Modelle mit symmetrischer Informationsverteilung Kapitel 3

Fakultät für Wirtschaftswissenschaft
Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre,
insbesondere Bank- und Finanzwirtschaft
Univ.-Prof. Dr. Michael Bitz
Auszug aus
Kurs 41360: Finanz- und bankwirtschaftliche Modelle
KE 1:
Modelle mit symmetrischer Informationsverteilung
Kapitel 3:
Optionstheoretische Modellansätze
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I
Inhaltsverzeichnis
Kurs 41360: „Finanz- und bankwirtschaftliche Modelle“
KE 1:
„Modelle mit symmetrischer Informationsverteilung“
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Symbolverzeichnis zu Kapitel 3
Vorbemerkungen und Lehrziele
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
Das Modigliani-Miller-Modell und andere kapitalkostentheoretische Ansätze
Modellgrundlagen und Fragestellung
Kapitalkostenverläufe
1.2.1 Die traditionelle These
1.2.2 Die Modigliani-Miller-These
1.2.3 Kritische Würdigung der beiden Thesen
Konsequenzen alternativer Kapitalkostenverläufe für die Verschuldungs- und
Investitionspolitik
1.3.1 Verschuldungspolitik bei konstanten Fremdkapitalkosten
1.3.2 Verschuldungspolitik bei steigenden Fremd- und Eigenkapitalkosten und
vollständiger Konditionenanpassung
1.3.3 Verschuldungspolitik bei steigenden Fremd- und Eigenkapitalkosten ohne
Konditionenanpassung
1.3.4 Zusammenfassende Darstellung
1.3.5 Investitionsentscheidungen in der Modigliani-Miller-Welt
Das Capital-asset-pricing-model (CAPM)
Fragestellung und Grundlagen des capital-asset-pricing-model (CAPM)
2.1.1 Problemstellung
2.1.2 Das portefeuilletheoretische Ausgangsmodell
2.1.2.1 Portefeuillelinien und -flächen
2.1.2.2 Effiziente Portefeuilles, sichere Anlage und Verschuldung
Die Grundstrukturen des CAPM
2.2.1 Vorbemerkungen
2.2.2 Marktportefeuille und Kapitalmarktlinie
2.2.3 Die Bewertung einzelner Wertpapiere im CAPM
2.2.3.1 Die Wertpapier-Marktlinie
2.2.3.2 Systematisches und unsystematisches Risiko
2.2.3.3 Zwischenresümee und Ergänzungen
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V
XIV
II
2.3
2.4
3
3.1
3.2
3.3
3.4
Inhaltsverzeichnis
Finanzierungs- und Investitionsentscheidungen im Rahmen des CAPM
2.3.1 Vorbemerkungen
2.3.2 Finanzierungsentscheidungen: Wertadditivität und Irrelevanz
2.3.3 Investitionsentscheidungen
2.3.3.1 Das grundlegende Vorteilhaftigkeitskriterium
2.3.3.2 Modifikationen des Vorteilhaftigkeitskriteriums
2.3.3.3 Grenzen der Analyse
Zur Bedeutung des CAPM
2.4.1 Kernaussagen und Realitätsbezug des CAPM
2.4.1.1 Kernaussagen
2.4.1.2 CAPM und Realität
2.4.2 Zur praktischen Umsetzung von CAPM-Elementen
2.4.2.1 Empirische Ermittlung von Volatilitäten und Betafaktoren
2.4.2.2 Anlagestrategische Bedeutung von Betafaktoren
Optionstheoretische Modellansätze
Grundlagen
Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
3.2.1 Annahme über Kursverlauf der Aktie
3.2.2 Einperioden-Fall
3.2.2.1 Arbitrage und Duplikationsportfolio
3.2.2.2 Allgemeine Bestimmung des Optionswertes
3.2.3 Zweiperioden-Fall
3.2.4 T-Perioden-Fall
Optionswert vor Verfall im Modell nach Black/Scholes
Einordnung der Ergebnisse
Anhang 1.01:
Anhang 2.01:
Anhang 2.02:
Anhang 2.03:
Anhang 2.04:
Anhang 2.05:
Anhang 2.06:
Anhang 2.07:
Anhang 3.01:
Anhang 3.02:
Arbitrage-Prozeß nach Modigliani-Miller
Herleitung von μ-, σ-, cov- und ρ-Werten
μ-σ-Werte bei Mischung aus Wertpapieren und sicherer Anlage
μ-σ-Werte kreditfinanzierter Anlagen
Herleitung der Wertpapier-Marktlinie gemäß (2.08)
Herleitung der Marktwertrelationen gemäß (2.13) und (2.14)
Herleitung der Vorteilhaftigkeitsbedingung (2.35)
Herleitung der Vorteilhaftigkeitsbedingungen (2.36) und (2.37)
Herleitung des Binomialkoeffizienten
Herleitung des Ausdrucks (3.20)
Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Literaturverzeichnis
84
84
87
87
90
90
97
103
107
113
120
141
142
145
181
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Symbolverzeichnis zu Kapitel 3
Symbolverzeichnis zu Kapitel 3
a
„kritische“ Anzahl der Veränderungen des Aktienkurses um den
Faktor u
B
Betrag der Mittelanlage (+) bzw. Mittelaufnahme (–)
B(⋅)
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
C0
Wert der Option im Zeitpunkt t = 0
C′0
subjektiver Grenzpreis der Option in t = 0
Ctk
Wert der Option nach k Änderungen des Kurses der Aktie um den
Faktor u und t – k Änderungen um den Faktor d
CB
Basispreis
CT
Allgemeiner Wert der Option im Zeitpunkt T
d
Faktor für Veränderung des Aktienkurses im Binomialprozeß
d1, d2
Parameter im Black/Scholes-Modell
Δ
Delta, Anzahl der Aktien im Duplikationsportfolio
e
„Eulersche“ Zahl
ε
Zufallsvariable
GE
Geldeinheiten
k
Laufindex, Anzahl der Veränderungen des Aktienkurses um den
Faktor u
k′
kleinste ganze Zahl, für die k′ ≥ a gilt
λ
Gewichtungsfaktor für den Fall, daß sich der Aktienkurs um u verän(1 + r) − d
dert, formal: λ =
u−d
λ′
=
μ
Erwartungswert der Aktienrendite
n
Anzahl der Teilperioden bei unterjähriger Verzinsung
u
λ
1+ r
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V
VI
Symbolverzeichnis zu Kapitel 3
N(⋅)
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
r
sicherer Zinssatz bei diskreter Verzinsung
R
sicherer Zinssatz bei kontinuierlicher Verzinsung
S
Börsenkurs der Aktie
S0
Börsenkurs der Aktie im Zeitpunkt t = 0
Stk
Kurs der Aktie nach k Änderungen ihres Kurses um den Faktor u und
t – k Änderungen um den Faktor d
ST
Allgemeiner Wert der Aktie im Zeitpunkt T
σ
Standardabweichung der Aktienrendite
t
Zeitindex
T
Verfallzeitpunkt der Option
u
Faktor für Veränderung des Aktienkurses im Binomialprozeß
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XIV
Vorbemerkungen und Lehrziele
Vorbemerkungen und Lehrziele
Das dritte Kapitel ist zwei weiteren „Klassikern“ aus dem Reigen finanzierungstheoretischer Modelle gewidmet, nämlich zum einen dem sogenannten Binomialmodell und zum anderen dem BLACK-SCHOLES-Ansatz. Beide Modelle gehen
der Frage nach, wie sich – wiederum unter idealisierten Marktbedingungen – die
Gleichgewichtswerte von Optionen einstellen müßten und von welchen Einflußfaktoren sie abhängen.
Nach der gründlichen Bearbeitung dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein,
–
die grundlegenden Annahmen und das Vorgehen der optionspreistheoretischen Modellansätze bei der Bewertung von Optionen darzulegen,
–
das Konzept des Duplikationsportfolios und der damit verknüpften Arbitrageüberlegungen zu erläutern,
–
die Duplikationsportfolios für den Ein- und Zweiperioden-Fall für konkrete
Beispielfälle aufzustellen,
–
die allgemeine Bewertungsformel für den Ein- und Zweiperioden-Fall formal herzuleiten und auf konkrete Beispielfälle anzuwenden,
–
die Bewertungsformeln sowohl allgemein als auch durch Rückgriff auf den
Begriff der Pseudowahrscheinlichkeit zu interpretieren,
–
den Begriff der Pseudowahrscheinlichkeit und des Pseudoerwartungswertes
zu erläutern und kritisch zu hinterfragen und
–
die Gemeinsamkeiten und Unterschiede des Binomialmodells und des
BLACK/SCHOLES-Modells zu skizzieren.
1
Das MODIGLIANI-MILLER-Modell und andere
kapitalkostentheoretische Ansätze
2
Das Capital-asset-pricing-model (CAPM)
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84
3 Optionstheoretische Modellansätze
3
Optionstheoretische Modellansätze
3.1
Grundlagen
In den bisherigen Ausführungen zu Optionsrechten wurden zwei Fragestellungen
betrachtet, wobei die Betrachtung auf Aktienkaufoptionen beschränkt wurde:
Wert der Option im
Verfallzeitpunkt
1.
Welchen Wert hat eine bestimmte Option im Verfallzeitpunkt T?
2.
Welchen Wert hat eine Option vor ihrem Verfallzeitpunkt und von welchen Faktoren hängt der Wert der Option vor ihrem Verfallzeitpunkt ab?1)
Vor dem Hintergrund der dort aufgestellten Annahmen führte die Untersuchung
der ersten Fragestellung zu der Erkenntnis, daß der Wert einer bestimmten Aktienkaufoption im Verfallzeitpunkt allein2) von der Höhe des Kurses der als Basiswert zugrunde liegenden Aktie bestimmt wird. Der Wert ist bei gegebenem Aktienkurs unabhängig von den Präferenzen der Anleger. Bezeichnen wir den
Basispreis der Option mit CB, den Kurs der Aktie im Zeitpunkt T mit ST, so ergeben sich die Zahlung aus der Option und damit der Wert der Option im Zeitpunkt
T, der mit CT bezeichnet wird, allgemein aus:
(3.01)
CT = max(ST − CB ; 0) .
Der durch (3.01) beschriebene Wert wird in der Optionstheorie, wie Sie bereits
wissen, als innerer Wert der Option bezeichnet.
Grafisch kann die Relation (3.01) durch die folgende, Ihnen bereits bekannte Darstellung verdeutlicht werden:
CT
0
Abb. 3.01:
CB
ST
Kurswert einer Aktienkaufoption in Abhängigkeit vom Kurswert der Basisaktie im
Verfallzeitpunkt T (innerer Wert)
1 Vgl. dazu den Kurs „Banken und Börsen“ (41350), KE 2, Abschnitt 3.4.3.
2 Sofern man die Ausstattungsmerkmale der Option außer acht läßt.
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85
3.1 Grundlagen
In der beispielhaften Untersuchung der zweiten Fragestellung, also insbesondere
der Bestimmung des Wertes der Option vor ihrem Verfallzeitpunkt, wurde ebenfalls der Aktienkurs, genauer die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Aktienkurses
im Zeitpunkt T, als ein wesentlicher Einflußfaktor identifiziert. Um daraus einen
eindeutigen Wert der Option abzuleiten, wurde auf ein subjektives Bewertungskalkül zurückgegriffen. Der Wert wurde aus dem Erwartungswert der alternativ
möglichen Zahlungen aus der Option abgeleitet. Dies bedeutet, daß implizit ein
Anleger unterstellt wurde, der risikoneutral ist. Die abgeleiteten Bewertungen sind
daher, im Gegensatz zu denen im Verfallzeitpunkt, abhängig von den Präferenzen der betrachteten Anleger, erlauben aber zunächst noch keine Aussagen über
den Marktwert einer Option.
Wert der Option vor
ihrem Verfallzeitpunkt
– präferenzabhängige
Bewertung
Hier knüpfen die in diesem Kapitel darzustellenden optionstheoretischen Modelle
an: Vor dem Hintergrund der Annahmen dieser Modelle ist es möglich, ohne
Kenntnis der Präferenzen der Anleger einen eindeutigen Wert für die betrachtete Kaufoption vor ihrem Verfallzeitpunkt abzuleiten. Der Wert der Option kann
in diesen Modellen, wie Sie noch sehen werden, allein auf
– präferenzfreie
Bewertung
–
die Höhe des Aktienkurses im Betrachtungszeitpunkt,
–
die bei allen Anlegern als identisch angenommenen Erwartungen über alternativ mögliche Aktienkurse im Verfallzeitpunkt1) und
–
den sicheren Zins für Geldanlage und -aufnahme
zurückgeführt werden.2) Das subjektive Bewertungskalkül wird in diesen Modellen obsolet und durch eine Marktbewertung3) ersetzt.
Die dazu notwendigen Überlegungen bzw. die hinter den Modellen stehende Idee
sind Ihnen bereits aus dem Grundlagenkurs und aus der Bewertung von Bezugsrechten unter dem Begriff der Arbitragebewertung bekannt.4)
1 Hervorzuheben ist bereits hier, daß es nicht erforderlich ist, den alternativ möglichen Aktienkursen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Allein die Kenntnis der möglichen Alternativen
reicht aus!
2 Dies verdeutlicht den Charakter der Option als sog. „derivativen Finanztitel“. Der Wert derartiger Finanztitel kann allein aus den Werten „originärer“ Finanztitel abgeleitet werden.
3 Es ist wichtig, hier und in den weiteren Ausführungen zu berücksichtigen, daß mit „Markt“
nicht etwa ein empirisch zu beobachtender Finanzmarkt gemeint ist. Alle Überlegungen spielen
sich vor dem Hintergrund des durch die noch aufzuzeigenden Annahmen aufgespannten theoretischen Modellmarktes ab. Die Marktwerte entsprechen also theoretischen Marktwerten, die
sich aus den Annahmen des Modells ergeben müssen, und nicht etwa empirisch beobachtbaren.
4 Vgl. dazu die Kurse „Bank- und finanzwirtschaftliche Grundlagen“ (41310), Abschnitt 2.2.2,
und „Finanzierungsmanagement“ (41320), KE 1, Abschnitt 3.3.4.
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Arbitragebewertung
86
3 Optionstheoretische Modellansätze
Im Rahmen der Arbitragebewertung nutzt man die Tatsache, daß es auf einem
hinlänglich funktionierenden Markt ausgeschlossen ist, daß unterschiedliche Wege zur Erreichung desselben ökonomischen Ziels, z.B. den Besitz eines bestimmten Zahlungsstroms, mit unterschiedlich hohen Ein- bzw. Auszahlungen verbunden sind. Diese Annahme der Arbitragefreiheit erlaubt es, die Option ohne
Rückgriff auf Anlegerpräferenzen zu bewerten. Dazu ist es erforderlich, durch
bestimmte Transaktionen, deren Wert bzw. deren mit ihnen verbundene Zahlungen im Zeitpunkt t = 0 bekannt sind, den mit der Option im Zeitpunkt t = 1 verbundenen Zahlungsstrom nachzubilden.
Duplikationsportfolio
Der Wert des so gebildeten Duplikationsportfolios muß genau dem Wert der
duplizierten Option entsprechen. Diese Vorgehensweise ist Grundlage für alle im
folgenden dargestellten Modelle.
Annahmen, die für alle
betrachteten Modelle
gelten
Um die weiteren Überlegungen zu vereinfachen, wird von den folgenden Annahmen ausgegangen:
noch bei den einzelnen
Modellen zu spezifizierende Annahmen
•
Es werden beliebig teilbare Aktien und sich auf diese Aktien beziehende
Optionen auf einem idealen Markt gehandelt, auf dem keinerlei Transaktionskosten anfallen und alle Kauf- und Verkaufsentscheidungen jeweils ohne
jede Zeitverzögerung durchgeführt werden können. Bei den Aktien sind
keine Dividendenzahlungen, Kapitalerhöhungen oder ähnliche Maßnahmen
zu erwarten.
•
Jeder Akteur hat die Möglichkeit, zum sicheren Zins r unbegrenzt Mittel
anzulegen oder aufzunehmen.
•
Die zukünftigen Aktienkurse sind unsicher; die Akteure haben jedoch eine
einheitliche Vorstellung darüber, welche alternativ möglichen Werte die
Kurse in den zukünftigen Zeitpunkten annehmen können.
•
Bei den zu bewertenden Optionen handelt es sich um europäische Aktienkaufoptionen, die bei Ausübung im Wege des Barausgleichs erfüllt werden.
Die aufgezeigten Annahmen gelten für alle nachfolgend vorgestellten Modelle der
Optionstheorie. Die Modelle unterscheiden sich jedoch durch die im folgenden
noch näher zu untersuchenden Annahmen über die folgenden Sachverhalte:
1.
Zu welchen Zeitpunkten kann sich der Aktienkurs verändern bzw. zu welchen Zeitpunkten findet Aktienhandel statt (diskrete Zeitpunkte oder kontinuierlich)?
2.
Wie verändert sich der Aktienkurs in den Zeitpunkten (unstetig oder stetig)?
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3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
3.2
Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
3.2.1
Annahme über Kursverlauf der Aktie
Im Binomialmodell1) wird unterstellt, daß die Aktien nur zu diskreten äquidistanten Zeitpunkten gehandelt werden und es dabei in folgender Weise zu Kursänderungen gegenüber dem vorangegangenen Handelszeitpunkt kommt: Der Aktienkurs ändert sich entweder um den Faktor u oder um den Faktor d, wobei u > d
gelten soll. Die Veränderung ist daher unstetig. Die Faktoren u und d werden für
alle Zeitpunkte als konstant angenommen. Ob in einem Zeitpunkt der Faktor u
oder d eintritt, ist unabhängig von der Entwicklung des Aktienkurses in den vorangegangenen Zeitpunkten. Bei der beispielhaften Verdeutlichung des Binomialmodells wird häufig unterstellt, daß u > 1 > d gilt,
–
der Faktor u also eine Kurssteigerung verdeutlicht (daher „u“ wie englisch
„up“) und
–
der Faktor d eine Kurssenkung anzeigt („d“ wie englisch „down“).
Die Annahme u > 1 > d stellt allerdings keine zwingende Voraussetzung des im
folgenden zu behandelnden Modells dar. Jedoch kann gezeigt werden, daß auf
einem hinlänglich funktionierenden Markt die Bedingung
(3.01′) u > 1 + r > d
erfüllt sein muß, da es sonst zu Arbitrageprozessen mit sicheren Gewinnen kommen würde. Folgende Übungsaufgabe gibt Ihnen Gelegenheit, sich selbst etwas
näher mit dieser für die weiteren Ausführungen geltenden Annahme auseinanderzusetzen.
Übungsaufgabe 3.01:
Begründen Sie, warum auf einem arbitragefreien Finanzmarkt zwingend u > 1+r > d gelten
muß!
Bezeichnet man mit S0 den aktuellen Aktienkurs und mit Stk den Aktienkurs, der
sich im Zeitpunkt t ergibt, nachdem sich die Aktie k mal um den Faktor u und (t –
k) mal um den Faktor d verändert hat, so ergibt sich Stk formal aus:
1 Entwickelt wurde dieses Modell von John C. Cox, Stephen Ross und Mark Rubinstein. Vgl.
COX/ROSS/RUBINSTEIN (1979).
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diskrete Zeitpunkte
unstetiger
Aktienkursverlauf
88
3 Optionstheoretische Modellansätze
(3.02)
Darstellung des
möglichen Aktienkursverlaufes im
Binomialbaum
Stk = S0 ⋅ u k ⋅ d t − k .
Die möglichen Verläufe des Aktienkurses können in einem sog. Binomialbaum
dargestellt werden:
S33
S22
= S 0·u2
S11
= S0 · u
S0
S12
= S 0·u·d
S01
= S0 · d
S02
= S 0·d2
1
t=0
2
= S 0·u3
S23
= S 0·u2·d
S13
= S 0·u·d 2
S03
= S 0·d3
3
Abb. 3.02: Mögliche Aktienkursverläufe im Binomialmodell
Übungsaufgabe 3.02:
Gegeben sind die folgenden Daten: S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5 und t = 3.
Stellen Sie die möglichen Aktienkursverläufe im Binomialmodell in einer der Abb. 3.02 entsprechenden Abbildung dar!
Offensichtlich können sich im Binomialmodell die meisten Aktienkurse auf mehreren Wegen ergeben. So kann z.B. der Kurs S32 alternativ dadurch erreicht werden, daß
–
zunächst zweimal u und dann d oder
–
zunächst u, dann d und dann wieder u oder
–
zunächst d und dann zweimal u
eintreten.
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89
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
Die Anzahl der Möglichkeiten, die zu einem bestimmten Aktienkurs Stk führen,
entspricht dabei dem folgenden, als Binomialkoeffizient bezeichneten Ausdruck:
⎛t⎞
t!
⎛
⎞ 1)
⎜ k ⎟ = ⎜ k!⋅ (t − k)! ⎟ .
⎝
⎠
⎝ ⎠
(3.03)
Übungsaufgabe 3.03:
Gehen Sie von den Daten der Übungsaufgabe 3.02 aus (S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5). Im
Zeitpunkt t = 4 können danach unter anderem Aktienkurse von
...
= 6, 25 GE
...
= 56, 25 GE
(1) S4
(2) S4
erreicht werden.
a) Verdeutlichen Sie jeweils, auf wieviel verschiedenen „Wegen“ (d.h. u- und d-Folgen) diese Kurse erreicht werden können!
b) Überprüfen Sie Ihre „per Hand“ gefundenen Ergebnisse anschließend an Hand von Formel (3.03)!
c) Im Zeitpunkt t = 10 kann u.a. der Kurs
6
6
S10 = 100 ⋅ 1, 5 ⋅ 0, 5
4
= 71,1914 GE .
eintreten. Stellen Sie fest, auf wie vielen „Wegen“ dies möglich ist!
Vor dem Hintergrund dieser Annahmen über den Verlauf des Aktienkurses wird
im folgenden Abschnitt zunächst eine Option mit einer Laufzeit von einer Periode
betrachtet und bewertet. Anschließend werden die aufgezeigten Zusammenhänge
auf Optionen mit einer Laufzeit von zwei Perioden übertragen. Eine Verallgemeinerung der Bewertungsformel für den T-Perioden-Fall schließt die Darstellung des
Binomialmodells ab.
1 Sprich „t über k“. Eine anschauliche Herleitung dieses Ausdrucks finden Sie im Anhang 3.01
zu diesem Kapitel.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
Binomialkoeffizient
90
Einperioden-Fall
3 Optionstheoretische Modellansätze
3.2.2
Einperioden-Fall
3.2.2.1
Arbitrage und Duplikationsportfolio
Zur Verdeutlichung der grundlegenden Vorgehensweise bei der Bewertung von
Optionen wird zunächst der Fall betrachtet, daß die zu bewertende Option eine
Laufzeit von genau einer Periode hat. Das folgende Zahlenbeispiel liegt den weiteren Ausführungen zugrunde:
Beispiel 3.01:
Im Zeitpunkt t = 0 soll der Wert einer europäischen Kaufoption, C0, bestimmt werden, die im
Zeitpunkt t = 1 verfällt. Der Basispreis der Option beträgt CB = 135 GE. Die zugrunde liegende Aktie weist einen aktuellen Börsenkurs in Höhe von S0 = 150 GE auf. Es wird davon aus-
gegangen, daß ihr Börsenkurs im Zeitpunkt t = 1 binomialverteilt ist mit den Faktoren u = 1,4
und d = 0,4. Der sichere Zins beträgt r = 0,05.
Der Wert der im Beispiel dargestellten Option soll unter Rückgriff auf die eingangs angesprochenen Arbitrageüberlegungen ermittelt werden. Dazu wird in der
Fortsetzung des Beispiels demonstriert, welche Transaktionen im Zeitpunkt t = 0
notwendig sind, um die aus der Option im Zeitpunkt t = 1 alternativ möglichen
Zahlungsgrößen exakt nachzubilden. Der Wert des durch diese Transaktionen
gebildeten Duplikationsportfolios im Zeitpunkt t = 0 entspricht aufgrund der
Arbitragefreiheit des betrachteten Marktes genau dem Wert der duplizierten Option.
Die Vorgehensweise wird am Zahlenbeispiel verdeutlicht:
Beispiel zur intuitiven
Bewertung einer Option
im Einperioden-Fall
Beispiel 3.01 (1. Fortsetzung):
Aus dem Besitz der Option können sich im Zeitpunkt t = 1 alternativ die folgenden Zahlungen
ergeben:
•
Im Fall, daß sich der Aktienkurs um den Faktor u ändert, nimmt die Aktie im Zeitpunkt
1
t = 1 den Wert S1 = 210 GE an. In diesem Fall ist es sinnvoll, die Option auszuüben. Dies
1
führt zu einer Einzahlung aus der Option in Höhe von C1 = 210 GE −135 GE = 75 GE .
•
Im Fall, daß sich der Aktienkurs um den Faktor d ändert, beträgt der Kurs der Aktie
0
im Zeitpunkt t = 1 S1 = 60 GE . In diesem Fall wird die Option nicht ausgeübt. Aus der
0
Option resultiert daher keine weitere Zahlung. Daher gilt: C1 = 0 GE .
Die möglichen Entwicklungen des Aktienkurses und der Zahlung aus der Option (jeweils in
GE) geben die beiden folgenden Darstellungen wieder:
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91
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
S11 =210
C11 =75
C 0 =???
S 0 =150
S01 =60
C01 =0
Es soll nun versucht werden, die aus der Option alternativ möglichen Rückzahlungen von
75 GE oder 0 durch ein sogenanntes Duplikationsportfolio nachzubilden. Zur Bildung dieses
Portfolios stehen die folgenden beiden Instrumente zur Verfügung:
1. Kauf von Aktien in t = 0 und Verkauf des Bestandes in t = 1.
2. Mittelanlage bzw. -aufnahme von t = 0 bis t = 1 zum sicheren Zinssatz r = 5%.
Um die Unsicherheit der mit der Kaufoption verbundenen Zahlung nachzubilden, ist offensichtlich nur die Anlage in die Aktie geeignet. Ein Portfolio bestehend aus einer Aktie würde
1
0
im Zeitpunkt t = 1 entweder den Wert S1 = 210 GE oder S1 = 60 GE aufweisen. Die Variationsbreite zwischen diesen Werten beträgt genau 150 GE. Der nachzubildende Zahlungsstrom
der Option weist im Zeitpunkt t = 1 dagegen nur eine Variationsbreite in Höhe von
1
0
C1 − C1 = 75 GE − 0 GE = 75 GE auf. Um exakt diese Schwankungsbreite nachzubilden, muß
das Duplikationsportfolio daher genau
C11 − C10
S11 −S10
=
75 GE
= 0, 5 Aktien enthalten.
150 GE
Ein Portfolio, welches genau 0,5 Aktien enthält, führt im Zeitpunkt t = 1, sofern der Aktienkurs sich um den Faktor u ändert, zu einer Zahlung in Höhe von 0,5 ⋅ 210 GE = 105 GE, und,
sofern sich der Kurs um den Faktor d ändert, zu einer Zahlung in Höhe von
0,5 ⋅ 60 GE = 30 GE. Diese Zahlungskonsequenzen (in GE) werden in der nächsten Abbildung noch einmal verdeutlicht:
0,5·S11 = 105
0,5 Aktien
0,5⋅S01 = 30
Diese Zahlungen übersteigen offensichtlich in beiden möglichen Zuständen die Zahlungen der
zu duplizierenden Kaufoption um genau 30 GE.
Um die Kaufoption exakt zu duplizieren, muß daher in t = 0 neben dem Aktienkauf zusätzlich
ein Geschäft abgeschlossen werden, welches im Zeitpunkt t = 1 unabhängig von der eingetretenen Veränderung des Aktienkurses zu einer Auszahlung in Höhe von 30 GE führt. Ein derartiges Geschäft ist eine Mittelaufnahme in Höhe von 30 GE ⋅ 1,05–1 = 28,57 GE. Die folgende
Abbildung faßt die Zahlungskonsequenzen (in GE) aus der Aktienanlage und der Mittelaufnahme noch einmal zusammen:
0,5 ⋅ S11 –28,57⋅1,05 = 75
0,5 Aktien und
Geldaufnahme
von 28,57
0,5 ⋅ S01 –28,57⋅ 1,05 = 0
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
92
3 Optionstheoretische Modellansätze
Zusammenfassend führen also der Kauf von 0,5 Aktien und die Aufnahme von Mitteln in Höhe von 28,57 GE im Zeitpunkt t = 0 zu einer exakten Nachbildung bzw. Duplikation des aus
der betrachteten Kaufoption im Zeitpunkt t = 1 resultierenden Zahlungsstroms.
Der Wert des so gebildeten Duplikationsportfolios im Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Wert von
0,5 Aktien im Zeitpunkt t = 0 abzüglich der Höhe der aufgenommenen Mittel, also:
0,5 ⋅ 150 GE + (–28,57 GE) = 46,43 GE.
Aufgrund der Arbitragefreiheit des Marktes muß damit der Wert der Option C0 genau
46,43 GE betragen.
Übungsaufgabe 3.04:
Gehen Sie von den folgenden Daten aus: S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5; CB = 120 GE und r =
0,1.
Bestimmen Sie den Wert der Option durch Duplikation, indem Sie
a) die Anzahl Aktien im Duplikationsportfolio,
b) die Höhe der Aufnahme bzw. Anlage von Mitteln im Duplikationsportfolio und
c) den Wert des Duplikationsportfolios
bestimmen!
Plausibilitätsüberlegungen zum
abgeleiteten
Optionswert
betrachtete idealtypische
Anlegergruppen
In dem vorangegangenen Beispiel haben wir zunächst nur gezeigt, daß die für die
Option charakteristische Struktur der in t = 1 möglichen Zahlungen (75/0) auch
durch eine bestimmte Form einer teilweise fremdfinanzierten Aktienanlage erreicht werden kann und dazu im Zeitpunkt t = 0 der Betrag von 46,43 GE aufgewendet werden muß. Dieser Befund alleine belegt jedoch noch nicht unmittelbar,
daß die gefundene Größe zugleich auch den Wert der Option bestimmt, der sich
auf einem transaktionskostenfreien perfekten Markt einspielen muß. Um auch
diese weitergehende Behauptung plausibel zu machen, wollen wir nun der Frage
nachgehen, was passieren würde, wenn sich ein „perfekter“ Market-Maker bereithielte, die Option zu einem anderen Kurs als 46,43 GE in beliebigen Mengen aufzukaufen und zu verkaufen. Bezüglich des „Marktumfeldes“ betrachten wir dazu
die folgenden fünf idealtypischen Anlegergruppen A bis E:
•
Anleger der Gruppen A und B sind bisher weder in Aktien noch in Optionen des betrachteten Unternehmens engagiert, interessieren sich jedoch für
die damit verbundenen künftigen Zahlungsstrukturen (210/60) bzw. (75/0)
und versuchen dementsprechend, die
–
einer Aktie (Gruppe A) bzw.
–
einer Option (Gruppe B)
entsprechende Zahlungsstruktur so günstig wie möglich zu erwerben.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
93
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
•
Anleger der Gruppen C und D sind demgegenüber im Besitz
–
einer Aktie (Gruppe C) bzw.
–
einer Option (Gruppe D)
und wollen die damit verbundene Zahlungsstruktur auch behalten. Sie sind
aber bereit, die Aktie bzw. die Option zu verkaufen, wenn sie die mit ihr
verbundene Zahlungsstruktur auf anderem Wege günstiger erwerben können.
•
Anleger der Gruppe E sind weder im Besitz von Aktien noch von Optionen
und beabsichtigen auch nicht, einen Bestand in Aktien oder Optionen aufzubauen. Sie sind jedoch ständig auf der Suche nach Arbitragechancen, die
ihnen ohne Nettokonsequenzen in späteren Zeitpunkten ein zusätzliches
Einkommen in t = 0 erbringen.
Beispiel 3.02:
0
Es gelten die aus Beispiel 3.01 bekannten Ausgangsdaten (S0 = 150 GE; S1 = 60 GE;
1
S1 = 210 GE; r = 0,05), zudem wird als Situation I angenommen, der Market-Maker erwäge,
den Optionspreis auf C′0 = 50 GE zu fixieren, und gebe diese Information zunächst einmal
„testweise“ bekannt, um die möglichen Marktreaktionen zu testen. Sofern die Anleger ihre
Einschätzungen dieser Lage offen darlegen, also nicht bluffen oder sonstwie taktieren, wäre
mit folgenden Reaktionen zu rechnen, deren zahlungsmäßige Konsequenzen (in GE) in der
folgenden Tabelle jeweils aufgelistet sind:
t=1
t=0
Zustand „u“
A: Kauf von 1 Aktie
B: Kauf von 0,5 Aktien, Geldaufnahme von 30/1,05
C: –
D: Verkauf von 1 Option, Kauf
von 0,5 Aktien, Geldaufnahme
von 30/1,05.
E: Verkauf von 1 Option, Kauf
von 0,5 Aktien, Geldaufnahme
von 30/1,05.
Zustand „d“
– 150
+ 210
+ 60
–75
+105
+30
+28,57
–30
–30
– 46,43
+ 75
±0
–
–
–
+50
–75
±0
–75
+105
+30
+28,57
–30
–30
+ 3,57
±0
±0
+50
–75
±0
–75
+105
+30
+28,57
–30
–30
+ 3,57
±0
±0
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Situation I: Festlegung
des Optionspreises über
dem abgeleiteten
Optionswert C0
94
3 Optionstheoretische Modellansätze
Anleger der Gruppe A könnten die für die Aktie charakteristische Zahlungsstruktur alternativ
auch dadurch erreichen, daß sie zwei Optionen erwerben (Ergebnisse in t = 1: +150/±0) und
den Betrag von 60/1,05 = 57,14 GE festverzinslich anlegen (Ergebnis in t = 1: +60/+60), müßten dafür jedoch mit 2 ⋅ 50 + 57,14 = 157,14 GE mehr aufwenden als beim direkten Erwerb
der Aktie, würden den direkten Erwerb also vorziehen.
Anleger der Gruppe B, die wir schon aus Beispiel 3.01 kennen, kämen auf dem schon ausführlich dargestellten indirekten Erwerbsweg günstiger an die Zahlungsstruktur einer Option
als beim direkten Kauf.
Anlegern der Gruppe C würden sich keine lukrativen Möglichkeiten eröffnen; sie würden also am Markt gar nicht aktiv.
Anlegern der Gruppe D hingegen eröffnet sich die aus der Tabelle ablesbare Strategie, bei der
die ursprüngliche Zahlungsstruktur für t = 1 (+75/±0) völlig unverändert bleibt, jedoch in t = 0
ein sicheres Zusatzeinkommen von 3,57 GE erzielt werden kann.
Anleger der Gruppe E können durch „Ausgabe“ einer Option und Kauf von 0,5 Aktien und
eine Geldaufnahme von 30/1,05 GE ein sicheres Zusatzeinkommen von 3,57 GE erzielen. In
der Tabelle wird davon ausgegangen, daß sie eine derartige Arbitragetransaktion nur in einem
begrenzten Umfang tätigen, d.h., daß jeder Anleger der Gruppe E nur eine Option verkauft. Da
aber die aufgezeigte Transaktion weder einen Mitteleinsatz erfordert noch Risiken beinhaltet,
wird jeder Anleger der Gruppe E unendlich oft diese Transaktion durchzuführen wünschen.
Das erzielbare Zusatzeinkommen wäre dabei theoretisch unendlich groß.
Angebot und Nachfrage
in Situation I
Nimmt man an, die fünf Anlegergruppen A bis E würden die Gesamtheit aller
Marktteilnehmer vollständig abdecken, so würde unser Market-Maker folgendes
rubrizieren:
•
Anleger der Gruppen A bis C treten weder als Käufer noch als Verkäufer
der Option auf.
•
Anleger der Gruppe D wären bereit, ihre Optionen zum Kurs von 50 GE
anzubieten.
•
Anleger der Gruppe E wären ebenfalls bereit, Optionen zum Kurs von
50 GE anzubieten. Aus den im Beispiel genannten Gründen wird aber jeder
Anleger dieser Gruppe nicht nur eine, sondern unendlich viele Optionen
zum Kauf anbieten.
Bei diesem Kurs würde also ausschließlich Angebot, jedoch keinerlei Nachfrage
herrschen. Der Kurs von 50 GE stellt somit ganz offensichtlich keinen Gleichgewichtskurs dar. Dieses Ergebnis hätte auch dann noch Bestand, wenn Anleger
keine Optionen ausgeben könnten, Anleger der Gruppe E die skizzierten Transaktionen also nicht durchführen könnten. Und dieses Ergebnis hätte außerdem auch
dann Bestand, wenn zusätzliche Anleger in die Betrachtung einbezogen würden,
die Handelsstrategien verfolgen, in denen die Elemente der fünf idealtypischen
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95
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
Handelsstrategien A bis E kombiniert werden. Der „Market-Maker“ würde somit
die zunächst ja nur „testweise“ erfolgte Kursfixierung von C′0 = 50 GE nach unten, z.B. auf C′′0 = 45 GE , revidieren, was zu den in der folgenden Fortsetzung
unseres Beispiels verdeutlichten Reaktionen führen würde.
Beispiel 3.02 (Fortsetzung):
Folgende Tabelle verdeutlicht wieder die in der jetzt betrachteten Situation II mit
C′′0 = 45 GE naheliegenden Reaktionen und die daraus folgenden Zahlungskonsequenzen (in
GE) der fünf Anlegergruppen:
t=1
t=0
Zustand „u“
A: Kauf von 2 Optionen,
Geldanlage von 60/1,05
Zustand „d“
+150
±0
–57,14
+60
+60
– 147,14
+ 210
+ 60
–90
B: Kauf von 1 Option
– 45
+ 75
±0
C: Verkauf von 1 Aktie,
Kauf von 2 Optionen,
Geldanlage von 60/1,05
+150
–210
–60
–90
+150
±0
–57,14
+60
+60
+ 2,86
±0
±0
–
–
–
+150
–210
–60
–90
+150
±0
–57,14
+60
+60
+ 2,86
±0
±0
D: –
E: Verkauf von 1 Aktie,
Kauf von 2 Optionen,
Geldanlage von 60/1,05
Für Anleger der Gruppe A wäre es jetzt günstiger, die Aktien nicht direkt zu 150 GE zu erwerben, sondern die entsprechende Zahlungsstruktur auf dem „Umweg über die Option“ für
nur 147,14 GE. Für Anleger der Gruppe B wäre es demgegenüber jetzt besser, die Option direkt zu 45 GE und nicht auf dem „Umweg über die Aktie“ zu 46,43 GE zu erwerben.
Anlegern der Gruppe C würde sich jetzt die skizzierte Möglichkeit eröffnen, die bei unveränderter Struktur der zukünftigen Zahlungen ein sicheres Gegenwartseinkommen von 2,86 GE
erbringen würde, während es für Anleger der Gruppe D gerade „nichts zu tun“ gäbe.
Anleger der Gruppe E können in diesem Fall ein sicheres Zusatzeinkommen von 2,86 GE erzielen, indem sie 2 Optionen kaufen, eine Aktie „leer“ verkaufen und eine Geldanlage von
60/1,05 GE tätigen. Auch hier wird in der Tabelle wieder unterstellt, daß Anleger der Gruppe
E eine derartige Arbitragetransaktion genau einmal durchführen. Aber auch in diesem Fall erfordert die Transaktion weder einen Mitteleinsatz noch verursacht sie irgendwelche Risiken.
Jeder Anleger der Gruppe E wird daher unendlich oft diese Transaktion durchzuführen wünschen.
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Situation II: Festlegung
des Optionspreises
unter dem abgeleiteten
Optionswert C0
96
Angebot und Nachfrage
in Situation II
3 Optionstheoretische Modellansätze
Für unseren Market-Maker würde sich in der zuletzt unterstellten Situation – mit
umgekehrten Vorzeichen – ein ähnlicher Befund ergeben wie in der Ausgangssituation: Auch C′′0 = 45 GE wäre kein Gleichgewichtspreis, da der Nachfrage
aus den Anlegergruppen A, B, C und E keinerlei Angebot gegenüberstünde.
Gleichgewichtspreis der
Option
Die Auflösung dieses Dilemmas ist offensichtlich dann erreicht, wenn der einheitliche Angebots- und Nachfragekurs einer Option genau auf den schon zuvor ermittelten Kurs von C0 = 46,43 GE fixiert würde. Dieser Kurs kann somit in der
Tat als der Gleichgewichtspreis der Option angesehen werden.
zur Annahme eines
exogen vorgegebenen
Aktienkurses S0
Die vorgetragene Analyse gilt allerdings nur unter der bislang gesetzten Annahme, daß die Einflußfaktoren S0, u, d und r exogen fest vorgegeben sind. Zumindest im Hinblick auf den Aktienkurs S0 ist diese Annahme jedoch keineswegs
zwingend. Betrachtet man nämlich noch einmal die beiden Situationen I und II, so
stellt man folgendes fest:
•
In der ungleichgewichtigen Situation I (C′0 = 50 GE) würde es nicht nur zu
einem nachfragelosen Angebot von Optionen kommen; vielmehr würden
zugleich Impulse für die Anleger der Gruppen A, B, D und E ausgelöst, Aktien zum zunächst angenommenen Kurs von S0 = 150 GE nachzufragen,
ohne daß dem ein entsprechender Angebotsimpuls gegenüberstünde.
•
In der ebenfalls ungleichgewichtigen Situation II (C′′0 = 45 GE) würde es
ganz analog nicht nur zu einer angebotslosen Nachfrage nach Optionen
kommen, sondern für Aktien zugleich zu einem Verkaufsimpuls für Anleger
der Gruppen C und E, dem wiederum kein entsprechender Nachfrageimpuls
gegenübersteht.
Die Überwindung der bei S0 = 150 GE und C′0 = 50 GE bzw. S0 = 150 GE und
C′′0 = 45 GE bestehenden Ungleichgewichte müßte also gar nicht – so wie bislang
stillschweigend unterstellt – ausschließlich durch eine Anpassung des Optionspreises nach unten (Situation I) bzw. nach oben (Situation II) erfolgen; ebenso gut
könnte man sich eine Anhebung bzw. Senkung des Aktienkurses vorstellen. Dabei
bestehen
neben
der
bislang
betrachteten
Gleichgewichtssituation
=
150
/
C
=
46,43)
beliebig
viele
weitere
S
-C
-Kombinationen,
die ebenfalls
(S0
0
0 0
zu einem Marktgleichgewicht führen würden.
zur Annahme von
Leerverkaufsmöglichkeiten
Zudem macht die angestellte Analyse deutlich, daß die aufgezeigten Nachfrageund Angebotseffekte nicht erst dann entstehen, wenn den Marktteilnehmern die
Möglichkeit eingeräumt wird,
–
Aktien leer zu verkaufen bzw.
–
Optionen auszugeben.
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97
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
Von diesen Möglichkeiten machen im dargestellten Beispiel überhaupt nur die
Anleger der Gruppe E Gebrauch: In Situation I geben sie Optionen aus und in
Situation II verkaufen sie Aktien leer.
Wären diese Transaktionsmöglichkeiten verschlossen, so wären ihre dargestellten
Arbitragetransaktionen nicht durchführbar und sie würden weder als Anbieter
noch als Nachfrager von Optionen in Erscheinung treten. Von ihnen würden in
diesem Fall daher keine Angebots- bzw. Nachfrageeffekte ausgehen. Die Anleger
der Gruppen A bis D hingegen können unabhängig von der Möglichkeit des Leerverkaufs bzw. der Ausgabe der Optionen ihre dargestellten Transaktionen durchführen. Die durch sie verursachten Angebots- bzw. Nachfrageeffekte bleiben bestehen. Festzuhalten bleibt allerdings, daß diese deutlich geringer sein werden, als
die durch die Anleger der Gruppe E verursachten Effekte, da die Anleger der
Gruppe E im Gegensatz zu denen der übrigen Gruppen in unbegrenztem Umfang
Transaktionen durchführen möchten. Die Annahme von Leerverkaufsmöglichkeiten ist also für die Ableitung eines Gleichgewichtspreises für Optionen zwar eine
besonders komfortable und daher häufig unterstellte Annahme. Sie ist dafür aber
keineswegs unerläßlich.
Im weiteren Verlauf der Modelldarstellung wollen wir jedoch wieder der auch
ansonsten üblichen Vorgehensweise folgen und unterstellen, daß der Aktienkurs
exogen vorgegeben ist, also auch durch eventuell einsetzende Arbitrageoperationen nicht beeinflußt wird. Außerdem betrachten wir Leerverkäufe als möglich.
3.2.2.2
Allgemeine Bestimmung des Optionswertes
Die dargestellten Überlegungen lassen sich leicht zu einer allgemeinen Bewertungsformel für den Einperioden-Fall verallgemeinern. Die Anzahl der zur Duplikation notwendigen Aktien Δ und die Höhe der Mittelanlage bzw. -aufnahme B
ergeben sich allgemein aus dem folgenden Gleichungssystem:
Δ ⋅ u ⋅ S0 + (1 + r) ⋅ B = C11,
Δ ⋅ d ⋅ S0 + (1 + r) ⋅ B = C10 .
Auf der linken Seite dieser Gleichungen steht jeweils die Zahlung aus dem Duplikationsportfolio im Zeitpunkt t = 1. Sie setzt sich zusammen aus
–
dem Kurs der Aktie im Zeitpunkt t = 1, multipliziert mit der Anzahl der im
Duplikationsportfolio enthaltenen Aktien, die mit Δ bezeichnet wird, und
–
der Zahlung aus der im Zeitpunkt t = 0 getätigten Mittelanlage (B > 0) bzw.
Mittelaufnahme (B < 0).
Diese Zahlungen müssen in den möglichen Zuständen jeweils den Zahlungen aus
der Option entsprechen, die auf der rechten Seite der Gleichungen stehen.
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Ableitung einer
allgemeinen Bewertungsformel für den
Einperioden-Fall
Bedingung für das
Duplikationsportfolio
98
3 Optionstheoretische Modellansätze
Löst man dieses Gleichungssystem auf, so ergibt sich für die Anzahl der Aktien
im Duplikationsportfolio und für die Höhe der Mittelanlage bzw. -aufnahme:
Anzahl Aktien im
Duplikationsportfolio
(3.04)
Δ =
C11 − C10
(u − d) ⋅ S0
Höhe der Mittelaufnahme /-anlage im
Duplikationsportfolio
(3.05)
B =
1 u ⋅ C10 − d ⋅ C11
.
⋅
1+ r
u−d
Übungsaufgabe 3.05:
Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse aus der Übungsaufgabe 3.04, Teil a) und b), mittels der Gleichungen (3.04) und (3.05)!
(S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5; CB = 120 GE und r = 0,1)
Der Wert der Kaufoption läßt sich, wie gezeigt, aus dem Wert des Duplikationsportfolios ableiten. Der gesuchte Wert der Kaufoption ergibt sich damit allgemein
aus der folgenden Berechnung:
(3.06)
C0 = Δ ⋅ S0 + B
C11 − C10
1 u ⋅ C10 − d ⋅ C11
=
⋅ S0 +
⋅
(u − d) ⋅ S0
1+ r
u−d
=
1 ⎛ (1 + r) − d 1 u − (1 + r) 0 ⎞
⋅
⋅ C1 +
⋅ C1 ⎟ .
1 + r ⎜⎝ u − d
u−d
⎠
Setzt man λ = (1+ r)−d ein, so kann die Bewertungsformel für die Kaufoption veru −d
einfacht werden zu:
Allgemeine
Bewertungsformel im
Einperioden-Fall
(3.07)
C0 =
(
)
1
⋅ λ ⋅ C11 + (1 − λ ) ⋅ C10 .
1+ r
Beachtet man, daß gemäß (3.01′) u > 1+r > d gilt, stellt man leicht fest, daß auch
0 < λ < 1 gelten muß. Der Klammerausdruck in (3.07) kann dann als gewogener
Durchschnitt der beiden in t = 1 alternativ möglichen Optionswerte interpretiert
werden, wobei der Größe λ bzw. (1 – λ) die Rolle des Gewichtungsfaktors zukommt. Die Division dieses Ausdrucks durch (1+r) schließlich stellt nichts anderes dar als einen einfachen Abzinsungsvorgang. Der für C0 gefundene Ausdruck
kann somit insgesamt als
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99
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
–
Barwert
–
eines speziellen Durchschnittswertes der Option in t = 1
interpretiert werden.
Übungsaufgabe 3.06:
Überprüfen Sie den in der Übungsaufgabe 3.04 ermittelten Wert der Kaufoption mittels der
Gleichung (3.07)!
(S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5; CB = 120 GE und r = 0,1)
Eine nähere Betrachtung der Bewertungsformel (3.07) läßt einige interessante
Schlußfolgerungen zu:
•
Aus der Herleitung von (3.07) ist ersichtlich, daß die Kenntnis der Eintrittswahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Fälle „Kurs der Aktie verändert
sich um den Faktor u“ bzw. „Kurs der Aktie verändert sich um den Faktor
d“ zur Bestimmung des Optionswertes nicht erforderlich ist. Die Bewertung
der Option ist also nur abhängig von der Erwartung, daß im Zeitpunkt t = 1
Schlußfolgerungen:
Kenntnis der
Wahrscheinlichkeiten
alternativer Aktienkurse
nicht erforderlich
nur die alternativen Aktienkurse S11 und S10 eintreten können, aber unabhängig von der Erwartung, mit welchen Wahrscheinlichkeiten diese beiden
alternativen Aktienkurse eintreten.
•
Zudem wurde an keiner Stelle eine Aussage über die Risikopräferenz der
Akteure getroffen. Auch davon ist die Bewertungsformel für die Kaufoption
unabhängig. Sie gilt sowohl für risikoneutrale, -scheue also auch für
-freudige Marktakteure.
Beide zuletzt angesprochenen Sachverhalte widersprechen zunächst der Intuition.
Dieser „Widerspruch“ kann jedoch aufgehoben werden, wenn man sich klar
macht, wie die Bewertung letztendlich funktioniert. Die Bewertungsformel gibt
lediglich das Verhältnis zwischen Optionswert, Aktienkurs und sicherem Zinssatz
r an, welches sich unter idealen Bedingungen auf dem Finanzmarkt ergeben
muß.1) Es erfolgt keine „eigenständige“ Bewertung der Option.
1 Dies gilt ganz analog für die im Kurs „Finanzierungsmanagement“ (41320), KE 1, Abschnitt
3.3.4, dargestellte Bezugsrechtsformel.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
Bewertung ist
unabhängig von
Risikopräferenzen
Funktionsweise der
Bewertungsformel
100
3 Optionstheoretische Modellansätze
Die Bewertung der Option erfolgt letztendlich allein durch Rückgriff auf die
Marktwerte der zur Duplikation herangezogenen Titel am Finanzmarkt. Diese
Marktwerte hängen aber zum einen davon ab, mit welchen Wahrscheinlichkeiten
die Anleger das Eintreten bestimmter Aktienkurse erwarten. Zum anderen hängen
sie von den Präferenzen der Anleger ab. Die in der Bewertungsformel (3.07) auf
den ersten Blick nicht enthaltenen Anlegerpräferenzen und die Wahrscheinlichkeiten bzgl. der Aktienkursentwicklung sind also in den Marktwerten „versteckt“.
Um diese Überlegungen nicht zu sehr im Abstrakten zu belassen, betrachten wir
noch einmal die Ausgangsdaten des Beispiels 3.01. Dort hatten wir unterstellt,
–
daß alle Akteure übereinstimmend davon ausgehen, daß die Aktie im Zeitpunkt t = 1 einen Kurs von 210 GE oder von 60 GE annehmen wird, und
–
daß sich der Marktwert dieser Aktie im Zeitpunkt t = 0 auf 150 GE beläuft.
Völlig offen gelassen haben wir jedoch die Frage, welcher Transmissionsmechanismus dazu führt, daß die unsichere, nicht einmal mit Eintrittswahrscheinlichkeiten versehene Zahlungsverteilung (210/60) eine Periode vorher gerade mit
150 GE bewertet wird. Wollte man „dieses Faß aufmachen“, so würde man naheliegender Weise zunächst über subjektive Wahrscheinlichkeitsurteile und Risikopräferenzen der einzelnen Akteure sowie über deren alternative Geldanlage- und aufnahmemöglichkeiten nachdenken. Man würde so im allgemeinen Fall zu unterschiedlichen subjektiven Grenzpreisen der einzelnen Anleger kommen und müßte
in einem zweiten Schritt darüber nachdenken, wie sich im Zuge eines Angebotsund Nachfrageprozesses auf dem Aktienmarkt schließlich ein Gleichgewichtskurs
von 150 GE für unsere Aktie bilden würde. All diese Überlegungen werden in
dem hier betrachteten Modell nicht angestellt; das Faß bleibt zu und der oben angesprochene Transmissionsmechanismus wird als „black box“ als gegeben vorausgesetzt.
mögliche Interpretation
der Größe λ
In diesem Zusammenhang erlaubt die Größe λ allerdings eine interessante Interpretation. Aus (3.07) erkennt man, daß diese Größe zunächst nichts anderes als
einen Gewichtungsfaktor darstellt, mit dem die möglichen Ausprägungen der Zahlung aus der Option in ihrem Verfallzeitpunkt gewichtet werden. Wie wir schon
gesehen haben, kann dieser Faktor nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Er
weist damit in formaler Hinsicht Ähnlichkeiten zu Kennziffern über die Wahrscheinlichkeit bestimmter Zustände auf. Die Größe λ wird daher in der Literatur
häufig als „Pseudowahrscheinlichkeit“ bezeichnet. Legt man diese Auffassung
zugrunde, so stellt der Klammerausdruck in (3.07) nicht „irgendeinen“ gewogenen
Durchschnitt dar, er kann vielmehr unmittelbar als der (Pseudo-)Erwartungswert
des Optionswertes in t = 1 interpretiert werden, der ganze Ausdruck C0 dementsprechend als abgezinster Erwartungswert. Daraus ergibt sich dann folgende Interpretation:
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
–
wäre ein Anleger risikoneutral eingestellt und
–
würde er den (subjektiven) Wert möglicher zukünftiger Zahlungen durch
den mit dem sicheren Zins ermittelten Barwert des Erwartungswertes dieser
Zahlungen bestimmen und
–
würde er den alternativ möglichen Zahlungen C11 und C10 gerade die Eintrittswahrscheinlichkeiten λ bzw. (1 – λ) zuordnen,
dann würde er der Option im Zeitpunkt t = 0 gerade den durch (3.07) bestimmten
Wert C0 zuordnen.
Zu beachten ist allerdings, daß C0 in unserem Modell
–
gerade nicht als Ergebnis eines subjektiven Grenzpreiskalküls,
–
sondern als arbitragebestimmte (objektive) Marktgröße
bestimmt worden ist. Immerhin läßt sich jedoch folgende fiktionale als-ob-Aussage treffen: Als Ergebnis der vorgestellten Modellierung
–
bewertet „der Markt“ Optionen so,
–
als ob er wie ein risikoneutraler Anleger den Barwert auf der Basis der
Pseudowahrscheinlichkeiten λ bzw. (1 – λ) ermitteln würde.
Der entsprechende Zusammenhang gilt im übrigen naheliegender Weise auch für
den Marktwert S0 einer Aktie, für die im Zeitpunkt t = 1 ja alternativ die Werte
u ⋅ S0 und d ⋅ S0 möglich sind. Für den auf der Basis der Pseudowahrscheinlichkeiten λ und (1 – λ) ermittelten Erwartungswert S1 des Aktienkurses in t = 1 gilt
dann:
S1 = λ ⋅ u ⋅ S0 + (1 − λ) ⋅ d ⋅ S0 , woraus
nach Substitution von λ durch den vor Formel (3.07) angegebenen Ausdruck
(
(1 + r) − d
u−d
) und Ausklammern weiter folgt
S1 =
S0
⋅ [ u ⋅ ((1 + r) − d) + d ⋅ (u − (1 + r))]
u−d
=
S0
⋅ [(1 + r) ⋅ (u − d)] = S0 ⋅ (1 + r) .
u−d
Der aktuelle Aktienkurs in t = 0 kann somit in der Tat als der mit dem risikolosen
Zinssatz r abgezinste Pseudo-Erwartungswert der in t = 1 möglichen Aktienkurse
interpretiert werden.
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101
102
3 Optionstheoretische Modellansätze
Wichtig ist jedoch, sich des fiktionalen Charakters der zuletzt vorgetragenen Interpretationen von C0 und S0 als Barwert von Pseudo-Erwartungswerten auf der
Basis der Pseudowahrscheinlichkeiten λ und (1 – λ) bewußt zu bleiben: Die zuletzt betrachtete Welt risikoneutraler Akteure mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsvorstellungen ist nur eine mögliche Konstellation von Präferenzund Erwartungsstrukturen unter unendlich vielen anderen denkbaren Konstellationen, die alle ebenfalls damit vereinbar sein können, daß sich der Marktwert zweier
zukünftig möglicher Zahlungsgrößen (u ⋅ S0; d ⋅ S0) bzw. (u ⋅ S0 – CB; 0) heute
gerade auf S0 bzw. C0 nach (3.07) beläuft.
Folgende Übungsaufgabe zu einem risikoscheuen Optimisten gibt Ihnen Gelegenheit, sich mit der zentralen Arbitrageidee des vorgetragenen Modells selbst noch
etwas näher zu beschäftigen.
Übungsaufgabe 3.07:
Gehen Sie von den Daten der Übungsaufgabe 3.06 aus, also von S0 = 100 GE; CB = 120 GE;
u = 1,5; d = 0,5; r = 0,1 und somit λ = 0,6 und (1 – λ) = 0,4! Betrachten Sie nun folgenden risikoscheuen Optimisten, der durch folgende Annahmen gekennzeichnet ist:
•
Er bewertet eine Wahrscheinlichkeitsverteilung alternativ möglicher Zahlungen mit ihrem
Sicherheitsäquivalent, das er nach dem Bernoulli-Prinzip auf der Basis der
RNF u(e) = e bestimmt.
•
Seinen in t = 0 maßgeblichen subjektiven Grenzpreis für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in t = 1 anfallender Zahlungen berechnet er als Barwert des Sicherheitsäquivalents,
wobei er den risikolosen Zinssatz von 10% zugrundelegt.
•
Die Wahrscheinlichkeit für eine Steigerung des Aktienkurses von 100 GE auf 150 GE
veranschlagt er subjektiv mit 80%, also mit einem höheren Wert als der Pseudowahrscheinlichkeit von 60%. Die daraus abgeleitete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die aus
der betrachteten Option in t = 1 erzielbaren Rückflüsse hat somit folgendes Aussehen:
(150 – 120) = 30
(80%)
0
(20%)
a) Bestimmen Sie für den betrachteten Anleger das Sicherheitsäquivalent der aus der Option
in t = 1 erzielbaren Rückflüsse sowie den auf t = 0 bezogenen subjektiven Grenzpreis!
b) Begründen Sie, warum der risikoscheue Optimist trotz des unter a) ermittelten höheren
subjektiven Grenzpreises bei rationalem Handeln doch nur bereit sein wird, den schon aus
den Übungsaufgaben 3.04 und 3.06 bekannten Wert von C0 = 16,36 GE zu zahlen, wenn
die sonstigen Marktbedingungen unseres Modells erfüllt sind!
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103
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
Die Interpretation der Größen λ und (1 – λ) als „Pseudowahrscheinlichkeiten“ und
des auf ihrer Basis ermittelten Durchschnittswertes der Optionszahlungen als
„Pseudo-Erwartungswert“ erweist sich allerdings als eine einerseits besonders
eingängige und andererseits besonders leicht zu handhabende Interpretationsform.
Dies macht es auch verständlich, daß bei der Darstellung des Binomialmodells in
der Lehrbuchliteratur gelegentlich der Eindruck entsteht, daß die in dem erörterten
Sinne risikoneutrale Bewertung von Optionen eine zwingende Voraussetzung dieses Modells sei.
3.2.3
Zweiperioden-Fall
Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Binomialmodell für den Fall dargestellt, daß die Laufzeit der Option genau eine Periode beträgt. In diesem Abschnitt
wird dagegen angenommen, daß sich die Laufzeit der Option über zwei Perioden
erstreckt.
Es gelten die weiter oben aufgezeigten Zusammenhänge über die Entwicklung des
Aktienkurses. Der Aktienkurs kann daher die in der folgenden Abbildung dargestellten Entwicklungen nehmen:
t=
0
1
2
2
S 2 = u 2· S 0
1
S1 = u · S0
1
S0
S2 = u · d · S0
0
S1 = d· S0
0
2
S 2 = d · S0
Abb. 3.03: Mögliche Aktienkursverläufe im 2-Perioden-Binomialmodell
Die möglichen Verläufe werden nachfolgend anhand des Beispiels verdeutlicht:
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
Zweiperioden-Fall
104
3 Optionstheoretische Modellansätze
Beispiel 3.01 (2. Fortsetzung):
(S0 = 150 GE; u = 1,4; d = 0,4; CB = 135 GE und r = 0,05; Angaben in GE)
t=
0
1
2
2
S 2 = 294
1
S 1 = 210
1
S 2 = 84
S 0 =150
0
S 1 = 60
0
S 2 = 24
Der mögliche Verlauf des Wertes der Kaufoption kann durch folgenden Zustandsbaum verdeutlicht werden:
t=
0
1
2
2
C2
1
C1
1
C2
C0
0
C1
0
C2
Abb. 3.04: Entwicklung des Wertes einer Option im 2-Perioden-Binomialmodell
Bewertung durch
rekursives Anwenden
der Bewertungsformel
des Einperioden-Falls
Um den Wert der Option im Zeitpunkt t = 0 zu bestimmen, ist ein rekursives Vorgehen erforderlich. Den Ausgangspunkt bilden die drei möglichen Optionswerte
im Zeitpunkt t = 2. Davon ausgehend werden unter Anwendung von Formel
(3.07) die zwei möglichen Optionswerte im Zeitpunkt t = 1 ermittelt. So ergibt
sich:
(3.08)
C11 =
(
1
⋅ λ ⋅ C22 + (1 − λ ) ⋅ C12
1+ r
)
bzw.
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105
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
C10 =
(3.09)
)
(
1
⋅ λ ⋅ C12 + (1 − λ ) ⋅ C20 .
1+ r
Das Vorgehen wird nachfolgend anhand des Beispiels erläutert.
Beispiel 3.01 (3. Fortsetzung):
(S0 = 150 GE; u = 1,4; d = 0,4; CB = 135 GE und r = 0,05)
Für Zahlungen aus der Option in t = 2 ergeben sich die folgenden Werte:
2
C2
= 159 GE ,
C12
= 0
0
C2
= 0 .
und
Für den Gewichtungsfaktor λ ergibt sich:
(1+ r)− d
1,05− 0,4
=
= 0, 65 .
u −d
1,4 − 0,4
λ =
Für die zwei möglichen Optionswerte im Zeitpunkt t = 0 folgt daraus:
1
C1 =
1
⋅ ( 0,65 ⋅ 159 + (1 − 0,65) ⋅ 0 ) = 98, 43 GE
1,05
und
C10 =
1
⋅ ( 0,65 ⋅ 0 + (1 − 0,65) ⋅ 0 ) = 0 .
1,05
Die so ermittelten Optionswerte werden wiederum in die Bewertungsformel für
den Einperioden-Fall, also in (3.07), eingesetzt, um den Optionswert für den Zeitpunkt t = 0 zu bestimmen. Als allgemeine Bewertungsformel für den 2-PeriodenFall ergibt sich daraus:
(
(3.10)
)
(
)
1 ⎛
1
1
⎞
⋅⎜λ ⋅
λ ⋅ C22 + (1 − λ ) ⋅ C12 + (1 − λ ) ⋅
⋅ λ ⋅ C12 + (1 − λ ) ⋅ C02 ⎟
1+ r ⎝ 1+ r
1+ r
⎠
1
=
⋅ λ 2 ⋅ C22 + 2 ⋅ λ ⋅ (1 − λ ) ⋅ C12 + (1 − λ )2 ⋅ C20 .
2
(1 + r)
C0 =
(
)
Für unser Beispiel folgt daraus die folgende Berechnung für den Wert der Option
im Zeitpunkt t = 0:
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allgemeine
Bewertungsformel für
den Zweiperioden-Fall
106
3 Optionstheoretische Modellansätze
Beispiel 3.01 (4. Fortsetzung):
(S0 = 150 GE; u = 1,4; d = 0,4; CB = 135 GE und r = 0,05)
Die folgenden Werte wurden bereits in der 3. Fortsetzung des Beispiels ermittelt:
2
1
0
C2 = 159 GE; C2 = 0; C2 = 0 und λ = 0, 65.
Für den Wert der Option im Zeitpunkt t = 0 folgt aus (3.10):
C0 =
1
1,052
(
⋅ 0,652 ⋅ 159 + 2 ⋅ 0,65 ⋅ (1− 0,65) ⋅ 0 + (1− 0,65)2 ⋅ 0
)
= 60,93 GE.
Übungsaufgabe 3.08:
Überprüfen Sie das im vorangegangenen Beispiel nach Formel (3.10) abgeleitete Ergebnis, indem Sie von den in Beispiel 3.01 (3. Fortsetzung) ermittelten möglichen Optionswerten von
0
C11 = 98,43 und C1 = 0 ausgehen und den auf t = 0 bezogenen Wert dieser Zahlungsmöglichkeiten nach Formel (3.07) berechnen!
Die dargestellte Bewertungsformel läßt sich anschaulich interpretieren:
Interpretation der
Bewertungsformel im
Zweiperioden-Fall
Der Ausdruck in der rechten Klammer kann wieder als eine Art „gewogener
Durchschnitt“ interpretiert werden, zumal sich die Summe der Gewichtungsfaktoren ⎡λ 2 + 2 ⋅ λ ⋅ (1 − λ) + (1 − λ)2 ⎤ nach wie vor genau auf 1 beläuft. Die mögli⎣
⎦
chen Zahlungen aus der Option bei Fälligkeit werden mit zwei Faktoren gewichtet:
1.
Sie werden mit der Anzahl von Wegen, die zu dem Aktienkurs führen, der
gerade diese Zahlung aus der Option verursacht, gewichtet. Diese Zahlen
wurden weiter oben als Binomialkoeffizient bezeichnet.
2.
Zudem werden die Zahlungen mit den Gewichtungsfaktoren λ und 1 – λ
gewichtet. Dabei wird jede Zahlung so oft mit λ bzw. 1 – λ gewichtet, wie
der Weg, der zu dem zugrundeliegenden Kurs der Aktie geführt hat, eine
Veränderung um u bzw. um d aufweist. Z.B. bezeichnet C12 die Zahlung aus
der Option, wenn sich der Kurs der zugrundeliegenden Aktie innerhalb der 2
Perioden einmal um den Faktor u und einmal um den Faktor d verändert hat.
Folgerichtig wird die Zahlung einmal mit λ und einmal mit 1 – λ gewichtet.
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107
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
Der so ermittelte gewogene Durchschnitt bezieht sich auf den Zeitpunkt t = 2 und
muß folglich noch abgezinst werden. Dies erfolgt durch die Multiplikation
der rechten Klammer mit dem linken Bruch, der dem Abzinsungsfaktor für zwei
Perioden entspricht.
Für die im Einperiodenfall maßgebliche Bewertungsformel (3.07) hatten Sie
schon die spezielle Interpretation für die Annahme einer risikoneutralen Bewertung kennengelernt. Diese Interpretation hält auch im Zweiperioden-Fall: Die
Gewichtungsfaktoren λ 2 , 2 ⋅ λ ⋅ (1 − λ) und (1 − λ)2 können wiederum als „Pseudowahrscheinlichkeiten“ angesehen werden und der gesamte Klammerausdruck
somit als Pseudo-Erwartungswert der in t = 2 erzielbaren Zahlungen. Dessen
Barwert bestimmt dann ganz analog zu (3.07) den Gleichgewichtswert der Option
im Zeitpunkt t = 0.
Anhand der folgenden Aufgabe können Sie sich die aufgezeigten Zusammenhänge noch einmal verdeutlichen:
Übungsaufgabe 3.09:
Gehen Sie von den Daten der Übungsaufgabe 3.04 aus (S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5;
CB = 120 GE und r = 0,1) und nehmen Sie an, die Laufzeit der Option betrüge nicht eine, sondern zwei Perioden!
a) Ermitteln Sie die drei möglichen „Endwerte“ der Option in t = 2 sowie die beiden möglichen Werte der Option im Zeitpunkt t = 1!
b) Ermitteln Sie den Wert der Option im Zeitpunkt t = 0!
c) Zeigen Sie auf, wie sich die Zusammensetzung des Duplikationsportfolios im Zeitablauf
ändert!
d) Wie hoch sind die Ein- und Auszahlungen, die mit der Anpassung des Duplikationsportfolios im Zeitablauf verbunden sind?
3.2.4
T-Perioden-Fall
Nach diesen Überlegungen soll die Bewertungsformel für eine Option mit einer
beliebigen Laufzeit T abgeleitet werden. Dabei bedienen wir uns des bereits dargestellten Sachverhaltes, daß der Optionswert als abgezinster gewogener Durchschnitt der Zahlungen aus der Option bei Fälligkeit hergeleitet werden kann.
Entscheidend für die Höhe der Zahlung aus der Option bei Fälligkeit ist, wie bereits dargestellt, die Höhe des Kurses der Basisaktie im Zeitpunkt T. Dieser ergibt
sich im Binomialmodell allgemein aus der Gleichung (3.02), sofern man für t den
Fälligkeitszeitpunkt T einsetzt. Für den gesuchten Aktienkurs gilt also:
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
T-Perioden-Fall
108
Aktienkurs im
Zeitpunkt T
3 Optionstheoretische Modellansätze
(3.11)
k
ST
= S0 ⋅ u k ⋅ d T − k
mit 0 ≤ k ≤ T.
Zur Erinnerung: k bezeichnet die Anzahl der Änderungen des Aktienkurses um
den Faktor u und dementsprechend bezeichnet T – k die Anzahl der Änderungen
des Aktienkurses um den Faktor d zwischen den Zeitpunkten 0 und T.
Die Zahlung aus der Option bei ihrer Fälligkeit ergibt sich damit aus:
k
CT
= max(STk − CB ; 0)
mit 0 ≤ k ≤ T.
Zahlung aus der Option
im Zeitpunkt T
(3.12)
Gewichtung der Zahlungen aus der Option …
Nachdem nun Klarheit über die Höhe der der Berechnung zugrundeliegenden
Zahlungen geschaffen wurde, müssen deren Gewichtungsfaktoren betrachtet werden. Wie auch im Fall der Option mit einer Laufzeit von 2 Perioden gibt es zwei
Faktoren, die zu berücksichtigen sind:
mit der Anzahl der
Wege, die zu ihnen
führen,
1.
und mit dem
Gewichtungsfaktor λ
2.
Die Zahlungen müssen mit der Anzahl der „Wege“ gewichtet werden, die
im Binomialmodell zu dem Aktienkurs führen, der die entsprechende Zahlung aus der Option verursacht. Diese Anzahl entspricht für die mit CTk bezeichnete Zahlung aus der Option dem bereits dargestellten BinomialT
T!
⎞.
koeffizienten ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛⎜
⎟
k!
(T
k)!
⋅
−
k
⎠
⎝ ⎠ ⎝
Als weitere Gewichtungsfaktoren sind die Größen λ und 1 – λ zu beachten.
Wie bereits erläutert, wird die Zahlung aus der Option so oft mit λ bzw.
1 – λ gewichtet, wie der Weg, der zu dem zugrundeliegenden Kurs der
Aktie geführt hat, eine Veränderung um u bzw. um d aufweist. Die mit CTk
bezeichnete Zahlung aus der Option entsteht genau dann, wenn sich der
Kurs der zugrundeliegenden Aktie innerhalb der T Perioden k mal um den
Faktor u und (T – k) mal um den Faktor d verändert hat. Folglich wird die
Zahlung mit λ k ⋅ (1 − λ)T − k gewichtet.
Insgesamt wird die Zahlung CTk somit mit dem folgenden Faktor gewichtet:
(3.13)
gewogener Durchschnitt
der Zahlungen aus der
Option im Zeitpunkt T
T!
⎛
⎞ k
T−k
⎜
⎟ ⋅ λ ⋅ (1 − λ )
⎝ k!⋅ (T − k)! ⎠
mit 0 ≤ k ≤ T.
Für den gewogenen Durchschnitt der Zahlungen aus der Option im Zeitpunkt T
kann damit allgemein geschrieben werden:
T
(3.14)
⎛
T!
⎞
⋅ λ k ⋅ (1 − λ )T − k ⋅ max(u k ⋅ d T − k ⋅ S0 − CB ; 0) .
∑⎜
⎟
k = 0 ⎝ k!⋅ (T − k)! ⎠
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109
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
Um diesen recht unhandlichen Ausdruck weiter zu vereinfachen, wollen wir zunächst versuchen, den Maximaloperator zu eliminieren. Dazu hilft die folgende
Überlegung: Immer dann, wenn der Maximaloperator als Ergebnis den Wert Null
ergibt, liefert er multipliziert mit den Gewichtungsfaktoren keinen weiteren Beitrag zum gewogenen Durchschnitt der Zahlungen aus der Option. Der Summand
könnte daher der Einfachheit halber gleich entfallen. Der Operator liefert immer
genau dann den Wert Null, wenn die Option nicht ausgeübt wird. Das wiederum
ist genau dann der Fall, wenn der Basispreis größer als der im Fälligkeitszeitpunkt
maßgebliche Aktienkurs ist, also
CB > u k ⋅ d T − k ⋅ S0
gilt. Es gibt offenbar eine mehr oder weniger große Anzahl „schlechter“ Kursentwicklungen (mit wenigen „u“-Bewegungen und vielen „d“-Bewegungen), die
dieser Bedingung entsprechen. Dabei interessiert uns insbesondere die „beste“
Kursentwicklung, bei der die Ausübung der Option gerade noch nicht lohnt. Bezeichnet man die dazugehörige Anzahl von „u“-Bewegungen mit a und die Zahl
der „d“-Bewegungen dementsprechend mit (T – a), so muß für die kritische Anzahl von a zunächst gelten:
(3.15)
ua ⋅ d T −a ⋅ S0 = C B .
Löst man diesen Ausdruck nach a auf, so erhält man:
⎛u⎞
⎜d⎟
⎝ ⎠
a
=
⎛ C
⎞
⎛u⎞
B
⇔ a ⋅ ln ⎜ ⎟ = ln ⎜
⎟.
⎜ S ⋅ dT ⎟
⎝d⎠
S0 ⋅ d T
⎝ 0
⎠
CB
Für a ergibt sich damit:
(3.16)
⎛ CB ⎞
ln ⎜
⎟
⎜ S ⋅ dT ⎟
⎝ 0
⎠.
a =
⎛u⎞
ln ⎜ ⎟
⎝d⎠
Nur in Ausnahmefällen dürfte a einen ganzzahligen Wert annehmen. Die kritische
Grenze der Anzahl der Veränderungen des Aktienkurses um den Faktor u, die hier
mit k′ bezeichnet wird, ist daher die kleinste ganze Zahl, für die k′ ≥ a gilt.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
kritische Zahl der
Veränderungen des
Aktienkurses um
den Faktor u
110
3 Optionstheoretische Modellansätze
Übungsaufgabe 3.10:
Gehen Sie wieder von den bekannten Daten aus (S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5; CB = 120 und
r = 0,1) und nehmen Sie an, die Laufzeit der Option betrüge 10 Perioden.
a) Ermitteln Sie k′!
k ′−1
b) Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie die Aktienkurse ST
k′
und ST bestimmen!
Die Formel (3.14) vereinfacht sich durch Einsetzen von k′ zu:
T
(3.17)
⎛
T!
⎞
⋅ λ k ⋅ (1 − λ)T − k ⋅ (uk ⋅ d T − k ⋅ S0 − CB ) .
∑ ⎜
⎟
k = k ′ ⎝ k!⋅ (T − k)! ⎠
Um den Wert der Option im Zeitpunkt t = 0 zu bestimmen, muß der durch (3.17)
ermittelte gewogene Durchschnitt der möglichen Zahlungen aus der Option bei
Fälligkeit über T Perioden mit dem sicheren Zins abgezinst werden. Es ergibt sich
damit für den Wert der Kaufoption:
(3.18)
C0 =
T ⎛
⎞ k
T!
T− k
⋅ ∑ ⎜
⎟ ⋅ λ ⋅ (1 − λ)
T
⋅
−
k!
(T
k)!
(1 + r)
⎠
k =k′ ⎝
1
⋅ (u k ⋅ d T − k ⋅ S0 − CB ) .
Durch eine geschickte Substitution kann diese Gleichung noch weiter vereinfacht
werden. Dazu spaltet man sie zunächst auf, so daß sich zwei Summanden ergeben:
(3.19)
T ⎛
T!
⎞ λ k ⋅ (1 − λ )T − k k T − k
C0 = S0 ⋅ ∑ ⎜
⋅u ⋅d
⎟⋅
T
k!
(T
k)!
⋅
−
⎝
⎠
(1
r)
+
k =k′
−
T ⎛
T!
⎞ k
⋅ ∑ ⎜
⋅ λ ⋅ (1 − λ)T − k .
⎟
T
(1 + r) k = k ′ ⎝ k!⋅ (T − k)! ⎠
CB
Im ersten Summanden wird der Gewichtungsfaktor λ durch den Ausdruck
λ=
1+ r
u
⋅ λ′ ersetzt. Nach einigen Umformungen1) erhält man damit für den Wert
der Kaufoption:
1 Vgl. dazu den Anhang 3.02.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
111
3.2 Optionswert vor Verfall im Binomialmodell
(3.20)
T ⎛
T!
⎞ k
⋅ λ′ ⋅ (1 − λ′)T − k
C0 = S0 ⋅ ∑ ⎜
⎟
k = k ′ ⎝ k!⋅ (T − k)! ⎠
−
T ⎛
T!
⎞ k
T− k
.
⋅ ∑ ⎜
⎟ ⋅ λ ⋅ (1 − λ)
T
k!
(T
k)!
⋅
−
⎠
(1 + r) k = k ′ ⎝
ausführliche Schreibweise der allgemeinen
Bewertungsformel für
den T-Perioden-Fall
CB
Da die Summenausdrücke nichts anderes darstellen, als die komplementäre Verteilungsfunktion1) der Binomialverteilung B (k′; T; λ′) bzw. B (k′; T; λ) mit den
Parametern k′, T und λ′ bzw. λ, kann für diesen Ausdruck auch einfacher geschrieben werden:
(3.21)
C0 = S0 ⋅ B(k′; T; λ′) −
CB
(1 + r)
T
⋅ B(k′; T; λ ) .
verkürzte Schreibweise
der allgemeinen
Bewertungsformel für
den T-Perioden-Fall
Dies entspricht der allgemeinen Schreibweise für die Bewertungsformel des Binomialmodells.
Übungsaufgabe 3.11:
Gehen Sie wieder von den Daten der Übungsaufgabe 3.06 aus (S0 = 100 GE; u = 1,5; d = 0,5;
CB = 120 GE; r = 0,1 und T = 2).
Bewerten Sie die Option noch einmal, und zwar mit Hilfe der Formel (3.20) bzw. (3.21)!
Vergleichen Sie Ihr Resultat mit der Lösung zu Übungsaufgabe 3.09!
Interpretiert man den in (3.21) enthaltenen Gewichtungsfaktor λ wieder als Pseudowahrscheinlichkeit, so kann zumindest der 2. Teil der Bewertungsformel (3.21)
anschaulich gedeutet werden:
•
Der 2. Teil von (3.21) repräsentiert den Barwert des zu zahlenden Basispreises bei Ausübung der Option multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit (berechnet auf Grundlage der Pseudowahrscheinlichkeiten), daß der Basispreis
unter dem Kurs der Aktie im Zeitpunkt T liegt bzw. daß die Option ausgeübt
wird.
1 Eine Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Wert nicht
überschritten wird. Die zu dieser Funktion komplementäre Verteilungsfunktion gibt dagegen
an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Wert nicht unterschritten wird. Die Summe
der beiden Wahrscheinlichkeiten ist für jeden betrachteten Wert genau eins.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
Interpretation der
Bewertungsformel
im T-Perioden-Fall
112
3 Optionstheoretische Modellansätze
•
Flexibilität des
Bewertungsansatzes
Berücksichtigt man dies, so liegt es nahe, daß der 1. Teil des Ausdrucks dem
erwarteten Kurs der Aktie im Zeitpunkt T für den Fall, daß die Option ausgeübt wird, entsprechen muß. Allerdings wird dies aus dem Ausdruck nicht
besonders deutlich. Der Ausdruck B(k′; T; λ′) entspricht nämlich gerade
nicht der Wahrscheinlichkeit (berechnet auf Grundlage der Pseudowahrscheinlichkeiten) der Optionsausübung, die durch B(k′; T; λ) gegeben ist.
Offensichtlich hat dies etwas mit der Substitution von λ durch den Ausdruck
1+ r
⋅ λ′ zu tun. Dies bewirkt, daß im Gewichtungsfaktor λ′ nicht nur der
u
Gewichtungsfaktor λ, sondern auch die Faktoren für die Veränderung des
Aktienkurses, also u und d, und die Abzinsung mit dem sicheren Zinssatz r
miteinander verrechnet sind. Der Faktor λ′ ist daher einer Interpretation nur
noch schwer zugänglich. Da die Faktoren u und d und die sichere Verzinsung damit bereits in den Ausdruck B(k′; T; λ′) einbezogen sind, reicht es
zur Berechnung des erwarteten Aktienkurses bei Optionsausübung im Zeitpunkt T aus, den Ausdruck B(k′; T; λ′) mit dem Kurs der Aktie im Zeitpunkt t = 0 zu multiplizieren.
Zum Abschluß sei noch darauf hingewiesen, daß das Binomialmodell außerordentlich flexibel an die jeweilige Problemstellung angepaßt werden kann. So ist es
z.B. ohne weiteres möglich, eine Option für den Fall zu bewerten, daß die Faktoren u und d von Periode zu Periode variieren. Das einzige „Problem“ ist dabei nur,
daß sich für diesen Fall keine geschlossene Bewertungsformel wie die Formel
(3.21) ableiten läßt. Die Lösung kann daher nur numerisch durch rekursive Anwendung der Bewertungsformel für den Ein-Perioden-Fall erfolgen.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
113
3.3 Optionswert vor Verfall im Modell nach Black/Scholes
3.3
Optionswert vor Verfall im Modell nach BLACK/SCHOLES
Prominenter als das bisher dargestellte Bewertungsmodell ist die nach ihren
„Erfindern“ benannte BLACK/SCHOLES-Bewertungsformel.1) Es wird in diesem
Abschnitt allerdings nicht explizit auf die mathematisch relativ anspruchsvolle
Herleitung der Bewertungsformel eingegangen. Vielmehr sollen die Gemeinsamkeiten und Unterschiede des Binomialmodells und des Modells von BLACK/
SCHOLES den Gegenstand der weiteren Darstellungen bilden.
Wie auch dem Binomialmodell liegt der BLACK/SCHOLES-Bewertungsformel das
Prinzip der Bewertung durch Duplikation zugrunde. Die sich ergebende Bewertungsformel kann wieder in der Weise interpretiert werden, daß sich der Wert der
Option für einen risikoneutralen Anleger aus dem abgezinsten Erwartungswert
(auf Basis der Pseudowahrscheinlichkeiten) der Zahlungen aus der Option bei
Fälligkeit ergibt. Obwohl diese Interpretation den weiteren Ausführungen zugrundegelegt wird, ist nochmals deutlich hervorzuheben, daß dies nur eine mögliche
Interpretation des Ergebnisses ist. Zur Bewertung selbst sind sowohl im Modell
von BLACK/SCHOLES als auch im Binomialmodell keinerlei Aussagen über
Wahrscheinlichkeiten bestimmter Aktienkursentwicklungen notwendig.
Grundprinzip der
Bewertung: Bewertung
durch Duplikation
Der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Modellen besteht darin, daß
wesentliche
Modellunterschiede:
Binomialmodell:
Handel zu diskreten
Zeitpunkten und
unstetiger Aktienkursverlauf
–
nicht davon ausgegangen wird, daß
1.
Aktienhandel nur zu diskreten Zeitpunkten stattfindet und sich Aktienkurse dementsprechend nur zu diskreten Zeitpunkten verändern
können und
2.
sich der Aktienkurs unstetig verändert, also Sprünge aufweist
(Binomialmodell),
–
sondern ein kontinuierlicher Verlauf unterstellt wird. Dies bedeutet, daß
1.
ein kontinuierlicher Handel in der Aktie stattfindet und sich die
Aktienkurse dementsprechend kontinuierlich verändern und
2.
der Aktienkurs sich stetig verändert, die Kursentwicklung also keine
„Sprünge“ aufweist
(BLACK/SCHOLES-Modell).
1 Vgl. BLACK/SCHOLES (1973). MYRON SCHOLES wurde 1997 für dieses Bewertungsmodell mit
dem Nobelpreis ausgezeichnet. FISCHER BLACK starb bereits 1995.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
BLACK/SCHOLESModell: kontinuierlicher
Handel und stetiger
Aktienkursverlauf
114
3 Optionstheoretische Modellansätze
Einfach gesprochen, wird im Binomialmodell also davon ausgegangen, daß zwischen dem Zeitpunkt 0 und dem Verfallzeitpunkt T endlich viele Handelszeitpunkte liegen. Im Modell von BLACK und SCHOLES wird dagegen unterstellt, daß
zwischen diesen Zeitpunkten unendlich viele Handelszeitpunkte bestehen.
Diese divergierende Annahme macht es notwendig, zur Ableitung einer Bewertungsformel über folgende Aspekte nachzudenken:
Verzinsung im
BLACK/SCHOLESModell
1.
Wie erfolgt die sichere Verzinsung?
2.
Wie entwickelt sich der Aktienkurs, d.h. was wird über seine alternativen
Veränderungen angenommen?
Im Fall des Binomialmodells wird angenommen, daß die sichere Verzinsung immer genau zu den einzelnen diskreten Zeitpunkten abgerechnet wird. Dies ist die
übliche Annahme, die Sie auch aus der Ermittlung z.B. des Kapitalwertes kennen.
Im kontinuierlichen Modell wird dagegen davon ausgegangen, daß die Zinsabrechnung am Ende von infinitesimal kleinen Zeiträumen erfolgt. Das folgende
Beispiel dient zur Verdeutlichung.
Beispiel 3.03:
Eine Zahlung von 100 GE sei im Zeitpunkt T = 1 fällig. Der Zinssatz für die sichere Verzinsung betrage r = 0,1. Es soll der Barwert der Zahlung unter der Annahme unterschiedlicher
Zinsabrechnungen ermittelt werden.
Angenommen, die Zinsabrechnung erfolgt einmalig im Zeitpunkt T. Dann ergibt sich der
Barwert (in GE) aus:
100 ⋅ (1 + r)
−1
−1
= 100 ⋅ 1,1
= 90, 9090 .
Angenommen, die Zinsabrechnung erfolgt am Ende von n gleich langen Teilperioden innerhalb des Zeitraums zwischen den Zeitpunkten t = 0 und T = 1. Allgemein ergibt sich der Barwert der betrachteten Zahlung in Abhängigkeit von n aus:1)
r⎞
⎛
100 ⋅ ⎜ 1 + ⎟
n⎠
⎝
−n
.
Beispielhaft wird dies für einige ausgewählte Anzahlen von Teilperioden verdeutlicht:
n = 2:
0,1 ⎞
⎛
100 ⋅ ⎜ 1 +
⎟
2 ⎠
⎝
−2
= 90, 7029 .
1 Vgl. den Kurs „Investitionsmanagement“ (41330), Abschnitt 3.1.
cb; bwl_3.dot; U:\BA_MA_Abschluss\Kursauszüge\Kurs 41360 KE1 Kapitel 3.doc; 03.05.2007 11:34:00
115
3.3 Optionswert vor Verfall im Modell nach Black/Scholes
n = 10:
0,1 ⎞
⎛
100 ⋅ ⎜1 +
⎟
10 ⎠
⎝
−10
= 90, 5287 .
n = 100:
0,1 ⎞
⎛
100 ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
−100
= 90, 4883 .
n = 1000:
0,1 ⎞
⎛
100 ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 1.000 ⎠
−1.000
= 90, 4842 .
Je höher n ist, desto stärker wird die Zahlung offensichtlich abgezinst, d.h. desto geringer ist
deren Barwert.
Im Modell von BLACK/SCHOLES wird von dem Extremfall ausgegangen, daß die einzelnen
Abrechnungsperioden unendlich klein sind. Dies ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß n
gegen unendlich strebt. Der Barwert der Zahlung ergibt sich unter dieser Annahme, also bei
kontinuierlicher Verzinsung, aus:
⎛ r⎞
lim 100 ⋅ ⎜ 1+ ⎟
n →∞
⎝ n⎠
−n
.
Es läßt sich zeigen, daß für diesen Grenzwert gilt:
⎛ r⎞
lim 100 ⋅ ⎜ 1+ ⎟
n →∞
⎝ n⎠
−n
= 100 ⋅ e
−r
,
wobei e die „Eulersche“ Zahl darstellt.
Für das Zahlenbeispiel ergibt sich daraus ein Barwert in Höhe von:
100 ⋅ e
−r
= 100 ⋅ e
−0,1
= 90, 4837.
Im vorangegangenen Zahlenbeispiel haben wir stillschweigend unterstellt, daß der
zur Diskontierung heranzuziehende Zinssatz unabhängig davon ist, wie die Zinsabrechnung erfolgt, d.h. wie viele Zinsabrechnungszeitpunkte vorliegen. Dies
muß keineswegs zwingend sein. Um diesen Umstand deutlich zu machen, wird
nachfolgend der bei der kontinuierlichen Verzinsung zugrundegelegte Zinssatz
nicht mit r, sondern mit R bezeichnet. Der Barwert einer bestimmten Zahlung im
Zeitpunkt T ergibt sich damit im Modell der kontinuierlichen Verzinsung allgemein aus der Multiplikation der betreffenden Zahlung mit dem folgenden Faktor:
(3.22)
e–R ⋅ T .
Im Binomialmodell wurde über den Verlauf des Aktienkurses angenommen, daß
er zu den diskreten Zeitpunkten entweder um den Faktor u steigt oder um den
Faktor d sinkt. Die entsprechende Annahme im BLACK/SCHOLES-Modell ist dage-
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kontinuierliche
Verzinsung
116
3 Optionstheoretische Modellansätze
gen „etwas“ komplizierter.1) Dennoch wollen wir versuchen, die Annahme zumindest grob zu skizzieren.
Verlauf des Aktienkurses im BLACK/
SCHOLES-Modell
Die Veränderung des Aktienkurses erfolgt in diesem Modell, wie die dargestellte
Verzinsung, kontinuierlich. Dies bedeutet, daß sich der Aktienkurs am Ende jedes
infinitesimal kleinen Zeitraums innerhalb des Betrachtungszeitraumes vom Zeitpunkt 0 bis T in bestimmter Weise verändern kann. Es ist sinnvoll, im folgenden
nicht die absolute Änderung des Aktienkurses, sondern seine relative Veränderung innerhalb dieser kleinen Zeiträume, also ihre Rendite innerhalb dieser Zeiträume, zu betrachten. Für diese Rendite kann allgemein geschrieben werden:
dS
.
S
Beispiel 3.04:
Angenommen, der Aktienkurs hätte sich innerhalb des betrachteten kleinen Zeitraumes von
100 GE auf 120 GE verändert.
Dann beträgt die absolute Veränderung des Kurses dS = 20 GE.
Bezogen auf den Kurs der Aktie am Anfang des Zeitraumes, der mit S bezeichnet wird, ergibt
sich für die relative Veränderung bzw. für die Rendite:
dS
20
=
= 0, 2 .
S
100
Die Rendite
dS
S
innerhalb eines Zeitraums mit der Länge dt2) ergibt sich im
BLACK/SCHOLES-Modell aus der folgenden zentralen Gleichung, die anschließend
näher erläutert wird:
zentrale Gleichung der
Renditeentwicklung der
Aktie innerhalb eines
bestimmten Zeitraums
Einfluß des sog. „Drift“
der Renditeentwicklung
(3.23)
dS
= μ dt + σ dz .
S
Einfluß auf die Höhe der Rendite haben offensichtlich die auf der rechten Seite
aufzufindenden Summanden:
1.
μ dt: μ symbolisiert die erwartete Rendite der Aktie, von der angenommen
wird, daß sie im Zeitablauf konstant ist. Multipliziert mit der Länge des betrachteten Zeitraums dt ergibt dieser Teil den Erwartungswert der relativen
Veränderung des Aktienkurses bzw. der Rendite innerhalb des betrachteten
Zeitraumes.
1 „Many people feel that continuous-time stochastic processes are so complicated that they
should be left entirely to ‚rocket scientists‘.“, HULL (2000), S. 218.
2 Wobei bei einer kontinuierlichen Veränderung des Aktienkurses dt → 0 gilt.
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3.3 Optionswert vor Verfall im Modell nach Black/Scholes
117
An dieser Stelle ist die folgende Überlegung wichtig: Die Bewertungsformel
wird, wie bereits angedeutet, aus Sicht eines risikoneutralen Anlegers aufgestellt. Außerdem wird unterstellt, daß der Markt ohne Betrachtung der Option im Gleichgewicht ist, d.h. daß kein Anleger bereit ist, noch Aktien zu einem höheren Preis als dem Aktienkurs zu kaufen oder zu einem niedrigeren
Preis als dem Aktienkurs zu verkaufen. Aus Sicht eines risikoneutralen Anlegers muß die erwartete Rendite einer Aktie, die hier mit μ bezeichnet wird,
dann zwingend der Rendite für die sichere Mittelanlage bzw. -aufnahme
entsprechen. Ansonsten könnte der risikoneutrale Anleger beim gegebenen
Aktienkurs bereits durch den Kauf oder Verkauf der Aktie seine Position
noch verbessern. Er hätte also noch offene Kauf- oder Verkaufswünsche,
was mit der Vorstellung eines gleichgewichtigen Marktes nicht vereinbar
ist. Für den risikoneutralen Anleger muß damit zwingend gelten: μ = R.
2.
σ dz: dz entspricht darin dem Ausdruck dz = ε dt . Somit gilt es, den Term
σε dt zu interpretieren. Fangen wir zunächst mit dem Symbol ε an.
ε repräsentiert das Ergebnis aus einem Zufallsexperiment,1) dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Standardnormalverteilung entspricht. Die
Standardnormalverteilung zeichnet sich, wie Ihnen bekannt sein dürfte, dadurch aus, daß ihr Erwartungswert 0 und ihre Standardabweichung 1 beträgt. Wie man leicht erkennt, würde dieser Zufallsprozeß aufgrund des unterstellten Erwartungswertes und der unterstellten Standardabweichung
wohl kaum geeignet sein, die Unsicherheit der Rendite einer konkreten Aktie abzubilden. Vielmehr müßte noch eine Anpassung an den Erwartungswert und die Standardabweichung der Rendite der betrachteten Aktie erfolgen. Der Erwartungswert der Rendite der betrachteten Aktie wurde bereits
in dem unter 1. erläuterten Term berücksichtigt. In dem hier betrachteten
Term muß daher nur noch die Standardabweichung berücksichtigt werden.
Dies erfolgt durch die Multiplikation der Zufallsvariablen ε mit der Standardabweichung der Rendite der betrachteten Aktie σ, die als im Zeitablauf
konstant angenommen wird. Um die Standardabweichung an den betrachteten Zeitraum dt anzupassen, wird sie mit dt multipliziert.
Insgesamt betrachtet ist die Rendite einer Aktie innerhalb einer Periode mit der
Länge dt damit normalverteilt mit dem Erwartungswert Rdt und der Standardabweichung σ dt .
1 Allgemein versteht man unter einem Zufallsprozeß oder auch Zufallsexperiment Vorgänge in
der Natur, die dadurch charakterisiert sind, daß ihr wiederholtes Auftreten unter identischen
Umständen nicht zu identischen Ergebnissen führt. Ein Zufallsprozeß ist z.B. der Münzwurf.
Das Ergebnis dieses Zufallsprozesses kann entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein. Vgl. BLEYMÜLLER/GEHLERT/GÜLICHER (2004), S. 25.
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Einfluß der Standardabweichung der
Renditeentwicklung
118
3 Optionstheoretische Modellansätze
Aggregation der
Renditeentwicklungen
in den einzelnen Zeiträumen zu einer
Renditeentwicklung bis
zur Fälligkeit der Option
Bis zu dieser Stelle wurden nur die Annahmen im BLACK/SCHOLES-Modell über
die Rendite der Aktie für den Zeitraum dt aufgezeigt. Zur Bewertung der Option
ist es jedoch notwendig zu wissen, welche Entwicklung der Aktienkurs bis zum
Verfallzeitpunkt der Option, also bis zum Zeitpunkt T nimmt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Renditen der einzelnen kleinen Zeiträume sind also zu
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Rendite zwischen den Zeitpunkten 0
und T zu aggregieren.
„allgemeiner Wiener
Prozeß“
Hier kommt nun eine weitere wichtige Annahme zum Tragen: Es wird angenommen, daß die Rendite einer Periode unabhängig von den Renditen in anderen Perioden ist.1) Zwischen den normalverteilten Renditen der Perioden besteht also keinerlei Korrelation. Faßt man diese Annahme mit den bereits genannten Annahmen
über die Entwicklung des Aktienkurses im BLACK/SCHOLES-Modell zusammen,
so bilden sie insgesamt die Annahmen für den Zufallsprozeß, der in der Literatur
als „allgemeiner Wiener Prozeß“ bezeichnet wird.
„Log“-Normalverteilung und „Itos
Lemma“
Um abzuleiten, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Rendite der Aktie
zwischen den Zeitpunkten 0 und T gilt, bedient man sich zunächst wieder eines
kleinen „Tricks“. Um die Berechnungen zu vereinfachen, werden die Renditen
logarithmiert.2) In der Literatur werden Sie daher häufig lesen, daß im
BLACK/SCHOLES-Modell angenommen wird, daß die Renditen „Log“-Normalverteilt sind. Dies bedeutet aber nichts anderes, als daß die logarithmierten Renditen einer Normalverteilung folgen. Dabei liegt es nahe, daß für die Verteilung
der logarithmierten Renditen andere Parameter gelten müssen als für die der unlogarithmierten Renditen. Die entsprechenden Parameter können mittels Anwendung des sog. „Itos Lemma“ abgeleitet werden. Es ergibt sich dann, daß für den
⎛
Erwartungswert ⎜⎜ R −
⎝
σ2 ⎞
⎟ dt und die Standardabweichung σ dt gilt.
2 ⎟⎠
Unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit zwischen den Renditen der einzelnen
Zeiträume folgt, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung der logarithmierten Rendite der Aktie im Zeitraum von 0 bis T ebenfalls einer Normalverteilung entsprechen muß. Für den Erwartungswert dieser Normalverteilung gilt offensichtlich
⎛
σ2 ⎞
R
−
⋅ T und für ihre Standardabweichung aufgrund der angenommenen Un⎜
2 ⎟⎠
⎝
abhängigkeit der Renditen σ T .
1 Diese Annahme gilt auch im Binomialmodell, da, wie bereits erwähnt wurde, angenommen
wird, daß die Veränderungen des Aktienkurses in den einzelnen Perioden unabhängig voneinander sind.
2 Dieser Schritt erlaubt es, die Rendite zwischen den Zeitpunkten 0 und T aus den Renditen der
einzelnen kurzen Perioden durch einfache Addition zu ermitteln.
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119
3.3 Optionswert vor Verfall im Modell nach Black/Scholes
Aus den aufgezeigten Annahmen könnte jetzt die BLACK/SCHOLES-Bewertungsformel abgeleitet werden. Diese mathematisch relativ anspruchsvolle Herleitung
soll hier nicht nachvollzogen werden. Die Bewertungsformel für eine Aktienkaufoption mit der Laufzeit T im Zeitpunkt t = 0 lautet im BLACK/SCHOLES-Modell:
(3.24)
C0 = S0 ⋅ N(d1 ) − CB ⋅ e − R⋅T ⋅ N(d 2 )
( ) (
S
d1 =
2
)
ln C0 + R + σ2 T
B
σ T
( ) (
2
)
ln C0 + R − σ2 T
B
S
und d 2 =
allgemeine Bewertungsformel nach BLACK/
SCHOLES
mit
σ T
,
wobei N(⋅) der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entspricht.
Ein Vergleich dieser Bewertungsformel mit der aus dem Binomialmodell macht
einige Parallelen deutlich:
1.
Der 2. Term der Bewertungsformel stellt auch hier den Barwert des Basispreises, multipliziert mit einer bestimmten „Wahrscheinlichkeit“, dar. Diese
Wahrscheinlichkeit entspricht wieder der Wahrscheinlichkeit, daß die Ausübung der Option lohnend ist, auch wenn wir dies hier nicht näher zeigen
wollen. Alle Wahrscheinlichkeiten sind dabei natürlich nur „Pseudowahrscheinlichkeiten“!
2.
Der 1. Term enthält wie im Binomialmodell den aktuellen Aktienkurs, multipliziert mit einer bestimmten „Wahrscheinlichkeit“. Genau wie beim
Binomialmodell wurde die Entwicklung des Kurses der Aktie mit deren jeweiligen Veränderungsraten und dem Abzinsungsfaktor „verrechnet“ (daher
ist der Parameter in der Funktion N nicht d2 , sondern d1), so daß nur noch
das Symbol S0 in der Formel auftaucht.
Vergleich mit der
Bewertungsformel im
Binomialmodell
Offensichtlich unterscheiden sich beide Bewertungsformeln nur dadurch, daß die
diskrete gegen die stetige Verzinsung und die Binomialverteilung gegen die Standardnormalverteilung „ausgetauscht“ wurden.
Der Eindruck, daß die beiden Bewertungsformeln recht nah miteinander verwandt
sind, wird auch durch die Tatsache unterstützt, daß die Binomialverteilung bei
einer unendlich großen Zahl diskreter Zeitpunkte bis zum Verfallzeitpunkt der
Option gegen die Normalverteilung konvergiert. Dieser Zusammenhang spielt
eine entscheidende Rolle bei einer zur Originaldarstellung des Modells alternativen Herleitungsmöglichkeit der BLACK/SCHOLES-Bewertungsformel, die als Herleitung aus dem Binomialmodell mittels „Grenzübergang“ bezeichnet wird.
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Grenzübergang
120
3 Optionstheoretische Modellansätze
3.4
Einordnung der Ergebnisse
In diesem Kapitel wurden die prominentesten Bewertungsformeln und ihre theoretischen Hintergründe dargestellt. Trotz ihrer in der Praxis weit verbreiteten Anwendung auf reale Bewertungsprobleme sei folgendes angemerkt: Sämtliche Überlegungen und Bewertungsaussagen erfolgen innerhalb eines Modells, welches
relativ strenge Annahmen beinhaltet. Wie bei jedem Modell können daher die
Ergebnisse, d.h. in diesem Fall die abgeleiteten Bewertungen für eine Option, von
denen in der Realität abweichen. Der Preis einer Option ist in der Realität ein Ergebnis des Zusammenwirkens von Angebot und Nachfrage und nicht unmittelbar
das Ergebnis eines theoretischen Bewertungsmodells. Allerdings ist, wie schon an
früherer Stelle im Kursmaterial angedeutet,1) zu erwarten, daß, wenn sich alle
Anleger an den theoretischen Bewertungsmodellen orientieren, sich der Marktpreis und der theoretische Wert einer Option einander annähern.
1 Vgl. Kurs „Banken und Börsen“ (41350), KE 2.
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142
Anhang 3.01: Herleitung des Binomialkoeffizienten
Anhang 3.01: Herleitung des Binomialkoeffizienten
Die Herleitung erfolgt anhand eines Zahlenbeispiels mit den Werten t = 5 und
k = 3. Gesucht ist also die Anzahl der möglichen Kursverläufe bis zum Zeitpunkt
t = 5, die genau 3 Änderungen um u und 2 Änderungen um d aufweisen, bzw. das
⎛ 5⎞
Ergebnis des Ausdrucks ⎜ ⎟ .
⎝ 3⎠
Zunächst überlegen wir, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 3 Veränderungen um
u den 5 Zeitpunkten zuzuordnen:
•
Die erste Veränderung um u kann jedem der 5 Zeitpunkte zugeordnet werden. Für diese Zuordnung gibt es also 5 Möglichkeiten.
•
Ist die erste Veränderung zugeordnet, so verbleiben für die Zuordnung der
zweiten Veränderung um u noch 4 Möglichkeiten.
•
Die dritte Veränderung um u kann nur noch einem der 3 nicht besetzten
Zeitpunkte zugeordnet werden. Es gibt für die dritte Zuordnung also 3 Möglichkeiten.
Insgesamt ergeben sich damit 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 Möglichkeiten, die 3 Veränderungen
um u den 5 Zeitpunkten zuzuordnen. Formal kann dafür geschrieben werden:
t ⋅ (t − 1) ⋅ … ⋅ (t − k + 1) =
t!
.
(t − k)!
Dieser Ausdruck gibt aber noch nicht die gesuchte Anzahl möglicher Kursverläufe wieder, sondern ist deutlich höher. Dies kann man sich mittels der folgenden
einfachen Überlegung verdeutlichen:
Es werden zwei Möglichkeiten der Zuordnung der Veränderungen um u betrachtet:
1. Möglichkeit: Es werden zunächst dem Zeitpunkt t = 1, anschließend dem
Zeitpunkt t = 2 und danach dem Zeitpunkt t = 3 jeweils eine
Veränderung um u zugeordnet.
2. Möglichkeit: Es werden zunächst dem Zeitpunkt t = 2, anschließend dem
Zeitpunkt t = 3 und abschließend dem Zeitpunkt t = 1 jeweils eine Veränderung um u zugeordnet.
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143
Anhang 3.01: Herleitung des Binomialkoeffizienten
Beide Möglichkeiten führen nicht nur zum gleichen Aktienkurs im Zeitpunkt
t = 5, sondern entsprechen auch dem gleichen Weg, auf dem dieser Aktienkurs
erreicht wird. Sie stellen daher nicht zwei unterschiedliche, sondern nur einen
möglichen Kursverlauf dar und sind daher für unsere Zwecke nur einmal zu berücksichtigen.
Führt man diese Überlegungen fort, so erkennt man, daß es nicht nur 2, sondern
sogar 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6, oder formal
k ⋅ (k − 1) ⋅ … ⋅ 1 = k! ,
Kombinationen gibt, die genau derselben Folge von Aktienkursbewegungen entsprechen. Die ermittelte Anzahl von 60 Möglichkeiten ist also 6 mal so hoch, wie
die von uns gesuchte Zahl.
Die Anzahl unterschiedlicher Kursentwicklungen, die bis zum Zeitpunkt t = 5
genau 3 Veränderungen um u aufweisen, ergibt sich daher aus: 60 =10 . Allgemein
6
kann die gesuchte Anzahl folglich aus dem Ausdruck:
⎛t⎞
t!
⎛
⎞
⎜ k ⎟ = ⎜ k!⋅ (t − k)! ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
ermittelt werden.
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144
Anhang 3.02: Herleitung des Ausdrucks (3.20)
Anhang 3.02: Herleitung des Ausdrucks (3.20)
Nach Einsetzen von λ =
1+ r
⋅ λ′ in den ersten Summanden von (3.19) ergibt sich
u
für diesen ersten Summanden der folgende Ausdruck:
k
⎛ 1 + r ′⎞ ⎛ 1 + r ⎞
⋅ λ ⎟ ⋅ ⎜1 −
⋅ λ′ ⎟
T ⎛
T!
⎞ ⎜⎝ u
u
⎠
⎝
⎠
S0 ⋅ ∑ ⎜
⎟⋅
T
⋅
−
k!
(T
k)!
⎠
(1 + r)
k = k′ ⎝
T−k
⋅ u k ⋅ d T−k .
Dieser kann weiter vereinfacht werden:
⎛ 1+ r
⎞
λ′ ⋅ ⎜ 1 −
⋅ λ′ ⎟
T ⎛
T!
u
⎞
⎝
⎠
S0 ⋅ ∑ ⎜
⋅
⎟
T−k
k!
(T
k)!
⋅
−
⎠
(1 + r)
k = k′ ⎝
k
T−k
⋅ d T−k
⎛ 1+ r
⎞
1−
⋅ λ′ ⎟
T ⎛
T!
⎞ k ⎜
u
= S0 ⋅ ∑ ⎜
⋅d⎟
⎟ ⋅ λ′ ⋅ ⎜ 1 + r
k!
(T
k)!
⋅
−
⎠
k = k′ ⎝
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
T−k
T ⎛
T!
⎞ k ⎡ u − (1 + r) ⋅ λ′ ⎤
= S0 ⋅ ∑ ⎜
⎟ ⋅ λ′ ⋅ ⎢ (1 + r) ⋅ u ⋅ d ⎥
k!
(T
k)!
⋅
−
⎝
⎠
⎣
⎦
k = k′
Wegen λ =
T−k
.
(1 + r) − d
1+ r
und λ =
⋅ λ´ gilt :
u−d
u
1+ r
(1 + r) − d
⋅ λ′ =
u
u−d
⇔
(1 + r) ⋅ λ′⋅ (u − d) =
⇔
d =
[(1 + r) − d ] ⋅ u
u ⋅ (1 + r) ⋅ (1 − λ′)
.
u − (1 + r) ⋅ λ′
Setzt man diesen Ausdruck für d ein, so ergibt sich:
T!
⎞ k ⎡ u − (1 + r) ⋅ λ′ u ⋅ (1 + r) ⋅ (1 − λ′) ⎤
S0 ⋅ ∑ ⎜
⎟ ⋅ λ′ ⋅ ⎢ (1 + r) ⋅ u ⋅ u − (1 + r) ⋅ λ′ ⎥
⎣
⎦
k = k ′ ⎝ k!⋅ (T − k)! ⎠
T ⎛
T−k
T ⎛
T!
⎞ k
T−k
,
= S0 ⋅ ∑ ⎜
⎟ ⋅ λ′ ⋅ (1 − λ′)
k!
(T
k)!
⋅
−
⎠
k = k′ ⎝
q.e.d.
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Übungsaufgabe 3.01:
Um die Relation zu beweisen, wird untersucht, welche Möglichkeiten sich den
Anlegern bieten, sofern sie verletzt ist:
Angenommen, es gelte u > d ≥ 1 + r: In diesem Fall würde ein Anleger Zahlungsmittel aufnehmen, um damit Aktien zu kaufen. In t = 1 würde die Einzahlung
aus dem Verkauf der Aktien auf jeden Fall mindestens so hoch sein wie der Betrag, der zur Rückzahlung der Mittelaufnahme notwendig ist, und bei Eintritt von
u diesen Betrag auf jeden Fall übersteigen. Der Anleger würde daher mit dem
Kauf einer Aktie eine dominant bessere Position als mit der festverzinslichen Anlage erreichen. Ist der Markt arbitragefrei, so ist aber gerade diese Möglichkeit
dominanter Positionen ausgeschlossen.
Angenommen, es gelte 1 + r ≥ u > d: In diesem Fall würde ein Anleger Aktien
leer verkaufen und die daraus erzielten Einzahlungen zum sicheren Zins anlegen.
Die in t = 1 aus der sicheren Anlage erzielte Einzahlung würde mindestens so
hoch sein wie der Betrag, den der Anleger aufwenden muß, um die Aktien zu kaufen, die er zur Abdeckung des Leerverkaufs benötigt. Im Fall des Eintretens von d
würde die Einzahlung aus der Anlage diesen Betrag sogar überschreiten. Der Anleger würde daher mit dem Leerverkauf einer Aktie eine dominant bessere Position als mit der festverzinslichen Anlage erreichen. Ist der Markt arbitragefrei, so
ist aber gerade diese Möglichkeit dominanter Positionen ausgeschlossen.
Insgesamt ist festzustellen, daß auf einem arbitragefreien Finanzmarkt die zuvor
unterstellten Relationen nicht gelten können und daher zwingend u > 1 + r > d
gelten muß.
Übungsaufgabe 3.02 (Angaben in GE):
t=0
1
2
S22 =225
S11 =150
S12 =75
S 0 = 100
S01 =50
S02 =25
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3
146
Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Übungsaufgabe 3.03:
a)
0
s...
4 = 6,25 GE = S4 ergibt sich, wenn in allen Perioden „d“ eintritt,
also k = 0 gilt. Es gibt also nur einen „Weg“.
(1)
2
s...
4 = 56,25 GE = S4 ergibt sich, wenn es je zweimal zu u und d
kommt, also k = 2 gilt. Dies kann in den folgenden zeitlichen Abfolgen geschehen („lexikografisch“ dargestellt):
(2)
dduu
dudu
duud
uddu
udud
uudd
Es gibt also sechs „Wege“.
b)
Für Formel (3.03) gelten t = 4 und (1) k = 0 bzw. (2) k = 2. Somit gilt für die
Zahl der „Wege“ w:
(1)
w =
4!
= 1 1)
(0!) ⋅ (4!)
(2)
w =
4!
24
=
= 6 .
(2!) ⋅ (2!)
2⋅2
Die unter a) „per Hand“ gefundenen Ergebnisse werden also bestätigt.
c)
Nach den Vorgaben der Aufgabenstellung gelten t = 10 und k = 6, mithin
ergibt sich für die Zahl der „Wege“ (w) aus Formel (3.03):
w =
10!
(6!) ⋅ (4!)
=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
(1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6) ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4)
=
7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
5.040
=
= 210 .
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
24
6
kann also über 210 verschiedene u-d-Folgen erreicht werden.
Der Kurs S10
1 Zu beachten ist, daß 0! als 1 definiert ist.
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Übungsaufgabe 3.04:
a)
Die möglichen Entwicklungen des Aktienkurses und der Zahlungen (jeweils
in GE) aus der Option sind in den folgenden Abbildungen dargestellt:
S11 = 150
C11 = 30
C0
S 0 =100
S01 = 50
C01 = 0
Um die Unsicherheit der mit der Kaufoption verbundenen Zahlung nachzubilden, muß eine Anlage in die Aktie erfolgen. Um die Variationsbreite der
Zahlung aus der Option in Höhe von 30 GE exakt nachzubilden, müssen genau
C11 − C10
S11 − S10
=
30 GE
= 0,3 Aktien in das Duplikationsportfolio aufgenom100 GE
men werden.
b)
Ein Portfolio, welches genau 0,3 Aktien enthält, führt zu den folgenden Zahlungskonsequenzen (in GE):
0,3⋅S11 = 45
0,3 Aktien
0,3⋅S01 = 15
Diese Zahlungen übersteigen in beiden möglichen Zuständen die Zahlungen
der zu duplizierenden Kaufoption um genau 15 GE. Um die Kaufoption exakt zu duplizieren, muß daher in t = 0 eine Mittelaufnahme in Höhe von
15 GE ⋅ 1,1–1 = 13,64 GE erfolgen.
c)
Der Wert des Duplikationsportfolios im Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Wert
von 0,3 Aktien im Zeitpunkt t = 0 abzüglich der Höhe der aufgenommenen
Mittel, also: 0,3 ⋅ 100 GE + (–13,64 GE) = 16,36 GE.
Aufgrund der Arbitragefreiheit des Marktes muß damit der Wert der Option
C0 genau 16,36 GE betragen.
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Übungsaufgabe 3.05:
Für die Anzahl der Aktien im Duplikationsportfolio folgt aus (3.04):
C11 − C10
30 − 0
=
= 0,3
(u − d) ⋅ S0
(1,5 − 0,5) ⋅ 100
Δ =
und für die Höhe der Mittelanlage bzw. -aufnahme folgt aus (3.05):
1 u ⋅ C10 − d ⋅ C11
1 1,5 ⋅ 0 − 0,5 ⋅ 30
⋅
=
⋅
= − 13,64 GE .
1+ r
u−d
1,1
1,5 − 0,5
B =
Die Werte stimmen exakt mit denen aus der Lösung der Übungsaufgabe 3.04
überein!
Übungsaufgabe 3.06:
Zunächst muß der Faktor λ bestimmt werden:
(1 + r) − d
1,1 − 0,5
=
= 0,6 .
u−d
1,5 − 0,5
λ =
Aus (3.07) folgt dann für den Wert der Option:
C0 =
=
(
1
⋅ λ ⋅ C11 + (1 − λ) ⋅ C10
1+ r
)
1
18
⋅ ( 0,6 ⋅ 30 + (1 − 0,6) ⋅ 0 ) =
= 16,36 GE .
1,1
1,1
Der ermittelte Wert stimmt exakt mit dem aus der Lösung der Übungsaufgabe
3.04 überein!
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Übungsaufgabe 3.07:
a)
Für den Erwartungswert des Risikonutzens der alternativ möglichen Zahlungen aus der Option gilt einfach 0,8 ⋅ 30 . Mithin ergibt sich für das zugehörige Sicherheitsäquivalent SÄ:
SÄ = ⎡ 0,8 ⋅ 30 ⎤
⎣
⎦
2
= 0,82 ⋅ 30 = 19,2 .
Dementsprechend ergibt sich für den als Barwert von SÄ bestimmten subjektiven Grenzpreis C′0 der Option
C′0 =
19,2
= 17, 45 GE .
1,1
Der Anleger könnte nach seiner rein subjektiven Wertschätzung zunächst
also bereit sein, für die betrachtete Option bis zu 17,45 GE zu bieten.
b)
Aus der Aufgabe 3.06 wissen wir schon, daß der aus Arbitrageüberlegungen
hergeleitete Optionswert nur 18/1,1 = 16,36 GE beträgt. Trotz seiner höheren subjektiven Wertschätzung der Option wäre der Anleger bei rationalem
Handeln auch nicht bereit, mehr als diese 16,36 GE für die Option zu zahlen. Denn wie wir schon aus der vorangegangenen Analyse wissen, könnte
er die nach seiner Einschätzung mit der Option verbundenen Möglichkeiten,
in t = 1
–
mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit eine Rückzahlung von 30 GE zu erhalten und
–
mit 20%-iger Wahrscheinlichkeit leer auszugehen,
auch dadurch erreichen, daß er in t = 0
–
0,3 Aktien für 30 GE kauft (Rückflußalternativen in t = 1: 45 und 15)
–
und ein Darlehen von 15/1,1 = 13,64 GE aufnimmt (Rückzahlungsverpflichtung in t = 1: 15).
Mit einem Mitteleinsatz von nur 30 – 13,64 = 16,36 GE könnte er also exakt
die gleiche Rückflußstruktur erreichen wie beim Erwerb der – von ihm subjektiv mit 17,45 GE bewerteten – Option. Warum sollte er dann mehr als
16,36 GE für die Option zahlen?
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Übungsaufgabe 3.08:
Da in unserem Beispiel λ = 0,65 gilt, ergibt sich für den Optionswert gemäß
(3.07)
C0 =
1
⋅ (0,65 ⋅ 98, 43 + 0,35 ⋅ 0) = 60,93 GE ,
1,05
was offensichtlich mit der „direkten“ Berechnung über Formel (3.10) übereinstimmt.
Übungsaufgabe 3.09:
a)
Die drei möglichen Aktienkurse im Zeitpunkt t = 2 betragen (Angaben in
GE):
S22 = 1,52 ⋅ 100 = 225
S12 = 1,5 ⋅ 0,5 ⋅ 100 = 75
S02 = 0,52 ⋅ 100 = 25.
Die drei möglichen Werte einer Option mit einem Basispreis von 120 im
Zeitpunkt t = 2 betragen somit (Angaben in GE):
C22 = 105
C12 = 0
C02 = 0 .
Für λ ergibt sich ein Wert in Höhe von λ =
1,1− 0,5
= 0,6.
1,5−0,5
Für die beiden möglichen Werte der Option im Zeitpunkt t = 1 gilt daher
(Angaben in GE):
C11 =
1
⋅ ( 0,6 ⋅ 105 + (1 − 0,6) ⋅ 0 )
1,1
= 57,27
bzw.
C10 =
1
⋅ ( 0,6 ⋅ 0 + (1 − 0,6) ⋅ 0 )
1,1
= 0 .
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
b)
Der Wert der Option im Zeitpunkt t = 0 ermittelt sich aus:
C0 =
1
⋅ ( 0,6 ⋅ 57,27 + (1 − 0,6) ⋅ 0 )
1,1
= 31,24 GE .
c)
Im Zeitpunkt t = 0 ergibt sich die Anzahl der im Duplikationsportfolio enthaltenen Aktien aus:
Δ0 =
C11 − C10
57,27 − 0
=
= 0,5727
(u − d) ⋅ S0
(1,5 − 0,5) ⋅ 100
und die Höhe der Mittelaufnahme aus:
B0 =
1 1,5 ⋅ 0 − 0,5 ⋅ 57,27
⋅
= − 26,03 GE .
1,1
1,5 − 0,5
Das Duplikationsportfolio besteht daher aus 0,5727 Aktien und einer Mittelaufnahme in Höhe von 26,03 GE.
Im Zeitpunkt t = 1 unterscheidet sich die Zusammensetzung je nachdem, ob
sich der Aktienkurs um den Faktor u oder d verändert hat.1)
1. Fall: Der Aktienkurs hat sich um den Faktor u verändert:
Dann ergibt sich:
Δ11 =
105 − 0
= 0,7
(1,5 − 0,5) ⋅ 1,5 ⋅ 100
B11 =
1 1,5 ⋅ 0 − 0,5 ⋅ 105
⋅
= − 47,73 GE .
1,1
1,5 − 0,5
und
Das Duplikationsportfolio enthält in diesem Fall 0,7 Aktien und eine Geldaufnahme in Höhe von 47,73 GE.
1 Index 1 (tiefgestellt) = Zeitpunkt; Index (hochgestellt) 1 = up; Index (hochgestellt) 0 = down.
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
2. Fall: Der Aktienkurs hat sich um den Faktor d verändert:
Dann ergibt sich:
Δ10 =
0−0
= 0 und
(1,5 − 0,5) ⋅ 0,5 ⋅ 100
B10 =
1 1,5 ⋅ 0 − 0,5 ⋅ 0
⋅
= 0 .
1,1
1,5 − 0,5
Im 2. Fall weist das Duplikationsportfolio gar keinen Bestand mehr auf.
d)
Zum Aufbau des Duplikationsportfolios im Zeitpunkt t = 0 fallen folgende
Zahlungen an:
Ein-/Auszahlung
Kauf der Δ0 = 0,5727 Aktien
– 0,5727 ⋅ 100 = –57,27
Mittelaufnahme in Höhe von 26,03 GE
+26,03
Summe:
–31,24
Wie nicht anders zu erwarten war, entspricht die Summe der Ein- und Auszahlungen genau dem Wert der Option, der unter b) ermittelt wurde.
Wie aus den Berechnungen unter c) ersichtlich ist, ändert sich die Zusammensetzung des Duplikationsportfolios im Zeitablauf. Es muß im Zeitpunkt
t = 1 angepaßt werden. Die damit verbundenen Ein- und Auszahlungen unterscheiden sich je nachdem, ob sich der Aktienkurs um den Faktor u oder d
verändert hat.
1. Fall: Der Aktienkurs hat sich um den Faktor u verändert:
Ein-/Auszahlung
Erhöhung des Aktienbestandes von
Δ0 = 0,5727 auf Δ11 = 0,7 Aktien
–(0,7– 0,5727) ⋅ 150 = –19,10
Rückzahlung der in t = 0 aufgenommenen
–1,1 ⋅ 26,03 = –28,63
Mittel incl. Verzinsung
Mittelaufnahme in Höhe von 47,73 GE
+ 47,73
Summe:
0
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Per Saldo verursacht die Anpassung des Portfolios also weder eine zusätzliche Ein- noch Auszahlung. Man spricht daher auch von „sich selbst finanzierenden Portfolio-Anpassungen“.
2. Fall: Der Aktienkurs hat sich um den Faktor d verändert:
Ein-/Auszahlung
Verkauf des kompletten Aktienbestandes
+ 0,5727 ⋅ 50 = 28,64
von Δ0 = 0,5727 Aktien
Rückzahlung der in t = 0 aufgenommenen
–1,1 ⋅ 26,03 = –28,63
Mittel incl. Verzinsung in GE
Summe:
0,01
Auch in diesem Fall verursacht die Anpassung per Saldo – abgesehen von
einer Rundungsungenauigkeit – weder eine Ein- noch eine Auszahlung.
Dies muß auch so sein, denn Duplikation bedeutet nicht nur, daß der Zahlungsstrom aus der Option im Zeitpunkt t = 2, also bei Fälligkeit, nachgebildet wird. Sondern auch in den anderen Zeitpunkten müssen die Zahlungen
aus dem Duplikationsportfolio mit denen aus der Option übereinstimmen.
Da aus der hier betrachteten Option im Zeitpunkt t = 1 keine weiteren Einund Auszahlungen resultieren, muß dies auch für das Duplikationsportfolio
gelten.
Übungsaufgabe 3.10:
a)
⎛ C ⎞
⎛ 120 ⎞
ln ⎜ B T ⎟
ln ⎜
⎟
S0 ⋅ d ⎠
100 ⋅ 0,510 ⎠
⎝
⎝
=
= 6, 48 .
a =
u
1,5
ln
ln
()
d
( )
0,5
Daraus folgt, daß k′=7 beträgt!
b)
k′ − 1 = S6 = 100 ⋅ 1,56 ⋅ 0,54 = 71,19 < C = 120
ST
10
B
k′ = S7 = 100 ⋅ 1,57 ⋅ 0,53 = 213,57 > C = 120 .
ST
10
B
(Werte jeweils in GE.)
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Übungsaufgabe 3.11:
Zunächst wird k′ ermittelt. Aus
⎛ C ⎞
⎛ 120 ⎞
ln ⎜ BT ⎟
ln ⎜
⎟
S0 ⋅d ⎠
100⋅0,52 ⎠
⎝
⎝
=
= 1, 4278
a =
u
1,5
ln
ln
( )
()
d
0,5
folgt, daß k′=2 beträgt!
λ wurde bereits in der Lösung zur Übungsaufgabe 3.06 ermittelt und beträgt 0,6.
λ′ muß noch ermittelt werden. Aus λ =
u
1,5
1+ r
⋅ λ′ folgt λ′=
⋅ λ = ⋅ 0,6 = 0,8182.
u
1+ r
1,1
Nun müssen noch die Werte der Binomialverteilung berechnet werden. Aus (3.20)
und (3.21) folgt, daß
B(k′;T; λ′) =
T ⎛
T!
⎞
T!
⎞
⋅ λ′k ⋅ (1 − λ′)T − k
∑ ⎜
⎟
k = k ′ ⎝ k!⋅ (T − k)! ⎠
und
B(k′;T; λ) =
T ⎛
k
T−k
gilt.
∑ ⎜
⎟ ⋅ λ ⋅ (1 − λ )
k!
(T
k)!
⋅
−
⎠
k =k′ ⎝
Werden die entsprechenden Werte eingesetzt, so folgt daraus:
B(k′; T; λ′) = B(2; 2; 0,8182)
2!
=
⋅ 0,81822 ⋅ (1 − 0,8182)0
2! ⋅ (2 − 2)!
=
2
⋅ 0,81822 ⋅ 1
2 ⋅1
= 0,6695
und
B(k′; T; λ ) = B(2; 2; 0,6)
2!
=
⋅ 0,62 ⋅ (1 − 0,6)0
2! ⋅ (2 − 2)!
2
=
⋅ 0,62 ⋅ 1
2 ⋅1
= 0,36.
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Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Kapitel 3
Jetzt sind alle Werte bestimmt worden, um anhand der Gleichung (3.21) den Wert
der Option zu erhalten:
C0 = S0 ⋅ B(k′; T; λ′) −
CB
⋅ B(k′; T; λ )
(1 + r)T
120
= 100 ⋅ B(2; 2; 0,8182) −
⋅ B(2; 2; 0,6)
1,12
120
= 100 ⋅ 0,6695 −
⋅ 0,36
1,12
= 31,25 GE .
Bis auf eine Rundungsdifferenz stimmt dieser Wert mit dem in der Lösung zur
Übungsaufgabe 3.09 ermittelten Wert überein.
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Literaturverzeichnis
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(Die mit * gekennzeichneten Publikationen sind für den interessierten Leser geeignete vertiefende Texte)
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Analysis Journal, vol. 10, 1954, S. 57 – 61.
BITZ, M.: Verschuldungsgrad, Kapitalkosten und Risiko, in: ZfbF, 32. Jg.,1980,
S. 611 – 630. *
BITZ, M.: Finanzdienstleistungen, 7. Aufl., München 2005.
BITZ, M.: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003.*
BLACK, F./SCHOLES, M.: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, in:
Journal of Political Economy, 81, 1973, S. 637-654.
BLEYMÜLLER, J./GEHLERT, G./GÜLICHER, H.: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 14. Aufl., München 2004.
COX, J. C./ROSS, S./RUBINSTEIN, M.: Option Pricing: A Simplified Approach, in:
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DURAND, D.: The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment: Comment, in: American Economic Review, vol. 49, 1959, S. 639 –
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GORDON, J./BRIGHAM, E.F.: Leverage, Dividend-Policy and the Cost of Capital,
in: Journal of Finance, vol. 23, 1968, S. 85 – 103.
HAX, H./LAUX, H.: Die Finanzierung der Unternehmung, Köln 1975.
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LINTNER, J.: The Valuation of Risk Assets and the Stock Selection of Risk Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, in: Review of Economics
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MARKOWITZ, H. M.: Portfolio Selection, in: Journal of Finance, vol. 7 (1952), S.
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