Analysis 1

Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Simone Warzel
Dr. Carl-Friedrich Kreiner
Technische Universität München
WS 2010/11
Blatt 2
Analysis 1
Zentralübungsaufgaben
(Besprechung in der Zentralübung vom 29.10.2010)
Z 8. Zeigen Sie den Binomialsatz: Für jedes x ∈ R und für jedes n ∈ N gilt
n X
n
n
(1 + x) =
xk .
k
n=0
Z 9. Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper und X ⊂ K eine nach unten beschränkte Teilmenge, die
ein Minimum a := min X besitzt. Zeigen Sie:
(a) Das Minimum ist eindeutig bestimmt, d.h. es gibt kein b ∈ X mit der Eigenschaft, dass
b 6= a und b ≤ x für alle x ∈ X.
(b) Es gilt min X = inf X.
Z 10. Seien z, w ∈ C. Zeigen Sie:
|z| − |w| ≤ |z + w| ≤ |z| + |w|.
Tutoraufgaben
(Besprechung im Zeitraum vom 29.10.–03.11.2010)
T 11. Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper. Zeigen Sie:
(a) x 6= 0
⇒ x2 > 0
(b) z < 0 ∧ x < y ⇒ z · x > z · y
(c) 0 < x < y
⇒ 0 < y −1 < x−1
T 12. Zeigen Sie: Für alle m ∈ N und y ∈ R mit y > 1 gibt es ein n ∈ N mit y n ≥ m.
T 13. Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper und M, N ⊂ K nach oben beschränkt. Die (elementweise)
Summe der Mengen M und N ist definiert durch
M + N := {x + y | x ∈ M, y ∈ N }.
Zeigen Sie: M + N ist nach oben beschränkt, und es gilt
sup(M + N ) = sup(M ) + sup(N ).
T 14. Zerlegen Sie die folgenden komplexen Zahlen in Real- und Imaginärteil, d.h. schreiben Sie sie in
der Form x + iy mit x, y ∈ R:
−1
(a) 1 + 1i
,
(b) (1 + i)42 ,
(c) alle komplexen Lösungen der Gleichung z 2 = 8i.
bitte wenden
Hausaufgaben
(Abgabe bis 04.11.2010, 14:10 Uhr, Briefkasten im MI-Untergeschoss)
H 15. Auf F2 := {0, 1} sei definiert
0 + 0 := 0,
0 + 1 := 1,
1 + 0 := 1,
1 + 1 := 0
0 · 0 := 0,
0 · 1 := 0,
1 · 0 := 0,
1 · 1 := 1.
(Addition wie in T 3),
Zeigen Sie:
(a) (F2 , +, · ) ist ein Körper.
(b) (F2 , +, · ) ist kein angeordneter Körper.
H 16. Zeigen Sie: Für alle m ∈ N und y ∈ R mit 0 ≤ y < 1 gibt es ein n ∈ N mit y n ≤
1
m.
H 17. Sei K = Q und X := {x ∈ Q | x2 < 3}. Zeigen Sie, dass X kein Supremum besitzt.
H 18. Sei K = R. Welche der folgenden Teilmengen von R haben ein Infimum, Minimum, Supremum
und/oder Maximum? Bestimmen Sie ggf. jeweils Infimum, Minimum, Supremum bzw. Maximum.
(a) N
(b) {x ∈ R | − 1 < x ≤ 1}
(c) {2−m + n−2 | m, n ∈ N}
H 19. Sei H+ := {z ∈ C | Im z > 0} und K1 := {z ∈ C | |z| < 1}. Zeigen Sie, dass die Funktion
f : H+ → K1
mit der Abbildungsvorschrift
f (z) :=
z−i
z+i
wohldefiniert und bijektiv ist.
Hinweis: Für die Wohldefiniertheit ist zu zeigen, dass die angegebene Abbildungsvorschrift
tatsächlich jedem z ∈ H+ genau einen Bildpunkt w ∈ K1 zuordnet.
Organisatorische Hinweise
1. Am Montag, den 01.11., entfallen alle Lehrveranstaltungen wegen Allerheiligen. Das betrifft die
Tutorgruppen 2, 3, 4, 5 und 6. Die betroffenen Teilnehmerinnen und Teilnehmer besuchen bitte
• entweder Gruppe 1 am Freitag, den 29.10., um 14:15 Uhr, in 03.08.011 (soweit das die
Platzverhältnisse im Seminarraum zulassen)
• oder eine der beiden ersatzweise angebotenen Ausweichgruppen
Datum
Di, 02.11.
Mi, 03.11.
Zeit
16:00–17:30
14:15–15:45
Raum
MI HS 3
MI 00.07.014
Tutor
Florian Augustin
Florian Augustin
Anmerkung
besonders für NF Wirtschaft
2. Am Donnerstag, den 04.11., findet die Vorlesung wegen des Schülertags ausnahmsweise nicht in
PH HS 1, sondern im (kleineren) PH HS 2 statt.
3. Am Freitag, den 05.11., findet die Tutorgruppe 1 nicht von 14–16 Uhr, sondern von 16:00–17:30
Uhr statt. Wegen des Schülertags wird die Zentralübung zur Linearen Algebra einmalig auf
Freitag verlegt, und zwar auf den regulären Termin von Tutorgruppe 1.
Aktuelle Informationen zu Vorlesung und Übungen finden Sie unter:
http://www.ma.tum.de/LM/An1WiSe1011/