Boolesche Algebren ¨Ubungsaufgaben

Boolesche Algebren
Übungsaufgaben
Definition Eine Boolesche Algebra ist eine Struktur (B, ∨, ∧, 0, 1, −), wobei
• B eine nichtleere Menge ist
• 0, 1 Elemente von B sind
• ∧, ∨ zweistellige Funktionen (Operationen) auf B sind
• − eine einstellige Operation auf B ist
und die untenstehenden Rechenregeln gelten.
Schreibweise ∨ : B × B → B ist eine Funktion. Statt ∨(x, y) schreiben wir
x ∨ y (“Infixschreibweise”), ebenso für ∧.
−b bedeutet −(b).
Wir schreiben a − b als Abkürzung für a ∧ (−b).
Wir schreiben a → b als Abkürzung für (−a) ∨ b.
a ≤ b soll die Beziehung a ∧ b = a abkürzen. (Siehe Aufgabe 5)
Rechenregeln Für alle x, y, z in B gelten:
• Assoziativgesetze: x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z.
• Kommutativgesetze: x ∨ y = y ∨ x. x∧ = y ∧ x.
• Distributivgesetze: x∨(y ∧z) = (x∨y)∧(x∨z), x∧(y ∨z) = (x∧y)∨(x∧z).
• Absorptionsgesetze: x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x,
• Komplement: x ∨ (−x) = 1, x ∧ (−x) = 0.
1. Sei X beliebige Menge (endlich oder unendlich, leer oder nicht leer). Wie
kann man P(X) (die Potenzmenge von X) in natürlcher Weise zu einer
Booleschen Algebra machen?
2. Sei (X, O) topologischer Raum. Zeigen Sie, dass die clopen Mengen (=die
Mengen, die zugleich abgeschlossen und offen sind) eine Boolesche Algebra bilden, mit ≤ = ⊆. Durch welche mengentheoretischen Operationen
werden ∨, ∧ und − dargestellt?
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3. Sei (X, O) topologischer Raum. Zeigen Sie, dass die regulär offenen Mengen (=die Mengen A, die gleich dem offenen Kern ihres Abschlusses sind,
A = int(cl(A)) = Ā◦ ) eine Boolesche Algebra bilden, mit ≤ = ⊆. Durch
welche mengentheoretischen/topologischen Operationen werden ∨, ∧ und
− dargestellt?
4. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:
• x ∨ 1 = 1, x ∧ 1 = x, x ∨ 0 = x, x ∧ 0 = 0.
• −x = y genau dann, wenn x ∧ y = 0 und x ∨ y = 1 ist.
• −−x=x
• −(x ∧ y) = (−x) ∨ (−y), −(x ∨ y) = (−x) ∧ (−y).
• −0 = 1, −1 = 0, 0 ≤ x ≤ 1 für alle x ∈ B.
• Wenn B Boolesche Algebra mit mehr als einem Element ist, dann ist
0 6= 1.
• Die Operationen ∨ und ∧ sind monoton in beiden Argumenten.
5. Die folgende Aussagen sind äquivalent:
• a ≤ b, d.h., a ∧ b = a
• −b ≤ −a
• a∨b=b
• a−b=0
• (a → b) = 1
6. x → y ist das größte Element der Menge {z : z ∧ x ≤ y}.
7. (B, +, ·, 0, 1) heißt Boolescher Ring, wenn
(a) (B, +, ·, 0, 1) Ring mit 1 ist,
(b) (B, ·) kommutativ ist
(c) für alle x ∈ B x · x = x gilt
(d) für alle x ∈ B x + x = 0 gilt
[Anmerkung: aus (a) und (c) folgt bereits (b) und (d) – man betrachte
(x + y) · (x + y).]
Stellen Sie eine natürliche Korrespondenz zwischen Booleschen Algebren
und Booleschen Ringen her.
8. Finden Sie eine abzählbare Boolesche Algebra mit Atomen. (b ∈ B heißt
Atom, wenn b 6= 0, aber ∀x : 0 ≤ x ≤ b ⇒ x = 0 ∨ x = b gilt.)
9. Finden sie eine abzählbare Boolesche Algebra ohne Atome.
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