Logik in der Informatik, ¨Ubungsblatt 5

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
http://www.tu-ilmenau.de/tinf/lehre/ss-2012/logik-in-der-informatik/
Logik in der Informatik, Übungsblatt 5
Die Übungsaufgaben werden in der Übungsveranstaltung am 5.6., 17 Uhr besprochen.
Übungsaufgaben
(1) In der Mathematik hat man es häufig mit Strukturen wie Gruppen, Körpern usw. zu
tun, in denen Funktionen eine ganz zentrale Rolle spielen. Da wir uns in der Vorlesung
nur mit relationalen Signaturen – also Signaturen, die keine Funktionssymbole enthalten – beschäftigt haben, wollen wir uns in dieser Aufgabe erweiterten Signaturen
zuwenden, die sowohl Relationssymbole (und Konstantensymbole) als auch Funktionssymbole zulassen.
(a) Definieren Sie eine Logik erster Stufe über den erweiterten Signaturen.
(b) Beschreiben Sie, wie sich Strukturen und Formeln der erweiterten Signaturen in
Strukturen und Formeln relationaler Signaturen interpretieren lassen. Wie verhält
sich der Quantorenrang bei der Transformation von Formeln wie beispielsweise
ϕ(x) = (f (f (f (t))) = x) aus der erweiterten Logik in die relationale Logik?
(c) Formulieren Sie den Satz von Ehrenfeucht-Fraı̈ssé für Ihre Logik über erweiterten
Signaturen.
(2) Sei τ = (R, C, ar) eine Signatur und A eine τ -Struktur. Für alle R ∈ R und a ∈ ||A||
definieren wir
Ra = {(a1 , . . . , an ) ∈ RA | es gibt ein i ∈ {1, . . . , n} mit ai = a, n = ar(R)} ,
d.h. Ra ist die Menge aller Tupel aus RA , in denen a vorkommt.
Zeigen Sie, dass der Gaifman-Graph G(A) von A genau
Grad hat,
Sdann beschränkten
wenn es ein k ∈ N gibt, so dass für alle a ∈ ||A|| gilt: R∈R Ra ≤ k.
(3) Es sei τ = (R, ∅, ar) eine unäre Signatur, d.h. ar(P ) = 1 für alle P ∈ R. Für jede
τ -Struktur A definieren wir eine Abbildung cA : ||A|| → 2R durch
cA (a) = {P ∈ R | a ∈ P A }
und für S ⊆ R setzen wir #(A, S) = c−1
A (S) .
Es seien A und B τ -Strukturen und m ∈ N, so dass für alle S ⊆ R gilt:
#(A, S) = #(B, S) oder #(A, S), #(B, S) > m .
Zeigen Sie: A ∼
=m B.
Bitte wenden.
Weitere Aufgaben
(1) Sei τ eine unäre Signatur. Beweisen Sie, dass die folgenden vier Probleme allesamt
entscheidbar sind, wobei die Eingabe jeweils ein FO[τ ]-Satz ist.
(a) Ist ϕ erfüllbar?
(c) Ist ϕ eine Tautologie?
(b) Ist ϕ endlich erfüllbar?
(d) Ist ϕ eine endliche Tautologie?
Beachten Sie, dass alle vier Probleme über beliebigen Signaturen unentscheidbar sind.
(2) Sei τ = (R, ∅, ar) eine unäre Signatur. Für jede Teilmenge S ⊆ R sei ϕS (x) die FO[τ ]Formel
^
^
¬P (x) .
P (x) ∧
P ∈S
P ∈R\S
(a) Zeigen Sie, dass es zu jedem FO[τ ]-Satz ϕ eine boolesche Kombination ψ von
Formeln der Gestalt ∃≥n x : ϕS (x) mit n ∈ N und S ⊆ R gibt, so dass für alle
τ -Strukturen A gilt:
A |= ϕ ⇐⇒ A |= ψ .
Geben Sie außerdem einen Algorithmus an, der ψ aus ϕ konstruiert.
(b) Gegeben sei nun ein FO[τ ]-Satz. Konstruieren Sie einen Linearzeit-Algorithmus,
der als Eingabe eine endliche τ -Struktur A erhält und entscheidet, ob A |= ϕ gilt.
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