Serie 2 - D-MATH

D-MATH, D-PHYS
Prof. J. Teichmann
Funktionentheorie
HS 2013
Serie 2
Abgabe: Bis Freitag, den 27. September, bis spätestens 15.00 Uhr in den Fächern
im HG J 68. Die Online-Fragen können bis Montag, den 30. September, um 8
Uhr beantwortet werden.
1. Sei f : C → C eine reell-lineare Abbildung, die bezüglich der kanonischen
reellen Koordinaten von C = R2 durch die Matrix
α β
A=
γ δ
definiert ist.
x
in der Form f (z) = az + bz̄ mit
y
a, b ∈ C schreiben lässt. Bestimmen Sie a und b in Abhängigkeit der
reellen Zahlen α, β, γ, δ.
(a) Zeigen Sie, dass sich f (x, y) = A
(b) Unter welchen Bedingungen ist die Abbildung f C-linear?
2. Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen holomorph sind und bestimmen
Sie ihre komplexen Ableitungen:
(a) f (z) = z n für n ∈ Z≥0 ,
(b) f (z) = ez ,
(c) f (z) = sin z.
3. Sei τ : C → C durch τ (z) = z̄ definiert. Zeigen Sie:
(a) τ ist nicht holomorph.
(b) Für jedes offene Ω ⊂ C und jede holomorphe Funktion f : Ω → C ist
h := τ ◦ f ◦ τ : {z̄ | z ∈ Ω} → C ebenfalls holomorph.
4. Seien U ⊂ C offen und f : U → C eine reelldifferenzierbare
Funktion. Wir
∂f
1 ∂f
:=
+
i
.
Zeigen
Sie, dass f
definieren die Wirtinger-Ableitung ∂f
∂ z̄
2 ∂x
∂y
genau dann holomorph ist, wenn
∂f
∂ z̄
≡ 0.
5. Untersuchen Sie, in welchen Punkten der komplexen Ebene die folgenden
Funktionen komplex differenzierbar sind und bestimmen Sie ggf. die zugehörigen komplexen Ableitungen. Es gelten dabei die üblichen Notationen
z =: x+iy, C∗ := C\{0}, H := {z ∈ C | Imz > 0} und D := {z ∈ C | |z| < 1}.
(a) f : C → C,
f (z) = x5 y 4 − ix4 y 5 ,
∗
∗
(b) f : C → C , f (z) = xix+y
2 +y 2 ,
y
(c) f : C → C,
f (z) = e − iex ,
(d) f : C → C,
f (z) = sin(|z|2 ),
(e) f : C → C,
f (z) = Re(z),
(f) f : C → C,
f (z) = z 22 |z|,
(g) f : H → D,
f (z) = z−i
z+i .
1
6. Seien Ω ⊂ C offen und zusammenhängend sowie f : Ω → C eine holomorphe
Funktion. Zeigen Sie:
(a) Ist f (Ω) ⊂ R, so ist f konstant.
(b) Liegen alle Werte von f auf dem Einheitskreis, so ist f konstant.
7. Untersuchen Sie die Funktion f (z) = z 3 mit Sage: Erzeugen Sie mit Graphics()
eine Plot-Umgebung, in die Sie mit der Funktion implicit plot die Niveaulinien {z | Ref (z) = c}, {z | Imf (z) = c} und {z | |f (z)| = c} für
c ∈ {−3, −2.5, . . . , 2.5, 3} zeichnen. Verwenden Sie die Parameter color,
linewidth und linestyle der Funktion implicit plot, um die verschiendenen Niveaulinien und die Veränderung in c visuell darzustellen.
8. Online-Fragen:
1. Sei z = x + iy die komplexe Standardvariable auf C . Für alle a > 0
gilt, dass die Funktion fa (z) = ax3 + iy an einer Stelle za ∈ C komplex
differenzierbar ist.
(a)
Richtig.
(b)
Nicht richtig.
2. Sei f : C → C holomorph. Welche der folgenden Funktionen g : C → C
sind holomorph?
(a)
g(z) = f (z)2
(b)
g(z) = f (z 2 )
(c)
g(z) = f (z)
(d)
g(z) = f (z̄)
(e)
g(z) = f (z̄)
3. Eine holomorphe Funktion f : C → C erfülle
Was folgt daraus?
(a)
f (z) = z, ∀z ∈ C.
(b)
f 0 (z) = 1,∀z ∈ C.
(c)
∂
∂y f (x
+ iy) = 1, ∀x, y ∈ R
(d)
∂
∂y f (x
+ iy) = i, ∀x, y ∈ R
2
∂
∂x f (x
+ iy) = 1, ∀x, y ∈ R.