige Differenzierbarkeit vergleichsweise einfach zu entscheiden, man muss sich nur
die partiellen Ableitungen bis zu r-ter Ordnung anschauen. Um mit diesen höheren
partiellen Ableitungen gut umgehen zu können, müssen wir wissen das diese für ausreichend gutartige Funktionen nicht von der Reihenfolge abhängen in der die partiellen
Ableitungen ausgeführt werden. Für zu allgemeine Funktionen ist dies falsch, wie wir
schon in der allerersten Aufgabe (1) dieses Semesters gesehen haben. Wir werden sehen
das die zweifache Differenzierbarkeit ausreicht um das Vertauschen zweifacher partieller
Ableitungen zu ermöglichen.
Hierzu beginnen wir mit einer Vorbemerkung. Seien n ∈ N mit n ≥ 1, eine offene
Menge U ⊆ Rn und eine differenzierbare Funktion f : U → R gegeben. Die Ableitung
von f ist dann als Jacobi-Matrix interpretiert
∂f
∂f
0
f (x) =
(x), . . . ,
(x)
∂x1
∂xn
für jedes x ∈ U . Ist f jetzt in einem Punkt x ∈ U sogar zweifach differenzierbar,
so ist die Ableitung f 00 (x) eine lineare Abbildung f 00 (x) : Rn → Rn . Haben wir also
zwei Vektoren u, v ∈ Rn , so ist f 00 (x)(u) ∈ Rn aufgefasst als Zeilenvektor, und wir
können f 00 (x)(u)v ∈ R bilden. Wir benötigen eine etwas konkretere Beschreibung dieser
Abbildung. Hierzu führen wir die lineare Abbildung φ : R1×n → R; w 7→ wv ein, und
erhalten mit der Kettenregel §8.Satz 7 und wegen φ0 (y) = φ für jedes y ∈ R1×n auch
f 00 (x)(u)v = φ(f 00 (x)u) = φ0 (f 0 (x))(f 00 (x)u) = (φ0 (f 0 (x)) ◦ f 00 (x))u = (φ ◦ f 0 )0 (x)u.
Für jedes y ∈ U gilt dabei
n
X
∂f
(φ ◦ f )(y) = φ(f (y)) = f (y)v =
(y)vi ,
∂xi
i=1
0
0
0
also wird
n
X
∂ 00
0 0
f (x)(u)v = (φ ◦ f ) (x)u =
∂xj x
j=1
!
n
X
X
∂f
∂2f
v i uj =
(x)vi uj .
∂xi
∂xj ∂xi
i=1
1≤i,j≤n
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Führen wir also die n × n-Matrix


H := 

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∂2f
(x)
∂x21
···
...
∂2f
(x)
∂xn ∂x1
···
..
.
∂2f
(x)
∂xn ∂x1


..

.

∂2f
(x)
∂x2
n
ein, so haben wir
(Hu) · v =
∂2f
(x)vi uj = f 00 (x)(u)v.
∂x
∂x
j
i
1≤i,j≤n
X
Die Matrix H wird uns später noch einmal begegnen, daher wollen wir ihr hier noch
keinen eigenen Namen geben. Dass die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen
keine Rolle spielt, bedeutet genau das die Matrix H symmetrisch ist. Weiter haben
wir zu Beginn des §6 gesehen, dass H genau dann symmetrisch ist, wenn (Hu) · v =
u·(Hv) = (Hv)·u für alle u, v ∈ Rn gilt, d.h. die Vertauschbarkeit der zweiten partiellen
Ableitungen bedeutet das
f 00 (x)(u)v = f 00 (x)(v)u
für alle u, v ∈ Rn gilt. Mit dieser Beobachtung sind wir zum Beweis des nächsten Satzes
bereit.
Satz 9.2 (Lemma von Schwarz)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, U ⊆ Rn offen und f : U → R eine differenzierbare Funktion.
Weiter sei f in einem Punkt x ∈ U zweifach differenzierbar. Dann gilt
∂2f
∂2f
(x) =
(x)
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
für alle 1 ≤ i, j ≤ n.
Beweis: Wir weisen dies in der eingangs hergeleiteten Form nach. Seien also u, v ∈ Rn
gegeben. Wir behaupten das dann
f 00 (x)(v)u = lim
s↓0
f (x + su + sv) − f (x + su) − f (x + sv) + f (x)
s2
gilt. Sei also > 0 vorgegeben. Die zweifache Differenzierbarkeit von f in x bedeutet
das es ein δ1 > 0 mit Bδ1 (x) ⊆ U gibt so, dass wir für alle h ∈ Rn mit ||h|| < δ1
f 0 (x + h) = f 0 (x) + f 00 (x)h + τ (h)
haben, wobei limh→0 ||τ (h)||/||h|| = 0 ist. Insbesondere existiert ein δ2 > 0 mit δ2 ≤ δ1
und
||τ (h)||
<
||h||
1 + ||u||(2||u|| + ||v||)
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für alle h ∈ Rn mit 0 < ||h|| < δ2 , also
||τ (h)|| ≤
||h||
1 + ||u||(2||u|| + ||v||)
für alle h ∈ Rn mit ||h|| < δ2 . Setze δ := δ2 /(1 + ||u|| + ||v||) > 0. Sei jetzt s ∈ R mit
0 < s < δ gegeben. Für jedes 0 ≤ t ≤ 1 sind dann
||tsu + sv|| ≤ s(t||u|| + ||v||) ≤ s(||u|| + ||v||) ≤ δ(||u|| + ||v||) < δ2 ≤ δ1
und ||tsu|| = ts||u|| ≤ s||u|| ≤ s(||u|| + ||v||) < δ2 ≤ δ1 , und insbesondere x + tsu +
sv, x + tsu ∈ Bδ1 (x) ⊆ U . Damit ist die reelle Funktion
g : [0, 1] → R; t 7→ f (x + tsu + sv) − f (x + tsu)
wohldefiniert, und nach der Kettenregel §8.Satz 7 ist g differenzierbar mit
g 0 (t) = s f 0 (x + tsu + sv) − f 0 (x + tsu) u
für alle t ∈ [0, 1]. Nach dem Mittelwertsatz I.§12.Satz 10 existiert ein ξ ∈ (0, 1) mit
f (x + su + sv) − f (x + su) − f (x + sv) + f (x) = g(1) − g(0)
= g 0 (ξ) = s f 0 (x + ξsu + sv) − f 0 (x + ξsu) u.
Weiter sind ||ξsu + sv|| ≤ ξs||u|| + s||v|| ≤ s(||u|| + ||v||) < δ2 ≤ δ1 und ||ξsu|| =
ξs||u|| ≤ ξs||u|| + s||v|| < δ2 ≤ δ1 , also haben wir
f 0 (x + ξsu + sv) − f 0 (x) = sf 00 (x)(ξu + v) + τ (ξsu + sv),
f 0 (x + ξsu) − f 0 (x) = sf 00 (x)(ξu) + τ (ξsu),
und dies ergibt
f 0 (x + ξsu + sv) − f 0 (x + ξsu) = (f 0 (x + ξsu + sv) − f 0 (x)) − (f 0 (x + ξsu) − f 0 (x))
= sf 00 (x)(v) + τ (ξsu + sv) − τ (ξsu).
Setzen wir dies in die obige Formel ein, so folgt weiter
f (x + su + sv) − f (x + su) − f (x + sv) + f (x) = s2 f 00 (x)(v)u + sτ (ξsu + sv)u − sτ (ξsu)u.
Damit ist schließlich
f (x + su + sv) − f (x + su) − f (x + sv) + f (x)
00
−
f
(x)(v)u
s2
τ (ξsu + sv)u τ (ξsu)u ||τ (ξsu + sv)u|| ||τ (ξsu)u||
≤
−
+
= s
s
s
s
||τ (ξsu + sv)|| ||τ (ξsu)||
||u||
≤
+
||u|| ≤ (2||u|| + ||v||)
< .
s
s
1 + ||u||(2||u|| + ||v||)
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Somit ist tatsächlich
f 00 (x)(v)u = lim
s↓0
f (x + su + sv) − f (x + su) − f (x + sv) + f (x)
.
s2
Die rechte Seite dieser Gleichung ändert sich nicht bei Vertauschen von u und v, d.h.
wir haben f 00 (x)(v)u = f 00 (x)(u)v für alle u, v ∈ Rn , und dies war zu zeigen.
Durch mehrfache Anwendung des Lemmas kann man einen allgemeinen Vertauschungssatz für partielle Ableitungen beweisen. Zunächst kann man vektorwertige Funktionen
behandeln indem Satz 2 auf jede einzelne Komponentenfunktion angewandt wird. Ein
allgemeines Vertauschen einer p-fachen partiellen Ableitung kann man durch mehrere Vertauschungen direkt aufeinanderfolgender partieller Ableitungen erreichen, und
dass diese Einzelschritte möglich sind wissen wir bereits. Verwenden wir zusätzlich das
p-fache stetige Differenzierbarkeit gleichwertig zu p-facher partieller, stetiger Differenzierbarkeit ist, so ergibt sich das folgende allgemeine Vertauschungslemma für partielle
Ableitungen.
Korollar 9.3 (Vertauschbarkeit partieller Ableitungen)
Seien n, m ∈ N mit n, m ≥ 1, U ⊆ Rn offen, p ∈ N mit p ≥ 1 und f : U → Rm eine
p-fach stetig differenzierbare Funktion. Dann kann man die die Reihenfolge partieller
Ableitungen bis zu Ordnung p beliebig umordnen, d.h. sind 1 ≤ r ≤ p, 1 ≤ i1 , . . . , ir ≤ n
und ist π ∈ Sr eine Permutation, so gilt
∂rf
∂rf
(x) =
(x)
∂xi1 · · · ∂xir
∂xiπ(1) · · · ∂xiπ(r)
für alle x ∈ U .
Beweis: Wie schon gesehen folgt dies durch iterierte Anwendung von Satz 2.
Bei uns sind die Voraussetzungen des Korollars eigentlich immer erfüllt, ist die Funktion f durch explizite Formeln aus den Grundfunktionen zusammengesetzt, so existieren
alle partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung und sind auch stetig, also lassen sich
partielle Ableitungen in dieser Situation nach dem Satz beliebig umordnen.
9.1
Multiindizes
Wir haben schon früher mehrfache partielle Ableitungen nach derselben Variable in
Potenzschreibweise“ zusammengefasst, also beispielsweise
”
∂2f
∂2f
∂3f
∂3f
∂3f
∂3f
=
,
=
,
=
,...
∂x∂x
∂x2 ∂y∂y∂y
∂y 3 ∂x∂y∂y
∂x∂y 2
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Sind die Voraussetzungen des Korollar 3 erfüllt, so können wir diese Schreibweise mit
dem Umordnen partieller Ableitungen kombinieren, beispielsweise
∂3f
∂3f
∂3f
=
=
.
∂x∂y∂x
∂x∂x∂y
∂x2 ∂y
Damit können wir unter den Voraussetzungen von Korollar 3 die höheren partiellen
Ableitungen einer Funktion f immer in Standardform
∂ k1 +···+kr f
∂xki11 · · · ∂xkirr
mit 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ir ≤ n schreiben. Lassen wir hier auch nullte Potenzen zu, so
können wir diese Schreibweise noch etwas weiter vereinfachen zu
∂ k1 +···+kn f
.
∂xk11 · · · ∂xknn
Dabei bedeutet eine nullfache partielle Ableitung ∂x0i natürlich einfach nur gar nicht
abzuleiten. Für eine Funktion f (x, y, z) in drei Variablen ist etwa
∂4f
∂4f
∂4f
=
.
=
∂x∂z∂x∂z
∂x2 ∂z 2
∂x2 ∂y 0 ∂z 2
Um diese Schreibweise zu systematisieren werden nun die sogenannten Multiindizes
eingeführt. Ein Multiindex ist einfach ein Tupel
α = (α1 , . . . , αn )
natürlicher Zahlen, d.h. α1 , . . . , αn ∈ N. Für eine Funktion f in n Variablen schreiben
wir dann
∂ α1 +···+αn f
∂ α1 +···+αn f
:=
.
∂xα
∂xα1 1 · · · ∂xαnn
Damit ist die Notation schon fast wie im eindimensionalen Fall, nur der Ausdruck
α + · · · + αn“ stört noch etwas. Auch diese Unschönheit können wir durch Einführung
” 1
einer weiteren Abkürzung umgehen, wir setzen für jeden Multiindex α der Länge n
einfach
|α| := α1 + · · · + αn ,
und können die obige partielle Ableitung dann als
∂ |α| f
∂xα
schreiben. Zwei weitere Schreibweisen sind hilfreich
α! := α1 ! · . . . · αn !, (x − a)α := (x1 − a1 )α1 · . . . · (xn − an )αn
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für jeden Multiindex α und alle a, x ∈ Rn . Beispielsweise sind
|α|
3
α = (2, 0, 1) : |α| = 3, α! = 2, (x − a)α = (x1 − a1 )2 (x3 − a3 ), ∂ xα f = ∂x∂ 2f∂z ,
5f
|β|
β = (2, 3) : |β| = 5, β! = 12, (x − a)β = (x1 − a1 )2 (x2 − a2 )3 , ∂∂xβf = ∂x∂2 ∂y
3
Für zwei Multiindizes α, β gleicher Länge n können wir noch
α + β := (α1 + β1 , . . . , αn + βn ), α ≤ β :⇐⇒ α1 ≤ β1 ∧ . . . ∧ αn ≤ βn
definieren, und im Fall α ≤ β sei auch noch
β − α := (β1 − α1 , . . . , βn − αn ).
Die Fakultätsschreibweise α! wird sich zur Formulierung der Taylorformel als nützlich erweisen. Die Taylorformel wird wieder von Taylorpolynomen handeln, und daher
müssen wir jetzt auch noch Polynome in mehreren Variablen einführen. Ein Polynom
in einer Variablen ist ja einfach eine Funktion der Form
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · ,
also
konstanter Term“ + linearer Term“ + quadratischer Term“ + · · ·
”
”
”
Genauso soll es für Polynome in mehreren Variablen sein. Was dabei ein konstanter
Term ist, ist wieder klar. Aber schon die Bedeutung des linearen Terms erfordert eine
Anpassung, wir haben ja nicht nur eine Variable x“ zu berücksichtigen, sondern gleich
”
n Stück x1 , . . . , xn . Der lineare Term des Polynoms soll dann die Form a1 x1 +· · ·+an xn
haben. Was der quadratische Term werden soll ist schon etwas feinsinniger. Man ist
zunächst versucht nur a1 x21 +· · ·+an x2n anzusetzen, aber das ist nicht ausreichend. Zum
Beispiel soll das Produkt von zwei Polynomen ja sicherlich ein Polynom sein, und damit
brauchen wir beispielsweise Zweierprodukte xi xj von Variablen. Der quadratische Term
soll dann eine Summe von Vielfachen all dieser Zweierprodukte sein. Die Quadrate
fallen dann ebenfalls unter diese Zweierprodukte, es ist ja x2i = xi xi . Entsprechend
geht es weiter für die Terme höherer Ordnung, und ein Polynom in n Variablen wird
damit eine Funktion der Form
p(x1 , . . . , xn ) = a0 + a11 x1 + · · · + a1n xn
+a211 x21 + a212 x1 x2 + · · · + a21n x1 xn + a221 x2 x1 + · · · + a2nn x2n
+a3111 x31 + a3112 x21 x2 + · · · + a3nnn x3m + · · ·
Da diese Art Polynome hinzuschreiben aber hoffnungslos unübersichtlich ist, erinnern
wir uns wieder an die Multiindex Notation
xα = xα1 1 · . . . · xαnn ,
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Mathematik für Physiker II, SS 2015
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und schreiben den obigen Ausdruck in der Form
p(x) = p(x1 , . . . , xn ) =
X
aα x α
|α|≤N
wobei für jeden Multiindex α mit |α| ≤ N die Konstante aα ∈ R als ein Koeffizient
von f bezeichnet wird. Konkrete Beispiele solcher Polynome sind
f (x, y) = 2 + x + y 2 + 3yx − 7x3 , g(x, y, z) = xyz + 2x2 z 2 − y 5 , . . .
Der Grad eines Monoms xα = xα1 · · · xαnn wird als α1 + · · · + αn = |α| definiert, also als
die Summe aller auftretenden Exponenten. Dann bezeichnet die Zahl N“ gerade den
”
maximal auftretenden Grad, und das minimale mögliche N nennt man den Grad des
Polynoms, d.h. der Grad eines Polynoms ist der größte Grad eines mit Koeffizient 6= 0
auftretenden Monoms. Beispielsweise
x7 − y 2 z 4 + xyz
x3 y 3 z + x2 y 2 z 3 − xy
hat Grad 7,
hat Grad 7 = 3 + 3 + 1 = 2 + 2 + 3.
Polynome in mehreren Variablen sind unendlich oft differenzierbar und es ist auch
leicht ihre Ableitungen auszurechnen. Der Übersichtlichkeit halber erinnern wir uns
erst einmal an Ableitungen eines Polynoms in einer Variablen
(xk )0 = kxk−1 , (xk )00 = k(k − 1)xk−2 , . . . , (xk )(l) = k(k − 1) · · · (k − l + 1)xk−l
k(k − 1) · · · (k − l + 1)(k − l) · · · 1 k−l
k!
=
x =
xk−l
(k − l) · · · 1
(k − l)!
für l ≤ k und (xk )(l) = 0 für l > k. Für je zwei Multiindizes α, β der Länge n mit α ≤ β
folgt damit
β1 !
βn !
∂ |α| xβ
=
xβ1 1 −α1 · . . . ·
xβn −αn
α
∂x
(β1 − α1 )!
(βn − αn )! n
β!
β1 ! · . . . · βn !
xβ1 1 −α1 xβnn −αn =
xβ−α .
=
(β1 − α1 )! · . . . · (βn − αn )!
(β − α)!
Im Fall α 6≤ β ist dagegen αi > βi für ein 1 ≤ i ≤ n und somit ist ∂xβ /∂xα = 0.
9.2
Die Taylor Entwicklung in mehreren Variablen
Wir wollen jetzt die Taylorformel auf den Fall von Funktionen in mehreren Variablen
übertragen. Wir kennen zwei Varianten der eindimensionalen Taylorformel, einmal die
Darstellung mit Lagrangeschen Restglied aus I.§12.Satz 16 und zum anderen die Variante mit einer Integraldarstellung des Approximationsfehlers aus §2.Satz 21. Beide
Varianten lassen sich auf den n-dimensionalen Fall übertragen. Tatsächlich werden wir
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die Taylorformel in n Variablen durch Rückführung auf den Fall einer Variable herleiten.
Wir schauen uns zunächst einmal an wie man das macht. Seien also n ∈ N mit
n ≥ 1, eine offene Menge U ⊆ Rn , eine Funktion f : U → R und ein Entwicklungspunkt
x0 ∈ U gegeben. Wir wollen das Taylorpolynom p-ten Grades behandeln, wobei p ∈ N
mit p ≥ 1 ist, und hierzu setzen wir voraus das f mindestens (p + 1)-fach stetig
differenzierbar ist. Da U offen ist, finden wir einen Radius r > 0 mit Br (x0 ) ⊆ U . Sei
x ∈ Br (x0 ). Dann betrachten wir die Hilfsfunktion
h : [0, 1] → R; t 7→ f (x0 + t(x − x0 ))
mit h(0) = f (x0 ) und h(1) = f (x). Auf diese Funktion wollen wir die eindimensionale Taylorformel mit dem Entwicklungspunkt t0 = 0 anwenden. Hierzu müssen wir
zunächst einmal die ersten p Ableitungen von h berechnen. Mit der Kettenregel haben
wir
n
X
∂f
h (t) =
(x0 + t(x − x0 )) · (xi − x0,i ),
∂xi
i=1
X
∂2f
h00 (t) =
(x0 + t(x − x0 )) · (xi − x0,i )(xj − x0,j ),
∂xi ∂xj
1≤i,j≤n
0
X
000
h (t) =
1≤i1 ,i2 ,i3
∂3f
(x0 + t(x − x0 )) · (xi1 − x0,i1 )(xi2 − x0,i2 )(xi3 − x0,i3 ),
∂xi1 ∂xi2 ∂xi3
≤n
und so fortfahrend ergibt sich die k-te Ableitung für 1 ≤ k ≤ p + 1 als
h(k) (t) =
X
1≤i1 ,...,ik
∂kf
(x0 + t(x − x0 )) · (xi1 − x0,i1 ) . . . (xik − x0,ik ),
∂xi1 . . . ∂xik
≤n
jeweils für alle t ∈ [0, 1]. Jeder Summand (i1 , . . . , in ) definiert einen Multiindex α durch
αj := Anzahl der 1 ≤ q ≤ k mit iq = j
mit |α| = k und der entsprechende Summand nimmt dann die Form
∂ |α| f
(x0 + t(x − x0 )) · (x − x0 )α
∂xα
an. Leider können verschiedene Indizes zum selben Multiindex führen, und jeder Multiindex α mit |α| = k tritt in der Summe zur Berechnung von h(k) (t) so oft auf, wie
es zu ihm passende Multiindizes gibt. Dies Zahl können wir leicht ermitteln. Zunächst
einmal wählen wir irgendeine passende Indexkombination und alle anderen ergeben
sich dann durch Permutationen dieser k Indizes. Für diese Permutationen gibt es nach
I.§8.Lemma 1 genau k! Möglichkeiten. Allerdings können verschiedene Permutationen
23-9
Mathematik für Physiker II, SS 2015
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zu den selben Indizes führen, nämlich dann wenn sie nur Indizes mit gleichem Wert
vertauschen. Da es für 1 ≤ j ≤ n stets αj viele Indizes mit Wert j gibt, tritt dies genau
α1 ! · . . . · αn ! = α!
oft auf. Die Anzahl der zu α passenden Multiindizes ist also k!/α! und somit wird
h(k) (t) =
X k! ∂ k f
(x0 + t(x − x0 )) · (x − x0 )α
α! ∂xα
|α|=k
für jedes t ∈ [0, 1]. Das p-te Taylorpolynom von h zum Entwicklungspunkt t0 = 0 ist
also
Tp h(t) =
p
X
h(k) (0)
k=0
k!
tk =
X 1 ∂ |α| f
(x0 ) · (x − x0 )α t|α| .
α! ∂xα
|α|≤p
Werten wir dieses Polynom in t = 1 aus, so ergibt sich das Taylorpolynom der Funktion
f , also:
Definition 9.2 (Taylorpolynom in n Variablen)
Seien n, p ∈ N mit n, p ≥ 1, U ⊆ Rn offen, a ∈ U und f : U → R eine p-fach stetig
differenzierbare Funktion. Das p-te Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt a ist
dann das Polynom
Tp f (x) :=
X 1 ∂ |α| f
·
(a) · (x − a)α .
α! ∂xα
|α|≤p
In anderen Worten ist das Taylorpolynom Tp f das Polynom von Grad höchstens p
dessen sämtliche partiellen Ableitungen bis zu Ordnung p in a mit denen von f übereinstimmen. Beispielsweise haben wir im Fall n = p = 2 und dem Entwicklungspunkt
a = 0 das quadratische Taylorpolynom
T (x, y) = f (0) +
∂f
1 ∂2f
1 ∂2f
∂2f
∂f
2
2
(0)x +
(0)y +
(0)x
+
(0)y
+
(0)xy.
∂x
∂y
2 ∂x2
2 ∂y 2
∂x∂y
Rechnen wir als ein Beispiel einmal das quadratische Taylorpolynom der Funktion
f (x, y) = (3x + 4y)e−x
23-10
2 −y 2
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aus. Alle relevanten partiellen Ableitungen haben wir bereits berechnet
∂f
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y 2
= (3 − 6x2 − 8xy)e−x
= (4 − 8y 2 − 6xy)e−x
2 −y 2
2 −y 2
,
,
= (−18x − 8y + 12x3 + 16x2 y)e−x
2 −y 2
= (−8x − 6y + 12x2 y + 16xy 2 )e−x
2 −y 2
= (−6y − 8x + 16xy 2 + 12x2 y)e−x
2 −y 2
= (−6x − 24y + 16y 3 + 12xy 2 )e−x
2 −y 2
,
,
,
,
und damit gelten
∂f
∂f
(0, 0) = 3,
(0, 0) = 4,
∂x
∂y
und die vier partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind alle Null. Das quadratische
Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt Null ist damit
f (0, 0) = 0,
T2 f (x, y) = 3x + 4y.
Für das Taylorpolynom dritten Grades müssen wir die dritten partiellen Ableitungen
von f berechnen
∂3f
=
∂x3
=
3
∂ f
=
∂x2 ∂y
∂3f
=
∂x∂y 2
∂3f
=
∂y 3
=
(−18 + 36x2 + 32xy + 36x2 + 16xy − 24x4 − 32x3 y)e−x
(−18 + 72x2 + 48xy − 24x4 − 32x3 y)e−x
2 −y 2
,
(−8 + 16x2 + 36xy + 16y 2 − 24x3 y − 32x2 y 2 )e−x
2 −y 2
(−6 + 12y 2 + 12x2 + 48xy − 32xy 3 − 24x2 y 2 )e−x
2 −y 2
,
,
(−24 + 48y 2 + 24xy + 12xy + 48y 2 − 32y 4 − 24xy 3 )e−x
(−24 + 96y 2 + 36xy − 32y 4 − 24xy 3 )e−x
2 −y 2
2 −y 2
2 −y 2
und in (0, 0) auswerten
∂3f
∂3f
∂3f
∂3f
(0,
0)
=
−8,
(0,
0)
=
−18,
(0,
0)
=
−6,
(0, 0) = −24.
∂x3
∂x2 ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
Das dritte Taylorpolynom ist damit gleich
T3 f (x, y) = 3x + 4y − 3x3 − 4x2 y − 3xy 2 − 4y 3 .
23-11
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
Wie im eindimensionalen Fall approximieren die Taylorpolynome die gegebene Funktion, und zwar umso besser je höher der Grad des Taylorpolynoms ist. Es gibt auch
wieder eine Formel, die den Approximationsfehler explizit angibt.
Satz 9.4 (Taylorformel im Rn )
Seien n, p ∈ N mit n, p ≥ 1, U ⊆ Rn offen und f : U → R sei (p + 1)-fach stetig
differenzierbar. Seien weiter a ∈ U und r > 0 mit B r (a) ⊆ U . Dann gilt für jedes
x ∈ B r (a) die Taylorformel
f (x) =
X 1 ∂ |α| f
·
(a) · (x − a)α + τ (x − a)
α! ∂xα
|α|≤p
wobei τ (h) für ||h|| ≤ r der Approximationsfehler ist. Für ||h|| ≤ r ist dann
X
τ (h) = (p + 1)
|α|=p+1
1
α!
Z
1
p∂
(1 − t)
0
p+1
f
∂xα
(a + th) dt · hα
und es gibt ein ξ ∈ (0, 1) mit
τ (h) =
X
|α|=p+1
1 ∂ p+1 f
(a + ξh)hα .
α
α! ∂x
Beweis: Beide Aussagen folgen sofort durch Anwendung der eindimensionalen Taylorformeln I.§12.Satz 16 und §2.Satz 21 auf die oben besprochene Hilfsfunktion h.
Aus diesen Formeln kann man auch leicht die Größenordnung des Approximationsfehlers in Abhängigkeit von h bestimmen. Da f als (p + 1)-fach stetig differenzierbar
vorausgesetzt ist, sind alle partiellen Ableitungen ∂ p+1 f /∂xα für |α| = p + 1 stetig, also
auf der kompakten Menge B r (a) nach §8.Lemma 23.(d) beschränkt, d.h.
p+1
∂ f
<∞
A := max sup (x)
α
|α|=p+1 x∈B (a)
∂x
r
ist endlich. Weiter behaupten wir das für alle m, r ∈ N mit m ≥ 1 stets
X 1
mr
=
α!
r!
α∈Nm
|α|=r
ist. Dies kann man beispielsweise durch Induktion nach m einsehen. Für m = 1 ist die
Formel klar. Sei nun weiter m ∈ N mit m ≥ 1 und für jedes r ∈ N gelte die Formel. Sei
r ∈ N. Für jedes α ∈ Nm+1 mit |α| = r ist 0 ≤ αm+1 ≤ r und schreiben wir α = (β, k)
23-12
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
so sind damit 0 ≤ k ≤ r und |β| = r − k. Mit der binomischen Formel I.§1.Lemma 7
und der Induktionsannahme folgt damit
r
r
r X 1
X
X
1 X 1
mr−k
1X r
(m + 1)r
=
=
=
mr−k =
.
α! k=0 k! α∈Nm α! k=0 k!(r − k)!
r! k=0 k
r!
m+1
α∈N
|α|=r
|α|=r−k
Per vollständiger Induktion ist diese Behauptung damit bewiesen. In der Situation der
Taylorformel erhalten wir für h ∈ B r (0) ein ξ ∈ (0, 1) mit
τ (h) =
X
|α|=p+1
1 ∂ p+1 f
(a + ξh)hα
α! ∂xα
und wegen a + ξh ∈ B r (a) ist damit
X 1 ∂ p+1 f
X 1
Anp+1
· |hα | ≤ A||h||p+1
|τ (h)| ≤
(a
+
ξh)
=
||h||p+1
∞
∞ .
α
α! ∂x
α!
(p + 1)!
|α|=p+1
|α|=p+1
Setzen wir also
p+1
∂ f
np+1
(x) ,
max sup C :=
α
(p + 1)! |α|=p+1 x∈B r (a) ∂x
so ist |τ (h)| ≤ C||h||p+1
für alle h ∈ B r (0). Verwenden wir das in §1.1 eingeführte
∞
Landau Symbol, so schreibt sich die Taylorformel damit als
f (x) =
X 1 ∂ |α| f
(a) · (x − a)α + O(||x − a||p+1
·
∞ ).
α! ∂xα
|α|≤p
9.3
Lokale Extrema
Seien wieder U ⊆ Rn eine offene Menge und f : U → R eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. In §8.Satz 12 hatten wir gesehen, dass jedes lokale Extremum a ∈ U
von f auch ein kritischer Punkt von f ist, das also grad f (a) = 0 gilt. Ausgerüstet mit
der Taylorentwicklung des Satz 4 können wir nun auch die Frage untersuchen, wann
ein kritischer Punkt umgekehrt ein lokales Extremum ist. Sei also a ∈ U ein kritischer
Punkt von f . Das quadratische Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt a hat
dann wegen ∂f /∂xi (a) = 0 für i = 1, . . . , n die Form
X 1 ∂2
(a)(x − a)α
T2 (x) = f (a) +
α
α! ∂x
|α|=2
n
X
= f (a) +
i=1
X
∂2f
1 ∂2f
2
(a)(x
−
a
)
+
(a)(xi − ai )(xj − aj )
i
i
2 ∂x2i
∂xi ∂xj
1≤i<j≤n
= f (a) +
23-13
1 X
∂2f
(a)(x − ai )(x − aj ).
2 1≤i,j≤n ∂xi ∂xj
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
Dies ist nun eine quadratische Funktion im Sinne des §6.3, und kann daher in Matrixform als
1
T2 (x) = f (a) + (H(x − a)) · (x − a)
2
geschrieben werden, wobei H die aus den zweiten partiellen Ableitungen gebildete
n × n Matrix ist. Die Matrix H wird dann auch als die Hesse Matrix von f im Punkt
a bezeichnet:
Definition 9.3 (Die Hesse-Matrix)
Seien U ⊆ Rn offen, f : U → R eine zweifach differenzierbare Funktion und a ∈ U . Die
Hesse Matrix H von f in a ist dann die Matrix


∂2f
∂2f
(a)
(a)
·
·
·
2
∂x1 ∂xn
 ∂x1.

..
.

.
.
.
H=
.
.
.

2
2
∂ f
∂ f
(a)
·
·
·
(a)
∂xn ∂x1
∂x2
n
Nach Satz 2 ist die Hesse Matrix H symmetrisch, tatsächlich wurde Satz 2 bewiesen
indem die Symmetrie von H nachgewiesen wurde. Kommen wir zu unserem kritischen
Punkt a ∈ U zurück. Nahe bei a haben wir dann
1
f (x) = f (a) + (H(x − a)) · (x − a) + τ,
2
wobei wir den Approximationsfehler τ ausreichend nahe bei a erst einmal ignorieren
werden. Als symmetrische Matrix hat die Hesse Matrix H nach §6.Satz 7 nur reelle
Eigenwerte λ1 , . . . , λn und bezüglich eines geeigneten Koordinatensystems können wir
nach dem Satz §6.Korollar 11 über die Hauptachsentransformation auch
n
X
f (x) = f (a) +
λi (xi − ai )2 + τ
i=1
schreiben. An dieser Darstellung ist direkt ersichtlich ob in a ein lokales Extremum
vorliegt.
0
18
16
14
–0.5
12
8
6
10
4
8
–1
2
6
0
–2
4
–1.5
–4
2
–6
–3
–8
0
–2
3
–2
–1
2
x
0
1
0
2
–3
–2
–1
1
0
y
x2 + y 2
2
3
0
x
1
–1
–2
2
–2
–1
y
0
y
1
0.5
x2 − y 2
23-14
–0.5
0
x
–3 3
−x2 − y 2
–1
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
Sind alle Eigenwerte λ1 , . . . , λn > 0, so sieht T2 im wesentlichen wie ein nach oben
geöffnetes Paraboloid aus, und wir haben ein lokales Minimum. Im Fall λ1 , . . . , λn < 0
haben wir entsprechend ein nach unten geöffnetes Paraboloid und ein lokales Maximum.
Gibt es Eigenwerte λi > 0, λj < 0, so hat f wie die Sattelfläche in der Mitte in a
überhaupt kein lokales Extremum.
Nach §6.Satz 12 bedeutet λ1 , . . . , λn > 0 genau das die Hesse Matrix H positiv definit ist, der Fall λ1 , . . . , λn < 0 bedeutet das H negativ definit ist und bei Eigenwerten
mit verschiedenen Vorzeichen ist H indefinit. Dies führt auf den gleich folgenden Satz
über lokale Extrema. In unserer bisherigen Argumentation haben wir die quadratische
Taylorentwicklung verwendet und mussten dafür dreifache stetige Differenzierbarkeit
voraussetzen. Tatsächlich gilt der Satz auch wenn die Funktion nur als zweifach stetig differenzierbar vorausgesetzt wird, wir müssen unseren Beweis aber ein klein wenig
abändern.
Zunächst benötigen wir eine kleine Vorbemerkung über positiv definite Matrizen.
Wir betrachten die Menge
S := {A ∈ Rn×n |At = A}
aller symmetrischen n × n-Matrizen über R als Untervektorraum des Rn×n . Wir behaupten das die Menge P+ aller positiv definiten n × n-Matrizen über R eine offene
Teilmenge von S ist. Die Stetigkeit der Determinante ergibt, dass die Menge


 a11 · · · a1k 

a
·
·
·
a
11
1n


 .. . .

.
.
.
.
. . .. > 0
Pk :=  .
. ..  : ..


 a

ak1 · · · akk n1 · · · ann
für jedes 1 ≤ k ≤ n offen in S ist, und nach §4.Lemma 17.(g) und §6.Satz 14 ist damit
auch
n
\
Pk
P+ :=
k=1
offen in S. Weiter ist damit auch die Menge
P− := {A ∈ S|A ist negativ definit} = {A ∈ S| − A ∈ P+ }
aller negativ definiten Matrizen offen in S. Damit kommen wir zu unserem Satz über
lokale Extrema einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion.
Satz 9.5 (Kriterium für lokale Extrema)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, U ⊆ Rn offen, f : U → R eine zweifach stetig differenzierbare
Funktion und a ∈ U ein kritischer Punkt von f , also grad f (a) = 0. Sei H die Hesse
Matrix von f in a.
(a) Ist H positiv definit, so hat f in a ein lokales Minimum.
(b) Ist H negativ definit, so hat f in a ein lokales Maximum.
23-15
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
(c) Ist H indefinit, so hat f in a kein lokales Extremum.
Beweis: Wähle einen Radius r > 0 mit B r (0) ⊆ R. Da wir voraussetzen das die zweiten
partiellen Ableitungen von f stetig sind, ist auch die Hesse-Matrix H : U → Rn×n als
Funktion von x ∈ U eine stetige Funktion.
(a) Da die Menge der positiv definiten Matrizen offen in der Menge aller symmetrischen
Matrizen ist gibt es ein δ > 0 mit δ ≤ r so, dass für jedes x ∈ U mit ||x − a|| < δ auch
die Hesse-Matrix H(x) positiv definit ist. Sei jetzt h ∈ Rn mit 0 < ||h|| < δ gegeben.
Nach Satz 4 gibt es ein ξ ∈ (0, 1) mit
f (a + h) = f (a) + (H(a + ξh)h) · h,
und wegen ||a + ξh − a|| = ξ||h|| < δ ist H(a + ξh) positiv definit und somit
f (a + h) = f (a) + (H(a + ξh)h) · h > f (a).
Also ist f (x) > f (a) für alle a 6= x ∈ Bδ (a) und somit hat f in a ein lokales Minimum.
(b) Analog zu (a).
(c) Es gibt Vektoren u1 , u2 ∈ Rn mit ||u1 || = ||u2 || = 1, (Hu1 ) · u1 > 0 und (Hu2 ) · u2 <
0. Sei i ∈ {1, 2}. Da die Abbildung A 7→ (Aui ) · ui stetig ist, gibt es ein δi > 0 mit
δi ≤ r so, dass |(H(x)ui ) · ui − (Hui ) · ui | < |(Hui ) · ui | für alle x ∈ Bδ (a) ist und dann
ist auch sign((H(x)ui ) · ui ) = sign((Hui ) · ui ) für alle x ∈ Bδ (a).
Setze δ := min{δ1 , δ2 } > 0. Sei t ∈ (0, δ). Sei i ∈ {1, 2}. Dann ist ||tui || = t < δ ≤ r,
also existiert nach Satz 4 ein ξ ∈ (0, 1) mit
f (a + tui ) = f (a) + t2 (H(a + ξtui )ui ) · ui
und wegen ||ξtui || = ξt ≤ t < δi ist sign((H(a + ξtui )ui ) · ui ) = sign((Hui ) · ui ). Dies
zeigt f (a+tu1 ) > f (a) und f (a+tu2 ) < f (a). Damit hat f in a kein lokales Extremum.
Beachte das die Fallunterscheidung im Satz nicht vollständig ist, es gibt symmetrische
Matrizen H, die weder positiv definit, negativ definit noch indefinit sind. Dies passiert
wenn H den Eigenwert 0 hat, also nicht invertierbar ist. In dieser Situation sagt der
Satz nichts aus, und man muss sich den jeweils vorliegenden Spezialfall anschauen. Wir
rechnen jetzt einige Beispiele.
Zunächst sei f die schon mehrfach betrachtete Funktion
f (x, y) = x2 y + y 2 − 2y − xy.
Alle relevanten Ableitungen hatten wir bereits früher ausgerechnet
∂f
∂f
∂2f
∂2f
∂2f
= 2xy − y,
= x2 − x + 2y − 2, 2 = 2y,
= 2x − 1, 2 = 2.
∂x
∂y
∂x
∂x∂y
∂y
Wir hatten auch bereits alle kritischen Punkte von f berechnet, und genau drei solche
gefunden. Gehen wir diese drei kritischen Punkte einmal durch:
23-16
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
1. Der Punkt (x, y) = (1/2, 9/8). Die Hesse Matrix in diesem Punkt ist
∂2f 1 9 ! ∂2f 1 9
9
,
,
0
2
∂x
2 8 ∂x∂y 2 8
4
=
.
H=
∂2f
∂2f 1 9
1 9
0 2
,
,
∂x∂y 2 8
∂y 2 2 8
Diese Matrix ist positiv definit, wir haben also ein lokales Minimum.
2. Der Punkt (x, y) = (−1, 0). Diesmal wird die Hesse Matrix zu
0 −2
H=
.
−2
2
Da der Eintrag links oben Null ist, ist H weder positiv noch negativ definit. Um
zu entscheiden ob H indefinit ist, berechnen wir die Eigenwerte von H
√
√
χH (x) = x2 − 2x − 4 =⇒ λ = 1 ± 1 + 4 = 1 ± 5.
√
√
Wegen 1 − 5 < 0, 1 + 5 > 0 ist die Hesse Matrix H indefinit, und in (x, y) =
(−1, 0) ist kein lokales Extremum.
3. Der letzte kritische Punkt ist (x, y) = (2, 0). Diesmal gilt
0 3
H=
.
3 2
Wir rechnen wieder
√
√
χH (x) = x2 − 2x − 9 =⇒ λ = 1 ± 1 + 9 = 1 ± 10
√
√
und wegen 1 − 10 < 0, 1 + 10 > 0 haben wir wieder kein lokales Extremum.
Wir wollen noch ein allerletztes Beispiel rechnen, nämlich die ebenfalls schon in §8
behandelte Funktion
f (x, y, z) = x2 + 4y 2 − 2xyz + sin(πz).
Die relevanten partiellen Ableitungen sind
∂f
∂x
∂2f
∂x2
∂2f
∂y 2
= 2x − 2yz,
= 2,
= 8,
∂f
∂y
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂z
= 8y − 2xz,
= −2z,
= −2x,
∂f
∂z
∂2f
∂x∂z
∂2f
∂z 2
= −2xy + π cos(πz),
= −2y,
= −π 2 sin(πz).
In einem Beispiel in §8 hatten wir bereits ausgerechnet, dass es nur einen kritischen
Punkt (x, y, z) mit y 6= 0 gibt, nämlich
√ 1√
(x, y, z) =
π,
π, 2 .
2
23-17
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
Die Hesse Matrix von f in diesem kritischen Punkt ist

√ 
2
−4 −√π

−4
H= √
√ 8 −2 π .
− π −2 π
0
Wegen
2 −4 =0
−4
8 ist H nach dem Determinanten Kriterium §6.Satz 14 nicht positiv definit. Die Matrix
H kann auch nicht negativ definit sein, und wegen
√
2
−4 −√π
−4
8 −2 π
det H = √
− π −2√π
0
2 −4 1 2 −4 1 = π −8 16 0 = π −4
8
2
1
1
2 0 2 0 −8 16 = −32π
= π
1 2 ist H invertierbar. Damit ist H indefinit und es liegt kein lokales Extremum vor. Die
kritischen Punkte (x, 0, z) sind durch die Gleichungen
2x = 0, −2xz = 0 und π cos(πz) = 0
gegeben, also
(x, y, z) =
Wegen
mit n ∈ Z.
π
= (−1)n
2
2
wird die Hesse Matrix in diesem kritischen Punkt zu


2
−(2n + 1)
0
.
8
0
H =  −(2n + 1)
n+1 2
0
0
(−1) π
sin
π
1
0, 0, + n
2
+ nπ = (−1)n sin
Dabei gilt
2
−(2n + 1)
−(2n + 1)
8
= 16 − (2n + 1)2 = −4 n2 + n − 15 .
4
Die Nullstellen von x2 + x − 15/4 sind
r
1
1 15
1
5
3
− +
+
= − ± 2 also x = − und x = .
2
4
4
2
2
2
23-18
Mathematik für Physiker II, SS 2015
Freitag 10.7
Die Matrix H ist damit invertierbar und somit positiv definit oder indefinit. Weiter ist
nach dem Determinanten Kriterium §6.Satz 14
15
< 0 und (−1)n+1 π > 0
4
⇐⇒ n ∈ {−2, −1, 0, 1} und n ungerade
⇐⇒ n = ±1.
H ist positiv definit ⇐⇒ n2 + n −
In den kritischen Punkten
(x, y, z) =
1
0, 0, −
2
und (x, y, z) =
3
0, 0,
2
hat f also ein lokales Minimum und in den anderen kritischen Punkten liegt kein lokales
Extremum vor.
23-19