Mathe4EI UB1

Prof. Dr. O. Junge, A. Schreiber
Zentrum Mathematik - M3
Technische Universität München
M ATHEMATIK 4 F ÜR EI - K LAUSUR
8. August 2012
Aufgabe 1 (ca. 3 Punkte)
Betrachten Sie das Problem f : R → R, f ( x ) = 2x3 + 11x2 = (2x + 11) x2 an der Stelle x0 = 4.
a) Was ist die absolute Kondition bei x0 ?
b) Was ist die relative Kondition bei x0 ?
c) Betrachten Sie für diese Teilaufgabe Maschinenzahlen mit zwei Ziffern im Dezimalsystem
(d.h. Zahlen der Form 0.a1 a2 · 10e mit 0 ≤ a1 , a2 ≤ 9 und e ganze Zahlen). Berechnen Sie
2x03 + 11x02 in Maschinenzahlen (mit Rundung von Zwischenergebnissen).
Aufgabe 2 (ca. 3 Punkte)

0
a) Bestimmen Sie eine QR-Zerlegung von A =  0
−1
0
2
1

3
2 
−9
Hinweis: Permuationsmatrizen sind orthogonal.
b) Finden Sie λ ∈ R, so dass die Funktion f : R → R, f ( x ) = λx die Daten (1, 1), (3, 1)
im kleinsten-Quadrate-Sinne approximiert, d.h. so dass ( f (1) − 1)2 + ( f (3) − 1)2 minimal
wird.
Aufgabe 3 (ca. 6 Punkte)
a) Ist φ :
R2
→
R2 , φ ( x )
1
= Ax, wobei A =
4
0
2
, eine Kontraktion bzgl. der Maximums0
norm? Begründen Sie Ihre Antwort!
b) Konvergiert die Iteration xk+1 = φ( xk ) für den Startwert x0 = (0, 1) T ?
Begründen Sie Ihre Antwort!
c) Konvergiert die Iteration xk+1 = φ( xk ) für alle Startwerte x0 ∈ R2 ?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 4 (ca. 4 Punkte)
Sie möchten eine Nullstelle der Funktion f : R → R, f ( x ) = x2 − 4x berechnen.
a) Wie lautet die Newton-Iteration zu dieser Funktion? Vereinfachen Sie den Ausdruck, soweit
möglich.
b) Für welche Punkte ist die Newton-Iteration definiert?
c) Für welche Startpunkte besteht Konvergenz gegen 0?
d) Für welche Startpunkte besteht Konvergenz gegen 4?
- Bitte wenden -
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Aufgabe 5 (ca. 8 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Matlabfunktionen:
function x = iteration1(A,b,x0,maxiter)
niter = 1;
M = diag( diag(A) );
N = M - A;
for i=1:maxiter,
x=M \ (b+N*x0);
x0 = x;
niter = niter+1;
end
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
function x = iteration2 (A,b,x0,tol)
relerr = inf;
M = tril(A);
N = M - A;
while relerr >= tol
x=M \ (b+N*x0);
relerr = norm( x-x0,inf )/norm( x,inf );
x0 = x;
end
function tm = iteration3 (f,t0,t1)
f0 = f(t0);
f1 = f(t1);
while (1)
tm = t0+0.5*(t1-t0);
if (t1-t0< 10^-5), break;end
fm = f(tm);
if (fm==0), break;end
if (f0>0 & fm>0)
t0=tm;
f0=fm;
else t1=tm; f1=fm;
end
end
a) Welcher Algorithmus wird mit der Matlabfunktion iteration1 implementiert?
b) Was wird die Ausgabe von
iteration1( [1/2 -2; -2 1/2] , [0;0] , [1;1] , 3)
sein?
Begründen Sie Ihre Antwort!
c) Welcher Algorithmus wird mit der Matlabfunktion iteration2 implementiert?
d) Was wird die Ausgabe von
iteration2( [4 2; 2 4] , [0;0] , [1;1] , 0 )
sein?
Begründen Sie Ihre Antwort!
e) iteration3 soll angewendet werden um Nullstellen von eindimensionalen Funktionen f :
[ a; b] → R zu finden, wenn f ( a) und f (b) verschiedenes Vorzeichen haben. Eine Zeile in
dem Programm ist aber fehlerhaft. Welche?
f) Verbessern, d.h. ersetzen Sie die Zeile, die Sie bei der vorgehenden Teilaufgabe als fehlerhaft
gefunden haben.
Aufgabe 6 (ca. 6 Punkte)
a) Geben Sie ein Beispiel für eine überall reell differenzierbare (d.h. F : R2 → R2 , F ( x, y) =
(Re( f ( x1 + ix2 ), Im( f ( x1 + ix2 )) ist differenzierbar), aber nirgends (!) komplex differenzierbare Funktion f : C → C.
b) Warum taugt z 7→ |z| nicht als Beispiel für die vorhergehende Teilaufgabe?
c) Betrachten Sie die Schar von Kurven γr (t) = i + reit , t ∈ [0, 2π ] zu den Parametern r > 0
cos z
sowie die Funktion f (z) = z2 −
. Was sind die Pole (Definitionslücken) von f ?
2z+2
d) Für welche r > 0 umläuft γr keine Pole von f ?
e) Was ist
w=
Z
f (z)dz?
γ0.5
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