4. Übungsblatt – Quantenmechanik II

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
5. November 2015
Prof. Dr. Sabine Klapp
Dr. Judith Lehnert, Dr. Marten Richter, Dr. Torben Winzer
4. Übungsblatt – Quantenmechanik II
Abgabe: Do. 19. November 2015 bis 8:30 Uhr im Hörsaal
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden Zwischenschritte und ausführliche Kommentare
zum Vorgehen erwartet. Dafür gibt es Punkte! Die Abgabe soll in 3er-Gruppen erfolgen. Bitte
geben Sie Ihre Namen, Matrikelnummern und die Übung an!
Aufgabe 1 (8 Punkte): Erwartungswerte
Für den Radialanteil unl (r) = rRnl (r) des nicht-relativistischen Wasserstoffatoms gilt die
folgende Schrödingergleichung:
H̃unl (r) = Ẽunl (r)
(1)
mit
2 l(l + 1)
d2
+ −
,
dρ2 ρ
ρ2
1
, (n = N + l + 1)
(N + l + 1)2
me Ze2
r
4πε0 ~2
H̃ =
Ẽ =
ρ=
(2)
(3)
(4)
(a) Zeigen Sie unter Verwendung des im Tutorium besprochenen Virialsatzes die Gültigkeit
von
nlm r −1 nlm =
1 me Ze2
.
4πε0 ~2 n2
(5)
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der oben angegebenen Schrödinger-Gleichung, dass
me Ze2
4πε0 ~2
3
n3 l(l
nlm r −2 nlm =
2
n3 (l
1
.
+ 12 )
(6)
(c) Zeigen Sie, dass
nlm r −3 nlm =
me Ze2
4πε0 ~2
1
(l 6= 0).
+ 12 )(l + 1)
(7)
Aufgabe 2 (12 Punkte): Relativistische Energiekorrekturen
Zu dem bekannten nicht-relativistischen Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms H0 wurden
in der Vorlesung zusätzliche relativistische Korrekturterme berechnet:



 p2
~2 qρ
q∂r φ
p4


Eϕ1 = 
+ qφ(r) 1̂ − 3 2 1̂ − 2 2 1̂ + 2 2 ŝ · l ϕ1

 2me
8me c
8me c ε0
2me c r
{z
}|
{z
}
|
{z
} | {z } |
=H0
=H1
1
=H2
=H3
4. Übung TPV WS2015/16
Dabei ist H1 der Term, den man bei der Berücksichtigung höherer Potenzen bei der Entwicklung des relativistischen Ausdrucks für die Energie erhält, H2 der Darwin-Term und
H3 die Spin-Bahn-Kopplung. Das ungestörte Eigenwertproblem H0 |nlmi = En |nlmi, mit
hr|nlmi = ϕnlm (r), und das Kernpotential φ(r) (Poisson: ∆φ = −ρ/ε0 ) seien bekannt. Jetzt
sollen die Energiekorrekturen in erster Ordnung Störungstheorie berechnet werden. Sei W ein
Störoperator, dann
R ist die Energiekorrektur erster Ordnung gegeben durch das Matrixelement
hnlm |W | nlmi = d3 rϕ∗nlm (r)W (r)ϕnlm (r).
(a) Leiten Sie die Abhängigkeit der Energiekorrektur hnlm |H1 | nlmi von
den Energieei
r −1 nlm
genwerten des ungestörten Wasserstoffatoms
E
,
dem
Erwartungswert
nlm
n
und dem Erwartungswert nlm r −2 nlm her. Dazu ist es hilfreich zu zeigen, dass
Ze2 2
) gilt.
H1 = − 2m1e c2 (H0 + 4πε
0r
(b) Warum verschwindet die Energiekorrektur hnlm |H2 | nlmi für alle Zustände mit l > 0?
4ε0
me Ze2 3
Berechnen Sie die Energiekorrektur. (Tipp: |ϕnlm (0)|2 = (4πε
4 ( n~2 ) δl0 ).
0)
(c) Berechnen Sie die
hn, j =
Energiekorrektur
l ± 1/2, l, mj |H3 | n, j, l, mj i in Abhängigkeit
von dem Term n, j, l, mj r −3 n, j, l, mj , wobei j die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
ist. Dabei ist es zweckmäßig den Term ŝ · l̂ mit Hilfe von ĵ2 ,l̂2 und ŝ2 darzustellen.
(d) Berechnen Sie die gesamte Energiekorrektur. Die Energieeigenwerte des ungestörten
Wasserstoffatoms (bzw. wasserstoffähnlichen Ions) lauten:
En = −
Vorlesung:
me Z 2 e4
1
(4πε0 )2 2~2 n2
Di. um 8:30 Uhr – 10:00 Uhr in EW 203,
Do. um 8:30 Uhr – 10:00 Uhr in EW 203.
Scheinkriterien:
• Mindestens 50% der schriftlichen Übungspunkte.
• Regelmäßige und aktive Teilnahme in den Übungen und mindestens einmal vorrechnen in der eingeteilten Übung.
Literatur zur Lehrveranstaltung:
• W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/1,2: Quantenmechanik (Springer)
• U. Scherz, Quantenmechanik (Teubner)
• F. Schwabl, Quantenmechanik für Fortgeschrittene (Springer)
• E. Fick, Einführung in die Grundlagen der Quantentheorie (Aula-Verlag)
• W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7: Vielteilchentheorie (Springer)
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