Ubungen zur Theoretischen Physik F SS 09

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie
der Kondensierten Materie
Übungen zur Theoretischen Physik F
SS 09
Lösungsvorschlag zu Blatt 2
29.04.2009
Prof. Dr. A. Shnirman
Dr. B. Narozhny
1. Ideales Gas
1. Hauptsatz: dU = δQ − p dV + µ dN .
Adiabatische Zustandsänderung: δQ = 0 , konstante Teilchenzahl: dN = 0 ,
also: dU = −p dV . In einem thermisch isolierten Gas in einem geschlossenen Behälter
kann sich die innere Energie nur durch mechanische Arbeit ändern.
Bekannt ist außerdem: U =
f
f
NkT → dU = Nk dT
2
2
f
und pV = NkT → p dV + V dp = Nk dT , zusammen → dU = [p dV + V dp] .
2
f
f
Mit dem 1. Hauptsatz von eben gibt das (1 + )p dV = − V dp ,
2
2
was jetzt integriert werden kann, von einem thermodynamischen Zustand 0 zu einem
anderen 1 über einen reversiblen Weg,
f
(1 + )
2
Z1
dV
f
=−
V
2
0
Z1
dp
p
0
Daraus folgt, mit V1 ≡ V , p1 ≡ p , denn der Zustand 1 ist beliebig,
(1 +
f
f
2
V
p
) ln( ) = − ln( ) ⇒ (1 + ) ln(V ) + ln(p) = const1 ⇒ p V (1+2/f ) = const2
2
V0
2
p0
f
NkT
f
Analog ergibt sich aus dU = −p dV und dU = Nk dT und pV = NkT → p =
2
V
f Nk
Nk
dV = −
dT , also
unmittelbar
V
2 T
V
f
T
ln( ) = − ln( ) ⇒ V T f /2 = const3
V0
2
T0
2. Entropie des idealen Gases
1
p
µ
(a) Die “Fundamentalbeziehung” lautet: T S = U + pV − µN ⇒ S = U + V − N .
T
T
T
1
p
µ
Mit S = S(U, V, N) folgt dS = dU + dV − dN .
T
T
T
Es ist jetzt praktisch, Dichten einzuführen:
1
p
µ
s = S/N , u = U/N , v = V /N ⇒ s = u + v − .
T
T
T
Mit S = S(U, V, N) ist auch s = s(U, V, N) = s(u, v, N) ,
s hängt offenbar nicht explizit von N ab, also:
s = s(u, v) , ds =
1
p
du + dv
T
T
Dass s nicht von N abhängt, folgt auch ganz allgemein:
U, V, N, S sind extensiv, das heißt z.B. S(λU, λV, λN) = λS(U, V, N) . Die Dichten
sind (trivialerweise) intensiv, also s(λU, λV, λN) = s(U, V, N) . Dies kann nur erfüllt
werden, wenn U, V, N nur als Quotienten (Dichten) eingehen, also s = s(U/N, V /N)
oder s(U/V, U/N) oder s(U/V, V /N) .
ds läßt sich jetzt integrieren, wenn man T und p rauswirft:
U=
f
f
1
f 1
p
1
NkT ⇒ u = kT ⇒ = k , pV = NkT ⇒ = k
2
2
T
2 u
T
v
ds =
f du
v
dv
f
u
k
+k
⇒ s − s0 = k ln( ) + k ln( )
2 u
v
2
u0
v0
Die Integrationskonstanten sind s0 = S0 /N0 , u0 = U0 /N0 , v0 = V0 /N0 , einsetzen
liefert
f
U
N0
N0
V
N
+ Nk
ln( ) + ln( ) + ln( ) + ln( )
S = S0
N0
2
U0
N
V0
N
S0
U
V
f
N
f
= N
+ Nk
ln( ) + ln( ) − ( + 1) ln( )
N0
2
U0
V0
2
N0
(b) Nehmen wir o.B.d.A. mal an, dass das Gas aus konstanten N = N0 Teilchen besteht
und im konstanten Volumen V = V0 eingeschlossen ist, dann hängt U von der
Temperatur ab über U = f2 N0 kT , also, mit U0 ≡ f2 N0 kT0 , T0 = const. ,
S(T ) = S0 +
T
f
N0 k ln( )
2
T0
Für T → 0 divergiert dies, es läßt sich kein S0 finden, so dass S(T → 0) = 0 wäre.
Das “ideale Gas” ist eine brauchbare Näherung für ideale Gase nur bei hohen Temperaturen. Bei T → 0 muss die Quantennatur der Teilchen (Fermionen oder Bosonen) berücksichtigt werden, die zu einem nichtentarteten Grundzustand des Gases
führt. Dann folgt aus der informationstheoretischen Fundierung der Entropie (siehe
Vorlesung) sofort S(T → 0) = 0 .
3. Thermodynamische Antwortfunktionen:
(a)
cM
∂S
cH = T
,
∂T H
∂S
∂S
∂H
=T
+T
.
∂T H
∂H T ∂T M
Betrachte nun dM = 0 (für M = const)
∂M
∂M
dM =
dT +
dH = 0
∂T H
∂H T
⇒
∂H
∂T
M
∂M
∂T H
.
∂M
∂H T
=−
Die letzte Ableitung ist gleich die Antwortfunktion
∂M
χT =
.
∂H T
Daher
cM = cH − T
∂S
∂H
T
∂M
∂T H
χT
= cH 1 −
T
cH χT
∂S
∂H
T
∂M
∂T
.
(1)
H
Die letzte Antwortfunktion ist
∂M
∂M
∂T
χS =
+
.
∂H T
∂T H ∂H S
Jetzt betrachte dS = 0 (für S = const)
∂S
∂S
dS =
dT +
dH = 0
∂T H
∂H T
⇒
∂T
∂H
T
cH χT
∂S
∂H
S
=−
Daher
χS = χT −
∂M
∂T
H
∂S
∂H T
∂S
∂T H
= χT 1 −
Von (1) und (2) folgt
χS
cM
=
.
cH
χT
(b) Von
M = χ(T )H,
und
folgt
dF = −SdT − MdH,
1
F = F0 − χ(T )H 2 .
2
T
∂M
∂T
∂S
∂H T
.
∂S
∂T H
H
.
(2)
Laut Definition
S=−
Daher
cH = T
Für M = const
∂F
∂T
∂S
∂T
H
H
1
= S0 + χ′ (T )H 2.
2
1
= c0 + T H 2χ′′ (T ).
2
(3)
χ′ (T )
1
,
S = S0 + M 2 2
2
χ (T )
cM = T
∂S
∂T
′
′
1
χ (T )
2
= c0 + T M
2
χ2 (T )
′′
χ (T )
[χ′ (T )]2
1
2 2
−2 3
= c0 + T H χ (T )
2
χ2 (T )
χ (T )
′
2
[χ (T )]
.
= cH − T H 2
χ(T )
M
(4)
Die andere Antwortfunktionen sind
χT =
und
χS =
∂M
∂H
∂M
∂H
= χ(T ),
∂T
= χ(T ) + Hχ (T )
∂H
′
S
(5)
T
.
S
Betrachte nun dS:
dS =
∂S0
1
cH
dT + H 2 χ′′ (T )dT + χ′ (T )HdH =
dT + χ′ (T )HdH.
∂T
2
T
Für dS = 0 (S = const)
cH
dT + χ′ (T )HdH = 0
T
Daher
′
χS = χ(T ) − [χ (T )]
⇒
2H
2
T
cH
∂T
∂H
= −χ′ (T )
S
′
= χT − [χ (T )]
Von (3), (4), (5), und (6) folgt
cM
χS
[χ′ (T )]2
= 1 − T H2
=
cH
cH χT
χT
2H
2
T
cH
HT
.
cH
.
(6)
(c) Physikalische Bedeutung der Freien Energie:
Gesamtsystem abgeschlossen:
dUtot = 0
Gesamtänderung setzt sich aus Änderungen der Teilsysteme zusammen:
0 = dUtot = dUΣ + dUR = dUΣ + δQR
Wärmeaustausch zwischen Σ und R:
δQΣ = −δQR = −TR dSR
Zweiter Hauptsatz:
0 ≤ dStot = dSΣ + dSR
dUΣ ≤ TR dSΣ = d(TR SΣ )
⇒
Wir betrachten nun zwei Gleichgewichtszustände des Teilsystems Σ, zwischen denen sich das Teilsystem auf möglicherweise irreversible Weise ändert (z.B. durch
Fluktuationen oder durch plötzliche zeitabhängige Prozesse mit einer anschließenden Relaxation ins neue Gleichgewicht). Am Anfang und am Ende eines solchen
Prozesses ist das Teilsystem Σ in einem Zustand mit wohldefinierter Temperatur
TΣ = TR . [Bem.: im Nichtgleichgewicht braucht die Temperatur in Σ nicht wohldefiniert zu sein, obwohl die Temperatur in R immer wohldefiniert und gleich TR ist.]
Es gilt dann für kleine Änderungen dUΣ von einem Gleichgewicht in ein anderes,
da TΣ = TR
⇒
dUΣ ≤ TΣ dSΣ = d(TΣ SΣ )
Dies ist eine Ungleichung, da der Wärmeaustausch zwischen den beiden Gleichgewichtszuständen irreversibel sein kann. D.h. d(UΣ − TΣ SΣ ) ≤ 0 gilt immer, solange
ein System an ein Wärmebad gekoppelt bleibt.
Das bedeutet aber, dF ≤ 0. Die Helmholtzsche Freie Energie ist im Gleichgewicht
minimal.
(d) Stirlingsche Formel:
n! =
Z
∞
dxxn e−x =
0
Betrachte Exponenten:
Z
0
∞
f (x)
z }| {
dx exp[n ln x − x]
f (x) = n ln x − x
f ′ (x) = nx − 1
⇒ Extremum für x = n
f ′′ (x) = − xn2
⇒ Maximum bei x = n
also
ζ
1
1 z }| { 2
f (x) = f (n) + f ′′ (n)(x − n)2 + · · · = n ln n − n −
(x − n) + . . .
2
2n
Das Integral wird dominiert vom Beitrag beim Maximum des Exponenten.
Gaußsche Näherung für die Abweichung:
≈1
n! =
n n Z
e
∞
1 2
− 2n
ζ
dζe
−n
z }| {
(3)
eδ f (ζ)
≈
n n Z
e
∞
1
2
dζe− 2n ζ =
−∞
√
2πn
n n
e