¨Ubung zur Vorlesung ” Diskrete Strukturen II“

Timo Kötzing
SS 2014
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen II“
http://www.theinf.uni-jena.de/Lehre/SS+2014/Diskrete+Strukturen+II-p-174.html
”
Aufgabenblatt 6
Abgabe am Mittwoch, den 28.05.2014, 12:15 Uhr
Ich verspreche euch, dass in der Klausur Potenz- und Logarithmenrechnen Thema sein wird, ebenso O-Notation. Die ersten beiden Aufgaben sollen euch darauf
vorbereiten.
Aufgabe 1 (Verständnisaufgabe, 4 Punkte) Für welche x gelten die folgenden
Gleichungen?
3
(a) x1 = 16x.
(b) log3 (2x − 5) − log3 (x − 1) = 3.
log(2x+2)
(c) (2x + 2)
= 512.
√
3
5
(d) log1/x ( x ) = −5/3.
Als nächstes üben wir die Begriffe der O-Notation ein. Wir gehen ausschließlich
von Funktionen N → R>0 , also Abbildungen von den natürlichen Zahlen in die positiven reellen Zahlen, aus. Wir schreiben f ≤O g falls f ∈ O(g). Damit ist ≤O dann
eine Quasiordnung (transitiv und reflexiv). Wir schreiben f ≡O g falls f ≤O g und
g ≤O f . Wir schreiben f <O g falls f ≤O g und nicht g ≤O f . Zum Beispiel gilt
√
log(n2 ) ≡O log(n) <O n <O n <O n2 <O 10n3 ≡O n3 + n2 <O 2n .
Aufgabe 2 (Verständnisaufgabe, 4 Punkte) Ordne wie oben die folgenden
Funktionen (wobei wir jeweils die √Terme als Funktionen in Abhängigkeit von n√ be2
trachten). n, 2n , log(n), 2n +n , 1, 3 n, nn , 1/n, 23n , log(n5 ), n0,5 ,√|V (K n )|, log( n),
n
2
22 , 8n+1 , 1 + 1/n, 2n+5 , 4 · 2n , |E(K n )|, nlog n , 32n , n2 + 2n , 17 n.
Aufgabe 3 (Beweisaufgabe, 4 Punkte) Zeige die folgende Aussage formal: Sei n
ungerade und sei k < n gerade. Dann hat K n einen k-Faktor.
Aufgabe 4 (Knobelaufgabe, 4 Punkte) Für einen Graphen G sagen wir, dass
eine Knotenmenge U ein Schnitt (engl.: cut) ist, falls G−U keine Kanten enthält. Ein
minimaler Schnitt ist ein Schnitt minimaler Mächtigkeit. Zeige, dass die Mächtigkeit
eines minimalen Schnittes in einem bipartiten Graphen gleich der Mächtigkeit einer
maximalen Paarung ist.
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Diskrete Strukturen II
Timo Kötzing
Aufgabe 5 (Bonusaufgabe, 16 Punkte, 1 Klausurpunkt)
Wir
schreiben f ≤∞ g falls es ein n0 gibt so, dass für alle n ≥ n0 f (n) ≤ g(n). Damit ist
≤∞ eine Quasiordnung (transitiv und reflexiv). Wir schreiben f ≡∞ g falls f ≤∞ g
und g ≤∞ f . Zeige die folgenden Eigenschaften.
(a) Für alle f, g, falls f ≤∞ g, so auch f ≤O g.
(b) Es gibt f, g mit f ≤O g, g 6≤O f und f, g sind unvergleichbar bezüglich ≤∞ .
(c) Es gibt f, g mit f ≡O g und f, g sind unvergleichbar bezüglich ≤∞ .
(d) Es gibt f, g die unvergleichbar bezüglich ≤O sind.
(e) Für alle Polynome
p (mit positiven reellen Koeffizienten) und alle k gilt
√
k
p(log(n)) ≤O n.
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