Spintransport durch magnetisch dotierte Quantenpunkte

Universität Hamburg
Department Physik
Spintransport durch magnetisch dotierte
Quantenpunkte
Diplomarbeit
eingereicht von
Christoph Hübner
I. Institut für Theoretische Physik
Universität Hamburg
16. Februar 2010
Abstract
In this thesis, sequential and coherent charge or spin transport via an idealized single level quantum dot with an incorporated magnetic impurity is investigated. The
focus lies on the presentation of the transport effects in a stationary limit, which are
based on interaction between electrons and a magnetic impurity. To determine the
nonequilibrium stationary state, we use a real time diagrammatic transport theory,
which is based on the Keldysh formalism. A perturbative expansion up to second
order in the weak tunnel coupling provides insight into sequential and coherent
transport. In first order the electron impurity interaction leads to differently pronounced signals of sequential transport channels and a new type of spin blockade.
In second order spin flip processes occur, which depend on the interaction strength.
Kurzzusammenfassung
In der vorliegenden Diplomarbeit wird der sequentielle und kohärente Ladungs- bzw.
Spintransport durch einen idealisierten Ein-Niveau-Quantenpunkt mit magnetischer
Störstelle untersucht, der über schwache Tunnelkontakte mit zwei Elektronenreservoiren verbunden ist. Der Schwerpunkt liegt dabei auf dem Vorzeigen der Transporteffekte im stationären Limes, welche auf der Wechselwirkung zwischen Elektronenund Störstellenspin beruhen. Zur Untersuchung des Nichtgleichgewicht Zustandes,
wird ein diagrammatischer Echtzeit-Transport-Formalismus verwendet. Eine perturbative Entwicklung bis zur zweiten Ordnung in der Tunnelkopplung ermöglicht
den Einblick auf sequentiellen und kohärenten Transport. In erster Ordnung führt
die Wechselwirkung zischen Elektronen und Störstelle zu einer unterschiedlichen Gewichtung der sequentiellen Transportkanäle und zu einer neuartigen Spin-Blockade.
In zweiter Ordnung zeichnet sich die Wechselwirkung durch Spinflip-Prozesse ab,
die abhängig von der Wechselwirkungsstärke sind.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Das
2.1
2.2
2.3
1
Modellsystem
Der Quantenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Reservoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Hybridisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Methode
3.1 Zeitabhängiger Erwartungswert . . . . . . . .
3.2 Zeitentwicklung der reduzierten Dichtematrix
3.3 Diagrammatische Darstellung . . . . . . . . .
3.4 Kinetische Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Darstellung des Stroms . . . . . . . . . . . . .
3.6 Stationäre Lösung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Perturbativer Ansatz . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Raten Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Spiegelsymmetrie . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Summenregel . . . . . . . . . . . . . .
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5 Spintransport in erster Ordnung Störungsrechnung
5.1 Eigenzustände des Quantenpunktes mit magnetischer Störstelle . .
5.2 Sequentielle Transportprozesse und Blockade-Regime . . . . . . . .
5.3 Sequentieller Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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62
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6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
6.1 Lösungsansatz für Spin-Blockade-Diamant . . . . . . . . . . . . . .
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71
4 Die
4.1
4.2
4.3
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Tunnel-Raten
Zeitintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformation in den Energieraum . . . . . . . . . .
Diagrammregeln im Energieraum . . . . . . . . . . .
4.3.1 Irreduzible Diagramme erster Ordnung in Γ .
4.3.2 Irreduzible Diagramme zweiter Ordnung in Γ
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vi
Inhaltsverzeichnis
6.2
6.3
6.4
Konvergenz der Raten zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . .
Störungsrechnung und Raten zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . .
Kohärenter Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
76
77
7 Resümee und Hauptaussagen der Arbeit
85
Literaturverzeichnis
89
1 Einleitung
Heutige konventionelle elektronische Bauteile erreichen in ihren Abmessungen längst
die Nanometer-Skala. Schon frei erhältliche Transistoren besitzen eine Gate-Länge
von nur 45 Nanometern, wobei an einer weiteren Verkleinerung bereits gearbeitet
wird. Untersuchungen an nanoskaligen elektronischen Bauteilen sind jedoch nicht
nur für industrielle Anwendungen von Relevanz, sie eignen sich auch dazu elementare quantenmechanische Effekte zu verstehen.
Ein besonders interessantes Bauteil stellt der Single-Electron-Transistor (SET) dar.
Das grundlegende Konzept eines SETs besteht aus zwei metallischen Anschlüssen,
welche - getrennt durch eine Insel - über Tunnelkontakte Elektronen austauschen
können. Sowohl zwischen den Anschlüssen als auch an eine Gate-Elektrode können
Spannungen angelegt werden. Die Abbildung (1.1) zeigt einen SET, bei dem als
Insel ein Kohlenstoff-Nano-Röhrchen verwendet wurde.
Abbildung 1.1: Realisierung eines SETs aus [Ish07] durch einen über Tunnelkontakte an zwei Elektroden gekoppeltes Kohlenstoff-Nano-Röhrchen.
1987 wurde der erste SET von Fulton und Dolan [Ful87] hergestellt. Er bestand
aus einem metallischen Partikel, welcher über Tunnelbarrieren mit zwei metallischen Kontakten verbunden war. Elektronen konnten über die metallische Insel
zwischen den Kontakten ausgetauscht werden. Bereits zwei Jahre später wurden
ein Halbleiter-SET von Scott-Thomas et al. [ST89] mittels lithographischer Verfahren hergestellt. Die Rolle der Insel übernahm eine Inversionsschicht eines Si-Metall-
2
1 Einleitung
Oxyd-Halbleiters. Anhand der Leitfähigkeit konnte die Ladeenergie innerhalb der
Inversionsschicht bestimmt werden. An dem Stromverlauf lassen sich also die Eigenschaften der Insel ablesen.
Besonders interessant ist die Verwendung von einem Quantenpunkt als Insel. Man
spricht bei Quantenpunkten, wegen ihrer geringen Anzahl von Leitungselektronen,
auch von künstlichen Atomen. Sie zeichnen sich durch eine - für nulldimensionale
Systeme charakteristische - diskrete Zustandsdichte aus. Da sich die elektronische
Struktur eines Quantenpunktes durch seine Größe und die Verwendeten Materialien modellieren lässt [Rei02], kann dadurch auch auf die Stromcharakteristik eines
SETs einfluss genommen werden. Die Folgen der elektronischen Struktur auf den
Transport von Elektronen führen zu Effekten wie der Coulomb-Blockade. Das Blockieren des Stroms ist auf die Ladeenergie des Quantenpunktes zurück zu führen
[Alt91].
Umgekehrt lässt sich aus der Stromcharakteristik auch auf die elektronische Struktur des Quantenpunktes schließen. Beispielsweise für einen Silizium-Quantenpunkt
mit einem Durchmessers von 12 nm konnte in [Zhu98] anhand der Veränderung
der Leitfähigkeit ein Niveauabstand von 110 meV bestimmt werden. Anhand des
Stroms lassen sich wie bei einem spektroskopischen Verfahren die Energieniveaus
eines Quantenpunktes ermitteln.
In den Arbeiten [Bec06] und [Tew04] wurde der Transport durch einen einfachen
Ein-Niveau-Quantenpunkt untersucht. Bis auf die Coulomb-Wechselwirkung wurde
die interne Struktur des Quantenpunktes bei dem idealisierten Modell weitestgehend vernachlässigt. Die Arbeiten [Voi07] und [Mor09] zeigen, wie die elektronische
Struktur eines Quantenpunktes durch magnetische Störstellen beeinflusst wird. Diese Diplomarbeit soll einen ersten Ansatz darstellen, einen Einblick in Transportprozesse durch Quantenpunkte mit komplexer innerer Struktur zu geben. In Anlehnung
an die Arbeitern zu magnetisch dotierten Quantenpunkten, wird der Elektronentransport durch einen Quantenpunkt mit magnetischer Störstelle untersucht.
In dem Eingangskapitel stellen wir das Modellsystem mit seinen einzelnen Bestandteilen vor. Genau wird dabei auf die Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen der Störstelle und den Elektronen des Quantenpunktes eingegangen. Anhand der bestimmten Eigenzustände des Quantenpunktes und der spinerhaltenden Hybridisierung,
wird bereits in dem Eingangskapitel die Möglichkeit des Spinflips eines Elektrons
während des Transports diskutiert.
Das Zweite Kapitel stellt die Vorstellung einer Nichtgleichgewichts
Transport-Theorie dar, die auf dem Keldysh-Formalismus beruht. Einer allgemeinen Einleitung zu zeitabhängigen Erwartungswerten, folgt die Entwicklung eines
diagrammatisch darstellbaren Propagators, welcher die reduzierte Dichtematrix in
der Zeit propagiert. In dem daran anschließenden Teil, werden die diagrammatische
Darstellung des Propagators konstruiert und Diagrammregeln definiert. Mittels der
3
diagrammatischen Darstellung wird eine exakte kinetische Gleichung für die reduzierte Dichtematrix und den Erwartungswert des Stroms abgeleitet. Unter der
Annahme eines adiabatischen Einschaltens der Tunnelkopplung und der unendlich
langen Propagation des Systems, wird der stationäre Limes der kinetischen Gleichung gebildet. Die Bestimmungsgleichungen der stationären Dichtematrix und des
stationäre Stroms werden über einen perturbativen Ansatz bis zur zweiten Ordnung
in der Tunnelkopplung entwickelt. Mit Hilfe der Spiegelsymmetrie und der Summenregel wird gezeigt, dass sich die Bestimmungsgleichung der reduzierten Dichtematrix
als Master-Gleichung mit darin enthaltenen Raten interpretieren lässt.
In dem vierten Kapitel werden die expliziten Ausdrücke der Raten ermittelt und
analysiert. Die zur Berechnung der Raten notwendigen Diagramme werden durch
Formulierung von Diagrammregeln im Energieraum auf mathematische Ausdrücke
eindeutig abgebildet. Daraufhin werden zunächst die Integralausdrücke eines Diagramms durch eine Abschneideenergie regularisiert und dann im Limes großer Abschneideenergie bestimmt.
Bestandteil des fünften Kapitels ist der sequentielle Transport. Für eine Störstelle
mit der Spinquantenzahl I = 1/2 werden die Eigenzustände des Quantenpunktes durch Eigenzustände des Elektronenspins ausgedrückt. Die Auswahlregeln für
Übergänge zischen Quantenpunktzuständen durch tunnelnde Elektronen sind in einer Grafik dargestellt. Die Master-Gleichung in erster Ordnung Störungsrechnung
reproduziert Fermis Goldene Regel. Anhand von Energieschemata und Ladungsdiagrammen werden der sequentielle Transport, die Coulomb-Blockade und die , in
diesem System gefundene, Spin-Blockade erläutert. Letztere wird auf die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Störstelle zurückgeführt.
In dem letzten Kapitel befassen wir uns mit dem Spintransport im Inneren des
Spin-Blockade-Diamanten. Wir stellen einen nicht systematischen Lösungsansatz
vor, der für den gesamten Blockade-Diamanten Gültigkeit besitzt. Daraufhin zeigen wir, dass sämtliche Raten der Master-Gleichung zweiter Ordnung unabhängig
von der Abschneideenergie sind, die zur Regularisierung der Energieintegrale eingeführt wurde. Anhand der Raten im Bereich sequentieller Resonanzen schätzen wir
die obere Grenze für den Ordnungsparameter der Störungsentwicklung ab. Auch für
das kohärente Tunneln erläutern wir die Prozesse des inelastischen und elastischen
Co-Tunnels anhand von Energieschemata und Ladungsdiagrammen. Wir gehen dabei explizit auf den Spin der tunnelnden Elektronen ein. In dem letzten Teil wird
die Anreicherung eines durch den Strom angeregten Nichtgleichgewicht Zustandes in
Abhängigkeit der Kopplungsstärke zwischen Elektronen und Störstelle untersucht.
Das letzte Kapitel stellt eine Zusammenfassung der Ergebnisse dar.
2 Das Modellsystem
Das betrachtete Modellsystem stellt einen SET dar und lässt sich - analog zu einem
klassischen Feldtransistor - in Segmente zerlegen. Die Source- und Drain-Elektroden
eines klassischen Transistors werden in diesem System durch das linke (L) und rechte (R) Elektronenreservoir verkörpert. Die Reservoire werden durch die HamiltonOperatoren ĤL beziehungsweise ĤR beschrieben. Im klassischen Transistor wird
durch anlegen einer Source-Drain-Spannung der Strom über einen leitenden Kanal
zwischen den Elektroden vermittelt. Die Leitfähigkeit des Kanals wird durch eine
an die Gate-Elektrode angelegte Spannung (Gate-Spannung) gesteuert. Der Kanal
wird in dem SET durch den Quantenpunkt dargestellt. Durch die Gate-Spannung
können die Niveaus des Quantenpunktes gegenüber den Reservoiren verschoben
werden. Der Transport von Elektronen in und aus dem Quantenpunkt wird durch
einen Tunnelkontakt, repräsentiert durch ĤT (t), ermöglicht. Die Zeitabhängigkeit
von ĤT (t) betrifft nur das adiabatische Einschalten der Tunnelkopplung zwischen
Quantenpunkt und Reservoiren. Der sich nach der Kopplung einstellende stationäre
Zustand des Systems ist durch einen im zeitlichen Mittel konstanten Strom charakterisiert. Bei dem Strom werden Elektronen über den Quantenpunkt zwischen den
Reservoiren vermittelt, welche als Quellen bzw. Senken dienen. Ohne Kopplung an
die Reservoire wird der Quantenpunkt durch den Hamilton-Operator ĤQD beschrieben. Das gesamte System lässt sich somit als Summe seiner Bestandteile durch
Ĥ = ĤQD +
X
Ĥr + ĤT (t)
(2.1)
r=L,R
darstellen. Es ist zu erwarten, dass der Elektronentransport maßgeblich abhängt
von den lokalen Eigenschaften der Bestandteile des Quantentransistors und deren
Kopplung miteinander. Aus diesem Grund werden im Folgenden die Bestandteile
von Gleichung (2.1) genauer beschrieben.
2.1 Der Quantenpunkt
Wie in Abbildung (2.1) schematisch dargestellt, übernimmt der Quantenpunkt die
Rolle einer Insel für tunnelnde Elektronen von einem Reservoir in ein anderes. Befin-
6
2 Das Modellsystem
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung des Modellsystems. Zentral sitzt der
Quantenpunkt QD, der mit einem magnetischen Störatom mit dem Spin I~ dotiert
ist. Der Paraboloid deutet das Einschlusspotential des Quantenpunktes und die
Elektronenniveaus an. Grün sind die Kontakte des linken und rechten Elektronenreservoirs, sowie die Gate-Elektrode dargestellt. An sie kann eine Spannung angelegt
werden. Ein homogenes Magnetfeld wird durch die blau dargestellte Spule erzeugt.
den sich Elektronen in dem Quantenpunkt, so sind sie den lokalen Wechselwirkungen ausgesetzt. Neben der Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen untereinander
sind die Elektronen über Austauschwechselwirkung an einen lokalen Spin Iˆ gekoppelt. Des Weiteren lassen sich die elektronischen Niveaus über eine Gate-Elektrode
mit einer daran angelegten Gate-Spannung VG und einem Magnetfeld modifizieren.
Wir wollen annehmen, dass sich der Hamilton-Operator ĤQD , welcher den von den
Reservoiren isolierten Quantenpunkt darstellt, in der Form
1
ĤQD = (0 − eVG )N̂QD + U N̂QD (N̂QD − 1) + Jc (Jˆ2 − Iˆ2 − Ŝ 2 ) + Jzm Jˆz (2.2)
2
schreiben lässt. Die einzelnen Bestandteile des Operators ĤQD wollen wir im Folgenden erläutern und ihre Form motivieren.
Bei einem Quantenpunkt führt das Einschlusspotential zu einer Diskretisierung der
Elektronenniveaus. Es wird von einem nulldimensionalen System gesprochen. Typischerweise werden die Elektronen durch ein starkes Potential entlang der z-Achse in
2.1 Der Quantenpunkt
7
der zweidimensionalen (lateralen) xy-Ebene gefangen. Bei kleinen Quantenpunkten,
d.h. wenn der Radius des Quantenpunktes vergleichbar mit der charakteristischen
Länge der Änderung des Potentials ist, lässt sich das laterale Potential gut durch ein
parabolisches nähern. Von Kumar [Kum90] konnte gezeigt werden, dass für einen
GaAs Quader der Größe 300 × 300 × 30nm3 ein parabolisches Potential eine gute
Näherung darstellt. Die Lösungen der Schrödingergleichung eines solchen Potentials, mit Eigenfrequenz ω0 und zusätzlichem Magnetfeld werden als Fock-Darwin
Zustände [Foc28] bezeichnet. Bei starkem Potential, im Vergleich zu dem Magnetfeld, ist die Energiedifferenz benachbarter Niveaus durch ∆ = ~ω0 gegeben. Für
einen Quantenpunkt mit einem Durchmesser zwischen 10 und 100nm liegt ∆ in der
Größenordnung von meV [Jac98]. In dem Fall, dass ∆ viel größer als die Wechselwirkungsenergien der Elektronen ist, besetzen die Elektronen lediglich das niedrigste
Niveau des Quantenpunktes. Auf Grund des Pauli-Prinzips [Pau46] sind wegen des
Spin-Freiheitsgrades nur kein, ein oder zwei Elektronen in dem Quantenpunkt möglich. Die zusätzlich an den Quantenpunkt angelegte Gate-Spannung VG , wirkt wie
ein chemisches Potential auf die Zustände. Mit diesen Überlegungen lässt sich der
Energiebeitrag (0 − eVG )N̂QD zu ĤQD erklären, wobei es sich bei 0 um die GrundP +
zustandsenergie des Quantenpunktes handelt. Der Operator N̂QD =
aσ aσ zählt
σ=↑,↓
die Elektronen in dem besetzbaren Niveau des Quantenpunktes. Bei a+
σ (aσ ) handelt
es sich um fermionische Erzeuger-Operatoren (Vernichter-Operatoren). Die Wirkung von a+
σ (aσ ) kann als Erzeugung (Vernichtung) eines Teilchens in dem EinTeilchen-Zustand des Spins σ gedeutet werden [Nol]. An späterer Stelle wird explizit
die Wirkung der Erzeuger-Operatoren (Vernichter-Operatoren) auf Zuständen des
Quantenpunktes gezeigt.
Im Falle eines doppelt besetzten Quantenpunktes ist die Coulomb-Wechselwirkung
der Elektronen zu berücksichtigen. Bei starkem Einschlusspotential ist die CoulmbEnergie klein gegenüber der Energiedifferenz zweier Ein-Teilchen-Zustände ∆. Sie
kann daher als kleine Störung betrachtet werden und führt im Falle der Doppelbesetzung lediglich zu einer Energieverschiebung. In zweiter Quantisierung lässt sich
diese Energieverschiebung des Viel-Teilchen-Zustandes schreiben als
U N̂QD (N̂QD − 1)
(2.3)
wobei U der Parameter ist, welcher die Stärke der Coulomb-Abstoßung repräsentiert. Das Operator-Produkt N̂QD (N̂QD − 1) ist Eins für einen doppelt besetzten
Quantenpunkt und Null für den leeren und einfach besetzten.
Elektrische und magnetische Eigenschaften eines Quantenpunktes können durch Dotierung mit Fremdatomen modifiziert werden. Von besonderem Interesse sind in die-
8
2 Das Modellsystem
ser Arbeit die Auswirkungen einer magnetischen Störstelle auf den Transport durch
den Quantenpunkt. Die Auswirkungen einer Dotierung mit magnetischen Störstellen auf die elektronische Struktur des Quantenpunktes ist in [Ngu08] und [Che09]
mittels exakter Diagonalisierung untersucht. In dem hier betrachteten Ein-NiveauQuantenpunkt wechselwirken die Elektronen über ihren Spin mit der Störstelle, was
sich als
1
Jc IˆŜ = Jc (Jˆ2 − Iˆ2 − Ŝ 2 )
2
(2.4)
P
darstellen lässt. Iˆ ist der Spin der Störstelle und Ŝ = Ŝi der Gesamtspin der
i
Elektronen in dem Quantenpunkt. JC steht für die Kopplungsstärke der Elektronen
an die Störstelle. Jˆ = Iˆ + Ŝ ist der Gesamtspin von Elektronen und Störstelle. An
(2.4) ist leicht zu erkennen, dass die Wechselwirkung mit der Störstelle verschwindet,
wenn Ŝ = 0. Dies ist der Fall für den leeren und doppelt besetzen Quantenpunkt.
Die Zustände des einfach besetzten Quantenpunktes sind Eigenzustände zu Jˆ2 .
Durch die Kopplung zwischen dem Elektronen- und Störstellenspin, kann nicht
mehr gesagt werden, in welchem Spinzustand sich ein Elektron befindet. Ein in
den Quantenpunkt tunnelndes Elektron vergisst seine Spinorientierung durch die
Kopplung an die Störstelle. Des Weiteren bewirkt die Kopplung eine Aufhebung
der Entartung von Zuständen mit unterschiedlichem Gesamtspin.
Um die Entartung der Zustände unterschiedlicher Gesamtspinorientierung entlang einer Quantisierungsachse aufzuheben, wird ein kleines Magnetfeld angenommen. Das Magnetfeld sei so klein, dass lediglich eine Energieverschiebung der Eigenzustände zu Jˆ2 und Jˆz bewirkt wird. Es handelt sich hierbei um eine sehr starke
Vereinfachung, da im Allgemeinen nicht angenommen werden kann, dass ein Magnetfeld im gleichen Maße an die Elektronen und die Störstelle in dem Quantenpunkt koppelt. Wir gehen jedoch von einer gleichmäßigen Kopplung durch identische
Landè-Faktoren g = gŜz = gIˆz der Elektronen und Störstelle aus. Der Zeeman-Term
lässt sich dann als
eB
Jzm Jˆz := ~ g(Ŝz + Iˆz )
2
(2.5)
schreiben. Die Quantisierungsachse für die Spinorientierungen Ŝz und Iˆz bzw. Jˆz ,
wird durch das Magnetfeld gegeben. Durch Jzm kann die Entartung von Zuständen
unterschiedlicher Gesamtspinorientierungen aufgehoben werden.
Auf Grund der vorherigen Annahmen lässt sich die Form des Quantenpunkt-
2.1 Der Quantenpunkt
9
Hamilton-Operators in Gleichung 2.2 motivieren. 0 ,U, Jc und Jzm sind in den Folgenden Überlegungen einfache Parameter und unterliegen in ihrer relativen Größe
keinen Restriktionen.
Wir wollen nun die Eigenzustände von ĤQD genauer betrachten.
h
i Für
h den Operator
i
2
ˆ
ˆ
des Gesamtspins J gelten die Kommutatorrelationen ĤQD ,J = ĤQD ,JˆZ = 0.
Der Hamilton-Operator ĤQD besitzt Diagonalgestalt, wenn als Basis Vielteilchenzustände des Quantenpunktes durch Eigenzustände des Gesamtspins dargestellt
werden. Die Vielteilchenzustände des isolierten Quantenpunktes |N,J,JZ i können
somit durch drei Quantenzahlen beschrieben werden und bilden ein vollständiges
System orthonormaler Eigenfunktionen (VONS). N ist die Anzahl der Elektronen
innerhalb des Quantenpunktes. Da nur von einem besetzbaren Orbital ausgegangen
wird, gilt für die Anzahl der Elektronen innerhalb des Quantenpunktes: N ∈ 0,1,2.
Für die Gesamt-Spinquantenzahlen gilt: |I − S| 6 J 6 I + S und JZ = IZ + SZ .
Die Zustände |N,J,JZ i sind Eigenzustände des Operators ĤQD . Es gilt somit die
Eigenwertgleichung
ĤQD |N,J,JZ i = N,J,JZ |N,J,JZ i
.
(2.6)
N,J,JZ sind die Energie-Eigenwerte der jeweiligen Zustände mit den Quantenzahlen N,J und JZ .
Die Dimension der Basis |N,J,JZ i hängt von der Störstelle ab. Sind keine Elektronen in dem Quantenpunkt, bilden die Spinzustände der Störstelle die Basis. Die
Dimension der Basis für N = 0 ist somit (2I + 1). Ist der Quantenpunkt mit einem
Elektron besetzt, so befinden sich zwei unterscheidbare Teilchen in ihm (Elektron
und Störstelle). Die Basis besteht dann aus den Produktzuständen von Störstelle
und Elektron. Die Dimension der Basis von Produktzuständen ist das Produkt der
Dimensionen der Unterräume, woraus folgt: (2I + 1) · (2S + 1) = 2(2I + 1). Befinden
sich zwei Elektronen in dem Quantenpunkt, so besteht der Dreiteilchen-Zustand aus
dem der Störstelle und der antisymmetrischen Wellenfunktionen für zwei Elektronen. Die Elektronen sind ununterscheidbare Fermionen, deren Wellenfunktion auf
Grund des Pauliprinzips antisymmetrisch unter der Teilchenvertauschung sein muss.
Da beide Elektronen das gleiche Orbital besetzen, ist die Ortswellenfunktion symmetrisch. Die Spinwellenfunktion muss daher antisymmetrisch sein 21 (|↑↓i − |↓↑i).
Die Dimension der Basis des Elektronenzustandes ist somit Eins und der Gesamtspin der Elektronen Null. Das Elektronenpaar koppelt damit auch nicht mehr an
den Spin der Störstelle an. Die Dimension der Quantenpunktzustände mit zwei
Elektronen wird, wie im Fall des leeren Quantenpunktes, nur durch die Störstelle
mit (2I + 1) bestimmt. Die Dimension der Basis |N,J,JZ i ist somit die Summe der
10
2 Das Modellsystem
Dimensionen für alle möglichen Besetzungen des Quantenpunktes mit Elektronen:
(2I + 1) + 2(2I + 1) + (2I + 1) = 4(2I + 1) .
{z
|
N =0
}
|
{z
N =1
}
|
{z
N =2
(2.7)
}
2.2 Die Reservoire
Die Elektronenreservoire werden durch den Operator r Ĥr repräsentiert, wobei der
Index r ∈ {L,R} ist. Die Indizes dienen der Unterscheidung der beiden Reservoire.
Wir nennen das Reservoir mit dem Index L das linke und das mit R das rechte
Reservoir.
Innerhalb der Reservoire werden die Elektronen als freie unkorrelierte Elektronen
betrachtet. Die Einteilchen-Zustände |kr ,σr i werden durch drei Quantenzahlen bestimmt. k ist der Wellenzahlvektor, σ der Spin und r definiert, ob der Zustand zu
dem linken oder rechten Reservoir gehört. Die Energieniveaus k eines Reservoirzustandes seien nur abhängig von dem Wellenzahlvektor. Die Spannung Vr verschiebt
die Energieniveaus der Reservoire äquidistant um eVr , bezogen auf den Energienullpunkt des Quantenpunktes. In zweiter Quantisierung lässt sich der HamiltonOperator der isolierten Reservoire als
P
X
Ĥr =
r
X
(k − eVr ) ĉ+
k,σ,r ĉk,σ,r
r,k,σ
=
X
k ĉ+
k,σ,r ĉk,σ,r
(2.8)
r,k,σ
schreiben. Die Energie k beinhaltet nun auch die Energieverschiebung, welche
durch das Anlegen der Spannung Vr hervorgerufen wurde. Als Vereinfachung wird
eine symmetrische Spannung angenommen, so dass gilt: VR = −VL . Die Operato(+)
ren ĉk,σ,r stehen für fermionische Vernichter-Operatoren (Erzeuger-Operatoren) von
Einteilchen-Reservoirzuständen mit den Quantenzahlen k,σ und r. In der Basis aus
Fock-Zuständen eines Reservoirs ist die Wirkungsweise der fermionischen Erzeugerbzw. Vernichter-Operatoren durch
Nm
c+
δnm ,0 |Nr + 1; ...nk,σ,r + 1...i
k,σ,r |Nr ; ...nk,σ,r ...i = (−1)
ck,σ,r |Nr ; ...nk,σ,r ...i = (−1)Nm δnm ,1 |Nr − 1; ...nk,σ,r − 1...i
(2.9)
2.3 Die Hybridisierung
11
gegeben. Dabei soll Nm =
m−1
P
i=1
ni und Nr die Anzahl der Elektronen in dem
Reservoir r sein. m ist ein Multi-Index, welcher die Indizes k,σ und r repräsentiert.
Zur verkürzten Schreibweise werden die Fock-Zustände durch
|Nr ; kr ,σr i := |Nr ; ...nk,σ,r ...i
(2.10)
dargestellt. Hierbei sind kr und σr Vektoren und es gilt nk,σ,r = 1 falls sowohl
an k-ter Stelle von kr als auch an k-ter Stelle von σ eine eins steht. Andernfalls
ist nk,σ,r = 0. Diese Abbildung bzw. verkürzte Schreibweise ist eindeutig, falls stets
gilt, dass das k-te Element von kr gleich dem k-ten Element von σ ist.
2.3 Die Hybridisierung
Die ersten drei Terme des betrachteten Hamilton-Operators aus Gleichung (2.1)
beschreiben isolierte Systeme. Die Kopplung dieser Systeme wird erst durch den
vierten Term hervorgerufen und durch
ĤT =
X
+
∗
A(t) γk â+
σ ĉk,σ,r + γk âσ ĉk,σ,r
(2.11)
k,σ,r
beschrieben. Dieser Term stellt eine schwache Tunnelkopplung zwischen je einem
Reservoir und dem zentralen Quantenpunkt dar. Die Stärke der Tunnelkopplung
wird durch γk bzw. γk∗ gegeben. Explizit können die Werte für γk und γk∗ durch eine
Faltung aus Wellenfunktion von Quantenpunkt- und Reservoirzuständen bestimmt
werden (Tunnel-Matrixelement).
Zusätzlich wird angenommen, dass die Kopplung des Quantenpunktes an die Reservoire adiabatisch eingeschaltet wird. t0 ist der letzte Zeitpunkt, zu dem noch
keine Kopplung besteht und tf ist der Zeitpunkt, zu dem die Systeme gekoppelt
sind und die Kopplung konstant in der Zeit ist. Dieser Einschaltprozess wird durch
eine skalare, glatte Funktion A(t) dargestellt, welche innerhalb der Einschaltzeit
t0 ≤ t ≤ tf von Null auf den Wert Eins geht. Für Zeiten kleiner als t0 ist A(t) = 0
und für Zeiten größer als tf ist A(t) = 1. Die explizite Form der Zeitabhängigkeit
von ĤT während des Einschaltprozesses wird an späterer Stelle erläutert. In der
hier gewählten Darstellung des Tunneloperators erkennt man, dass die Leiteroperatoren eines Reservoirs und des Quantenpunktes mit gleichem Spin je paarweise
P
auftreten. Betrachtet man beispielsweise den Term k γk â+
↑ ĉk,↑,L , so lässt sich dessen Wirkung interpretieren, als ein Elektron mit Spin up, das aus einem beliebigen
12
2 Das Modellsystem
Zustand des linken Reservoirs in den Quantenpunkt tunnelt. Der Tunneloperator
wirkt somit sowohl auf die Zustände des isolierten Quantenpunktes als auch auf die
der Reservoire. Wegen [ĤQD ,Ŝ] 6= 0 sind die Eigenzustände des Quantenpunktes
keine Eigenzustände des Elektronen-Spins. Um die Wirkung des Operators aσ bzw.
a+
σ auf einen Eigenzustand des Quantenpunktes zu bestimmen, müssen diese durch
Eigenzustände von Ŝ dargestellt werden. Während eines Tunnelprozesses ist der
Elektronen-Spin also erhalten, was allerdings durch lokale Wechselwirkungen des
Quantenpunktes aufgehoben wird.
3 Methode
Die in dieser Arbeit verwendete Methode, basiert auf dem von Schoeller und Schön
[Sch94] vorgestellten Nichtgleichgewichts Formalismus. Die reduzierte Dichtematrix eines über Tunnelbarrieren an metallische Reservoire gekoppelten Systems,
wird durch einen diagrammatisch darstellbaren Propagator zeitlich entwickelt. Die
diagrammatische Darstellung des Propagators in dieser Arbeit ist an [Bec06] und
[Tew04] orientiert. Von der Bewegungsgleichung der reduzierten Dichtematrix wird
der stationäre Limes gebildet. Mit der von Leĳnse und Wegewĳs [Lei08] stammenden Näherung für kleine Tunnelkopplung und ein System energetisch nicht entarteter Zustände, lässt sich eine einfache Master-Gleichung für die Diagonalelemente
der stationären reduzierten Dichtematrix und des stationären Stroms ableiten. Das
Näherungsverfahren stellt dabei eine Entwicklung in der Tunnelkopplung dar.
3.1 Zeitabhängiger Erwartungswert
Ohne Kopplung an die Reservoire, wird sich der Quantenpunkt in seinem Gleichgewichtszustand befinden. Durch das Einschalten der Kopplung wird ein Nichtgleichgewicht erzeugt, was sich in dem hier betrachten System im Transport von
Elektronen manifestiert. Selbst in dem später betrachteten stationären Fall, muss
das Einschalten der Kopplung berücksichtigt werden. Wir wollen daher zeigen, wie
sich in der Quantenmechanik Veränderungen, die lokal in der Zeit sind, auf zu späteren Zeiten gemachte Beobachtungen (Erwartungswerte) auswirken.
In der Quantenmechanik zeichnen sich zeitabhängige Veränderungen durch einen
explizit zeitabhängigen Hamilton-Operator in der Schrödingergleichung ab. Wir
schreiben diesen Hamilton-Operator als
Ĥ = Ĥ0 + ĤT (t) ,
(3.1)
wobei der zeitunabhängige Teil Ĥ0 von dem zeitabhängigen Teil ĤT (t) separiert
wurde. Die Indizes der Gleichung (3.1) verweist bereits auf das in dieser Arbeit
betrachtete System. Die folgenden Überlegungen für den Formalismus lassen sich
somit einfach auf das Modellsystem übertragen.
14
3 Methode
Um das dynamische Problem vollständig zu lösen, müssten wir die Lösungen |ψ(t)i
der Schrödingergleichung bestimmen. Aus diesen Lösungen ließe sich zu jedem Zeitpunkt der Erwartungswert einer Observablen oder eines Operators < Ô > bestimmen. Da die Schrödingergleichung eine Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit
ist, kann deren Lösung zu einem Zeitpunkt t aus der Lösung |ψ(t0 )i zu einer Zeit t0
bestimmt werden. Die Zeitentwicklung der Zustände im Schrödingerbild wird durch
eine unitäre Transformation US (t,t0 )−1 = US (t,t0 )∗ gegeben, deren Bewegungsgleichung aus der Schrödingergleichung durch
∂
|ψS (t)i
i~ ∂t
= Ĥ |ψS (t)i
(3.2)
∂
i~ ∂t
US (t,t0 ) |ψS (t0 )i
= ĤUS (t,t0 ) |ψS (t)i
i
∂
⇒
U (t,t0 )
= − ĤUS (t,t0 )
∂t S
~
i
−1
∂
⇔ ( ∂t US (t,t0 ))US (t,t0 ) = − Ĥ
~
hervorgeht. Der Index S steht hierbei für Operatoren und Zustände des Schrödingerbildes. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist bei zeitabhängigem Ĥ im
Allgemeinen nicht trivial. Das Problem des Lösens dieser Differentialgleichung lässt
sich durch Transformation in die Wechselwirkungsdarstellung oder auch DiracDarstellung umformulieren. Durch die Transformation wird das Lösen des Problems zwar nicht einfacher, jedoch werden Näherungen (welche an späterer Stelle
gemacht werden) ersichtlich. Für die folgende Betrachtung muss die explizite Form
des Zeitentwicklungsoperators im Schrödingerbild nicht bekannt sein. Der Übergang in das Wechselwirkungsbild erfolgt wiederum durch die unitäre Transformation U0 (t,t0 ) := e−iĤ0 /~(t−t0 ) aus dem Schrödingerbild. Für Operatoren gilt somit die
Transformationsgleichung
ÔI (t) = eiĤ0 /~(t−t0 ) Ôe−iĤ0 /~(t−t0 )
= U0+ (t,t0 )ÔU0 (t,t0 ) .
(3.3)
Die Zustände hingegen transformieren wie
|ψI (t)i = U0+ (t,t0 ) |ψS (t)i
= U0+ (t,t0 )US (t,t0 ) |ψS (t0 )i
(3.4)
.
Der Index I steht dabei wieder für Operatoren und Zustände der Wechselwir-
3.1 Zeitabhängiger Erwartungswert
15
kungsdarstellung. Der Wechsel der Darstellung bewirkt, dass die Zeitentwicklung
der Operatoren durch Ĥ0 gegeben ist, wohingegen die Zeitentwicklung der Zustände
durch ĤT (t) gegeben ist.
Wir wollen nun eine Differentialgleichung konstruieren, welche die Bestimmungsgleichung für den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild UI (t,t‘) darstellt.
Hierzu betrachten wir die Zeitentwicklung von Zuständen im Schrödingerbild und
erzeugen aus der uns bekannten unitären Transformation den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild. Es gilt
|ψI (t)i = U0+ (t,t0 )US (t,t‘)U0 (t‘,t0 ) |ψI (t‘)i
|
{z
UI (t,t‘):=
.
(3.5)
}
∂
Die Zeitableitung ∂t
UI (t,t‘) ergibt die Bestimmungsgleichung für den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild. Durch Einsetzen erhält man
∂
UI (t,t‘)
∂t
∂ +
=
(U (t,t0 )US (t,t‘)U0 (t‘,t0 ))
∂t 0
∂
∂
= ( U0+ (t,t0 ))US (t,t‘)U0 (t‘,t0 ) + U0+ (t,t0 )( US (t,t‘))U0 (t‘,t0 ) ,
∂t
∂t
(3.6)
wobei die explizite Form von U0+ (t,t0 ) = eiĤ0 /~(t−t0 ) bekannt ist. Somit lässt sich
mit Hilfe der Schrödingergleichung die Bestimmungsgleichung für UI (t,t‘) weiter
umformen
i +
U (t,t0 )(Ĥ0 − Ĥ)US (t,t‘)U0 (t‘,t0 )
~ 0
i
= − U0+ (t,t0 )HˆT U0 (t,t0 )U0+ (t,t0 )US (t,t‘)U0 (t‘,t0 )
~
i
= − ĤT,I (t)UI (t,t‘)
~
∂
i
→
UI (t,t‘) = − ĤT,I (t)UI (t,t‘) .
∂t
~
=
(3.7)
Einen expliziten Ausdruck für UI (t,t‘) erhält man durch formales Integrieren der
Bewegungsgleichung. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass eine Zeittransformation
zwischen zwei gleichen Zeiten der Identität entsprechen muss. Es gilt
16
3 Methode
UI (t‘,t‘) = 1 als Randbedingung, da der betrachtete Zeitpunkt mit dem Ausgangszeitpunkt übereinstimmt und sich somit nichts an den Zuständen oder Operatoren
ändern darf. Durch Iteration von Gleichung (3.7) erhält man
UI (t,t‘)
iZt
dt1 ĤT,I (t1 )UI (t1 ,t‘)
= 1−
~ t‘
= ...
Z t1
Z tn −1
∞
X
i Zt
=
(− )n
dt1
dt2 ...
dtn ĤT,I (t1 )ĤT,I (t2 )...ĤT,I (tn ) .
~
t‘
t‘
t‘
n=0
(3.8)
Um UI (t,t‘) in kompakter Form schreiben zu können, benötigt man einen Zeitordnungsoperator. Dessen Wirkung auf zeitabhängige Operatoren Oi (ti ) lässt sich
mit Hilfe der Distribution $(t1 ,t2 ,...,tn ) wie folgt definieren:
T̂ (Ô1 (t1 )Ô2 (t2 )...Ôn (tn )) :=
X
$(t1 ,t2 ,...,tn )Ô1 (t1 )Ô2 (t2 )...Ôn (tn ) .
(3.9)
p
Die Summe geht hierbei über alle möglichen Permutationen der Indizes. Die Distribution $ ermöglicht nun eine Zeitordnung der Operatoren und ist definiert als
(
$(t1 ,t2 ,...,tn ) :=
1, wenn t1 ≥ t2 ≥ ... ≥ tn
0,
sonst
.
(3.10)
Die Operatoren, auf welche T̂ wirkt, werden nach ihrer Zeit geordnet. Beim Kommutieren zweier Operatoren zum Zwecke der Zeitordnung müssen innerhalb des
Wirkungsbereiches des Zeitordnungsoperators Kommutatorrelationen nicht berücksichtigt werden. In dem entstandenen geordneten Produkt stehen nun von jedem
Operator aus betrachtet, Operatoren zu späteren Zeiten rechts und Operatoren zu
früheren Zeiten links von dem betrachteten Referenzoperator.
Mit Hilfe der Definition von T̂ lässt sich der Zeitentwicklungsoperator in kompakter
Weise durch
h
UI (t,t‘) = T̂ exp −
i
iZt
dt1 ĤT,I (t1 )
~ t‘
(3.11)
ausdrücken. Die Darstellung in Gleichung (3.11) ist nur schematisch. Sie soll eher
3.1 Zeitabhängiger Erwartungswert
17
als Anleitung dienen, wie der Zeitentwicklungsoperator konstruiert wird. Die Exponentialfunktion steht hier für ihre Potenzreihe, in welcher im n-ten Term ein n-faches
Produkt aus Integralen mit Integrationsvariablen t1 ...tn auftritt. Diese Entwicklung
der Exponentialfunktion ist durch
i
1
−
=
~
n=0 n!
∞
X
n
T̂
" n Z
Y t
i=0 t‘
#
ĤT,I (ti )
(3.12)
korrekt wiedergegeben. Damit Gleichung (3.12) dem Zeitentwicklungsoperator
entspricht,
muss zusätzlich noch der erste Term des Produkts aus Integralen als
Rt
t‘ ĤT,I (t0 ) := 1 definiert werden. Im Vergleich zu der Darstellung des Zeitentwicklungsoperators in Gleichung (3.8) fällt auf, dass die Integrationsgrenzen aller
Integrale von t‘ bis t gehen. Dies und der zusätzliche Faktor n!1 entstehen durch das
Einführen des Zeitordnungsoperators. Es handelt sich bei den Gleichungen (3.8)
und (3.12) um äquivalente Ausdrücke, welche durch (3.11) schematisch dargestellt
werden. Dies wird exemplarisch auf Seite 93 gezeigt.
Wie schon erwähnt hat sich das Lösen der Schrödingergleichung durch Transformation in das Wechselwirkungsbild nicht vereinfacht. Die expliziten Lösungen seien
zunächst nicht von Interesse. Um jedoch Aussagen über das dynamische Verhalten
des Systems machen zu können, muss mindestens der Erwartungswert eines Operators < Ô > zu jedem Zeitpunkt t bekannt sein. Für noch folgende Näherungen ist es
anschaulich, den Erwartungswert im Wechselwirkungsbild darzustellen. Das Ergebnis hängt jedoch nicht davon ab, ob der Erwartungswert im Schrödinger- oder Wechselwirkungsbild bestimmt wurde, da sie durch unitäre Transformationen ineinander
überführbar sind. Dies lässt sich leicht zeigen. Bei der Umformung wird lediglich die
Invarianz der Spur unter zyklischer Vertauschung und die Unitarität der Transformationsoperatoren ausgenutzt. Wir wollen zeigen, dass Sp(ρI (t)ÔI (t)) =< Ô > ist,
mit ρI (t) := U (t,t0 )ρ(t0 )UI+ (t,t0 ) und ÔI (t) = U0+ (t,t0 )ÔU0 (t,t0 ). ρ(t0 ) entspricht
dabei der Dichtematrix zum Zeitpunkt t0 . Durch sie wird jedem Systemzustand
eine statistische Gewichtung gegeben. Die Dichtematrix wird in der folgenden Betrachtung eine maßgebliche Rolle spielen.
Sp ρI (t)ÔI (t)
= Sp UI (t,t0 )ρ(t0 )UI+ (t,t0 )U0+ (t,t0 )ÔU0 (t,t0 )
(3.13)
= Sp ρ(t0 )(U0+ (t,t‘)US (t,t0 )U0 (t0 ,t‘))+ U0+ (t,t0 )ÔU0 (t,t0 ) U0+ (t,t‘)US (t,t0 )U0 (t0 ,t‘)
t‘ ist eine frei wählbare Zwischenzeit. Wir können somit auch t‘ = t0 wählen und
18
3 Methode
die Randbedingung der Transformation ausnutzen.
= Sp ρ(t0 )US+ (t,t0 )U0 (t,t0 )U0+ (t,t0 )ÔU0 (t,t0 )U0+ (t,t0 )US (t,t0 )
= Sp US (t,t0 )ρ(t0 )US+ (t,t0 )Ô
= < Ô >
Gleichung (3.13) entspricht somit der korrekten Darstellung eines Erwartungswertes im Wechselwirkungsbild. Die explizite Form des Zeitentwicklungsoperators
ist bereits bekannt und der Erwartungswert schreibt sich als
i
i
h i Z t
i Z t0
dt1 ĤT,I (t1 )
.
< Ô >= Sp ρ(t0 )T̂ exp −
dt1 ĤT,I (t1 ) ÔI (t)T̂ exp −
~ t
~ t0
(3.14)
∗
h
Bei T̂ ∗ handelt es sich um den Anti-Zeitordnungsoperator. T̂ ∗ bewirkt eine Anordnung der Operatoren, welche genau entgegengesetzt zu der von T̂ ist. Den für
einen Erwartungswert gefundenen Ausdruck wollen wir in kompakter Form darstellen. Hierzu ist die Definition der Keldyshzeit und des Keldyshzeitordnungsoperators
notwendig. Wie man in (3.14) erkennen kann, geht die Integration des Zeitenwicklungsoperators zur Linken des Operators ÔI (t) von t nach t0 . Die Integrationsrichtung zur Rechten des Operators hingegen verläuft in die entgegengesetzte Richtung.
Die Keldyshzeit tK verläuft entlang beider Integrationswege von t0 nach t (obere
Integrationskontur von Abbildung (3.1)) und wieder zurück nach t0 (untere Integrationskontur von Abbildung (3.1)).
Durch Einführen einer solchen Zeit lässt sich der Erwartungswert wie folgt schreiben:
ti
t
Abbildung 3.1: Die Realzeit (Dysonzeit) wird als eine Gerade dargestellt, welche
die Zeiten ti und t schneidet. Die Keldyshzeit verläuft zunächst von ti nach t und
anschließend wieder nach ti zurück. Je später ein Zeitpunkt auf der Keldyshkontur
ist, desto weiter ist er von dem Anfangspunkt der oberen Kontur entfernt.
3.1 Zeitabhängiger Erwartungswert
19
h
< Ô >= Sp ρ(t0 )T̂K exp −
i
iZ
dtK ĤT,I (tK ) ÔI (t)
~ K
.
(3.15)
Die Äquivalenz von Gleichung (3.14) und (3.15) wird in [Tew04] gezeigt. Wie
Gleichung (3.11) ist auch (3.15) nur als schematische Darstellung zu sehen. Die
Exponentialfunktion ist auch an dieser Stelle eine Repräsentante ihrer Reihenentwicklung. Die in der Reihenentwicklung auftretenden Summanden werden in ihrer
Ordnung in ĤT,I unterschieden. Der Keldyshzeitordnungsoperator wirkt auf den Integranden, welcher aus den Operatoren ĤhT,I (tK
i ) und ÔI (t) besteht.i Für den Term
K
n-ter Ordnung ist der Integrand somit T̂K ĤT,I (tK
1 )...ĤT,I (tn )ÔI (t) . Der Keldyshzeitordnungsoperator ordnet die Operatoren so an, dass von einem beliebigen Operator aus betrachtet auf der Keldyshzeit früher (später) wirkende Operatoren links
(rechts) von dem Referenzoperator stehen.
Der Integrand einer bestimmten Ordnung lässt sich nun graphisch wie in Abbildung
(3.2) darstellen. Die Zeitpunkte auf der Keldyshkontur, zu welchen die Operatoren
wirken, werden als Vertices bezeichnet. Der Vertex des Operators ÔI ist fixiert am
Zeitpunkt t und wird als externer Vertex bezeichnet, über den nicht integriert wird.
Die übrigen Vertices können sich jedoch auf der Keldyshkontur wie Perlen auf einer
Kette frei bewegen, was auf der Integration über alle Zeiten bzw. Integrationsvariablen ti beruht. Diese Vertices werden als interne Vertices bezeichnet. Die Zeiten ti
sind aufsteigend nach späteren Keldyshzeiten indiziert.
Mit Gleichung (3.15) haben wir in diesem Kapitel einen Ausdruck gefunden, der
sich in Form eines Diagramms darstellen lässt, und somit die Möglichkeit bietet,
sich in einer diagrammatischen Störungstheorie in Ordnungen von ĤT,I entwickeln
zu lassen.
ĤT,I (tK
1 )
ĤT,I (tK
2 )
ti
ĤT,I (tK
3 )
t
ÔI (t)
ĤT,I (tK
5 )
ĤT,I (tK
4 )
Abbildung 3.2: Grafische Darstellung eines Integranden der fünften Ordnung in
Ĥ aus ((3.15)). Die Operatoren sitzen auf Vertices die zu bestimmten Zeiten entlang der Keldyshkontur wirken.
20
3 Methode
3.2 Zeitentwicklung der reduzierten Dichtematrix
Für die Beschreibung eines dynamischen Systems ist es von Interesse, die Zeitentwicklung der statistischen Gewichtung für Systemzustände zu betrachten. Für den
isolierten Quantenpunkt besitzt die Zustandsgewichtung keinerlei zeitliche Dynamik. Gleiches gilt für die Reservoire. Die Eigenzustände des ungekoppelten Systems
|ψi sind Produktzustände aus Eigenzuständen der Untersysteme.
|ψi := |N,J,JZ i ⊗ |φi := |N,J,JZ i ⊗ |NR ; kR ,σR i ⊗ |NL ; kL ,σL i
(3.16)
Der Produktzustand beider Reservoire wird zur vereinfachten Schreibweise als |φi
definiert. Da zu Zeiten t < t0 keine Kopplung besteht, sind auch die Wahrscheinlichkeitsgewichtungen der Untersysteme unabhängig voneinander und faktorisieren.
Die Dichtematritzen lassen sich damit wie
ρ̂(t < t0 ) = ρ̂QD ρ̂L ρ̂R
(3.17)
| {z }
ρ̂Res
voneinander separieren. Es soll angenommen werden, dass die Untersysteme der
Reservoire L und R sehr groß sind und sich daher auch innerhalb des über den
Quantenpunkt gekoppelten Systems ständig im thermodynamischen Gleichgewicht
befinden. Die Dichtematrix der Reservoire ist somit für alle Zeiten diagonal in den
Eigenzuständen des jeweiligen Reservoirs und mittels des Dichteoperators
ρ̂r =
1 −β Ĥr
e
Zr
(3.18)
für das Reservoir r ∈ {R,L} beschreibbar. Zr = Sp(e−β Ĥr ) bezeichnet die Zustandssumme. Innerhalb des Bolzmannfaktors steht der Hamilton-Operator Ĥr , welcher bereits das chemische Potential µr N̂r des jeweiligen Reservoirs enthält. Da sich
die Reservoire für alle Zeiten im Gleichgewicht befinden, wird die Dynamik des Systems durch die reduzierte Dichtematrix des Quantenpunktes p̂ (t) getragen. In der
weiteren Betrachtung fassen wir die Quantenpunkt-Indizes zu einem Multi-Index
χ = {N,J,JZ } zusammen und schreiben die Eigenzustände des Quantenpunktes als
|χi. Die Dichtematrix des Quantenpunktes kann durch die Kopplung an die Reservoire nicht mehr als diagonal angenommen werden. Da die Zustände |χi eine
vollständige Basis bilden, kann die reduzierte Dichtematrix des Quantenpunktes
0
p̂ (t) durch den Projektionsoperator P̂χχ := |χi hχ0 | mit entsprechenden Koeffizien-
3.2 Zeitentwicklung der reduzierten Dichtematrix
21
ten dargestellt werden.
p̂ (t) := SpRes (ρ̂(t))
X
0
=
Pχχ |χi hχ0 |
(3.19)
χ,χ0
Mit Sp ist die Spur über die Freiheitsgrade des Systems gemeint. Besitzt Spi
noch einen Index i ∈ {QD,Res}, so ist die Spur über die Freiheitsgrade eines
Untersystems gemeint. Die Koeffizienten lassen sich aus dem Erwartungswert des
Operators P̂χχ0 berechnen. Dies wollen wir kurz beweisen.
hP̂χχ0 i =
X
hψ0 | ρ̂ (t) |χ0 i hχ| |ψ0 i
ψ0
=
hψ0 | ρ̂ (t) |ψ1 i hψ1 | |χ0 i hχ| |ψ0 i
X
ψ0 ,ψ1
=
hχ| hφ0 | ρ̂ (t) |φ1 i |χ0 i hφ1 | |φ0 i
X
φ0 ,φ1
= hχ|
X
hφ0 | ρ̂ (t) |φ0 i |χ0 i
φ0
0
Pχχ
=
(t)
(3.20)
Bei dieser Umformung wurde die Orthonormalität hχ| |ψ0 i = hχ| |χ0 i |φ0 i =
δχ,χ0 |φ0 i ausgenutzt. Aus Gleichung (3.15) kennen wir noch eine weitere Form des
Erwartungswertes eines Operators, den wir im Folgenden noch weiter umformen, inP
P
dem wir die Vollständigkeit ψ |ψi hψ| = 1 bzw. Nr ,kr ,σr |Nr ; kr ,σr i hNr ; kr ,σr | = 1
und die Normierung der Dichtematrix SpQD (p̂ (t0 )) = 1 ausnutzen.
0
i
iZ
dtK ĤT,I (tK ) P̂χχ0 (t)
I
~ K
h i Z
i
X
χ
K
K
=
hψ1 | p̂ (t0 ) |ψ2 i hψ2 | ρ̂Res T̂K exp −
dt ĤT,I (t ) P̂χ0 (t) |ψ1 i
I
~ K
ψ1 ,ψ2
h
Pχχ (t) = Sp ρ(t0 )T̂K exp −
=
X
χ1 ,χ2
=
X
h
hχ2 | SpRes ρ̂Res T̂K exp −
0
χ2
χ ←χ2
(t,t0 ) Pχ1
(t0 )
Πχ←χ
1
i
iZ
dtK ĤT,I (tK ) P̂χχ0 (t)
I
~ K
χ2
(t0 )
|χ1 i Pχ1
(3.21)
χ1 ,χ2
Die Zeitentwicklung des Dichteoperators wird durch einen Tensor vierter Stufe
22
3 Methode
Π gegeben. Dieser Tensor lässt sich als Superoperator darstellen, welcher nicht
auf Zustände, sondern auf Dichteoperatoren wirkt und sie zeitlich entwickelt. Wir
wollen ihn daher als Propagator bezeichnen. Die Gleichung (3.21) lässt sich daher
als Operatorgleichung schreiben,
p̂ (t) = Π̂ (t,t0 ) p̂ (t0 )
.
(3.22)
Da dieser Propagator in der folgenden Betrachtung eine zentrale Rolle spielt, wollen wir hier nochmals dessen Matrixelemente darstellen.
0
χ ←χ2
(t,t0 )
Πχ←χ
1
(3.23)
h
= hχ2 | SpRes ρ̂Res T̂K exp −
i
1
−
=
~
n=0 n!
∞
X
n Z
K
dtK
1 ...
Z
K
i
~
Z
i
K
dtK ĤT,I (tK )
P̂χχ0
I
(t)
|χ1 i
dtK
n
χ
K
hχ2 | SpRes ρRes T̂K ĤT,I (tK
1 )...ĤT,I (tn ) P̂χ0
I
(t)
|χ1 i
3.3 Diagrammatische Darstellung
Die Abbildung (3.2) motiviert bereits, dass für den Propagator aus Gleichung (3.23)
eine zu dem mathematischen Ausdruck äquivalente diagrammatische Repräsentante
konstruiert werden kann. Im Folgenden wollen wir eine bĳektive Abbildung von
Termen des Propagators auf eine diagrammatische Form entwickeln. Damit kann
in äquivalenter Form von dem mathematischen Ausdruck und dem dafür stehenden
Diagramm gesprochen werden. Für die Veranschaulichung ist es meist einfacher
die Diagramme zu betrachten. Um eine diagrammatische Darstellung zu entwickeln
betrachten wir zunächst den Integranden
χ
K
hχ2 | SpRes ρRes T̂K ĤT,I (tK
1 )...ĤT,I (tn ) P̂χ0
I
(t)
|χ1 i
(3.24)
des Propagators. In dem Integranden steht das zeitgeordnete
Produkt aus Tunnel
χ
K
operatoren ĤT,I (t ) und Projektionsoperator P̂χ0 (t). In der WechselwirkungsI
3.3 Diagrammatische Darstellung
23
darstellung lässt sich der Tunneloperator
= A(t)
ĤT tK
i
X
K
+ A(t)
γk â+
ĉk,σ,r tK
σ ti
i
X
K
ĉ+
γk∗ âσ tK
i
k,σ,r ti
(3.25)
k,σ,r
k,σ,r
|
{z
|
}
+
ĤT,I
(tK
i )
{z
}
−
ĤT,I
(tK
i )
+
als Summe zweier elementarer Operatoren darstellen. Der Operator ĤT,I
repräsentiert das Tunneln aus einem Reservoir in den Quantenpunkt, weshalb der Index
+ intuitiv gewählt wurde. Analog dazu steht der Operator mit dem Index − für
das Tunneln eines Elektrons aus dem Quantenpunkt in ein Reservoir.
Das zeitgeordnete Produkt aus n Tunneloperatoren und dem Projektionsoperator
lässt sich nun durch die eben definierten Operatoren ausdrücken.
K
T̂K ĤT,I tK
1 ...ĤT,I tn
= T̂K
+
−
ĤT,I
tK
+ ĤT,I
tK
1
1
P̂χχ0
I
(t)
(3.26)
+
−
K
... ĤT,I
tK
n + ĤT,I tn
P̂χχ0
I
(t)
Sucht mansich einen beliebigen Summanden des Produkts aus den Tunneloperatoren ĤT,I tK
i , so lassen sich Tunnelprozesse in und aus dem Quantenpunkt
separieren. Dies ist möglich, da sie unter dem Zeitordnungsoperator kommutieren.
... =
n
X
l=0
X
1
χ
+
+
K
−
K
−
K
T̂K ĤT,I
tK
...
Ĥ
t
Ĥ
t
...
Ĥ
t
P̂
(t)
0
p1
T,I
pl
T,I
pl+1
T,I
pn
χ I
l!(n − l)! p∈Sn
Sn ist die Menge aller Permutationen der Zahlen {1,...,n}. Die Indizes {p1 ,...,pn }
entsprechen in der Summe aller Permutationen jeweils immer einem der n! Elemente aus Sn . Da alle Permutationen der Untermengen {p1 ,...,pl } und {pl + 1,...,pn }
wegen
mit einem Summanden des Produkts
des
Zeitordnungsoperators
K
ĤT,I tK
...
Ĥ
t
übereinstimmen,
muss die Mehrfachzählung durch den Faktor
T,I
1
n
1
kompensiert werden. In [Tew04] wird gezeigt, dass ein Produkt aus Reservoirl!(n−l)!
und Quantenpunkt-Operatoren separiert werden kann in Produkte von Operatoren
der jeweiligen Untersysteme, wobei die Keldyshzeitordnung nun für jedes Segment
besteht. Für den Beweis sind lediglich die fermionischen Kommutatorrelationen relevant. Damit lässt sich der Integrand weiter umformen.
24
3 Methode
=
n
X
l=0
X X
1
K
+ K
K
K
T̂K γk1 â+
σ1 (tp1 )ĉk1 ,σ1 ,r1 (tp1 )...γkl âσl (tpl )ĉkl ,σl ,rl (tpl )
l!(n − l)! p∈Sn ki ,σi ,ri
χ
K
K
∗ +
K
K
γk∗l+1 ĉ+
kl+1 ,σl+1 ,rl+1 (tpl+1 )âσl+1 (tpl+1 )...γkn ĉkn ,σn ,rn (tpn )âσn (tpn ) P̂χ0
=
n
X
l=0
I
(t)
1
l!(n − l)! p∈Sn ki ,σi ,ri
X
X
+
K
K
∗ +
K
∗
T̂K γk1 ĉk1 ,σ1 ,r1 (tK
p1 )...γkl ĉkl ,σl ,rl (tpl )γkl+1 ĉkl+1 ,σl+1 ,rl+1 (tpl+1 )...γkn ĉkn ,σn ,rn (tpn )
|
{z
}
Reservoir
χ
K
+ K
K
K
T̂K â+
σ1 (tp1 )...âσl (tpl )âσl+1 (tpl+1 )...âσn (tpn ) P̂χ0
{z
|
Quantenpunkt
I
(t)
}
Die Summe ki ,σi ,ri bedeutet, dass über alle Freiheitsgrade des Systems summiert wird. In dem Integranden aus (3.23) ist die Spur über die Freiheitsgrade der
Reservoire und ein Operatorprodukt von Quantenpunkt-Operatoren zwischen den
beiden Zuständen χ1 und χ2 zu bestimmen. Durch die Separation in Reservoir- und
Quantenpunkt-Operatoren, können die Teilsysteme getrennt betrachtet werden.
Betrachten wir zunächst den Reservoiranteil. Als Basiszustände für die Spurbildung wurden die Eigenzustände eines isolierten Reservoirs gewählt. Für einen nicht
verschwindenden Term müssen bei dem Produkt aus Erzeugern und Vernichtern
deren Anzahl übereinstimmen. Stimmte deren Anzahl nicht überein, so würde nach
dem Wirken der Operatoren ein zu dem Ausgangszustand (Ket-Zustand eines Summanden der Spur) orthogonaler Zustand entstehen. Bei der Summe über l verschwinden also nur die Elemente nicht, bei denen l = n2 und insbesondere
n gerade ist. Im Gegensatz zu Abbildung (3.2) beinhaltet Abbildung (3.3) bereits
−
+
die Information, dass die Anzahl von ĤT,I
und ĤT,I
übereinstimmen muss, um einen
nicht trivialen Term zu erhalten. Es kann darauf verzichtet werden den internen Ver0
tex des Projektionsoperators P̂χχ := |χi hχ0 | zu zeichen, wenn vereinbart wird, dass
die Postion fest am rechten Ende des Diagramms liegt. Die Keldyshkontur kann an
dieser Stelle dann auch als geöffnet dargestellt werden.
Des weiteren müssen jeweils ein Erzeuger und ein Vernichter gleiche Zustandsindizes haben. Wäre dies nicht der Fall, entstünde nach dem Wirken der
Operatoren wieder ein zu dem Ausgangszustand orthogonaler Zustand und der Term
wäre gleich Null. Für jedes Erzeuger-Vernichter-Paar treten die Faktoren γk und γk∗
immer paarweise auf, so dass sie sich zu dem Ordnungsparameter als Γkl = |γk |l kombinieren lassen. Mittels des Wick-Theorems lässt sich anschaulich erkennen, welche
P
3.3 Diagrammatische Darstellung
25
Ĥ + (tK
2 )
Ĥ + (tK
1 )
− K
Ĥ − (tK
3 ) Ĥ (t4 )
Abbildung 3.3: Diagrammatische Darstellung eines Terms des Propagators un−
+
ter Berücksichtigung, dass ĤT,I
und ĤT,I
in gleicher Anzahl auftreten. Der interne
Vertex entspricht der aufgetrennten Kontur auf der rechten Seite.
Operatoren gleiche Indizes besitzen müssen. Da angenommen wird, dass sich die
Reservoire im Gleichgewicht befinden, ist die Dichtematrix bekannt, und die Kontakte lassen sich als Systeme freier Teilchen ohne Korrelationen beschreiben. Damit
ist die Voraussetzung für das Wick-Theorem gegeben. Ein Produkt aus Erzeugerund Vernichter-Operatoren lässt sich mit Hilfe der totalen Paarung wie
SpRes ρ̂Res T̂K
+
+
K
K
K
ĉk1 ,σ1 ,r1 (tK
,σ n ,r n (tp n )ĉk n +1 ,σ n +1 ,r n +1 (tp n +1 )...ĉkn ,σn ,rn (tpn )
p1 )...ĉk n
2
2
2
2
2
2
2
2
= hT̂K
= hT̂K
+ hT̂K
+ ...
+
+
K
K
K
ĉk1 ,σ1 ,r1 (tK
p1 )ĉk2 ,σ2 ,r2 (tp2 )...ĉkn−1 ,σn−1 ,rn−1 (tpn−1 )ĉkn ,σn ,rn (tpn )
+
+
K
K
K
ĉk1 ,σ1 ,r1 (tK
p1 )ĉk2 ,σ2 ,r2 (tp2 )...ĉkn−1 ,σn−1 ,rn−1 (tpn−1 )ĉkn ,σn ,rn (tpn )
+
+
K
K
K
ĉk1 ,σ1 ,r1 (tK
p1 )ĉk2 ,σ2 ,r2 (tp2 )...ĉkn−1 ,σn−1 ,rn−1 (tpn−1 )ĉkn ,σn ,rn (tpn )
iRes
iRes
iRes
(3.27)
berechnen. Bei der Kontraktion werden die kontrahierten Operatoren nebeneinander angeordnet. Jede Vertauschung ergibt einen Vorzeichenwechsel. Befindet sich zwischen den kontrahierten Operatoren eine gerade Anzahl
von Operatoren, so ergibt sich ein positives Vorzeichen. Ist die Anzahl
ungerade, so ist das Vorzeichen negativ. Der Zeitordnungsoperator ordnet
schließlich die kontrahierten Operatoren, wobei die Kontraktion nicht aufgehoben
wird. Von den kontrahierten und zeitgeordneten Operatoren lässt sich nun der Erwartungswert bestimmen. Dabei unterscheidet man zwei Fälle. Der erste Fall ent-
26
3 Methode
spricht
+
K
K
K
K
ĉ+
ki ,σi ,ri (tpi )ĉkj ,σj ,rj (tpj ) = SpRes ρ̂Res ĉki ,σi ,ri (tpi )ĉkj ,σj ,rj (tpj )
i
= e~
K
ki ,σi ,ri (tK
pi −tpj )
f (ki ,σi ,ri ) .
(3.28)
Für das Beispiel wurde die Zeitordnung ausgeführt und angenommen, dass tK
pi <
K
tpj . Beim Ausführen der Spur wird hier nochmals deutlich, dass die Indizes (ki ,σi ,ri )
und (kj ,σj ,rj ) übereinstimmen müssen. Die Funktion f (ki ,σi ,ri ) ist die
Fermi-Funktion f () = 1/(1 + eβ ).
K
Für den zweiten Fall mit tK
pi > tpj ordnet der Zeitordnungsoperator die Operatoren
in umgekehrter Reihenfolge, also wie
K
− ~i ki ,σi ,ri (tK
pi −tpj )
+
K
ĉkj ,σj ,rj (tK
pj )ĉki ,σi ,ri (tpi ) = e
(1 − f (ki ,σi ,ri ))
(3.29)
an. Für die diagrammatische Darstellung eines Terms der Kontraktion werden
die kontrahierten Vertices als miteinander verbunden dargestellt. Diese Verbindungen werden als Reservoirlinen bezeichnet. Gibt man den Verbindungslinien eine
Richtung, so kann zusätzlich dargestellt werden an welcher Stelle der Kontur der
−
+
Operator ĤT,I
(Pfeilende) und der Operator ĤT,I
(Pfeilanfang) wirkt. In Abbildung
(3.4) ist die neu gewonnene Information in den Diagrammen berücksichtigt.
Ĥ + (tK
1 )
Ĥ + (tK
1 )
Ĥ + (tK
4 )
− K
Ĥ − (tK
3 ) Ĥ (t2 )
Ĥ + (tK
4 )
− K
Ĥ − (tK
3 ) Ĥ (t2 )
Abbildung 3.4: Diagrammatische Darstellung unter Berücksichtigung der Kontraktion zweier Vertices. Die beiden Diagramme entsprechen unterschiedlichen
Term der totalen Paarung. Der Pfeil einer Reservoirlinie zeigt auf den Vertex, welcher für die Erzeugung eines Elektrons in dem Quantenpunkt steht.
Durch die Integration über alle Zeiten tK
i können Vertices ihre lineare zeitliche Anordnung auf der Keldyshkontur verändern, wegen des Zeitordnungsoperators jedoch
3.3 Diagrammatische Darstellung
27
nicht aneinander vorbei tauschen. Die Forderung einer eindeutig (bĳektiven) Abbildung von mathematischen Ausdrücken auf Diagramme ist daher zunächst nicht
erfüllt. Das Verändern der Anordnung der Vertices entlang der Keldyshkontur macht
die Abbildung mehrdeutig. Diese Mehrdeutigkeit lässt sich durch Zerlegung der Integrale mittels der Intervallregel beheben. Der Nachteil besteht darin, dass die Anzahl
der mathematischen Ausdrücke und damit auch der Diagramme steigt. Die folgenden Überlegungen betreffen nur die Zeitintegration und haben keine Auswirkungen
auf die vorangegangenen Schlüsse, da lediglich allgemein gültige Argumente benutzt
werden. Unterteilt man zunächst die Integrale über die Keldyshzeit in Integrale der
oberen und unteren Kontur, so erhält man die n Terme aus
n Z
Y
dtK
i ... =
i=1 K
n
Y
 t
Z

i=1
dti −
t0
Zt


dti  ... = 
n Z
Y
t
i=1 t0
t0
dti −
n Z
Y
t

dti + ... ... , (3.30)
i=1 t0
wobei die Integration immer über die Realzeit geht. Es kann nun unterschieden
werden, ob ein Vertex auf der oberen oder unteren Keldyshkontur liegt. Jeder Vertex der unteren Keldyshkontur liefert das Vorzeichen −1, was an der alternierenden
Reihe in Gleichung (3.30) zu erkennen ist. Vertauschen nun zwei Vertices ihre Position in der Anordnung entlang der Dysonzeit, tauschen wir auch ihre Indizes aus.
Dies führt dazu, dass für das Integral die Identität
n Z
Y
t
i=1 t0
dti ... = n!
Zt
t0
dt1
Zt
t1
dt2 ...
Zt
dtn ...
(3.31)
tn−1
gilt, was sich analog zum Fall des Zeitordnungsoperators erklären lässt. Die Integration verläuft nun über die Dysonzeit, wobei die Information über die Keldyshzeit
durch Vorzeichen in den Integranden eingeht. Jedes Integral lässt sich nun eindeutig
durch ein Diagramm darstellen.
Da die Vertices ihre Anordnung während der Integration nicht mehr wechseln können, geht dies zu Lasten einer größeren Anzahl an Diagrammen (deren Werte es zu
bestimmen gilt). Wie viele topologisch verschiedene Diagramme es gibt, lässt sich
anhand kombinatorischer Überlegungen bestimmen.
n ist die Anzahl der Vertices, welche durch Punkte auf den Diagrammen repräsentiert werden. Da die Reservoirlinien eine definierte Richtung in der Dysonzeit
haben müssen, wirken die Vertices zu unterschiedlichen Zeiten entlang der Dysonzeit. Wir stellen uns dies vor, als wären die Vertices Punkte entlang der Dysonzeit.
Die Vertices werden von frühester bis spätester Dysonzeit mit v1 bis vn bezeichnet.
28
3 Methode
Es gibt n! Möglichkeiten die n Vertices in einem n-Tupel zu ordnen. Wir wollen uns
vorstellen, dass der Vertex an erster Stelle des Tupels mit dem an zweiter Stelle
durch eine Reservoirlinie verbunden ist. Gleiches gilt für die Vertices an dritter und
vierter Stelle, an fünfter und sechster Stelle usw..
(3.32)
v22 ,v9 ,v2 ,v17 ,v4 ,v1 ,...
Der Reservoirpfeil zeigt stets von dem links stehenden zu dem rechts stehenden
Vertex. Die umgekehrte Pfeilrichtung ist in den n! n-Tupel schon enthalten. Wir sind
daran interessiert, wie viele Möglichkeiten es gibt, n Vertices zu verbinden. In den
Tupel kommen allerdings Elemente vor, bei denen die verbundenen Vertices lediglich
permutiert sind. Insgesamt gibt es genau (n/2)! Möglichkeiten, die verbundenen
Vertices zu permutieren. Da die Keldyshkontur bei der Zeit t aufgetrennt sein soll,
muss noch entschieden werden, ob ein Vertex zu der oberen oder unteren Kontur
gehört. Pro Vertex gibt es zwei Möglichkeiten, die sich für alle Vertices zu einem
Faktor 2n kombinieren. Da n = 2l ist, kann die Anzahl der Diagramme für den
Propagator als eine Funktion NΠ (l) der Ordnungszahl bestimmt werden.
NΠ (l) =
(2l)! 2l
2
l!
(3.33)
Um einem konkreten Integranden zu entsprechen, müssen die Bestandteile des
Diagramms noch mit Indizes beschriftet werden. Während wir die unbeschrifteten
Diagramme auch verallgemeinerte Diagramme nennen werden, bezeichnen wir die
mit Variablen und Linienrichtungen beschrifteten Diagramme als spezialisiert. Die
Indizierung der Reservoirlinien ist bereits bekannt. Es steht noch die der Konturlinien aus. Hierzu betrachten wir den Anteil
hχ2 | T̂K
K
K
K
+
â+
(tK
σ1 (tp1 )...âσ n (tp n )âσ n
p n +1 )...âσn (tpn )
2 +1
2
2
2
P̂χχ0
I
(t) |χ1 i
(3.34)
der Quantenpunkt-Operatoren aus (3.26) genauer. Die Spinindizes σi sind eindeutig durch die Indizes der Reservoiroperatoren der zugehörenden Zeit tK
pi festgelegt.
Durch das Verhalten der Erzeuger und Vernichter der Reservoire verschwinden
nur die Terme nicht, bei denen paarweise ein Erzeuger und ein Vernichter
eines Elektrons in dem Quantenpunkt mit gleichem Spinindex auftreten.
Diese Kopplung von Reservoir- und Quantenpunkt- Operatorindizes lässt sich einfach veranschaulichen. Es wird ein Tunnelprozess von einem Reservoir in den Quantenpunkt dargestellt, wobei das Elektron seinen Spin nicht ändern soll. Das Wick
3.3 Diagrammatische Darstellung
29
Theorem lässt sich bei der Berechnung der Quantenpunktoperatoren nicht mehr
verwenden, falls beispielsweise durch die Coulombabstoßung ĤC der VielteilchenHamilton-Operator von höherer als quadratischer Ordnung in den Erzeuger- und
Vernichter-Operatoren ist. Um das zeitgeordnete Produkt aus Erzeugern und Vernichtern bestimmen zu können, muss ein vollständiger Satz orthonormaler Zustände
(VONS) eingesetzt werden. Es ist günstig die Eigenzustände des isolierten QuantenP
punktes zu verwenden, welche der Vollständigkeitsrelation |χi hχ| = 1 genügen.
χ
Das Produkt aus Quantenpunkt-Operatoren muss nun explizit bestimmt werden.
Als Beispiel zeigen wir dies für
hχ2 | âsσ11 (t1 )âsσ22 (t2 )... P̂χχ0
I
...âsσnn (tn ) |χ1 i
,
(3.35)
ein bereits zeitgeordnetes Produkt aus je n Erzeugern und Vernichtern. Hierbei
wurde die Zeitabfolge t1 < t2 < t3 < t4 gewählt. Der Index si ∈ {+,−} zeigt an, ob
es sich um einen Erzeuger- (+) oder einen Vernichter-Operator (−) handelt. Fügt
man den vollständigen Satz an Zuständen ein, erhält man
=
P
χ3 ,...,χ2(n+2)+3
hχ2 | |χ3 i hχ3 | U0 (tn ,tn−1 ) |χ4 i hχ4 | âsσ11 |χ5 i hχ5 | U0 (tn−1 ,tn−2 ) |χ6 i
hχ6 | âsσ22 |χ7 i ... hχi | P̂χχ0 |χi+1 i ...
|χ2n+3 i hχ2n+3 | U0 (t1 ,t0 ) |χ(2n−1)+3 i hχ(2n−1)+3 | âsσnn |χ1 i
mit Elementen, die sich einfach bestimmen lassen. Falls sich der Quantenpunktzustand nicht ändert, kann der Quantenpunkt als frei entlang der Keldyshkontour
propagierend betrachtet werden. Für eine freie Propagation steht
i
hχi | U0 (tn , tn−1 ) |χj i = δχi ,χj e− ~ χj (tn −tn−1 )
.
(3.36)
Das Kronecker-Delta δχi ,χj hebt sich gegen eine Summe über Quantenpunktzustände des VONS weg. Die freie Propagation wird dann durch eine zeitdifferenzund energieabhängigen Funktion repräsentiert. Der Ausdruck in (3.36) macht auch
deutlich, warum als vollständiges Orthonormalsystem die Eigenzustände des
Quantenpunkt-Hamilton-Operators gewählt wurden. Wie man deutlich erkennen
kann, wechseln sich freie Propagation und Übergänge zwischen den Quantenpunktzuständen ab. Die Operatoren âs bilden im Allgemeinen nicht injektiv von dem Hilbertraum HN nach HN ±1 ab. Insbesondere bei dem in dieser Arbeit betrachteten
System ist das der Fall. Im Vergleich zu dem einfachen Ein-Niveau-Quantenpunkt,
30
3 Methode
sind die Eigenzustände des Quantenpunktes |χi keine Eigenzustände des Elektronenspins. In Matrixdarstellung besitzt âs daher meist mehr als einen nicht verschwindenden Eintrag in einer Spalte. Die (n − 1) Summen über Quantenpunktzustände müssen explizit ausgeführt werden und führen zu einer
Vielzahl von spezialisierten Diagrammen. Das Spektralgewicht eines jeden
dieser Diagramme beträgt.
hχ2 | âsσ11 |χ3 i ... hχi | P̂χχ0 |χi+1 i ... hχn−1 | âsσnn |χ1 i
(3.37)
und wird durch χ1 , χ2 , die Indizes, die Anordnung der Quantenpunkt-Operatoren
und den Projektionsoperator festgelegt. Für injektiv abbildende Quantenpunktoperatoren ist es sogar eindeutig festgelegt.
Wir wollen nun die Diagrammregeln des Integranden von (3.23) konstruieren. Dabei
nutzen wir die aus den vorherigen Betrachtungen gewonnenen Ergebnisse.
K
−s K
• Jedes Paar ĉski ,σi ,ri (tK
pi )âσi (tpi ) wird durch einen Punkt zu der Zeit (tpi ) auf
der Keldyshkontur repräsentiert. Dieser Punkt wird Vertex genannt. Ist der
Index s = − , so wird durch einen auf den Vertex zeigenden Pfeil symbolisiert,
dass ein Elektron in den Quantenpunkt tunnelt. Ist der Index s = +, so
symbolisiert ein von dem Vertex zeigender Pfeil das Tunneln eines Elektrons
aus dem Quantenpunkt.
• Die Anzahl der Vertices n ist durch die Ordnung des Diagramms l = n2 gegeben. Je ein eingehender und ein ausgehender Pfeil zweier Vertices wird durch
eine Linie verbunden. Einen unverbundenen Vertex kann es nicht geben, da
n gerade sein muss. Die Verbindungslinie besitzt eine Richtung durch die
Vertexpfeile und steht repräsentativ für einen Term der totalen Paarung von
Reservoir-Operatoren. Die Linie wird daher auch Reservoirlinie genannt.
• Zur diagrammatischen Entwicklung des Propagators der Dichtematrix wird
nach Konvention die Keldyshkontur an der Stelle des Projektionsoperators
aufgetrennt. Es entstehen dadurch zwei äußere Anschlüsse χ und χ0 neben
den Anschlüssen für χ1 und χ2 .
• Beim Übersetzen der Integration von der Keldyshzeit in die Dysonzeit spielt
i
(tK −tK )
es eine Rolle, ob eine Zeitdifferenz wie in e ~ ki ,σi ,ri pi pj positiv oder negativ
ist. Das heißt, ob eine Reservoirlinie vorwärts oder rückwärts in der Dysonzeit
verläuft. An den Reservoirlinien ist immer eine definierte Richtung, sowohl in
der Keldysh- als auch in der Dysonzeit, ablesbar.
3.3 Diagrammatische Darstellung
31
Mittels der hier genannten Diagrammregeln können alle topologisch verschiedenen Diagramme konstruiert werden. Sie repräsentieren lediglich einen Typus von
Integranden aus (3.23), wenn die Diagramme noch nicht mit Indizes versehen sind.
Für die Beschriftung und damit die eindeutige Zuordnung eines Diagramms zu je
einem Term des Integranden gelten folgende Regeln.
• Jede Reservoirlinie wird mit den Indizes (σi ,ri ) beschriftet.
• Die äußeren Anschlüsse werden im Uhrzeigersinn (beginnend links oben) mit
(χ1 ,χ,χ0 ,χ2 ) beschriftet.
• Jeder Vertex wirkt zu einer festen Zeit tK
i auf der Keldyshkontur.
• Jedes Verbindungsstück zwischen zwei Vertices auf der Keldyshkontur wird
mit einem Quantenpunktzustand χi beschriftet. Es ist zu berücksichtigen, dass
für ein bestimmtes Diagramm mehrere Kombinationen an Quantenpunktzuständen möglich sind. Welche dies sind, kann nicht allgemein gesagt werden
und hängt von den Indizes, Richtungen und Form der Reservoirlinien ab.
Die Variablen an einem spezialisierten Diagramm stehen für konkrete Größen. Die
Beschriftung einer Reservoirlinie könnte beispielsweise (↑ ,L) lauten. Ein Elektron
mit dem Spin + 12 würde somit über das linke Reservoir aus dem Quantenpunkt
hinaus und wieder hinein tunneln. Lediglich die Zeiten ti und Wellenzahlvektoren
ki stehen für Variablen, die zunächst keinem festen Wert zugeordnet sind, da über sie
integriert bzw. summiert wird. In Abbildung (3.5) ist das gleiche Diagramm einmal
in seiner verallgemeinerten und in einer der daraus resultierenden spezialisierten
Form dargestellt.
χ1
χ3
χ4 χ5
−,L
χ
−,R
+,L
χ2
χ6
χ0
Abbildung 3.5: Links ist die verallgemeinerte Form eines Diagramms dritter Ordnung zu sehen. Rechts wurde das Diagramm durch beschriften mit Indizes in ein
spezialisiertes Diagramm überführt
32
3 Methode
3.4 Kinetische Gleichung
Anhand der Darstellung des Propagators aus Gleichung (3.23) als Diagrammsumme,
lässt sich leicht sehen, dass jedes Diagramm aus verschiedenen Elementen zusammengesetzt ist. Wir unterscheiden hier zwei Elemente. Das erste Element bezeichnen
wir als freien Propagator Π̂ (0) . Die Diagrammabschnitte, die diesen freien Propagator repräsentieren, beinhalten keine Reservoirlinie. Es sind folglich die Abschnitte,
bei welchen man durch eine vertikal verlaufende Linie keine Reservoirlinie schneidet.
Durchtrennt eine vertikal verlaufende Linie eine Reservoirlinie, so bezeichnen wir
diesen Teil als Kernel. In Abbildung (3.6) sind die beiden Bereiche farblich voneinander abgegrenzt und exemplarisch an einem verallgemeinerten Diagramm fünfter
Ordnung gezeigt.
Π̂ (0)
Σ̂ (2)
Π̂ (0)
Σ̂ (3)
Π̂ (0)
∈ Π̂
Abbildung 3.6: Verallgemeinertes Diagramm fünfter Ordnung. Rot gekennzeichnet sind die freien Propagatoren und blau die Kernels.
Mit Hilfe der Diagrammregeln lässt sich der Integrand eines freien Propagators
mit
i
Π̂ (0)
χ4 ←χ2
χ3 ←χ1
(t2 ,t1 ) := hχ2 | U0 (t1 ,t2 ) |χ4 i hχ3 | U0 (t2 ,t1 ) |χ1 i
(3.38)
identifizieren. Der Kernel wird mit Σ̂ (x) bezeichnet. x ≥ 1 ist dabei die Anzahl
der Reservoirlinien des als Kernel bezeichneten Diagrammbereichs. Es lässt sich bei
x auch von der Ordnung des Kernels sprechen. Diese Art von Diagrammen werden als irreduzibel bezeichnet, da sie keinen freien Propagator mehr enthalten. Die
Kernel-Diagramme müssen somit immer mit einem Vertex auf einer Keldyshkontur
beginnen und mit einem Vertex enden. Die Konstruktionsregeln für die Diagramme
des Propagators können auf die des Kernels übertragen werden. Der volle Kernel
ist als Summe aller irreduziblen Diagramme
Σ̂ :=
∞
X
x=1
Σ̂ (x)
(3.39)
3.4 Kinetische Gleichung
33
definiert. Ordnet man die Diagramme des vollen Propagators Π̂ nach der Anzahl
der freien Propagatoren, so erhält man eine unendliche Reihe der Form
Π̂ = Π̂ (0) + Π̂ (0) Σ̂ Π̂ (0) + Π̂ (0) Σ̂ Π̂ (0) Σ̂ Π̂ (0) + ... .
(3.40)
Die Gleichung für den vollen Propagator hat die Form einer Dyson-Gleichung,
wobei der Kernel die Rolle einer Selbstenergie übernimmt. Klammert man in jedem
Term den zur Linken stehenden freien Propagator aus, so erhält man
... = Π̂ (0) + Π̂ (0) Σ̂ Π̂ (0) + Π̂ (0) Σ̂ Π̂ (0) + ...
{z
|
.
}
Π̂
In Analogie zu einer Dyson-Gleichung, lässt sich der volle Propagator durch aufsummieren einer Partialsumme reproduzieren. Der volle Propagator erfüllt daher
die iterative Bestimmungsgleichung
Π̂ = Π̂ (0) + Π̂ (0) Σ̂ Π̂
(3.41)
und lässt sich durch einen freien Propagator, den vollen Kernel und sich selbst
ausdrücken. Setzt man (3.41) in die Bewegungsgleichung der reduzierten Dichtematrix ((3.22)) ein, so erhält man
p̂(t) = Π̂ (0) + Π̂ (0) Σ̂ Π̂ (t,t0 )p̂(t0 ) .
(3.42)
Den vollen Propagator können wir auf die Dichtematrix zur Zeit t0 wirken lassen,
was zu dem Ausdruck
p̂(t) = Π̂ (t,t0 )p̂(t0 ) +
0
Zt
t0
dt1
Zt1
dt2 i Π̂ (0) (t,t1 )Σ̂(t1 ,t2 )p̂(t2 )
(3.43)
t0
führt.
Wir differenzieren diese Gleichung total nach der Zeit t. Formal korrekt ist die
34
3 Methode
Differentiation in [Tew04] gezeigt. Man erhält die Bewegungsgleichung
t
i Z
ih
d
p̂(t) = − ĤQD , p̂(t) + dt1 Σ̂(t,t1 )p̂(t1 ) .
dt
~
(3.44)
t0
Der Kommutator der Dichtematrix mit dem Hamiltonoperator des ungekoppelten Quantenpunktes ist uns schon aus der von Neumann-Gleichung bekannt. Dieser
Teil beschreibt die Dynamik des isolierten Quantenpunktes. Das Integral mit dem
Kernel beschreibt folglich die Dynamik, welche durch die Kopplung an die Reservoire hervorgerufen wird. Für das Lösen dieser Integro-Differentialgleichung ist die
Kenntnis der expliziten Form des Kernels unabdingbar.
3.5 Darstellung des Stroms
Durch den Tunnelkontakt können Elektronen von einem Reservoir in den Quantenpunkt tunneln. Der Strom aus einem Reservoir r in den Quantenpunkt ist proportional zur zeitlichen Veränderung der Anzahl von Elektronen in dem Reservoir. Der
Operator für den Strom lässt sich daher als
i
d
ie h
Iˆr = −e N̂r = −
Ĥ, N̂r
dt
~
(3.45)
schreiben, wobei der Operator N̂r = ĉ+
k,σ,r ĉk,σ,r der Zähloperator des Reservoirs
r ist. Der Kommutator lässt sich explizit bestimmen, wodurch der Operator Iˆr der
Form
P
ie
Iˆr = −
~
X
∗ +
γk â+
σ ĉk,σ,r − γk ĉk,σ,r âσ
(3.46)
k,σ
entspricht. Bis auf den Vorfaktor und das Vorzeichen des zweiten Terms der
P
Summe
ist der Operator des Stroms identisch mit dem Tunnel-Operator ĤT .
r
Der Erwartungswert des Stroms lässt sich analog zu dem des Projektionsoperators
P̂χχ0 bestimmen. Für den zeitabhängigen Strom erhält man den Ausdruck
< Iˆr > (t) = −e
X
χ,χ1 ,χ2
χ2
2
(Πr )χ←χ
χ←χ1 (t,t0 )Pχ1 (t0 ) ,
(3.47)
3.5 Darstellung des Stroms
35
welcher stark der Gleichung (3.21) ähnelt. Da an Stelle des Projektionsoperators
in Gleichung (3.21) für < Iˆr > (t) der Strom-Operator steht, fällt eine RandbeP
2
dingung für (Πr )χ←χ
erklärt. Der Teil Pχχ12
χ←χ1 weg, was die zusätzliche Summe
χ
stammt aus der Spurbildung. Der Strom wird analog zu der Dichtematrix durch
einen Propagator Π̂r zeitlich entwickelt. Die für Π̂r stehenden Diagramme stellt
dabei eine Teilmenge der Diagramme von Π̂ dar. Für die Elemente von Π̂r , die in
den Diagrammen von Π̂ enthalten sind, gilt:
• ein Diagramm von Π̂r endet an rechter Seite immer mit einem externen Vertex.
• ist der externe Vertex auf der oberen Kontur, so steht er für den Teil ĉ+
k,σ,r âσ .
Die Reservoirlinie muss dann von dem Vertex weg zeigen. Der Teil â+
σ ĉk,σ,r
wird durch einen Vertex auf der unteren Kontur repräsentiert, wobei die Reservoirlinie auf den Vertex zeigt. Das unterschiedliche Vorzeichen der beiden
Terme von Iˆr ist damit berücksichtigt.
• Die mit den externen Vertices verbundenen Reservoirlinien sind von ihrer
Indizierung fest dem Reservoir r zugeordnet.
Die zuvor gefundenen Diagrammregeln lassen sich ohne Weiteres auf den Propagator Π̂r anwenden. Auch eine Dyson-Gleichung lässt sich daher aufstellen, indem
die Diagramme nach der Anzahl der irreduziblen Anteile geordnet werden. Σ̂r steht
dabei analog zu Σ̂ für die Summe aller irreduziblen Anteile, wodurch sich der volle
Propagator als
Π̂r = Σ̂r Π̂0 + Σ̂r Π̂0 Σ̂ Π̂0 + ...
= Σ̂r (Π̂0 + Π̂0 Σ̂ Π̂0 + ...)
= Σ̂r Π̂
(3.48)
darstellen lässt. Eine Partialsumme wurde wiederum zu dem vollen Propagator
aufsummiert. Definiert man
< Iˆr > (t) =
Rt
t0
 t
Z

−e Sp
dt1 i Σ̂r (t,t1 ) := Σ̂r (t,t0 ), so lässt sich der Strom als

dt1 Σ̂r (t,t1 )p̂(t1 )
(3.49)
t0
schreiben und ist damit ein Funktional der Dichtematrix zur Zeit t1 . Durch Sp(M )
werden alle Diagonalelemente der Matrix M aufsummiert.
36
3 Methode
3.6 Stationäre Lösung
System die einen Mechanismus zur Thermalisierung besitzen, beispielsweise über
Streuprozesse, können für stationäre Randbedingungen in einen stationären Zustand propagieren. Wir wollen annehmen, dass sich ein stationärer Zustand in dem
gekoppelten System aus Quantenpunkt und Reservoiren einstellt, ohne den dafür
benötigten Prozess genauer zu spezifizieren. Dem System ermöglichen wir eine unendlich lange Propagation, indem wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit den
Grenzübergang ti → −∞ vollziehen und den Betrachtungszeitpunkt t = 0 wählen.
Wir wollen annehmen, dass das System - und damit auch die reduzierte Dichtematrix - durch Propagation einen eindeutigen stationären Zustand einnimmt, der
durch p̂st = lim p̂(t) gegeben ist. Das Einschalten der Tunnelkopplung soll adiat→∞
batisch vollzogen werden. Des Weiteren sei der stationäre Zustand nicht von dem
Ausgangszustand vor der Kopplung abhängig sondern wird einzig durch das Nichtgleichgewicht innerhalb des Systems determiniert. Der stationäre Fall von Gleichung
bedeutet (3.44), dass die Dichtematrix zeitunabhängig ist und lässt sich durch
0=
i
ih
d st
p̂ = − ĤQD , p̂st + Σ̂ st p̂st¸
dt
~
(3.50)
bestimmen. Das Lösen der Gleichung nach p̂st hat sich vereinfacht, da nun an
Stelle eines Differentialgleichungssystems nur noch ein einfaches Gleichungssystem
gelöst werden muss. Zur verkürzten Schreibweise wurde der stationäre Kernel als
Σ̂ :=
st
Z0
dt1 Σ̂(0,t1 )
(3.51)
−∞
definiert. Σ̂ st ist zeitunabhängig, da alle Zeitfreiheitsgrade ausintegriert wurden.
Auch der Strom kann im Falle eines stationären Zustandes als in der Zeit konstant
betrachtet werden. Aus Gleichung (3.49) folgt, dass für den Strom im stationären
Fall
< Iˆr >= −e Tr Σ̂rst p̂st
(3.52)
gilt, wobei auch an dieser Stelle wieder der zeitunabhängige Kernel eines Reser-
3.7 Perturbativer Ansatz
37
voirs als
Σ̂rst
:=
Z0
dt1 Σ̂r (0,t1 )
(3.53)
−∞
definiert ist. Um den Strom im stationären Limes zu erhalten, müssen zunächst
die Elemente von Σ̂ st bestimmt werden. Damit lässt sich aus Gleichung (3.50) die
stationäre Dichtematrix p̂st ermitteln und in Gleichung (3.52) einsetzen. Mit Σ̂rst
erhält man daraus den stationären Strom. Da zur Bestimmung des Kernels unendlich viele irreduzible Diagramme aufsummiert werden müssen, benötigen wir ein
weiteres Verfahren, durch das Σ̂ st zumindest in guter Näherung beschrieben wird.
3.7 Perturbativer Ansatz
h
i
Der Kommutator − ~i ĤQD , p̂st der Gleichung (3.50) steht für die Dynamik des
Quantenpunktes. In den Arbeiten [Bec06] und [Tew04] mit einem Quantenpunkt
ohne Störstelle war der Kommutator Null. Dies lässt sich mit Hilfe des Propagators
erklären, der nur die Diagonalelemente der reduzierten Dichtematrix propagiert.
Es wurde argumentiert, dass die Dichtematrix stets diagonal ist und daher der
Kommutator verschwindet. Auf Grund der Ankopplung an die Störstelle sind die
Eigenzustände des Quantenpunktes keine Eigenzustände des Elektronenspins mehr.
+
Die Erzeuger- und Vernichteroperatoren (â+
σ und âσ ) stellen dadurch keine bĳektive
Abbildung zwischen Eigenzuständen des Quantenpunktes dar. Der Propagator ist
darauf hin auch nicht mehr diagonalitätserhaltend und der Kommutator folglich
ungleich Null. Man kann den Kommutator als Term interpretieren, welcher die interne Dynamik des Quantenpunktes repräsentiert. Der perturbative Lösungsansatz
für Gleichung (3.50) stammt aus [Lei08] und wird im Folgenden erläutert.
Es wurde bereits erwähnt, dass es sich sowohl bei Π̂ also auch bei Σ̂ st um einen
Superoperator handelt, welcher auf p̂ bzw. p̂st wirkt. Schreibt man p̂st als Matrix,
so lässt sich Σ̂ st als ein Tensor vierter Stufe darstellen. Ebenso lässt sich p̂st als
Vektor darstellen, wodurch Σ̂ st die Form einer quadratischen Matrix besitzt. Wir
definieren das i-te Element des Vektors Pd durch
(Pd )i := (p̂st )i,i
.
(3.54)
Die Elemente von Pn stellen folglich die nichtdiagonalen Anteile der reduzierten
38
3 Methode
Dichtematrix durch
(Pn )i := (p̂st )i0 ,j 0
(3.55)
dar, wobei i0 6= j 0 ist. Die Elemente des Tensors Σ̂ st lassen sich nach der Regel
Σ̂ st
χ0 ←χ2
χ←χ1
Σd,d
Σd,n
(t,t0 ) =
Σn,d
Σn,n
χ1
χ1
χ1
χ1
= χ2
6= χ2
= χ2
6= χ2
χ = χ0
χ = χ0
χ 6= χ0
χ 6= χ0
(3.56)
unterteilen. Die mit (d,d) gekennzeichneten Elemente überführen Diagonalelemente der Dichtematrix wieder in Diagonalelemente. Mit (d,n) bzw. (n,d) indizierte Teile des stationären Kernels verbinden Diagonal- mit Nichtdiagonalelementen
und umgekehrt.(n,n) kennzeichnet somit die Verbindung zwischen zwei Nichtdiagonalelementen der Dichtematrix. Der Kommutator aus Gleichung (3.50) kann offensichtlich durch einen Nichtdiagonalelemente verbindenden Superoperator dargestellt
werden, da beliebige diagonale Matrizen immer kommutieren. Dieser ist auch als
Liouville-Operator bekannt. Wir definieren daher den Kommutator als
h
Ln,n := ĤQD ,p̂st
iχ0 ←χ2
χ←χ1
.
(3.57)
Die Gleichung (3.50) lässt sich dann als Matrixgleichung in
0d
Σd,d
Σd,n
=
0n
Σn,d Σn,n − ~i Ln,n
!
!
Pd
Pn
!
(3.58)
umformen, wobei Pd ein Vektor aus Diagonalelementen der stationären Dichtematrix und Pn ein Vektor aus Nichtdiagonalelementen ist. 0d und 0n stellen Vektoren
dar, bei denen jede Komponente Null ist. Pd und Pn werden durch die zwei Gleichungssysteme
0d = Σd,d Pd + Σd,n Pn
0n
(3.59)
i
= Σn,d Pd + Σn,n + Ln,n Pn
~
(3.60)
3.7 Perturbativer Ansatz
39
festgelegt. Setzt man in die Gleichung (3.59) die Lösung der Gleichung (3.60) für
Pn ein, so erhält man
0d = Σd,d Pd −
Σd,n L−1
n,n
Σn,n L−1
n,n
i
− 1n,n
~
−1
Σn,d Pd
.
(3.61)
Es ist zu berücksichtigen, dass Ln,n nur regulär ist, und damit L−1
n,n existiert,
falls die Entartung in den Eigenzuständen von Ĥ aufgehoben ist. Das Spektrum
muss also 4(2I + 1) nicht entartete Eigenzustände von ĤQD wiedergeben, da die
Reservoirzustände ohnehin als nicht entartet angenommen werden. Mit Hilfe der
Entwicklung [x − i]−1 = x−1 + ix−2 − x−3 + ... lässt sich die Gleichung für Pd als
i
h
−1
3
−1
2
−1
0d = Σd,d Pd − Σd,n L−1
n,n i~1n,n + ~ Σn,n Ln,n − i~ Σn,n Ln,n Σn,n Ln,n + ... Σn,d Pd
(3.62)
umschreiben. Es besteht stets das Problem, dass Kenntnis über den vollen Kernel
benötigt wird, um die Gleichung zu lösen. Aus den Diagrammregeln ist bekannt,
dass jedes Diagramm der Ordnung l - was der Anzahl an Reservoirlinien entspricht
- proportional zu dem reellen Faktor Γkl ist. Nimmt man eine schwache Tunnelkopplung der Reservoire an den Quantenpunkt an, so dass der Parameter Γk als sehr
klein betrachtet werden kann, lässt sich Gleichung (3.62) in eine Störungsreihe nach
Ordnungen von Γk entwickeln. Es genügt dann in Gleichung (3.62) nur die Terme
erster und zweiter Ordnung (d.h. l = 1 und l = 2) zu berücksichtigen. Für kleine
Tunnelkopplung muss Pd folglich der Gleichung
h
(1)
(2)
(1)
(1)
i
0d = Σd,d + Σd,d − i~Σd,n L−1
n,n Σn,d Pd
(3.63)
genügen. Der in Klammern stehende Index des jeweiligen Kernel Elements gibt
(1)
dabei die Ordnung des Diagramms an. Während aus erster Ordnung der Teil Σd,d
(2)
(1)
(1)
stammt, sind die Terme Σd,d − i~Σd,n L−1
n,n Σn,d erst in zweiter Ordnung zu berücksichtigen.
Für kleine Tunnelkopplung lässt sich die Gleichung (3.52) zur Bestimmung des stationären Stroms analog nähern. Da Σ̂r nur auf Diagonalelemente projiziert, erhält
40
3 Methode
man für den Strom in Matrixdarstellung des Kernels
e
< Iˆ >= −e d
en
!T
(Σr )d,d (Σr )d,n
0
0
!
Pd
Pn
!
.
(3.64)
Die Vektoren ed und en enthalten als Elemente nur Einsen und haben die gleiche Wirkung wie das Aufsummieren der Diagonalelemente durch Tr. Der Index
r repräsentiert wieder die Teilmenge der Kernel-Diagramme für den Strom. Die
Nichtdiagonalelemente der Dichtematrix können wieder, stammend aus Gleichung
(3.60), eingesetzt werden. Es wird die gleiche Entwicklung wie zuvor ausgeführt, wodurch bei kleiner Tunnelkopplung - d.h. unter Berücksichtigung der ersten beiden
Ordnungen von Γ - sich der Tunnelstrom mittels
(1)
(1)
(2)
(1)
< Iˆ >= −eeTd (Σr )d,d + (Σr )d,d − i~(Σr )d,n L−1
n,n Σn,d Pd
i
h
(3.65)
(1)
berechnen lässt. Es ist darauf zu achten, dass Σn,d nicht den Index r enthält, da
es aus der Lösung von Gleichung (3.60) für Pn stammt.
3.8 Raten Gleichung
Die Gleichung (3.63) besitzt die Form einer Ratengleichung wie sie beispielsweise
in der Laserphysik oder bei chemischen Reaktionen verwendet wird. Die Raten
(1)
(2)
Γb←a entsprechen dem Element a,b der Summe der Kernelelemente Σb,a + Σb,a −
(1)
(1)
i~Σb,n L−1
n,n Σn,a . Um unterscheiden zu können, aus welchem Term von Gleichung
(3.63) die Rate stammt, unterscheiden wir sie mit einem in Klammern stehenden
zusätzlichen Index und definieren
(1)
(I)
Γb←a := (Σd,d )b,a
(II)
Γb←a
(III)
Γb←a
:=
:=
Γb←a :=
(2)
(Σd,d )b,a
(1)
(1)
−i~(Σd,n L(−1)
n,n Σn,d )b,a
(1)
(2)
(3)
Γb←a + Γb←a + Γb←a
(3.66)
(3.67)
(3.68)
.
(3.69)
Damit diese Ausdrücke als Raten für die Diagonalelemente der Dichtematrix interpretiert werden können, setzen wir voraus, dass sie zumindest reell (da Diagonalelemente der Dichtematrix auch reell sein müssen) und normerhaltend (damit
3.8 Raten Gleichung
P
d
41
Pd = 1) sind. Beide Bedingungen werden im Folgenden durch die Spiegelsymme-
trie und die Summenregel der Raten bzw. Kernelelemente erfüllt.
3.8.1 Spiegelsymmetrie
Wir wollen zeigen, dass jeder Summand von Gleichung (3.63) reell ist. Anhand der
mathematischen Form des Kernels lässt sich durch komplexes Konjugieren leicht
die Beziehung
χ4 ←χ1
Σ st
χ3 ←χ2
=
χ3 ←χ1
Σ st
χ4 ←χ2
∗
(3.70)
ableiten. Wenn nun zu jedem Diagramm auch das komplex konjugierte Diagramm
(l)
ein Element von Σd,d ist, so lässt sich für die ersten beiden Terme der Gleichung
(3.63) zeigen, dass sie reell sind. Die komplexe Konjugation eines Diagramms entspricht der Spiegelung an der Dysonzeit-Achse, wobei die Richtungen der Konturlinien beibehalten und die der Reservoirlinien umgekehrt werden. Exemplarisch ist
in Abbildung (3.7) ein Diagramm zweiter Ordnung mit dem dazu gehörenden konjugierten Diagramm abgebildet.
χ1
χ2
χ1
χ3
χ4
χ2
χ1
χ3
χ2
χ1
χ2
χ4
χ2
χ2
Abbildung 3.7: Zwei zueinander koplex konjugierte Diagramme zweiter Ordnung
(II)
der Rate Γχ2 ←χ2 . Sie lassen sich durch Spiegelung an der Mittelachse und anschließender Umkehr der Reservoirlinienrichtung ineinander überführen.
Da sich die Indizierung der äußeren Anschlüsse bei dem komplex Konjugieren
eines diagonal verbindenden Diagramms nicht ändert, ist zu jedem Diagramm aus
(l)
(l)
Σd,d das Konjugierte stets auch ein Element aus Σd,d .
(l)
(l)
Für Σd,n oder Σn,d gilt offensichtlich nicht, dass in jedem Element immer zwei zueinander konjugierte Diagramme gefunden werden können. In Anhang-B ist gezeigt,
42
3 Methode
(1)
(1)
dass jedes Element von i~Σd,n L(−1)
n,n Σn,d reell ist. Dazu wurde lediglich die Relation
(3.71)
χ3 ←χ2
1
(L̂)χχ43 ←χ
←χ2 = −(L̂)χ4 ←χ1
und die zuvor dargestellte Identität des Kernels unter komplexer Konjugation
verwendet. Die Bedingung, dass Diagonalelemente der Dichtematrix reell sind, wird
durch die Gleichung (3.63) unterstützt.
Um zu zeigen, dass der Strom, welcher durch Gleichung (3.65) festgelegt wird, auch
reell ist, kann die Identität
χ4 ←χ1
Σrst
χ3 ←χ2
=
χ3 ←χ1
Σrst
χ4 ←χ2
∗
(3.72)
verwendet werden. Der Beweis verläuft analog zu den vorherigen Überlegungen.
3.8.2 Summenregel
Damit Gleichung (3.63) die Bedingungen für eine Bestimmungsgleichung von Diagonalelementen der Dichtematrix erfüllt, muss die Matrix
h
(1)
(1)
(2)
(1)
Σd,d + Σd,d − i~Σd,n L(−1)
n,n Σn,d
i
(3.73)
normerhaltend sein. Die Summe aller Elemente einer Spalte muss daher Null sein,
was sich in mathematischer Form als
h
(1)
(2)
(1)
(1)
i
!
eTd Σd,d + Σd,d − i~Σd,n L−1
n,n Σn,d = 0d
(3.74)
(l)
formulieren lässt. Die Normerhaltung ist gegeben, da sowohl ed Σd,d = 0d als auch
(l)
ed Σd,n = 0n gilt. Anhand der Diagramme einer bestimmten Ordnung lässt sich das
leicht verstehen. Nimmt man aus einer festen Spalte ein Diagramm einer Zeile, so
lässt sich aus diesem ein Diagramm einer anderen Zeile aber der gleichen Spalte konstruieren, indem der letzte Vertex (zur Zeit t=0) die Kontur wechselt. Da die Diagramme aus der gleichen Spalte stammen, bleiben die äußeren Anschlüsse, d.h. die
Zustände zur Zeit t = −∞, die gleichen. Das Einzige, worin sich die Diagramme unterscheiden, ist der Faktor (−1), welcher durch die unterschiedliche Anzahl von Vertices auf der unteren Kontur stammt. Alle Zeitrichtungen und internen Indizes sind
gleich geblieben. Daher lassen sich beide Diagramme zu Null addieren und Gleichung
3.8 Raten Gleichung
43
h
(1)
(2)
(1)
(1)
i
(3.63) ist normerhaltend. Der Rang der Matrix Σd,d + Σd,d − i~Σd,n L−1
n,n Σn,d ist
wegen der Normerhaltung abhängig von der Basis maximal 4(sI + 1) − 1. Der
Betrag von Pd wird durch die Bestimmungsgleichung somit nicht festgelegt. Die
Matrix rotiert lediglich den Vektor. Zum Lösen von Gleichung (3.63) muss noch die
P
Nebenbedingung der Dichtematrix Pd = 1 berücksichtigt werden.
d
4 Die Tunnel-Raten
In diesem Kapitel leiten wir einfache analytische Ausdrücke für die Diagramme her,
um damit eine Berechnung der Raten zu ermöglichen. Wir gehen dabei sowohl auf
den Zeitanteil als auch den Energieanteil der Diagramme ein. Bei der Integration
über die Energien orientieren wir uns an der Arbeit [Lei08].
4.1 Zeitintegration
Für den stationären Kernel Σ̂ st werden die Zeitfreiheitsgrade ausintegriert. Wir wollen daher an dieser Stelle nochmals alle zeitabhängigen Anteile eines Diagramms
spezifizieren und das Ergebnis der Zeitintegration darstellen. Der Tunneloperator
ĤT enthält bereits in dem Schrödingerbild eine explizite Zeitabhängigkeit in Form
der stetigen Funktion A(t). Durch diese Funktion wird der adiabatische Einschaltprozess der Tunnelkopplung dargestellt. Der Einschaltvorgang soll zu dem Zeitpunkt
tb beginnen und zu der Zeit te enden. Für die Ableitung des stationären Limes der kinetischen Gleichung wurde eine unendlich lange Propagation nach dem Einschalten
der Kopplung angenommen. Dies lässt sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit
durch te → −∞ realisieren. Das adiabatische Einschalten der Tunnelkopplung wird
dann durch
(
A(t) :=
eνt , falls t ≤ te
mit 0 < ν ∈ R
1, falls t > te
(4.1)
realisiert, wobei der Grenzwert ν → 0+ gebildet wird und unendlich lange Schaltintervalle angenommen werden. Einerseits ist dies charakteristisch für einen adiabatischen Einschaltprozess, andererseits erhält ν auch den Charakter eines konvergenzerzeugenden Faktors. Um dies deutlich zu sehen, müssen wir die Zeitintegration
eines jeden Diagrammes explizit ausführen. Die Zeitabhängigkeit der Operatoren
stammt aus den unitären Transformationen, mittels derer in das Wechselwirkungsbild transformiert wurde. Diese unitären Transformationen treten beispielsweise in
46
4 Die Tunnel-Raten
der totalen Paarung der Reservoir-Operatoren
i
K
K
~
< ĉ+
ki ,σi ,ri (tpi )ĉkj ,σj ,rj (tpj ) >Res = e
K
ki ,σi ,ri (tK
pi −tpj )
f (ki ,σi ,ri )
(4.2)
K
auf. Die Ordnung nach der Keldyshzeit wurde so gewählt, dass tK
pi < tpj ist,
wodurch die Kontraktion zu einer Fermifunktion führt. Wäre die Zeitordnung nach
K
Keldyshzeit tK
pi > tpj , so wäre an Stelle der Fermifunktion ein (1 − f (ki ,σi ,ri )) und
das Argument der Exponentialfunktion wechselte sein Vorzeichen. Ein derartiger
Term der totalen Paarung entspricht
+
K
< ĉkj ,σj ,rj (tK
pj )ĉki ,σi ,ri (tpi ) >Res = e
K
− ~i ki ,σi ,ri (tK
pi −tpj )
(1 − f (ki ,σi ,ri )) .
(4.3)
Das Zeitargument der Exponentialfunktion ist somit immer negativ in Keldyshzeit. Da die Exponentialfunktion in der Keldyshzeit jedoch nicht berechnet werden
kann, muss eine Abbildung auf die Dysonzeit folgen. Verbindet eine Reservoirlinie zwei Dyson-Zeiten t1 und t2 mit t1 < t2 , so kann man sich vorstellen, dass
die beiden Keldyshkonturen in Richtung der Dysonzeitlinie zusammengeschoben
sind. Für die Exponentialfunktion gilt dann: exp(∓iki ,σi ,ri (t2 − t1 )). Zeigt die Reservoirlinie in positive Dyson-Zeitrichtung, so ist ∓ = −. Zeigt die Reservoirlinie
hingegen in negative Dyson-Zeitrichtung, so gilt ∓ = +. Analog folgt dies auch für
die Erzeuger- und Vernichter-Operatoren des Quantenpunktes, deren zeitabhänger
Term exp(∓iχ (t2 − t1 )) entspricht. Hierbei gilt ∓ = −, falls das Element der freien
Propagation auf der oberen Kontur liegt und ∓ = +, falls es auf der unteren Kontur
liegt. Die Funktionen, die bei der Zeitintegration eine Rolle spielen, sind:
für jeden Vertex bis auf den letzten der Dysonzeit
für jede Keldysh-Konturlinie
für jede Reservoirlinie .
eνti
∓iχ (t2 −t1 )
e
∓iki ,σi ,ri (t2 −t1 )
e
Der Zeitanteil eines Diagramms lässt sich somit durch seine Resolventen mittels
Z0
−∞
dt1
Z0
t1
dt2 . . .
Z0
tn
dtn − 1
n−1
Y
j=1
i
e(− ~ xj +ν)tj =
n−1
Y
j=1
(i~)n−1
P
νi + jk=1 xk
(4.4)
darstellen. Die Konstante xj ist dabei abhängig von Quantenpunkt- und Reservoi-
4.2 Transformation in den Energieraum
47
renergien χ und ki ,σi ,ri . Durch Unterteilen eines Diagramms mittels vertikaler LiniP
en an jedem Vertex, entspricht die Summe jk=1 xk der Summe aller Quantenpunktund Reservoirenergien, die in dem Abschnitt enthalten sind. An dieser Stelle wird
nun auch deutlich, dass ν den Charakter eines konvergenzerzeugenden Faktors besitzt, da er Polstellen von der reellen Achse in die imaginäre Halbebene verschiebt.
4.2 Transformation in den Energieraum
Betrachtet man die Reservoire als sehr groß, so kann der Impuls ~k der Elektronen als
quasikontinuierlich angenommen werden. Dies wird klar, wenn man die Elektronen
in dem metallischen Reservoir als frei betrachtet und das Reservoir vereinfacht ohne
Beschränkung der Allgemeinheit als ein kubischer Festkörper mit der Kantenlänge
L angenommen wird. Das Volumen eines Zustandes mit ki beträgt im Impulsraum
( Lπ )3 . Die Differenz zweier Impulse sinkt daher mit größer werdendem Reservoirvo2 2
lumen L3 . Wegen der Beziehung = ~2mk kann die Summe über die Impulse durch
ein Integral über Energien substituiert werden.
X
k
... −→
Z∞
−∞
dDΓ ()
1 Z
dΩ... ,
4π
(4.5)
wobei D() die Zustandsdichte des jeweiligen Reservoirs ist. Es wurde angenommen, dass die Energien der Reservoir-Elektronen homogen sind, also nicht von der
Richtung von k abhängen. Mit der in [Tew04] gemachten RandomR Phase Approximation, ergibt die Integration aller Winkel einer Energieschale dΩ = 4π. Es
wird dabei die Annahmen gemacht, dass die Phasendifferenz für das Tunneln in
und aus einem Reservoir eine zufällige Größe ist. Wir nehmen außerdem an, dass
die Tunnelmatrixelemente unabhängig vom Betrag des Elektronen Impulses ~k sind
und schreiben fortan Γk = Γ . Aus dem Übergang in den Energieraum bleibt somit lediglich das Integral über alle Energien und die Zustandsdichte übrig. Die
Zustandsdichte soll als konstant in der Energie angenommen werden (D() = D).
4.3 Diagrammregeln im Energieraum
In den vorherigen Abschnitten haben wir Umformungen an den mathematischen
Ausdrücken vorgenommen, für die ein Diagramm steht. Fassen wir nochmals zusammen, wie aus einem spezialisierten Diagramm wieder ein mathematischer Ausdruck konstruiert werden kann. Ein Diagramm der Ordnung l ist dabei an jedem
48
4 Die Tunnel-Raten
Vertex durch eine vertikale Linie in 2l − 1 Abschnitte zu unterteilen. In jedem Abschnitt ist die Übersetzungsregel i anzuwenden. Das Produkt aus allen übersetzten
Abschnitten ist zu bilden und im Anschluss sind die Regeln ii bis v anzuwenden.
i Für jeden Abschnitt ist die Energievariable einer jeden Linie (Kontur und
Reservoirlinie) durch ihre Indizierung bestimmt, die den Abschnitt durchläuft.
Ist die Richtung der Linie in positive Dyson-Zeitrichtung, so erhält die Energie
ein negatives Vorzeichen. Andernfalls erhält sie ein positives Vorzeichen. Die
Summe aller Energien eines jeden Abschnitts und korrektem Vorzeichen wird
P
durch repräsentiert. Der k-te Abschnitt, in Dyson-Zeitrichtung gezählt,
erhält somit den Wert
i~
P
νi + .
(4.6)
Dieser Term entspricht den aus der Zeitintegration stammenden Resolventen.
ii Eine Reservoirlinie, welche in negative Keldyshzeit verläuft, liefert die Fermifunktion f (j ). Eine Reservoirlinie in die entgegengesetzte Richtung liefert
(1 − f ()).
iii Mit jedem Vertex wird ein Erzeuger- bzw. Vernichter-Operator des Quantenpunktes assoziiert. Zeigt die Reservoirlinie auf den Vertex, so handelt es sich
um einen Erzeuger. Weist die Reservoirlinie von dem Vertex weg, so handelt es sich um einen Vernichter. Der Spinindex des Quantenpunkt-Operators
entspricht dem der Reservoirlinie. Da die Konturelemente der speziellen Diagramme mit Quantenpunktzuständen assoziiert sind, wird an jedem Vertex
das Spektralgewicht bestimmt und für das gesamte Diagramm das Produkt
aus allen Spektralgewichten gebildet. Wir wollen dies durch S repräsentieren.
iv Der Faktor (−i/~)l (−1)c+d (Γ D)l wird für jedes Diagramm zugefügt. c entspricht dabei der Anzahl der Kreuzungspunkte der Reservoirlinien und ist
in dem Faktor (−1)c enthalten. Dieser stammt aus der totalen Paarung der
Reservoir-Operatoren, bei der das Vorzeichen von der Anzahl der Erzeugerund Vernichter-Operatoren zwischen den beiden kontrahierten Operatoren abhängt. Diese Anzahl entspricht genau der Anzahl der Kreuzungspunkte. Der
Faktor (−1)d stammt aus der Umkehr der Zeitintegrationsgrenzen für jeden
Vertex, der auf der unteren Kontur sitzt. Der Faktor Γ ist der Ordnungsfaktor, welcher aus dem Produkt von Tunneloperatoren ĤT stammt. l entspricht
hierbei der Anzahl der Reservoirlinien. Wir definieren die Größe Γ̃ := Γ D,
4.3 Diagrammregeln im Energieraum
49
welche die Einheit einer Energie besitzt und der übersichtlichen Schreibweise
dient.
v Es wird über alle Reservoirenergien i integriert.
Mittels dieser Übersetzungsregel können nun sämtliche spezialisierten Diagramme
wieder durch mathematische Ausdrücke substituiert werden.
4.3.1 Irreduzible Diagramme erster Ordnung in Γ
Die Anzahl der irreduziblen Diagrammen mit Reservoirlinienrichtung, die zur ers22 = 8. Die Anzahl der irreduziblen Diagramme aus
ten Ordnung gehören, ist (2)!
1
Σ̂ (1) und Π̂ (1) ist identisch. Diese acht Diagramme lassen sich aus den in Abbildung
(4.1) gezeigten Struckturelementen durch Spiegelung an den gestrichelten Achsen
konstruieren. Dadurch erhält man vier verallgemeinerte Diagramme, die mit gerichteten Reservoirlinien die besagten acht Diagramme ergeben.
Abbildung 4.1: Struckturmodelle für verallgemeinerte Diagramme erster Ordnung in Γ . Durch Spiegelung an den gestrichelten Achsen kann jedes verallgemeinerte Diagramm konstruiert werden.
Durch Indizierung werden die spezialisierten Diagramme konstruiert. Die Anzahl
der spezialisierten Diagramme hängt von dem betrachteten System bzw. von der
Größe der Basis ab und muss explizit bestimmt werden. In Anhang-C ist gezeigt, wie
der allgemeine mathematische Ausdruck für ein Diagramm erster Ordnung aussieht.
Der noch zu bestimmende Teil besteht in dem Integral der Resolventen über die
Energie. Das Integral entspricht der Form
Z∞
−∞
d
f ()
+ δt (−λ + i0+ )
,
(4.7)
50
4 Die Tunnel-Raten
wobei mit der Definition δt := δD δK eine Konstante eingeführt wird, welche die
Information über beide Zeitrichtungen (Dysonzeit δD und Keldyshzeit δK ) der Reservoirlinie enthält. Die Definition der Konstanten δD , δK und λ ist in Anhang-C
zu finden. λ := −β(−δD eVr + K ) beinhaltet die Information über alle relevanten Energien eines Diagrammsegments. Um die Fermi-Funktion temperaturunabhängig zu machen, wurde die Energie durch die Substitution → β in Einheiten
der Temperatur ausgedrückt. Hierbei ist zu beachten, dass im Folgenden f () für
die substituierte Fermi-Funktion steht. Des weiteren sind auch die Integralgrenzen
von der Substitution betroffen, was berücksichtigt werden muss, falls endliche Integralgrenzen betrachtet werden. Im Folgenden betrachten wir lediglich die explizite
Berechnung des Integrals für den Fall δt = 1. Der Fall δt = −1 lässt sich analog
berechnen. Zur Berechnung des Integrals wird es durch eine Abschneideenergie C
regularisiert. An späterer Stelle wird gezeigt, dass der Grenzübergang C → ∞ vollzogen werden kann, da sich die logarithmisch divergierenden Anteile der Diagramme
zu Null addieren. Beschränkt man das Integral auf den Bereich [−Cβ,Cβ], wobei
für die Grenzen die vorige Substitution berücksichtigt wurde, so lässt sich das Integral über die reelle Achse durch die Differenz zweier Wegintegrale in der oberen
komplexen Halbebene darstellen.
ZCβ
d
−Cβ
I
Z
f (ζ)
f (ζ)
f ()
0
=
dt
ζ
(t)
−
ζ 0 (t) .
− λ + i0+
ζ − λ + i0+
α
η ζ − λ + i0+
(4.8)
In Abbildung (4.2) ist der durch ζ(t) parametrisierte Weg dargestellt. Der geschlossene Weg α verläuft entlang der reellen Achse von der minimalen −Cβ bis
zur maximalen Abschneideenergie Cβ und schließt den Integrationsweg im mathematisch positiven Drehsinn durch einen Halbkreis in der positiven imaginären Halbebene. Der Weg η entspricht lediglich dem Teil von α, welcher in der imaginären
Halbebene verläuft.
Betrachten wir zunächst den Integrationsweg η, bei dem der parametrisierte Weg
ζ(φ) := Cβeiφ mit φ ∈ {0,π} entspricht. Eingesetzt in das Integral erhält man
−i
Zπ
0
dφ
f (ζ)
ζ
ζ − λ + i0+
.
(4.9)
Die Fermi-Funktion lässt sich für große Abschneideenergien Cβ 1 durch eine
Stufenfunktion approximieren. Es lässt sich leicht zeigen, dass sie für den Bereich
φ ∈ {0, π2 } Null ist und für den Bereich φ ∈ { π2 , π} den Wert Eins besitzt. Das
4.3 Diagrammregeln im Energieraum
51
Im()
η
α
iπ(2k + 1)
−Cβ
Cβ
Re()
Abbildung 4.2: Darstellung der Integrationswege α und η zur Berechnung der
Integrale für sequentielle Prozesse. Entlang der positiven imaginären Achse liegen
die Singularitäten der Fermi-Funktion bei iπ(2k + 1).
Integral hat somit nur für das Intervall { π2 , π} einen nicht verschwindenden Wert,
was in den Integrationsgrenzen berücksichtigt wird. Das approximierte Integral lässt
sich im Grenzfall Cβ 1 nun exakt als eine Konstante
−i
Zπ
π
2
π
Z
eiφ
π
dφ iφ
−
−
−
→
−i
dφ = −i
1
+
2
e + Cβ (−λ + i0 ) Cβ1
π
(4.10)
2
bestimmen. Das Integral über den Weg α lässt sich wegen folgender Bedingungen
leicht mit dem Residuensatz berechnen. Der Residuensatz ist anwendbar, da es sich
bei α um eine in C stückweise glatte geschlossene Kurve handelt und der Integrand
bis auf isolierte Singularitäten analytisch ist. Die isolierten Singularitäten innerhalb
des Weges α liegen bei iπ(2k+1) mit k ∈ N0 und rühren von der Fermi-Funktion her.
− 21 bezeichnen wir den maximalen k-Wert, so dass die Singularität
Mit kmax < Cβ
2π
noch innerhalb des von α umschlossenen Bereiches liegt. Die Polstelle des Ausdrucks
1
liegt in der negativen imaginären Halbebene und somit nicht in dem vom
−λ+i0+
Weg α umschlossenen Gebiet. An dieser Stelle sei nochmals erwähnt, dass im Falle
δt = −1 der Integrationsweg in der negativen imaginären Halbebene geschlossen
wird, um die Residuenberechnung zu vereinfachen. Für den hier betrachteten Fall
ergibt sich für das Integral durch Summation der Residuen
−2πi
kX
max
k=0
kX
max
1
1
≈
−
1
+
iπ(2k + 1) − λ + i0
k=0 k + 2 +
λi
2π
.
(4.11)
52
4 Die Tunnel-Raten
Das negative Vorzeichen vor der Summe stammt aus der Integrationsrichtung im
λi
mathematisch positiven Sinn. Wir ersetzen kurz der Übersicht halber x = 12 + 2π
und addieren zu dem Ausdruck eine "nahrhafte"Null. In dem Ausdruck
−
kX
max
k=0
|
kX
kX
max
max
1
1
1
−
+
+ ln(kmax ) −ln(kmax )
k + x k=0 k + 1 k=0 k + 1
{z
I
}
|
{z
II
(4.12)
}
entspricht der Term II für Cβ 1, und somit auch großem kmax , in guter
Näherung der Euler-Mascheroni-Konstante −γ. Die Terme I + II entsprechen für
großes kmax in guter Näherung der Reihendarstellung der Digamma-Funktion ψ(x).
,
Ersetzt man die Summe durch die genäherten Funktionen und setzt man kmax = Cβ
2π
so erhält man für die Integrale eines sequentiellen Prozesses
1 λi
Cβ
π
ψ( +
) − ln(
)−i
2 2π
2π
2
.
(4.13)
Mit Hilfe der Identität Im(ψ( 12 + ix)) = π( 12 − f (2πx)), wobei auch hier f (x)
für die modifizierte Fermi-Funktion steht, lässt sich ein einfacher Ausdruck für die
Diagramme erster Ordnung mit
Z∞
d
−∞
f ()
− λ + i0+
1 λi
Cβ
≈ Re(ψ( +
)) − iπf (λ) − ln(
)
Cβ1
2 2π
2π
(4.14)
finden. In diesem Ausdruck ist deutlich der logarithmisch divergierende Term des
Integrals zu erkennen. Lediglich der Realteil des Ausdrucks beinhaltet einen für
Cβ → ∞ divergierenden Anteil. Der Vollständigkeit halber sei das Ergebnis für den
Fall δt = −1
Z∞
−∞
d
f ()
+ λ − i0+
1
λi
Cβ
≈ Re(ψ( −
)) + iπf (−λ) − ln(
)
Cβ1
2 2π
2π
(4.15)
aufgeführt. Hierbei ist berücksichtigt, dass der Realteil der Digamma-Funktion
nur vom Betrag des imaginären Arguments abhängt. Da im Folgenden die hier
gefundenen Ergebnisse weiter verwendet werden, sei nochmals der Realteil des In-
4.3 Diagrammregeln im Energieraum
53
tegrals zu der Funktion
1 λi
+
φ(λ) := −Re ψ
2 2π
!
Cβ
+ ln
2π
!!
(4.16)
zusammengefasst.
4.3.2 Irreduzible Diagramme zweiter Ordnung in Γ
In der, für die Berechnungen im Rahmen dieser Arbeit, verwendeten Methode werden nur Prozesse (Diagramme) zweiter Ordnung betrachtet, bei denen sowohl die
beiden Eingangszustände als auch die beiden Ausgangszustände identisch sind. Im
Falle der Zeitentwicklung für den Dichteoperator bedeutet dies, dass nur Diagonalelemente wieder in Diagonalelemente überführt werden können. Daher tritt in
(2)
jedem Element der Matrix von Σdd ein Diagramm immer mit dem zu ihm komplex
konjugierten Diagramm auf. Sei also a der Realteil eines Diagramms D und b der
Imaginärteil (D = a + ib), so ist die Summe zweier zueinander komplex konjugierter Diagramme 2a. Es genügt, bei nur einem der zueinander komplex konjugierten
Diagramme den Realteil mit zwei zu multiplizieren. Da jedes Diagramm zweiter
Ordnung den Faktor i~ enthält, kann man auch schreiben D = i~D0 . Der für 2a
stehende Ausdruck ist nun identisch mit −2 ~1 Im(D0 ). Diese Umformung erleichtert
die folgende Rechnung.
Die Anzahl der diagonal verbindenden irreduziblen Diagramme (mit festen Reservoirlinienrichtungen) entspricht in zweiter Ordnung nicht der Anzahl der reduziblen
Abbildung 4.3: Strukturmodelle für einpolige, topologisch verschiedene Diagramme zweiter Ordnung. Der zu frühester Dysonzeit wirkende Vertex ist mit dem zu
spätester wirkenden über eine Reservoirlinie verbunden. Die gestrichelten Linien
stellen die Spiegelachsen dar. Aus ihnen lassen sich 64 teilspezialisierte (mit Reservoirlinienrichtung versehene) Diagramme konstruieren.
54
4 Die Tunnel-Raten
Abbildung 4.4: Strukturmodelle für zweipolige, topologisch verschiedene Diagramme zweiter Ordnung. Die gestrichelten Linien stellen die Spiegelachsen dar.
Aus ihnen lassen sich 64 teilspezialisierte (mit Reservoirlinienrichtung versehene)
Diagramme konstruieren.
Diagramme, die durch NΠ (l) =
(2l)! 2l
2
l!
gegeben ist. Da
Π̂ (2) = Π̂ (0) Σ̂ (2) Π̂ (0) + Π̂ (0) Σ̂ (1) Π̂ (0) Σ̂ (1) Π̂ (0)
(4.17)
ist, lässt sich die Anzahl aus der von Π̂ (2) und Σ̂ (1) durch NΣ (2) = NΠ (2) −
(NΣ (1))2 = 128 berechnen. Diese Diagramme lassen sich wiederum durch die zwölf
in Abbildungen (4.3) und (4.4) gezeigten Strukturmodelle konstruieren. Die gestrichelten Linien stellen die Spiegelachsen dar. Aus einem Strukturmodell mit zwei
Spiegelachsen lassen sich 16 topologisch verschiedene, teilspezialisierte (mit Reservoirlinienrichtung versehene) Diagramme konstruieren. Die Strukturmodelle mit einer Spiegelachse ergeben jeweils 8 topologisch verschiedene, teilspezialisierte Diagramme, wodurch insgesamt 128 Diagramme konstruiert werden können. Die spezialisierten Diagramme ergeben sich durch explizite Indizierung der Diagrammelemente, wobei deren genaue Anzahl wiederum systemabhängig ist. Die Strukturmodelle
und damit auch die daraus resultierenden Diagramme sind in zwei Klassen unterteilbar. In Abbildung (4.3) sind die einpoligen Diagramme dargestellt. Sie zeichnen
sich dadurch aus, dass eine Reservoirlinie den Vertex zur frühesten Dysonzeit mit
dem der spätesten Dysonzeit verbindet. In dem mathematischen Ausdruck ist das
daran zu erkennen, dass der Integrand des Energieintegrals über die Reservoirenergien eine einfache Polstelle besitzt. In Anhang-C ist der allgemeine mathematische
Ausdruck eines einpoligen Diagramms gezeigt. Zur Berechnung des Teils D0 eines
4.3 Diagrammregeln im Energieraum
55
Diagramms mit einfacher Polstelle, ist das Integral
 ∞ ∞
Z Z
Im 
−∞ −∞
(1)

(2)
f (δt 1 )f (δt 2 )
 (4.18)
d1 d2
+
(1 − λ1 + i0 )(1 + 2 − λ2 + i0+ )(1 − λ3 + i0+ )
zu bestimmen. Die Konstanten λi beinhalten, wie bei der Betrachtung der sequentiellen Diagramme, die charakteristischen Energien eines Diagrammsegments.
In dem Fall einer einfachen Polstelle sind beispielsweise λ1 := −β(k,1 − δD,1 eVr1 ),
λ2 := −β(K2 − δD,1 eVr1 − δD,2 eVr2 ) und λ3 := −β(K3 − δD2 eVr1 ) die Ausdrücke für
die Konstanten. Die zusätzliche Indizierung zur Identifizierung der Reservoirlinien
ist ab der zweiten Ordnung notwendig. Die Konstanten δ(x,i) beinhalten, wie im sequentiellen Fall, die Information über die jeweilige Zeitrichtung einer Reservoirlinie
mit dem Index i.
Zu Berechnung des Integrals überführen wir es zunächst durch Partialbruchzerlegung in eine andere Form und bezeichnen diesen Ausdruck mit
IE :=
Z∞
Z∞
(4.19)
(1)
d1 d2
−∞ −∞
Im
(2)
f (δt 1 )f (δt 2 )
λ3 − λ1
1
1 + 2 − λ2 + i0+
1
1
−
1 − λ3 + i0+ 1 − λ1 + i0+
.
Die Diagramme der zweiten Klasse sind durch ihre Strukturmodelle in Abbildung
(4.4) repräsentiert. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass der Integrand des Energieintegrals nur zweifache Polstellen besitzt und werden daher als zweipolige Diagramme
bezeichnet. Auch hier ist der allgemeine mathematische Ausdruck in Anhang-C
dargestellt. Zur Berechnung des Teils D0 eines Diagramms ist das Integral
 ∞ ∞
Z Z

Im
−∞ −∞
(1)
(2)

f (δt 1 )f (δt 2 )
 (4.20)
d1 d2
+
(1 − λ1 + i0 )(1 + 2 − λ2 + i0+ )(2 − λ3 + i0+ )
zu bestimmen. Die Konstanten λi tragen auch in diesem Fall wieder die volle Information der Diagrammsegmente. Lediglich für das letzte Segment dieses Diagrammtypen unterscheidet sich die Definition der Energiekonstante λ3 := −β(+K3 −
δD,2 eVr2 ) von der für die einpoligen Diagramme. Durch Addition des Integrals mit
i0+ , lässt sich die Summe in den Ausdruck
56
4 Die Tunnel-Raten
IZ :=
Z∞ Z∞
(4.21)
d1 d2
−∞ −∞
(2)
(1)
f (δt 1 )f (δt 2 )
λ2 − λ3 − λ1
1
1
−
+
1 + 2 − λ2 + i0
1 + 2 − λ3 − λ1 + i0+
#
1
1
+
1 − λ1 + i0+ 2 − λ3 + i0+
"
Im
überführen. Mit Hilfe der in Anhang-D aufgeführten Umformungen und Näherungen können analytische Ausdrücke für die Integrale IE und IZ gefunden werden.
Die Näherungen gelten jedoch nur unter der Bedingung, dass Cβ δλi gilt. Die
Konstante δλi ist Element der Menge {λ3 − λ2 ,λ1 − λ2 }. Für die Gültigkeit der
Näherung müssen also Energiedifferenzen der Quantenpunktzustände und Spannungsdifferenzen klein gegenüber Cβ sein. Da im Späteren gezeigt wird, dass ohne
Weiteres der Grenzwert C → ∞ gebildet werden kann, ist diese Bedingung für
das hier betrachtete System stets erfüllt. Die Integrale IE und IZ vereinfachen sich
somit zu
− F (λ2 ,λ1 )
(2) F̃ (λ3 ) − F̃ (λ1 )
(1)
+ δt (1 − δt )
(4.22)
λ3 − λ1
λ3 − λ1
(1) (2) F (λ2 ,λ1 ) − F (λ3 + λ1 ,λ1 ) + F (λ2 ,λ3 ) − F (λ3 + λ1 ,λ3 )
IZ = δt δt
(4.23)
,
λ2 − λ3 − λ1
(1) (2) F (λ2 ,λ3 )
IE = δt δt
wobei
F (λ0 ,λ) = π(φ(λ0 − λ)f (λ) + b(λ0 ) [φ(λ0 − λ) − φ(−λ)])
π
φ(λ) .
F̃ =
2
(4.24)
(4.25)
Die Funktion f (λ) := 1/(1+eλ ) entspricht der Fermifunktion, da λ stets den Faktor β beinhaltet. In Analogie dazu steht b(λ) := 1/(eλ − 1) für die Bose-EinsteinVerteilungsfunktion. φ(λ) wurde bereits in dem Abschnitt der Diagramme erster
Ordnung definiert. In Anhang-D ist gezeigt, dass es sich bei IE und IZ in dem
gesamten Definitionsbereich um reellwertige glatte Funktionen handelt. Die zueinander komplex konjugierten Diagramme zweiter Ordnung entsprechen somit für
4.3 Diagrammregeln im Energieraum
jeden Parametersatz einer reellen Zahl.
57
5 Spintransport in erster Ordnung
Störungsrechnung
Mittels spektroskopischer Verfahren lässt sich die elektronische Struktur eines quantenmechanischen Systems untersuchen. Das generelle Prinzip dabei besteht in der
Anregung von Zuständen und dem Beobachten der darauf folgenden Relaxationsprozesse. Um in guter Näherung die ungestörten Eigenzustände des Systems detektieren zu können, darf sowohl der Prozess der Anregung als auch der Messprozess
der Relaxation nur eine kleine Störung des Systems bewirken. Bei einem schwach
an zwei Reservoire gekoppelten Quantenpunkt sind die grundlegenden Bedingungen einer spektroskopischen Untersuchung erfüllt. Der Anregungsprozess besteht
im Tunneln von Elektronen aus einem Reservoir in den Quantenpunkt. Der Relaxationsprozess besteht im Heraustunneln von Elektronen aus dem Quantenpunkt.
Der Strom durch den Quantenpunkt beinhaltet dabei die Information über die Zustände das Quantenpunktes. Idealerweise sollte es sich bei den Tunnelprozessen um
einzelne, nacheinander tunnelnde Elektronen handeln, um Korrelationen zwischen
den Elektronen zu verhindern und damit ein deutliches Spektrum zu ermöglichen.
Man spricht daher auch von sequentiellem Tunneln.
5.1 Eigenzustände des Quantenpunktes mit magnetischer
Störstelle
Um Aussagen über das Verhalten des Elektronentransports der zwischen den Reservoiren machen zu können, sind die Zustände, welche die Elektronen in dem Quantenpunkt einnehmen, von Relevanz. Die Eigenzustände |χi des Operators ĤQD können
durch die Quantenzahlen N, J und Jz eindeutig festgelegt werden, da es sich bei
den Operatoren N̂ ,Jˆ und Jˆz um einen vollständigen Satz mit ĤQD kommutierender
Operatoren handelt. Für das Spektralgewicht S eines jeden Diagramms müssen Matrixelemente hχ1 | a+
σ |χ2 i der Erzeuger- und Vernichter-Operatoren bestimmt werden. Die Wirkung eines Erzeugers des Zustandes φαr auf einen antisymmetrisierten
Vielteilchen-Zustand von N Teilchen in den Zuständen {φα1 ,...,φαN } ist durch
60
0d+
0d−
1s0
1t−
1t0
1t+
2d+
2d−
5 Spintransport in erster Ordnung Störungsrechnung
1
=| i
2
1
:= |0, 12 , − 12 i = |− i
2
1
1
1
:= |1,0,0i
=√
|− i |↑i − | i |↓i
2
2
2
1
:= |1,1, − 1i = |− i |↓i
2
1
1
1
|− i |↑i + | i |↓i
:= |1,1,0i
=√
2
2
2
1
:= |1,1,1i
= | i |↑i
2 1
1
1
1 1
:= |2, 2 , 2 i
| i |↑i |↓i − | i |↓i |↑i
=√
2
2 2
1
1
1
1
1
|− i |↑i |↓i − |− i |↓i |↑i
:= |2, 2 , − 2 i = √
2
2
2
:= |0, 12 , 12 i
Abbildung 5.1: Eigenzustände des Operators ĤQD in verschiedenen Darstellungen mit dem Störstellenspin I = 1/2 sind auf der rechten Seite abgebildet. Zur Linken von |N,J,Jz i ist die Kurznotation der Zustände. Zur Rechten ihre Darstellung
in Produktzuständen des Störstellenspins und der antisymmetrisierten VielteilchenElektronen-Zustände. Die rechte Grafik stellt die durch â±
σ möglichen Übergänge
zwischen den Quantenpunkt-Zuständen dar.
(−)
â+
=
αr |φα1 ...φαN i
√
nr + 1 |φαr φα1 φα1 ... ... φαr φαr ... ...i(−)
|
= (−1)
Nr
√
{z
n1
}
|
{z
nr
(5.1)
}
nr + 1 |φα1 φα1 ... ... φαr φαr ... ...i(−)
|
gegeben. Der Faktor (−1)Nr , mit Nr =
r−1
P
i=1
{z
n1
}
|
{z
nr +1
}
ni , stammt aus dem Wiederherstellen
der Normalordnung der Zustände. Für ein Niveau, welches die Elektronen besetzen
können, ist der Multiindex αr = σ, da das System nur Spinfreiheitsgrade besitzt.
Legen wir als Normalordnung fest, dass die Spinzustände mit Spin up (↑) an erster
5.1 Eigenzustände des Quantenpunktes mit magnetischer Störstelle
61
Stelle stehen, vereinfacht sich die Wirkung des Erzeugeroperators zu
−
δn↑ +n↓ ,0
â+
σ |n↑ ,n↓ i = (−1)
δn↑ ,1
√
nσ + 1 |n↑ + δ↑,σ ,n↓ + δ↓,σ i−
.
(5.2)
Die Matrixelemente eines Erzeuger-Operators sind in der Eigenbasis des Elektronenspins nun einfach zu bestimmen. Der Vernichter-Operator ist das Adjungierte
des Erzeuger-Operators und lässt sich damit in Matrixdarstellung aus diesem einfach ableiten.
Um die Matrixelemente von â±
σ zu bestimmen, stellen wir die Eigenzustände des
Quantenpunktes durch Produktzustände aus Eigenzuständen des Störstellenspins
und der antisymmetrisierten Elektronenzustände durch
|N ; J,Jz i =
X
−
hn↑ ,n↓ | hI,Iz | |N ; J,Jz i
|I,Iz i |n↑ ,n↓ i−
(5.3)
mittels der Clebsch-Gordan-Koeffizienten hn↑ ,n↓ | hI,Iz | |N ; J,Jz ,Ii dar. Damit lassen sich die Matrixelemente von â±
σ auch in der neuen Basis ermitteln. Die Dimension der Basis ist 4(2I + 1) und hängt von dem Störstellenspin ab. Das System mit
der kleinsten Basis ergibt sich somit durch eine Störstelle mit dem Spin 1/2. Um die
Spinzustände der Elektronen und der Störstelle unterscheiden zu können (es handelt sich ja schließlich auch um unterscheidbare Teilchen), werden die Zustände der
Störstelle durch Zahlen und die der Elektronen durch Pfeile ausgedrückt. Da jedes
Teilchen die Spinquantenzahl 1/2 besitzt, ist diese Information redundant und es
genügt, die Zustände durch die Spinorientierung entlang der Quantisierungsachse
zu beschreiben. In Abbildung (5.1) ist die Eigenbasis des Quantenpunkts für einen
Störstellenspin von I = 1/2 dargestellt. Auch eine intuitive Notation mit N msign(Jz )
wurde definiert. N ist dabei die Anzahl der Elektronen in dem Quantenpunkt und
m die Multiplizität des jeweiligen Zustandes. d steht für einen Dublett-, s für einen
Singulett- und t für einen Triplett-Zustand. Durch sign(Jz ) wird die Orientierung
des Gesamtspins entlang der Quantisierungsachse wiedergegeben. Die Grafik auf
der rechten Seite von Abbildung (5.1) stellt die möglichen „Übergänge“ bzw. nicht
verschwindenden Matrixelemente von â±
σ dar. Zeigt ein Pfeil nach oben und ist er
mit dem Spin σ beschriftet, so steht er für ein nicht verschwindendes Matrixelement
von â+
σ . Zeigt der Pfeil hingegen in entgegengesetzte Richtung, so steht dieser für
ein Element von âσ . Die Grafik eignet sich gut dazu, die durch die Reservoire induzierten Übergänge der Quantenpunktzustände zu visualisieren. Weiter ist deutlich
erkennbar, dass Zustände mit dem Störstellenspin −1/2 (linke Seite der Grafik)
und +1/2 (rechte Seite der Grafik) nur über die Zustände 1t0 und 1s0 gekoppelt
sind. In diesen Zuständen kann der Elektronenspin an dem Störstellenspin streuen,
62
5 Spintransport in erster Ordnung Störungsrechnung
wobei der Gesamtspin erhalten bleibt. Es handelt sich dabei also um einen Effekt,
der durch die Kopplung von Elektronen- und Störstellenspin entsteht.
5.2 Sequentielle Transportprozesse und Blockade-Regime
Der Fall schwacher Kopplung des Quantenpunktes an die Reservoire und damit
unkorrelierter Tunnelprozesse wird durch die erste Ordnung der Gleichung (3.63)
dargestellt. Das zu lösende Gleichungssystem besteht somit aus
(1)
0d = Σd,d Pd
1 =
X
(5.4)
(5.5)
Pd
d
(1)
< Iˆ > = −eeTd (Σr )d,d Pd
.
(5.6)
(1)
Wegen der Spiegelsymmetrie stehen in jeder Rate Γb←a immer zwei zueinander
komplex konjugierte Diagramme. Die diagonal verbindenden Raten sind daher proportional zum Realteil eines jeden Diagramms. Im Falle der Diagramme erster Ordnung ist der Realteil proportional zur Fermi-Funktion. Der logarithmisch divergierende Anteil des Integrals eines Diagramms erster Ordnung gehört zum Imaginärteil
und hebt sich in der Summe aller Diagramme weg, wodurch
(1)
Γb←a ∝
X
Si f (β(i,u − i,o − δD eVr ))
(5.7)
i
gilt. Die Summe geht dabei über alle Paare zueinander komplex konjugierter
Diagramme der Rate. i,o ist die Energie des Zustandes der oberen Kontur und i,u
die der unteren des i-ten Diagrammpaares. Der Ausdruck für Raten erster Ordnung
entspricht Fermis Goldener Regel. Die Energiedifferenz u − o ist die Energie, die
nötig ist bzw. frei wird, wenn der Quantenpunkt vom Zustand χo in den Zustand
χu übergeht. Diese Energie muss, wegen der Energieerhaltung, folglich von dem
tunnelnden Elektron stammen bzw. an es abgegeben werden. Die Wahrscheinlichkeit
des Übergangs ist durch das Spektralgewicht Si gegeben. Das chemische Potential
µr = eVr des jeweiligen Reservoirs legt fest, ob Elektronen mit ausreichender Energie
vorhanden sind, um den Quantenpunkt in einen anderen Zustand zu versetzen.
Analog dazu gilt, dass das chemische Potential auch festgelegt, ob Zustände für ein
aus dem Quantenpunkt stammendes Elektron schon besetzt sind. Ist der Zustand
innerhalb des Reservoirs bereits besetzt, so kann das Elektron den Quantenpunkt
5.2 Sequentielle Transportprozesse und Blockade-Regime
63
nicht verlassen. Veranschaulicht ist dies in dem Energieschema in Abbildung (5.2).
Die grünen Balken stehen für die besetzten Zustände des jeweiligen Reservoirs bis
zur Fermi-Kante. Die horizontalen Linien stellen die Transportkanäle dar, durch
welche Elektronen zwischen den Reservoiren tunneln können.
Abbildung 5.2: Energieschema für 0 = 1, eVG = −3, U = 1.9, Jc = 1.3,
Jzm = 0.353 und eV = 2.56 in Einheiten von 0 . Die grünen Balken repräsentieren die Zustände der Reservoire, welche bis zur Fermi-Energie gefüllt sind. Durch
die symmetrisch angelegte Spannung eV verschieben sich die chemischen Potentiale der Reservoire relativ zueinander. Die Kanäle zwischen den beiden chemischen
Potentialen befinden sich innerhalb des Transportfensters.
Diese tunnelnden Elektronen werden durch die Quantenpunktzustände χ ⇔ χ0
vermittelt. Alle Transportkanäle zwischen den beiden chemischen Potentialen µR
und µL werden als sich im Transportfenster befindend bezeichnet. Durch sie ist
Transport in sequentieller Näherung möglich, es handelt sich jedoch nur um eine
notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Transport durch den Kanal. Es lassen
sich drei Situationen unterscheiden, bei denen ein Kanal innerhalb des Transportfensters zum Transport führen kann oder nicht. Die Fälle sind in Abbildung (5.3)
skizziert.
Wir gehen zunächst davon aus, dass sich das Gleichungssystem (5.4) eindeutig lösen lässt und einen stationären Zustand festlegt. Tritt nun ein Kanal in das
Transportfenster, bei dem der Quantenpunktzustand χP 6=0,N mit N Elektronen eine
64
5 Spintransport in erster Ordnung Störungsrechnung
Sequentieller Transport
χN +1 ⇔ χP 6=0,N
Spin-Blockade
⇑!↓
χN +1 ⇔ χP 6=0,N
Coulomb-Blockade
χN +1 ⇔ χP 6=0,N
χN ±1 ⇔ χP =0,N
⇑!↓
χN −1 ⇔ χP 6=0,N
χN ±1 ⇔ χP =0,N
χN −1 ⇔ χP 6=0,N
Abbildung 5.3: Im sequentiellen Transport wird ein Elektron durch eine Anregung und Relaxation eines Quantenpunktzustandes zwischen den Reservoiren
vermittelt. Der Transport ist in dem Bereich der Coulomb-Blockade durch die
Coulomb-Energie unterdrückt. Blockierte Kanäle lassen sich durch verkleinern von
U in das Transportfenster schieben, wodurch die Blockade aufgehoben wird. Im Bereich der Spin-Blockade bewirkt die Spin-Spin-Wechselwirkung, dargestellt durch
⇑!↓, zwischen Elektronen und Störstelle ein Blockieren des Transports. Hierbei
lassen sich die blockierten Kanäle sowohl durch Variation von U als auch von Jc in
das Transportfenster verschieben.
von Null verschwindende Wahrscheinlichkeitsgewichtung hat, so kann ein Elektron
aus einem besetzten Zustand des Reservoirs in den Quantenpunkt tunneln. Der
Quantenpunkt befindet sich nach diesem Prozess in dem Zustand χN +1 . Der Relaxationsprozess zurück in den Ausgangszustand wird durch das Heraustunneln eines
Elektrons aus dem Quantenpunkt in einen unbesetzten Zustand eines Reservoirs
ermöglicht. Im Grunde handelt es sich bei dem Transport durch den Quantenpunkt
daher um zwei separate sequentielle Tunnelprozesse. Ist die Wahrscheinlichkeitsgewichtung des Zustandes χP =0,N mit N Elektronen gleich Null (oder annähernd
Null), so befindet sich der Quantenpunkt nicht in diesem Zustand und es kann daher
auch kein Übergang nach χN ±1 stattfinden. Diese Kanäle sind in Abbildung (5.3)
5.2 Sequentielle Transportprozesse und Blockade-Regime
65
durch horizontale, gestrichelte Linien dargestellt.
Befinden sich die nächsten Kanäle, welche einen Zustand χP 6=0,N mit nicht verschwindender Wahrscheinlichkeitsgewichtung beinhalten, wegen der
Coulomb-Energie U außerhalb des Transportfensters, so kann kein Strom fließen.
Man spricht von einer Coulomb-Blockade. Die Energie, welche benötigt wird, um
ein zusätzliches Elektron entgegen der Coulomb-Abstoßung im Quantenpunkt zu
deponieren, kann durch kein Elektron eines der Reservoire aufgebracht werden. In
Abbildung (5.3) ist daher der Kanal χN +1 ⇔ χp6=0,N außerhalb des Transportfensters und nicht für den sequentiellen Transport nutzbar. Auch der Übergang
χN −1 ⇐ χp6=0,N ist wegen der Coulomb-Energie nicht möglich, da die Zustände für
das aus dem Quantenpunkt tunnelnde Elektron in den Reservoiren bereits besetzt
sind (Pauli blocking). Die Größe des Bereiches in dem sequentielles Tunneln durch
die Coulomb-Blockade unterdrückt ist, skaliert also mit der Coulomb-Energie U .
Durch die Kopplung des Elektronenspins an den Störstellenspin ergibt sich eine
weitere Möglichkeit der Transport-Blockade. Diese Blockade lässt sich im Falle einer antiferromagnetischen Kopplung wie folgt erklären. Für diesen Fall gilt Jc > 0
und der energetisch niedrigste Zustand zu einer festen Teilchenzahl N ist der mit
minimalem Gesamtspin, was durch die kleinstmögliche Quantenzahl Jmin = |I − S|
repräsentiert wird. Bei nur einer Störstelle mit Spin 1/2 und einer geraden Anzahl
an Elektronen ist die kleinste Gesamtspin-Quantenzahl Jmin = 1/2. Bei einer ungeraden Anzahl von Elektronen mit Jmin = 0 ist der niedrigste Energiebeitrag der
Spin-Spin-Wechselwirkung von Störstelle und Elektronen geringer als im Falle gerader Elektronenzahl. Für einen Übergang zwischen den Zuständen χN +1 ⇐ χp6=0,N
muss neben der Coulomb-Energie U auch mindestens die Energie Jc /4 aufgebracht
werden. Für das hier betrachtete Modell mit nur einem Niveau, lässt sich der Effekt
gut interpretieren. Nehmen wir an der Quantenpunkt ist mit einem Elektron besetzt,
dann werden auf Grund der antiferromagnetischen Spin-Spin-Kopplung beide Spins
antiparallel zueinander ausgerichtet sein. Tunnelt nun ein weiteres Elektron in den
Quantenpunkt, so müssen sich die Spins beider Elektronen auf Grund des PauliPrinzip ebenfalls antiparallel ausrichten, wodurch die Kopplung an die Störstelle
aufgehoben wird. Das Aufheben der Kopplung kostet Energie, welche nur von dem
in den Quantenpunkt tunnelnden Elektron stammen kann. Sind in den Reservoiren
keine Elektronen vorhanden, durch welche die Kopplung an die Störstelle aufgehoben werden kann, so ist der Übergang verboten. Wie in Abbildung (5.3) gezeigt,
befindet sich der transportierende Kanal - in dem Falle des verbotenen Transports nicht in dem Transportfenster. Analog dazu lässt sich der Fall eines aus dem Quantenpunkt tunnelnden Elektrons behandeln. Befindet sich wiederum ein Elektron in
dem Quantenpunkt, so muss dieses auf Grund der Energieerhaltung beim Verlassen
des Quantenpunktes die zuvor in der Spin-Spin-Wechselwirkung vorhandene Energie
mit sich führen. Ist der Zustand eines solchen Elektrons in den Reservoiren bereits
66
5 Spintransport in erster Ordnung Störungsrechnung
vorhanden, so ist das Heraustunneln aus dem Quantenpunkt verboten. Wir wollen in
dem Fall des verbotenen Transports durch Spin-Spin-Wechselwirkung von der SpinBlockade sprechen. In [Wei94] und [Wei95] ist dieser Begriff bereits beschrieben. Es
wird dort von einer Spin-Blockade gesprochen, wenn die Wahrscheinlichkeiten für
Übergänge zwischen Zuständen unterschiedlicher Teilchenzahl und einer Spindifferenz größer 1/2 verschwinden, was zu negativ differentieller Leitfähigkeit führt.
Dieser Effekt muss von der hier betrachteten Spin-Blockade unterschieden werden.
Den Namen wollen wir jedoch beibehalten, da es sich um eine durch Spin-SpinWechselwirkung hervorgerufene Blockade handelt. Dies ist auch deutlich daran zu
erkennen, dass der Bereich der Spin-Blockade sowohl mit U als auch mit der Kopplungsstärke Jc skaliert.
5.3 Sequentieller Transport durch einen magnetisch dotierten
Quantenpunkt
In jedem Transportkanal tritt die Energiedifferenz zweier Quantenpunkt-Zustände
auf, deren Teilchenzahl sich um Eins unterscheidet. Die relative energetische Lage
der Transportkanäle zu den Fermi-Kanten der Reservoire ist daher von der GateSpannung abhängig. Der Eintritt und Austritt von Transportkanälen in das Transportfenster lässt sich an einem Ladungsdiagramm wie in Abbildung (5.4) deutlich
erkennen. Es ist die differentielle Leitfähigkeit gegen die Gate-Spannung VG und die
Spannung zwischen den Reservoiren V aufgetragen. Der Anstieg der differentiellen
Leitfähigkeit ist auf das Eintreten eines Transportkanals in das Transportfenster
zurück zu führen. Die über diesen neu eingetretenen Kanal tunnelnden Elektronen
führen zu einer Erhöhung des Stroms, was sich in einem Peak in der differentiellen
Leitfähigkeit äußert. Die Form des Peaks entspricht der Ableitung einer FermiFunktion, wie aus Gleichung (5.7) einfach zu folgern ist. Die Breite des Peaks hängt
folglich von der Temperatur der Reservoire ab. Die unterschiedlichen Stärken der Linien treten erst durch die Kopplung der Elektronen an die Störstelle auf. Bei einem
einfachen Ein-Niveau-Quantenpunkt sind die Linien gleich stark ausgeprägt [Bec06].
Die Stärke einer Linie in Abbildung (5.4) ist primär abhängig vom Spektralgewicht
des in das Transportfenster getretenen Kanals. Das Spektralgewicht steht dabei für
die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs zwischen Quantenpunktzuständen, über die
Elektronen zwischen den Reservoiren vermittelt werden. Je größer die Wahrscheinlichkeit ist, desto mehr Elektronen tunneln über den Quantenpunkt zwischen den
Reservoiren und führen zu einer messbaren Erhöhung des Stroms. Sekundär kann
der Strom auch durch das Freischalten zuvor blockierter Kanäle erhöht werden.
5.3 Sequentieller Transport
67
Abbildung 5.4: Ladungsdiagramm für sequentiellen Transport. Es ist die differentielle Leitfähigkeit gegen die Gate-Spannung und die Spannung zwischen den
Reservoiren aufgetragen. Die Veränderung der differentiellen Leitfähigkeit ist auf
das Eintreten von Transportkanälen in das Transportfenster zurück zu führen.
Die Parameter sind wie in Abbildung (5.2) durch 0 = 1, U = 1.9, Jc = 1.3 und
Jzm = 0.353 in Einheiten von 0 gewählt. Für die Reservoire wurde β0 = 60 festgelegt.
Befinden sich Kanäle innerhalb des Transportfensters, die nur mit Zuständen verschwindender Wahrscheinlichkeitsgewichtung assoziiert sind, so tragen diese nicht
zu dem Transport bei. Erst durch eintritt eines Coulomb- oder Spin-blockierten
Kanals in das Transportfenster, bei dem ein Zustand nicht verschwindende Wahrscheinlichkeitsgewichtung besitzt, wird der Quantenpunkt in angeregte Zustände
versetzt. Diese angeregten Zustände können nun über die Kanäle relaxieren, die
sich schon zuvor in dem Transportfenster befunden haben, was sich im Strom durch
den Quantenpunkt abzeichnet. Besonders gut ist dieser Prozess an den Grenzen des
Spin-Blockade-Diamanten zu erkennen, in denen in sequentieller Näherung und für
kleine Temperaturen kein Strom fließt. Diese Aussage ist äquivalent dazu, dass in
dem Quantenpunkt keine Übergänge zwischen Zuständen mit Teilchenzahl N und
N ± 1 stattfinden. Folglich ist die Teilchenzahl innerhalb der Blockade-Bereiche
in sequentieller Näherung konstant. Welcher Zustand mit der Teilchenzahl N im
Inneren eines Blockade-Bereichs besetzt ist, lässt sich aus dem Gleichungssystem
68
5 Spintransport in erster Ordnung Störungsrechnung
(5.4) bei kleinen Temperaturen nicht eindeutig bestimmen. Dies liegt daran, dass
das Gleichungssystem zur Bestimmung von Pd im Blockade-Bereich einen um min(1)
destens Zwei kleineren Rang als die Dimension von Σd,d besitzt. In Abbildung (5.5)
sind die Transportkanäle und die Teilchenzahl der Blockade-Bereiche identifiziert.
Den zentralen Bereich mit N = 1 wollen wir als Spin-Blockade-Diamant (passend
zu seiner Form) bezeichnen. Es es handelt sich um einen durch Spin-Blockade hervorgerufenen Effekt, da die Blockade des Stroms erst durch Eintreten des Kanals
2d− ⇔ 1s0 bzw. 0d− ⇔ 1s0 aufgehoben wird. Beide Kanäle lassen sich in ihrer
energetischen Lage sowohl durch U als auch Jc verschieben. Je größer Jc gewählt
wird, desto größer wird die Fläche des Spin-Blockade-Diamanten, innerhalb dessen
sequentieller Transport verboten ist.
5.3 Sequentieller Transport
Abbildung 5.5: Für das Ladungsdiagramm aus (5.4) sind die Peaks der differentiellen Leitfähigkeit den Transportkanälen zugeordnet. Die Blockade-Bereiche sind
mit der Teilchenzahl des Quantenpunktes N gekennzeichnet.
69
6 Spintransport in zweiter Ordnung
Störungsrechnung
Bei kleinen Temperaturen lässt sich mittels erster Ordnung Störungsrechnung das
Verhalten des Systems im Inneren des Spin-Blockade-Diamanten nicht bestimmen.
Da die Tunnelbarriere zwischen den Reservoiren und dem Quantenpunkt eine endliche Höhe besitzt, müssen Elektronen mit einer nicht verschwindenden Wahrscheinlichkeit von einem Reservoir in das andere tunneln dürfen. Ist die Spannung zwischen den Reservoiren ungleich Null, so muss folglich ein nicht verschwindender
Strom sichtbar sein. Wie wir im Folgenden sehen werden, ist der Strom im Inneren des Blockade-Diamanten zwar sehr viel kleiner als der des sequentiellen Tunnelns, aber dennoch vorhanden. Die Strom-Charakteristika, dargestellt durch die
differentielle Leitfähigkeit, zeigen ein deutlich vom sequentiellen Fall abweichendes
Verhalten.
6.1 Lösungsansatz für Spin-Blockade-Diamant
Zur Berechnung von Transportprozessen innerhalb des Spin-Blockade-Diamanten,
müssen mindestens Diagramme bzw. Raten zweiter Ordnung in Γ berücksichtigt
werden, da sequentieller Transport in dem Bereich blockiert ist. Durch Hinzunahme der Terme zweiter Ordnung erhält man zur Bestimmung des Stroms das Gleichungssystem
0d =
1 =
h
(1)
(2)
(1)
(1)
i
Σd,d + Σd,d − i~Σd,n L−1
n,n Σn,d Pd
X
(6.1)
Pd
d
(1)
(1)
(1)
< Iˆ > = −eeTd (Σr )d,d + (Σr(2) )d,d − i~(Σr )d,n L−1
n,n Σn,d Pd
h
i
.
Die Lösung für Pd erfüllt bei dem hier betrachteten System für kleine Spannungen nicht die Bedingung der positiv Semidefinitheit einer Dichtematrix. Dies bedeutet, dass unphysikalische negative Wahrscheinlichkeitsgewichtungen auftreten. Da
das Gleichungssystem (6.1) Pd eindeutig festlegt, muss das Gleichungssystem mo-
72
6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
difiziert werden, um physikalische Ergebnisse zu liefern. Wir wählen dabei den in
[Bec08] vorgestellten Ansatz, mit dem Lösungen für den gesamten Spin-BlockadeDiamanten bestimmt werden können. Im Allgemeinen ist die Form einer Gleichung
zur Bestimmung der Diagonalelemente der reduzierten Dichtematrix durch
0d = Wd,d Pd
(6.2)
gegeben. Durch systematische Entwicklung der Größen Wd,d und Pd erhält man
(0)
(1)
(2)
(0)
(1)
(2)
0d = (Wd,d + Wd,d + Wd,d + ...)(Pd + Pd + Pd + ...)
0d =
(0) (0)
Wd,d Pd
+
(0) (1)
(Wd,d Pd
+
(1) (0)
Wd,d Pd )
+
(2) (0)
(Wd,d Pd
+
(6.3)
(1) (1)
Wd,d Pd
+
(0) (2)
Wd,d Pd )
,
(l)
wobei die Terme nach Ordnungen von Γ sortiert wurden. Die Matrizen Wd,d lassen sich mit denen aus Gleichung (6.1) identifizieren. Eine Rate nullter Ordnung
(0)
existiert nicht, weshalb Wd,d = 0 gilt. Da ein Term beliebiger Ordnung n für sich
Null ergeben muss, gilt 0d =
n
P
l=1
(l)
Wd,d P (n−l) . Durch sukzessives Lösen der Gleichun(0)
gen, beginnend bei n = 1, können sämtliche Korrekturen zu Pd bestimmt werden.
P (0)
Die Nebenbedingung Pd = 1 muss dabei berücksichtigt werden. Die systemad
tische Lösung für Pd kann im Bereich der Blockade nur für Regionen verwendet
werden, in denen die sequentiellen Transportraten als nahezu konstant betrachtet
werden können. Im Bereich eines sequentiellen Transportkanals führt die systematische Lösung zu falschen Ergebnissen. Dies ist in [Bec06] und [Wey05] an einem
Ein-Niveau-Quantenpunkt im Regime der Coulomb-Blockade untersucht. Auch für
das hier betrachtete System führt die systematische Lösungsmethode, im Bereich
sequentieller Transportkanäle, zu falschen Ergebnissen. Allerdings können anhand
eines systematischen Ansatzes, Raten aus Gleichung (6.1) identifiziert werden, welche im Inneren des Spin-Blockade-Diamanten nicht zu Prozessen zweiter Ordnung
(0)
beitragen. Im Inneren des Diamanten kann der Vektor Pd nicht eindeutig durch
Raten erster Ordnung festgelegt werden. Es muss daher mindestens die durch
(1)
(1)
(2)
(0)
Wd,d Pd = −Wd,d Pd
(6.4)
festgelegte Korrektur zweiter Ordnung bestimmt werden. Der Blockade-Diamant
(I)
(I)
zeichnet sich dadurch aus, dass alle Raten Γ0φ0 ←1φi und Γ2φ0 ←1φi , aus Zuständen
j
j
mit einem Elektron in dem Quantenpunkt, in erster Ordnung verschwinden. 1φi ,
6.1 Lösungsansatz für Spin-Blockade-Diamant
73
0φ0j und 2φ0j stellen Eigenzustände des Quantenpunktes in Kurznotation dar. Die
(0)
Einträge von Pd mit N = 0 und N = 2 sind damit in guter Näherung Null.
(2)
(2)
Durch die Multiplikation Wd,d Pd0 tragen die Spalten der Matrix Wd,d nicht zu
(1)
(0)
der Bestimmung von Pd bei, welche mit verschwindenden Elementen von Pd
multipliziert werden. Eine Bestimmungsgleichung die Pd bis zur zweiten Ordnung
festlegt, sollte demnach keine Raten zweiter Ordnung enthalten, die für Übergänge
aus den Zuständen mit N = 0 und N = 2 stehen. Der Ansatz
h
0d =
1 =
(1)
(2)
i
Wd,d + W̃d,d P̃d
X
(6.5)
P̃d
d
mit
(2)
W̃d,d
N1 φi ,N2 ψi
(2)
:= (δφ,s + δψ,t ) Wd,d
(6.6)
N1 φi ,N2 ψi
(1)
(1)
(2)
(2)
erfüllt diese Bedingung. Identifiziert man Wd,d = Σd,d und Wd,d = Σd,d −
(1)
(1)
i~Σd,n L−1
n,n Σn,d so lässt sich Pd im gesamten Spin-Blockade-Diamanten durch Gleichungen (6.5) bestimmen. Auch Summenregel wird durch den Ansatz nicht verletzt,
und Gleichung (6.5) lässt sich weiter als Ratengleichung interpretieren. Die Bestimmungsgleichung für den Strom lässt sich in analoger Weise durch
(1)
(2)
I˜r = −eeTd (Wr )d,d + (W̃r )d,d P̃d
h
i
(6.7)
(1)
(1)
(2)
ansetzen. Hierbei kann (Wr )d,d mit (Σr )d,d und (Wr )d,d mit
(2)
(1)
(1)
(Σr )d,d − i~(Σr )d,n L−1
n,n Σn,d identifiziert werden. Es gilt
(2)
(W̃r )d,d
N1 φi ,N2 ψi
(2)
:= (δφ,s + δψ,t ) (Wr )d,d
N1 φi ,N2 ψi
.
(6.8)
Mit den Gleichungen (6.5) und (6.7) kann die Wahrscheinlichkeitsgewichtung eines Quantenpunktzustandes und der Strom im gesamten Bereich des Spin-BlockadeDiamanten bestimmt werden.
74
6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
6.2 Konvergenz der Raten zweiter Ordnung
Zur Berechnung der Integrale eines Paares zueinander komplex konjugierter Diagramme zweiter Ordnung war es notwendig diese durch eine Abschneideenergie C
zu regularisieren. Die zweipoligen Diagramme erweisen sich dabei als analytisch für
C → ∞, da das Integral IZ bereits für große Abschneideenergien unabhängig von
dieser ist. Die einpoligen Diagramme hingegen haben einen logarithmisch divergierenden Anteil für große C. Dieser divergierende Term hat in einem einpoligen
Diagramm zweiter Ordnung die Form
(1) (2)
κ(−1)c+d δt δt
S
(f (λ3 ) + f (λ1 )) ln C
λ3 − λ1
,
(6.9)
wobei κ einen diagrammunspezifischen Faktor darstellt. Im Grenzwert λ1 −λ3 → 0
stellt sich dieser Term als
(1) (2)
κ0 (−1)c+d δt δt Sf (−λ1 )f (λ1 ) ln C
(6.10)
dar. Es ergeben sich diverse Möglichkeiten, mittels derer sich in einer Rate durch
Summieren der Diagramme die divergierenden Teile aufheben und damit der Gesamtausdruck unabhängig von C wird. Um durch eine Summe von Diagrammen
konvergierende Ausdrücke zu erhalten, muss das Variablenpaar λ1 und λ3 in dem
ersten und letzten bzw. letzten und ersten Segment eines jeden Diagramms identisch sein. Es lassen sich stets mehrere Diagramme zu konvergierenden Termen
Aufsummieren. Dabei muss die Anzahl der Diagramme nicht gerade sein. Als Bei(II)
spiel ist dies in Abbildung (6.1) an fünf Diagrammen der Rate Γ0d+ ←1t+ gezeigt.
Durch Umkehrung der Zeitrichtung, entweder in Keldysh- oder in Dyson-zeit, ändert sich der Faktor δt der kurzen Reservoirlinie. Das Spektralgewicht bewirkt, dass
die divergierenden Anteile mit positivem Vorzeichen die gleiche Gewichtung wie
die mit negativem Vorzeichen haben, wodurch sich der divergierende Anteil aufhebt. Für das hier betrachtete System ist eine allgemeine Kombinationsregel von
Diagrammen zu konvergierenden Termen auf Grund des Spektralgewichts nicht offensichtlich. Obwohl keine allgemeine Regel erkennbar ist, sind durch aufsummieren
(II)
aller Diagramme alle Raten Γb←a unabhängig von C.
(III)
Um zu zeigen, dass auch Γb←a nicht von der Abschneideenergie C abhängt, be(1)
(1)
trachten wir die Ausdrücke Σd,n und Σn,d genauer. Der logarithmisch divergierende
6.2 Konvergenz der Raten zweiter Ordnung
S=1
δt = −1
S=1
S=
δt = 1
1
2
75
δt = −1
S=1
S=
1
2
δt = −1
δt = 1
Abbildung 6.1: Teil der zweipoligen Diagramme zweiter Ordnung der Rate
(II)
Γ0d+ ←1t+ . Die Summe dieser Diagramme ist unabhängig von der Abschneideenergie C. S ist dabei das Spektralgewicht und δt beinhaltet die Zeitinformation der
kurzen Reservoirlinie.
Term eines Diagramms erster Ordnung lässt sich durch
κ(−1)d Sδt ln C
(6.11)
ausdrücken, wobei auch hier wieder κ eine diagrammunabhängige Konstante darstellt. Der divergierende Term ist nicht von der Energiedifferenz λ des Diagrammsegments abhängig. Für ein Diagramm erster Ordnung, dessen Reservoirlinie die
Kontur wechselt, ist der Konvergenzpartner durch das Diagramm mit in Dysonzeit
(1)
(1)
umgekehrter Reservoirlinie gegeben. In jedem Matrixelement von Σd,n und Σn,d ist
der Konvergenzpartner stets vorhanden, da die äußeren Anschlüsse eines solchen
Diagramms durch Umkehr der Dysonzeitrichtung nicht geändert werden müssen.
Für den Fall, dass die Reservoirlinie die Kontur nicht wechselt, kann analog verfahren werden. In einem Diagramm, bei dem die Reservoirlinie die Kontur nicht
wechselt, sind sowohl die linken als auch die rechten äußeren Anschlüsse mit Zuständen mit N = 1 indiziert. Der Zustand der Konturlinie, auf dem die Vertices
sitzen, kann entweder N = 2 oder N = 0 haben, ohne dass sich die äußeren Anschlüsse ändern müssen. Da sich die äußeren Anschlüsse nicht ändern, befinden sich
(1)
(1)
stets beide Diagramme in einem Matrixelement von Σd,n oder Σn,d . Lediglich die
Reservoirlinienrichtung in Dysonzeit der Diagramme ist umgekehrt, wodurch die
Diagramme mit N = 0 und N = 2 zueinander Konvergenzpartner sind. Da sowohl
76
6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
(1)
(1)
(III)
Σd,n als auch Σn,d nicht von C abhängt, gilt dies auch für eine beliebige Rate Γb←a .
6.3 Störungsrechnung und Raten zweiter Ordnung
Die kleine Kopplung der Reservoire an den Quantenpunkt ermöglicht eine störungstheoretische Untersuchung des Systems, wobei Γ der kleine Parameter ist, der die
Entwicklungsordnung festlegt. Es konnte in [Bec06] gezeigt werden, dass als Bedingung für eine Störungsentwicklung bis zur zweiten Ordnung Γ β eine kleiner
(l)
Parameter sein muss. Wäre dies nicht der Fall, so würde der Beitrag von Σd,d höherer Ordnungen nicht vernachlässigbar sein. Das gleiche gilt auch für das System
mit einer magnetischen Störstelle. Da das Produkt Γ β klein sein muss, sind tiefe
Temperaturen nur im Falle einer kleiner werdenden Tunnelkopplung störungstheoretisch behandelbar. Dies liefert eine Restriktion der hier verwendeten Methode an
Bereiche kleiner Tunnelkopplungen und endlicher Temperaturen. Der Grenzübergang Γ β → 0 verletzt zwar nicht die Bedingung der Störungsentwicklung, liefert
für den Transport jedoch auch keine interessanten Ergebnisse, da es sich im Grenzfall um ungekoppelte Teilsysteme bei Temperatur T = 0 handelt.
Um einen Anhaltspunkt für den Zusammenbruch der Störungstheorie zu erhalten,
betrachten wir die Raten nahe der Resonanz mit einem sequentiellen Transportkanal. Im Bild der Transportkanäle bedeutet dies, dass ein Kanal gerade in das
Transportfenster eintritt und die Fermi-Kante eines Reservoirs in Resonanz mit
(I)
(II)
dem Kanal ist. In Abbildung (6.2) sind die Raten Γ0d+ ←1t0 , Γ0d+ ←1t0 , Γ0d+ ←1t0 und
(III)
Γ0d+ ←1t0 für verschiedene Temperaturen aufgetragen. Betrachten wir zunächst das
Verhalten der einzelnen Raten bevor der Zusammenbruch der Störungstheorie an deren Summe diskutiert wird. Es wurde bereits gezeigt, dass die Raten erster Ordnung
Fermis Goldener Regel entsprechen. Das Temperaturverhalten entspricht daher dem
einer Fermi-Funktion. Je größer die Temperatur der Reservoire ist, desto geringer
ist die Steigung der Rate im Bereich der Fermi-Kante (in Anlehnung an die Fermi(I)
Funktion). Für die Rate Γ0d+ ←1t0 ist dieses Verhalten im Bereich der Resonanz bei
(II)
V /20 ≈ 0.625 gut zu erkennen. Die Rate Γ0d+ ←1t0 hingegen, kann im Bereich der
Resonanz für kleiner werdende Temperaturen beliebig groß werden. Für verschwindende Temperatur ist die Rate sogar nicht mehr analytisch. Eine obere Schranke
für den Absolutbetrag der Rate ist folglich abhängig von β und kann für große β
(I)
(kleine Temperaturen) die Größenordnung der Rate Γ0d+ ←1t0 sogar überschreiten.
(I)
(II)
Der Fall Γ0d+ ←1t0 < Γ0d+ ←1t0 würde definitiv einen Zusammenbruch der Störungs(III)
(I)
(II)
(III)
theorie bewirken, falls das nicht durch Γ0d+ ←1t0 mit Γ0d+ ←1t0 > Γ0d+ ←1t0 + Γ0d+ ←1t0
(III)
behoben werden würde. Die Rate Γ0d+ ←1t0 zeigt im Bereich der Resonanz jedoch
6.4 Kohärenter Transport
77
(II)
kein so starkes Temperatur Verhalten wie Γ0d+ ←1t0 und kann das Divergieren dieser
(III)
Rate nicht kompensieren. Außerdem ist Γ0d+ ←1t0 im Bereich der Resonanz um etwa
(II)
zwei Größenordnungen kleiner als Γ0d+ ←1t0 . Für die Störungsreihe ist die notwendige
(I)
(II)
(III)
Bedingung Γ0d+ ←1t0 > Γ0d+ ←1t0 + Γ0d+ ←1t0 bei festem Γ nur für nicht verschwindende Temperaturen erfüllt.
Als hinreichende Bedingung, für die Gültigkeit der Störungsrechnung, soll die Gesamtrate Γ0d+ ←1t0 im Bereich der Resonanz stets monoton sein. Diese Bedingung
lässt sich physikalisch motivieren. Die Monotonie bedeutet für die in Abbildung
(6.2) dargestellte Rate Γ0d+ ←1t0 , dass durch Erhöhung der Spannung die Reservoire
Übergänge im Quantenpunkt von 1t0 in den Zustand 0d+ induzieren. Würde die
Rate trotz Erhöhung der Spannung sinken, so würde sich dies auch in einem kleiner
werdenden Strom manifestieren. Die Prozesse zweiter Ordnung sollen unter dem
Aspekt der Störungsentwicklung nur kleine Störungen an Prozessen erster Ordnung
bewirken und in den Resonanzbereichen nicht zu einem vollkommen anderem Verhalten führen. Die Monotonie der Gesamtrate im Bereich der Resonanz bestimmt
folglich die obere Grenze von Γ β, bis zu welcher die Störungsentwicklung noch ihre
Gültigkeit besitzt. Aus Abbildung (6.2) wurde anhand der Rate Γ0d+ ←1t0 die obere
Grenze für Γ̃ β als 0.077 bestimmt. Es sei nochmals erwähnt, dass Γ̃ := DΓ definiert
wurde. Falls man an Strukturen der Raten zweiter Ordnung interessiert ist, ist es
sinnvoll eher eine niedrige Temperatur und eine kleines Γ zu wählen. Bei zu hohen
Temperaturen verbreitern sich eventuelle Charakteristika der Raten, wodurch sich
deren Charakteristika schlecht abbilden lassen.
6.4 Kohärenter Transport durch einen magnetisch dotierten
Quantenpunkt im Bereich der Spin-Blockade
Außerhalb des Spin-Blockade-Bereichs sind die Prozesse des sequentiellen Transports dominant. Für den Blockadebereich des sequentiellen Transports ist daher
zu erwarten, dass kohärente Viel-Elektronen-Prozesse den Transport dominieren.
Der in Abbildung (6.3) dargestellte Prozess des elastischen Co-Tunnelns, beschreibt
ein Elektron, welches durch eine virtuelle Anregung des Quantenpunktes tunnelt.
Im Bild der Transportkanäle sind kohärent tunnelnde Elektronen durch sich überschneidende Linien repräsentiert. Das in den Quantenpunkt tunnelnde Elektron,
besitzt die gleiche Energie wie das ihn verlassende. Das elastische Co-Tunneln tritt
daher schon bei kleinen Spannungen V auf.
Beim inelastischen Co-Tunneln unterscheidet sich die Energie des in den Quantenpunkt hinein und des aus ihm heraus tunnelnden Elektrons. Die Energie wird
während des kohärenten Tunnelprozesses an den Quantenpunkt abgegeben, welcher
78
6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
(I)
(II)
(III)
Abbildung 6.2: Temperaturabhängigkeit der Raten Γ0d+ ←1t0 , Γ0d+ ←1t0 , Γ0d+ ←1t0
und Γ0d+ ←1t0 in dem Bereich der Resonanz des sequentiellen Transportkanals
0d+ ↔ 1t0 mit dem chemischen Potential eines Reservoirs. Die Resonanz liegt bei
eV /20 ≈ 0.6. Der Parameter Γ/20 hat für alle Abbildungen den Wert 5,5 10−4 .
Die Kurven sind bei einer Gate-Spannung von eVG −1
0 = −2.8 aufgenommen. Die
übrigen Parameter stimmen mit denen aus Abbildung (5.4) überein. Das nicht monotone Verhalten der Gesammtrate Γ0d+ ←1t0 wird als Anzeichen für die Nichtgültigkeit der Störungsentwicklung gedeutet. Als obere Grenze kann Γ̃ β ≈ 0.07 abgeschätzt werden.
dadurch in einen angeregten Zustand übergeht. Im Bild der Transportkanäle lässt
sich dies durch zwei am Transport beteiligte Kanäle visualisieren, bei denen genau
ein Quantenpunktzustand an beiden Transportkanälen beteiligt ist. In Abbildung
(6.3) ist der Zustand χN +1 an beiden Kanälen beteiligt. An dieser Darstellung kann
man sich das inelastische Tunneln wie folgt vorstellen. Ein Elektron kann aus einem
Reservoir tunneln und den Quantenpunkt in den Zustand χN +1 virtuell anregen.
Der virtuell angeregte Quantenpunkt relaxiert durch Abgabe eines Elektrons an ein
Reservoir in einen Zustand höherer Energie als dem Ausgangszustand. Auf Grund
der Energieerhaltung muss das emittierte Elektron daher eine um die Anregungsenergie des Quantenpunktes niedrigere Energie haben. Das inelastische Co-Tunneln
kann folglich erst ab einer bestimmten Schwellspannung einsetzen. Diese ist durch
6.4 Kohärenter Transport
79
den energetischen Abstand der beteiligten Transportkanäle gegeben und entspricht
der Energiedifferenz zwischen Anfangs- und Endzustand des Quantenpunktes unter inelastischem Tunneln. Neben der Energie kann das Elektron auch seinen Spin
ändern. Ob das Elektron während des inelastischen Co-Tunnelns seinen Spin erhält
oder ändert, hängt von den beteiligten Kanälen ab. Wie bereits in Abbildung (5.1)
zu sehen ist, sind Übergänge zwischen Quantenpunktzuständen immer mit einer
eindeutigen Spinorientierung des hinein oder heraus tunnelnden Elektrons verbunden. Da die Transportkanäle für Übergänge des Quantenpunktes stehen, sind auch
diese mit einem festen Spin assoziiert. Der Kanal 2d− ↔ 1s0 ist beispielsweise nur
für Reservoir-Elektronen des Spins ↓ zugänglich. 2d+ ↔ 1s0 hingegen nur für Elektronen des Spins ↑. Man kann daher auch von ↓ und ↑ Kanälen sprechen. Sind die
„Spins“ der am inelastischen Transport beteiligten Kanäle gleich, so behält das von
einem Reservoir in das andere tunnelnde Elektron seinen Spin bei. Man kann daher
von spinerhaltendem inelastischem Co-Tunneln sprechen. Analog zu der Anregung
des Quantenpunktes durch tunnelnde Elektronen, können diese auch ihren Spin an
den Quantenpunkt abgeben. Dies ist der Fall, wenn die „Spins"der am inelastischen
Transport beteiligten Kanäle sich unterscheiden. Es lässt sich in dem Fall von spinstreuendem inelastischem Co-Tunneln sprechen. Das Streuen des Elektronenspins
am Quantenpunkt ist keine Folge der Kopplung an den Störstellenspin. Auch bei einem Ein-Niveau-Quantenpunkt, wie er in [Bec06] untersucht wurde, zeigt sich spinstreuendes inelastisches Co-Tunneln. Das spinerhaltende inelastische Co-Tunneln
ist bei einem Ein-Niveau-Quantenpunkt ohne Störstelle nicht beobachtbar.
Durch die Kopplung an die Störstelle ist ein weiterer Transportprozess vorstellbar.
Es handelt sich hierbei um eine physikalische Interpretation des Terms
(1)
(1)
−i~Σd,n L−1
n,n Σn,d , der in die Gleichungen (6.5) und (6.7) eingeht. Ausgehend von einem Quantenpunkt in einem diagonalen Zustand (d), wird dieser durch Herein- oder
Heraustunneln eines Elektrons in einen kohärenten Zustand n versetzt. In dem hier
betrachteten System besteht der einzige mögliche kohärente Zustand (folgend aus
den Diagrammen) aus einer Überlagerung der Zustände 1s0 und 1t0 . Durch einen
weiteren Tunnelprozess geht der Quantenpunkt aus dem kohärenten Zustand wieder
in einen Eigenzustand über. Beide Tunnelprozesse in Kombination, können dabei
entweder spinerhaltend oder spinstreuend sein. Dies lässt sich bereits an den Raten Γ (III)b←a sehen. Diese sind lediglich gleich Null, wenn einer der beiden Zustände
(a,b) dem Zustand 1s0 oder 1t0 entspricht. Es gibt somit immer nicht verschwindende Raten Γ (III)b←a , die Übergänge zwischen Eigenzuständen des Quantenpunktes
darstellen, welche auch Eigenzustände des Gesamtspins der Elektronen sind. Diese
Raten stellen allerdings nur eine kleine Störung im Vergleich zu den Raten Γ (II)b←a
dar. In dem berechneten Strom durch den Quantenpunkt zeichnet sich daher kein
deutliches Signal ab, welches auf die Raten Γ (III)b←a zurückführbar ist.
Mit den Gleichungssystemen aus (6.5) und (6.7) lässt sich nun der Strom und die
80
6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
Elastisches Co-Tunneln
χN +1 ⇔ χP 6=0,N
Inelastisches Co-Tunneln
χN +1 ⇔ χP 6=0,N
↑
↑,↓
χN +1 ⇔ χN
χN ±1 ⇔ χP =0,N
χN ±1 ⇔ χP =0,N
Abbildung 6.3: Darstellung des elastischen und inelastischen Co-Tunnelns anhand von Energieschemata des sequentiellen Transportes. Während das elastische Co-Tunneln stets spinerhaltend ist, ermöglicht sich bei dem inelastischen CoTunneln auch umklappen des Spins bei dem Transport durch den Quantenpunkt.
Wahrscheinlichkeitsgewichtung der diagonalen Quantenpunktzustände Pd innerhalb
des Spin-Blockade-Diamanten bestimmen. In Abbildung (6.4) ist der Bereich der
Spin-Blockade ausgeschnitten, da das Stromsignal - im Vergleich zum sequentiellem
Transport - sehr klein ist.
Deutlich sind die senkrechten Linien zu erkennen, welche die Schwellenergien
für inelastisches Tunneln darstellen. In dem Bereich eV /(20 ) < 0.473 kann Strom
zwischen den Reservoiren nur über elastisches Co-Tunneln fließen. Der Quantenpunkt befindet sich dabei fast ausschließlich im Zustand 1s0 , welcher, auf Grund
der antiferromagnetischen Kopplung Jc > 0, der Grundzustand des einfach besetzten Quantenpunktes ist. Ab der Schwelle eV /(20 ) ≈ 0.473 setzt spinstreuendes
inelastisches Co-Tunneln ein. Daran ist beispielsweise der ↓ Kanal 2d− ↔ 1s0 und
der ↑ Kanal 2d− ↔ 1t− beteiligt. Ein aus dem Reservoir mit dem Spin ↓ tunnelndes
Elektron wird daher nach Verlassen des Quantenpunktes den Spin ↑ besitzen und
den Quantenpunkt in einen angeregten Zustand versetzt haben. Bei der Schwelle
eV /(20 ) ≈ 0.65 hingegen setzt spinerhaltendes inelastisches Co-Tunneln ein. Daran sind beispielsweise die ↑ Kanäle 1s0 ↔ 0d− und 1t0 ↔ 0d− aber auch die ↓
Kanäle 2d− ↔ 1s0 und 2d− ↔ 1t0 beteiligt. Das letzte deutlich zu erkennende Einsetzen eines inelastischen Co-Tunnel Prozesses bei eV /(20 ) ≈ 0.827 bezieht sich
wieder auf spinstreuendes inelastisches Co-Tunneln. Das inelastische Co-Tunneln
spielt für die hier gewählten Parameter innerhalb des Spin-Blockade-Diamanten die
dominante Rolle. Elastisches Co-Tunneln ist nur unterhalb der kleinsten Schwellenergie des inelastischen Co-Tunnelns sichtbar. Tunneln über kohärente Zustände
(III)
des Quantenpunktes zeichnet sich nicht ab. Das liegt daran, dass die Raten Γb←a
(II)
für die hier gewählten Parameter viel kleiner sind als Γb←a , welche die dominan-
6.4 Kohärenter Transport
81
Abbildung 6.4: In dem oben dargestellten Ladungsdiagramm ist ein Quadrant
des Spin-Blockade-Diamanten ausgeschnitten. Die Parameter in Einheiten von 0
betragen 0 = 1, U = 1.9, Jc = 1.3 und Jzm = 0.353. Das Einsetzen von inelastischem Tunneln, zeichnet sich durch Stufen in der differentiellen Leitfähigkeit ab.
Dabei setzt für größer werdende Spannungen V zuerst spinstreuendes, dann spinerhaltendes und zuletzt wieder spinstreuendes inelastisches Co-Tunneln ein. Innerhalb
des Spin-Blockade-Diamanten zeichnet sich deutlich ein sequentielles TransportSignal ab. In einen Querschnitt bei der Gate-Spannung eVG /20 = −2.95, sind die
Stufen des inelastischen Co-Tunnelns und das Signal des sequentiellen Transport
gut erkennbar.
ten Effekte liefern. Innerhalb des Spin-Blockade-Diamanten ist ein für sequentiellen
Transport charakteristisches Signal zu erkennen. Dieser Bereich ist vergrößert in
Abbildung (6.5) dargestellt. Das Auftreten von sequentiellem Transport innerhalb
der Blockade lässt sich durch inelastisches Co-Tunneln erklären. Ab der Schwelle
eV /(20 ) ≈ 0.473 wird über spinstreuendes inelastisches Co-Tunneln der Quantenpunkt in einen angeregten Zustand versetzt. Die tunnelnden Elektronen übertragen
dabei mit jedem Tunnelprozess ihren Spin an den Quantenpunkt. Da die Elektronen
ihren Spin von ↓ nach ↑ wechseln, muss, auf Grund der Gesamtspinerhaltung, der
Quantenpunkt einen Spin mit dem Betrag Eins aufnehmen. Durch den Transport
findet daher ein Spinflip in dem Quantenpunkt statt, wodurch der Zustand 1s0 an
Wahrscheinlichkeitsgewichtung verliert und auf den Zustand 1t− übertragen wird.
Die Wahrscheinlichkeitsgewichtung beider Zustände ist in Abbildung (6.5) gezeigt.
Es ist deutlich zu erkennen, wie die Gewichtung des Zustandes 1s0 ab der Schwelle des inelastischen Co-Tunnels sinkt und auf die Gewichtung von 1t− übertragen
wird. Sobald der sequentielle Kanal 2d− ↔ 1t− bzw. 1t− ↔ 0d− in das Transportfenster tritt, wird der Zustand 1t− über sequentielles Tunneln rasch entvölkert.
Der gleiche Prozess ist auch bei einem Quantenpunkt ohne magnetische Störstelle
beobachtbar. Durch die Stärke der Kopplung an die Störstelle kann das Besetzen
82
6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
Abbildung 6.5: In dieser Abbildung ist der Bereich des Ladungsdiagramms in
dem das sequentielle Tunneln auftritt vergrößert Dargestellt. Unten links ist in Abhängigkeit der Gate-Spannung VG und der Spannung zwischen den Reservoiren V
die Wahrscheinlichkeitsgewichtung des Zustandes 1s− aufgetragen. Rechts unten ist
die Wahrscheinlichkeitsgewichtung des Zustandes 1t− aufgetragen. Durch inelastisches Co-Tunneln wird der Zustand 1t− bevölkert und durch sequentielles Tunneln
wieder entvölkert.
des Zustandes 1t− jedoch verhindert werden. Das Signal des sequentiellen Transport zeichnet sich darauf hin nicht mehr innerhalb des Spin-Blockade-Diamanten
ab. Es zeichnen sich lediglich noch die Stufen des inelastischen Tunnelns in der
differentiellen Leitfähigkeit ab.
In Abbildung (6.6) ist die differentielle Leitfähigkeit für verschiedene Kopplungsstärken im Bereich des sequentiellen Tunnelns innerhalb der Spin-Blockade aufgetragen. Mit stärker werdender Kopplung nimmt das Signal des sequentiellen Transports ab.
Auch an den in Abbildung (6.7) gezeigten Wahrscheinlichkeitsgewichtungen ist
gut zu erkennen, dass mit steigender Kopplungsstärke Jc die Gewichtung des angeregten Zustandes 1t− kleiner wird. Erklären wir dieses Verhalten zunächst an dem
Modell der Transportkanäle. Die Schwelle des spinstreuenden inelastischen Tunnelprozesses, der die Umverteilung der Wahrscheinlichkeitsgewichtung von 1s0 zu 1t−
bewirkt, ist abhängig von der Energiedifferenz der beteiligten Kanäle. Diese Energie-
6.4 Kohärenter Transport
83
Abbildung 6.6: Die differentielle Leitfähigkeit ist bei einer Gate-Spannung von
eVG /0 = −2.9 für verschiedene Kopplungsstärken Jc dargestellt. Es wurde der
Parametersatz aus Abbildung 6.4 verwendet. Das Signal des sequentiellen Transports nimmt mit größer werdender Kopplungsstärke ab, wobei das Maximum hin zu
kleineren Spannungen V geht. Das einsetzen des inelastischen Co-Tunnelns geht zu
größeren Spannungen für steigende Kopplungsstärke.
Abbildung 6.7: Wahrscheinlichkeitsgewichtung des durch tunnelnde Elektronen
angeregten Nichtgleichgewicht Zustandes 1t− in Abhängigkeit der Kopplungsstärke.
Bevölkert wird der Zustand durch inelastisches Co-Tunneln. Die steile Flanke, lässt
sich auf das Entvölkern des Zustandes durch sequentielles Tunneln zurückführen.
84
6 Spintransport in zweiter Ordnung Störungsrechnung
differenz beträgt Jc − Jzm . Die sequentiellen Transportkanäle, welche den Quantenpunkt wieder in den Zustand 1s0 überführen, liegen bei 0 + eVG + Uc − Jc /4 + Jzm /2
(für 2d− ↔ 1t− ) und −0 − eVG − Jc /4 + Jzm /2. Die Schwelle für Anreicherung von
1t− geht also mit Jc , während das Entvölkern wie −Jc /4 geht. Liegt der sequentielle Kanal für die Entvölkerung von 1t− bereits in dem Transportfenster bevor
das Anreichern durch inelastisches Co-Tunneln eintritt, so verschwindet die Wahrscheinlichkeitsgewichtung von 1t− . In Abbildung (6.6) ist gut zu erkennen, dass das
Einsetzen des inelastischen Transports durch Erhöhung von Jc sich hin zu größeren
Spannungen verschiebt. Das Signal des sequentiellen Transports hingegen verschiebt
sich hin zu kleineren Spannungen.
In einem Quantenpunkt ohne Störstelle müsste sich durch Erhöhung des Magnetfeldes die Anreicherung des angeregten Zustandes verhindern lassen. Der Grenzübergang Jc → 0 bzw. Jzm → 0 kann mit dem hier verwendeten Modell nicht gemacht
werden. Die Methode eignet sich nur für Systeme bei denen die Energieentartung
der Eigenzustände des Quantenpunktes deutlich aufgehoben ist. Wären die Quantenpunktzustände entartet, so wäre L−1
n,n nicht definiert.
Physikalisch lässt sich die Veränderung der Gewichtung von 1t− durch zwei miteinander konkurrierende Vorgänge erklären. In dem mit einem Elektron besetzten
Quantenpunkt ist, auf Grund der antiferromagnetischen Kopplung, 1s0 der Grundzustand. Die Störstelle und das Elektron versuchen daher, sich zur Energieminimierung, stets antiparallel auszurichten. Durch die Kopplung an die Reservoire wird
mit jedem Elektron, welches durch spinstreuendes inelastisches Co-Tunneln zwischen den Reservoiren vermittelt wird, ein Spin an den Quantenpunkt übertragen.
Durch den übertragenen Spin wird der Spin den Quantepunktes partiell ausgerichtet, was einer parallelen Ausrichtung von Störstellen- und Elektronenspin entspricht.
Es handelt sich also um konkurrierende Prozesse, wobei der eine von internen Eigenschaften des Quantenpunktes und der andere von dem durch den Quantenpunkt
transportierten Strom herrührt. Ob der Quantenpunkt in seinem Grundzustand
1s0 bleibt oder durch den Strom aus den Reservoiren in den Zustand 1t− getrieben
wird, hängt davon ab wie sensibel der Quantenpunkt auf äußere Einflüsse reagiert.
Je größer Jc ist, desto unsensibler ist der Quantenpunkt auf äußere Einflüsse im
Inneren des Spin-Blockade-Diamanten.
7 Resümee und Hauptaussagen der Arbeit
Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde der stationäre Transport durch einen, mit
schwachem Tunnelkontakt an metallische Reservoire gekoppelten, magnetisch dotierten Ein-Niveau-Quantenpunkt untersucht. Der Fokus dieser Arbeit lag auf Nichtgleichgewichtseffekten, die auf der Wechselwirkung zwischen Elektronen- und Störstellenspin beruhen.
In dem Kapitel 1 wurde das System genauer beschrieben. Auf dem Quantenpunkt
wurde neben der Coulomb-Wechselwirkung eine Spin-Spin-Wechselwirkung der Elektronen mit einer magnetischen Störstelle angenommen. Die Eigenzustände des Quantenpunktes sind für das gewählte System keine Eigenzustände des Elektronenspins.
Der Tunnelprozess, gegeben durch die Hybridisierung ĤT , wurde als Spinerhaltend
angenommen.
Der erste Teil von Kapitel 3 gibt eine Einführung in den diagrammatischen EchtzeitKeldysh-Formalismus aus [Sch94] zur Bestimmung von Erwartungswerten im Nichtgleichgewicht. Es wurde gezeigt, dass sich die reduzierte Dichtematrix im Nichtgleichgewicht aus der Dichtematrix im Gleichgewicht ableiten lässt. Hierzu wurde
der Erwartungswert des Projektionsoperators auf Eigenzustände des Quantenpunktes betrachtet, was zu einem diagrammatisch darstellbaren Propagator des reduzierten Systems führte. Die diagrammatische Darstellung wurde in Anlehnung an
die Arbeiten [Bec06] und [Tew04] gewählt, in denen der Transport durch einen
Ein-Niveau-Quantenpunkt ohne magnetische Störstelle betrachtet wurde. Die Einführung in den Formalismus wurde so allgemein formuliert, dass sowohl Systeme
mit als auch ohne Störstelle beschrieben werden können. Der Unterschied zwischen den Bewegungsgleichungen für die reduzierte Dichtematrix eines Ein-NiveauQuantenpunktes mit und ohne Störstelle wurde gezeigt und diskutiert. Ohne Störstelle sind die Eigenzustände des Quantenpunktes auch Eigenzustände des Elektronenspins. Der von Neumman-Term der Bewegungsgleichung verschwindet, da die
tunnelnden Elektronen stets in Spineigenzuständen des Quantenpunkes sind. Durch
die Wechselwirkung mit der Störstelle, ist der Spin der tunnelnden Elektronen keine Erhaltungsgröße in dem Quantenpunkt, wodurch der von Neuman-Term nicht
trivial ist. Der stationäre Limes der exakten Bewegungsgleichung für die reduzierte Dichtematrix wurde gebildet, unter Annahme einer adiabatisch eingeschalteten
Tunnelkopplung und einer unendlich langen Propagation des Systems. Im letzten
Teil von Kapitel 3 wurde ein aus [Lei08] stammendes Entwicklungsverfahren für
86
7 Resümee und Hauptaussagen der Arbeit
kleine Tunnelkopplungen verwendet. Die Master-Gleichung der reduzierten Dichtematrix und der stationäre Strom wurden bis zur zweiten Ordnung in der Tunnelkopplung entwickelt. In der Master-Gleichung zeichnete sich die Wechselwirkung
zwischen Elektronen und Störstelle erst durch einen Term zweiter Ordnung in der
Tunnelkopplung ab. Dieser Term lässt das Tunneln von Elektronen über kohärente
Zustände des Quantenpunktes zu. Mit Hilfe der Spiegelsymmetrie der Diagramme
und der Summenregel wurde gezeigt, dass sich die Elemente der Master-Gleichung
als Raten für Diagonalelemente der reduzierten Dichtematrix interpretieren lassen.
In Kapitel 4 wurden die Diagrammregeln der irreduziblen Diagramme im Energieraum abgeleitet und in Form einer Konstruktionsanleitung aufgelistet. Die Integrale
der Diagramme wurden durch eine Abschneideenergie C regularisiert. Die mathe(I)
matischen Ausdrücke von Diagrammen erster Ordnung, welche sowohl in Γb←a als
(III)
auch in Γb←a auftreten, wurden im Limes großer Abschneideenergien bestimmt. Bei
den Diagrammen zweiter Ordnung wurde, wie in [Bec06], zwischen einpoligen und
zweipoligen Diagrammen unterschieden. Die Integrale beider Klassen von Diagrammen wurden in Anhang D für große Abschneideenergien C berechnet. Insbesondere
wurde gezeigt, dass diese Ausdrücke für den gesamten Parameterbereich durch glatte Funktionen dargestellt werden.
In Kapitel 5 beschränkten sich die Überlegungen auf ein möglichst einfaches System
mit Störstellenspin I = 1/2. Für dieses System wurden explizit die acht Zustände eines Ein-Niveau-Quantenpunktes mit Störstelle aufgelistet. Mittels Clebsch-GordanKoeffizienten entwickelten wir die Eigenzustände des Quantenpunktes in der Basis
des Elektronenspins. Anhand eines Graphen wurden die durch tunnelnde Elektronen ermöglichten Übergänge zwischen Quantenpunktzuständen dargestellt. Für den
Transport erster Ordnung in der Tunnelkopplung, wurde die Äquivalenz zu Fermis
Goldener Regel gezeigt. Anhand eines Energieschemas wurden die möglichen Transportkanäle des sequentiellen Transports aufgezeigt und die Fälle der Coulomb- und
einer neuen Form der Spin-Blockade diskutiert. Die Spin-Blockade lässt sich als
Folge der Wechselwirkung von Elektronen und Störstelle interpretieren und wurde
in dem fünften Kapitel ausführlich erklärt. Anhand des berechneten Ladungsdiagramms in erster Ordnung Störungsrechnung, wurde der Spin-Blockade-Diamant
abgebildet. Die unterschiedlichen Werte der differentiellen Leitfähigkeit sind primär
auf die Wahrscheinlichkeitsgewichtung der Transportkanäle durch das Spektralgewicht zurück zu führen. Auch dieser Effekt beruht auf der Wechselwirkung der Elektronen mit der Störstelle und tritt bei einem einfachen Ein-Niveau-Quantenpunkt
nicht auf.
Das sechste Kapitel betrifft Transportprozesse zweiter Ordnung in der Tunnelkopplung. Zu Beginn wurde eine nicht systematische Entwicklung zum Lösen der MasterGleichung aus [Bec08] vorgestellt. Für das in dieser Arbeit betrachtete System konn-
87
(II)
(III)
te gezeigt werden, dass die Raten Γb←a und Γb←a unabhängig von der Abschneideenergie C sind. Den Gültigkeitsbereich der Störungsrechnung zweiter Ordnung
schätzten wir anhand der Raten bei Resonanz mit einem sequentiellen Transportkanal ab. Die Raten aus irreduziblen Diagrammen zweiter Ordnung zeigten eine
(II)
starke Abhängigkeit von dem Parameter Γ β. Die Raten Γb←a dominieren gegen(III)
über den Raten Γb←a . Die obere Grenze für die Gültigkeit der Störungsreihe wurde
mit Γ β ≈ 0.077 bestimmt. Im letzten Teil des sechsten Kapitels wurden die Effekte des Co-Tunnels genauer untersucht. Das elastische und inelastische Co-Tunneln
wurde anhand von Energieschemata erläutert. Durch die Kopplung an die Störstelle tritt im inneren des Spin-Blockade-Diamanten sowohl spinerhaltendes als auch
spinstreuendes inelastisches Co-Tunneln auf. Auch dieser Effekt ist gegenüber dem
System ohne Störstelle neu. Anhand berechneter Ladungsdiagramme konnten die
Bereiche des elastischen und inelastischen Co-Tunnelns identifiziert werden. Mittels
der Schwellenergien ließen sich die aufgetretenen inelastischen Prozesse nach spinerhaltenden und spinstreuenden trennen. Das Einsetzten von sequentiellem Tunneln
im Inneren des Spin-Blockade-Diamanten, ließ sich auf die Anreicherung angeregter
Nichtgleichgewicht-Zustände durch spinstreuendes inelastisches Co-Tunneln zurück
führen. Ohne Störstelle lässt sich die Anreicherung des angeregten Zustandes durch
Erhöhung des Magnetfeldes verringern. In dem letzten Teil konnte gezeigt werden,
dass sich die Anreicherung auch durch eine Erhöhung der Kopplungsstärke Jc unterbinden lässt.
Für zukünftige Untersuchungen währe es interessant durch spinpolarisierte Reservoire noch mehr Einfluss auf spinabhängige Transportprozesse nehmen zu können.
Aus dieser Arbeit wird bereits ersichtlich, dass derartige Effekte erst durch kohärent tunnelnde Elektronen zum Tragen kommen. Zu erwarten wäre, dass der durch
spinpolarisierten Strom angereicherte Quantenpunktzustand von der Polaristationsrichtung abhängt und somit durch den Strom manipulierbar wird.
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Anhang-A
Wirkungsweise des Zeitordnungsoperators
Um exemplarisch die Wirkungsweise des Zeitordnungsoperators zu zeigen, betrachten wir den zweiten Term von Gleichung (3.11) bzw. (3.12) und leiten daraus den
zugehörigen Term in Gleichung (3.8) ab. Der Zeitordnungsoperator kann, falls er
auf nur zwei Operatoren wirkt, wie
T̂ [ĤT,I (t1 )ĤT,I (t2 )] = Θ(t1 − t2 )ĤT,I (t1 )ĤT,I (t2 ) + Θ(t2 − t1 )ĤT,I (t2 )ĤT,I (t1 ) (.1)
dargestellt werden. Hierbei steht Θ(x) für die Thetafunktion, welche gleich Null
ist für x < 0 und Eins für x > 0. Der Zeitordnungsoperator wirkt nur auf die
Operatoren innerhalb des Integrals und ordnet sie nach ihrer Zeit. Dies lässt sich
wie folgt schreiben:
Z t
1 Zt
dt2 T̂ [ĤT,I (t1 )ĤT,I (t2 )]
(.2)
dt1
2! t‘
t‘
Z t1
Z t2
Z t
Z t
1
1
=
dt1
dt2 ĤT,I (t1 )ĤT,I (t2 ) +
dt2
dt1 ĤT,I (t2 )ĤT,I (t1 ) .
2! t‘
2! t‘
t‘
t‘
Durch umbenennen der Integrationsvariablen des zweiten Terms t1 → t2 , t2 → t1
erhält man
=
Z t
t‘
dt1
Z t1
t‘
dt2 ĤT,I (t1 )ĤT,I (t2 )
.
Dieses Verfahren ist auf beliebige Ordnung der Entwicklungsreihe von Gleichung
(3.11) anwendbar. Zur Veranschaulichung genügt es, den Term zweiter Ordnung zu
betrachten.
Anhang-B
Symmetrieoperationen des Liouville-Operators
Der Liouville-Operator für die reduzierte Dichtematrix ist definiert durch den Kommutator
L̂p̂ := [Ĥ,p̂] .
In der Basis aus Eigenzuständen von Ĥ lässt sich das Element (i,j) der Gleichung
schreiben als
L̂p̂
i,j
= (i − j )pi,j
.
Stellt man den Liouville-Operator als Tensor vierter Stufe dar, so gilt folglich
←χ1
(L̂)χχ34 ←χ
=
2

0,
(χ
1
wenn (χ4 ,χ3 ) 6= (χ1 ,χ2 ),
− χ2 ), wenn (χ4 ,χ3 ) = (χ1 ,χ2 ).
Für den Operator gilt daher die Eigenschaft
←χ1
2
(L̂)χχ34 ←χ
= −(L̂)χχ34 ←χ
←χ1
2
.
Reelle Raten zweiter Ordnung
(1)
(1)
Für eine reelle Zahl x ∈ R gilt x = x∗ . Damit kann für jedes Element von −i~Σd,n L(−1)
n,n Σn,d
0
gezeigt werden, dass es reell ist. Wir definieren den Multiindex nk := (χk ,χk ) und
nk := (χk ,χ0k ), wobei der erste Index für einen auf der oberen Kontur befindenden
Zustand und der zweite für einen auf der unteren Kontur steht. Für das Element
(i,j) gilt
96
Literaturverzeichnis
(1) ∗
(1)
−i~Σd,n L(−1)
n,n Σn,d
= i~
X
= i~
X
= i~
X
= i~
X
i,j
∗
−1
∗
Σdi ,nk Lnk ,nl Σnl ,dj
k,l
∗
Σd∗i ,nk L−1
nk ,nk Σnk ,dj
k
Σdi ,n0k L−1
nk ,nk Σn0k ,dj
k
0
Σdi ,n0k (−L−1
n0 ,n0 )Σnk ,dj
k
k
k
.
Durch umbenennen des Summationsindex ist gezeigt, dass
(1)
(1) ∗
−i~Σd,n L(−1)
n,n Σn,d
und damit reell ist.
i,j
(1)
(1)
= −i~Σd,n L(−1)
n,n Σn,d
i,j
Anhang-C
Integrale für Raten erster Ordnung
Aus den Diagrammen des sequentiellen Tunnelns erhalten wir den allgemeinen Ausdruck
Z∞
−i
g()
1
d
(i~) (−1) Γ Dσ S
d
~
δD + K + i0+
,
(.3)
−∞
der für jedes Diagramm unabhängig von der Keldyshzeitrichtung und Dysonzeitrichtung der Reservoirlinie gilt. Hierbei steht für die Energie der Reservoirlinie
und K für die Summe der Energien der oberen und unteren Keldyshkontur. Dσ
steht für die Zustandsdichte des Reservoirs und S für das Spektralgewicht. Die Allgemeinheit des Integralausdruckes wird durch die Definition der Konstanten δD und
der Funktion g() ermöglicht.

−1,
δD := 
1,
wenn die Reservoirlinie in positive Dysonzeit zeigt
wenn die Reservoirlinie in negative Dysonzeit zeigt

f (),
g() := 
wenn die Reservoirlinie in negative Keldyshzeit zeigt
(1 − f ()), wenn die Reservoirlinie in positive Keldyshzeit zeigt
,
wobei f () die Fermi-Funktion darstellt. Durch Verwendung der Identität
Z∞
−∞
dj (1 − f (j ))F (1 ,2 ) =
Z∞
−∞
dj f (j )F ((−1)δj,1 1 ,(−1)δj,2 2 ) ,
(.4)
98
Literaturverzeichnis
lässt sich das Integral als
Fseq
Z∞
d
−∞
f ()
δD (δK − eVr ) + K + i0+
(.5)
schreiben, wobei die Faktoren zu Fseq := −i
(i~)1 (−1)d Γ DS zusammengefasst wur~
den. Die Information der Reservoirlinienrichtung in Keldyshzeit kann somit unter
dem Integral durch die Konstante δK getragen werden.
δK :=

−1,
1,
wenn die Reservoirlinie in positive Keldyshzeit zeigt
wenn die Reservoirlinie in negative Keldyshzeit zeigt
(.6)
Mit der Definition δt := δD δK fügen wir eine Konstante ein, die beide Zeitinformationen enthält, im Folgenden jedoch nur der übersichtlichen Schreibweise dient.
Um die Fermi-Funktion temperaturunabhängig zu machen, substituiert man → β .
Hierbei ist zu beachten, dass im Folgenden f () für die substituierte Fermi-Funktion
steht. Des weiteren sind auch die Integralgrenzen von der Substitution betroffen,
was berücksichtigt werden muss, falls endliche Integralgrenzen betrachtet werden.
Nach den genannten mathematischen Umformungen stellt sich das Integral als
∞
Z∞
f ()
f ()
1 Z
= Fseq δt
d
d 1
(.7)
Fseq δt
+
β
+ δt (−λ + i0+ )
+ δt ((−δD eVr + K ) + i0 )
β
−∞
−∞
dar. In der Konstanten λ := −β(−δD eVr + K ) sind nun die für ein spezielles Diagramm charakteristischen Energien wie Temperatur, Spannung und der Differenz
aus Zustandsenergien des Quantenpunktes der oberen und unteren Keldyshkontur
zusammengefasst.
Integrale für Raten zweiter Ordnung
In dem folgenden Teil betrachten wir die Ausdrücke für die diagonalen Raten zweiter
Ordnung und beginnen mit dem allgemeinen Ausdruck für die Raten mit einfacher
Polstelle.
Literaturverzeichnis
99
( −i
)2 (i~)3 (−1)c+d Γ 2 Dσ1 Dσ2 S
~
R∞ R∞
−∞ −∞
d1 d2
g(1 )g(2 )
(δD,1 ¯1 +K,1 +i0+ )(δD,1 ¯1 +δD,2 ¯2 +K,2 +i0+ )(δD,1 ¯1 +K,3 +i0+ )
Die Konstanten sind dabei wie in dem vorherigen Abschnitt definiert. Durch
Verwendung der Identität
Z∞
dj (1 − f (j ))F (1 ,2 ) =
−∞
Z∞
dj f (j )F ((−1)δj,1 1 ,(−1)δj,2 2 )
(.8)
−∞
lässt sich der Integrand vereinfachen zu
F
R∞ R∞
d1 d2
−∞ −∞
f (1 )f (2 )
,
(δD,1 (δk,1 1 −eVr,1 )+K,1 +i0+ )(δD,1 (δk,1 1 −eVr,1 )+δD,2 (δk,2 2 −eVr,2 )+K,2 +i0+ )(δD,1 (δk,1 1 −eVr,1 )+K,3 +i0+ )
)2 (i~)3 (−1)c+d Γ 2 Dσ1 Dσ2 S ist. Durch eine Substitution der Intewobei F := ( −i
~
grationsvariablen mit → β wird das Argument der Fermi-Funktion einheitenlos.
Mit der Definition δt := δD δk fügen wir eine Konstante ein, die beide Zeitinformationen enthält.
F β12
R∞ R∞
d1 d2
−∞ −∞
f (1 )f (2 )
(δD,1 (δk,1 β1 1 −eVr,1 )+K,1 +i0+ )(δD,1 (δk,1 β1 1 −eVr,1 )+δD,2 (δk,2 β1 2 −eVr,2 )+K,2 +i0+ )(δD,1 (δk,1 β1 1 −eVr,1 )+K,3 +i0+ )
Diesen Ausdruck formen wir um zu:
F β12
R∞ R∞
d1 d2
−∞ −∞
f (1 )f (2 )
(δt,1 β1 1 +K,1 −δD,1 eVr,1 +i0+ )(δt,1 β1 1 +δt,2 β1 2 −δD,2 eVr,2 +K,2 −δD,1 eVr,1 −δD,2 eVr,2 +i0+ )(δt,1 β1 1 +K,3 −δD,1 eVr,1 +i0+ )
Mit der Identität
folgt:
R∞ R∞
−∞ −∞
d1 d2 f (1 )f (2 )g(δt,1 1 ,δt,2 2 ) =
R∞ R∞
−∞ −∞
d1 d2 f (δt,1 1 )f (δt,2 2 )g(1 ,2 )
100
Literaturverzeichnis
R∞ R∞
Fβ
d1 d2
−∞ −∞
f (δt,1 1 )f (δt,2 2 )
(1 +β(K,1 −δD,1 eVr,1 +i0+ ))(1 +2 +β(K,2 −δD,1 eVr,1 −δD,2 eVr,2 +i0+ ))(1 +β(K,3 −δD,1 eVr,1 +i0+ ))
Vereinfachen wir diesen Ausdruck weiter, erhalten wir
Fβ
Z∞ Z∞
−∞ −∞
d1 d2
(1 − λ1 +
f (δt,1 1 )f (δt,2 2 )
+ 2 − λ2 + i0+ )(1 − λ3 + i0+ )
i0+ )(1
mit
λ1 := −(β(K,1 − δD,1 eVr,1 ))
λ2 := −(β(K,2 − δD,1 eVr,1 − δD,2 eVr,2 ))
λ3 := −(β(K,3 − δD,1 eVr,1 ))
Nun betrachten wir die zweipoligen Raten die sich wie
)2 (i~)3 (−1)c+d Dσ1 Dσ2 S
( −i
~
R∞ R∞
−∞ −∞
d1 d2
g(1 )g(2 )
(δD,1 ¯1 +K,1 +i0+ )(δD,1 ¯1 +δD,2 ¯2 +K,2 +i0+ )(δD,2 ¯2 +K,3 +i0+ )
schreiben lassen. Wie zuvor wird der Integrand vereinfacht zu
F
R∞ R∞
d1 d2
−∞ −∞
f (1 )f (2 )
(δD,1 (δk,1 1 −eVr,1 )+K,1 +i0+ )(δD,1 (δk,1 1 −eVr,1 )+δD,2 (δk,2 2 −eVr,2 )+K,2 +i0+ )(δD,2 (δk,2 2 −eVr,2 )+K,3 +i0+ )
wobei F := ( −i
)2 (i~)3 (−1)c+d Dσ1 Dσ2 S. Durch eine Substitution der Integrati~
onsvariablen mit → β , wird das Argument der Fermi-Funktion einheitenlos. Mit
der Definition δt := δD δk fügen wir eine Konstante ein, die beide Zeitinformationen
enthält.
,
Literaturverzeichnis
101
F β12
R∞ R∞
d1 d2
−∞ −∞
f (1 )f (2 )
(δD,1 (δk,1 β1 1 −eVr,1 )+K,1 +i0+ )(δD,1 (δk,1 β1 1 −eVr,1 )+δD,2 (δk,2 β1 2 −eVr,2 )+K,2 +i0+ )(δD,2 (δk,2 β1 2 −eVr,2 )+K,3 +i0+ )
Diesen Ausdruck formen wir um zu:
F β12
R∞ R∞
d1 d2
−∞ −∞
f (1 )f (2 )
(δt,1 β1 1 +K,1 −δD,1 eVr,1 +i0+ )(δt,1 β1 1 +δt,2 β1 2 −δD,2 eVr,2 +K,2 −δD,1 eVr,1 −δD,2 eVr,2 +i0+ )(δt,2 β1 2 +K,3 −δD,2 eVr,2 +i0+ )
Mit der Identität
folgt:
R∞ R∞
−∞ −∞
d1 d2 f (1 )f (2 )g(δt,1 1 ,δt,2 2 ) =
Fβ
R∞ R∞
−∞ −∞
d1 d2 f (δt,1 1 )f (δt,2 2 )g(1 ,2 )
R∞ R∞
d1 d2
−∞ −∞
f (δt,1 1 )f (δt,2 2 )
(1 +β(K,1 −δD,1 eVr,1 +i0+ ))(1 +2 +β(K,2 −δD,1 eVr,1 −δD,2 eVr,2 +i0+ ))(2 +β(K,3 −δD,2 eVr,2 +i0+ ))
Vereinfachen wir diesen Ausdruck weiter, erhalten wir
Fβ
Z∞ Z∞
−∞ −∞
d1 d2
(1 − λ1 +
f (δt,1 1 )f (δt,2 2 )
+ 2 − λ2 + i0+ )(2 − λ3 + i0+ )
i0+ )(1
mit
λ1 := −(β(K,1 − δD,1 eVr,1 ))
λ2 := −(β(K,2 − δD,1 eVr,1 − δD,2 eVr,2 ))
λ3 := −(β(K,3 − δD,2 eVr,2 ))
Anhang-D
Bestimmung der Integrale IE und IZ
In diesem Abschnitt führen wir die Energieintegration von
IE :=
Z∞ Z∞
−∞ −∞
(1)
(2)
1
f (δt 1 )f (δt 2 )
Im
λ3 − λ1
1 + 2 − λ2 + i0+
1
1
−
+
1 − λ3 + i0
1 − λ1 + i0+
IZ :=
Z∞ Z∞
−∞ −∞
(1)
(2)
f (δt 1 )f (δt 2 )
Im
λ2 − λ3 − λ1
"
1
1
−
+
1 + 2 − λ2 + i0
1 + 2 − λ3 − λ1 + i0+
1
1
+
+
1 − λ1 + i0
2 − λ3 + i0+
#
explizit aus. Hierzu betrachten wir zunächst die Ausdrücke
!
1Z Z
f (x)
0
F̃ (λ) := Im
dxdx
2
(x + x0 − λ0 + i0+ )(x − λ + i0+ )
!
Z Z
0
f
(x
)f
(x)
F (λ0 ,λ) := Im
dxdx0
.
(x + x0 − λ0 + i0+ )(x − λ + i0+ )
Bei beiden Integralen ist der Integrand von der Form a(bR + ibI )(cR + icI ), wobei
a,bR ,bI ,cR ,cI ∈ R. Da nur der Imaginärteil des Integrals betrachtet wird, lässt sich
die Identität Im(c1 c2 ) = Re(Im(c1 )c2 + Im(c2 )c1) für zwei komplexe Zahlen c1 und
c2 zum lösen des Integrals nutzen. Die Dirac-Identität
1
x − x0 ± i0+
=P
1
∓ iπδ(x − x0 ) ,
x − x0
wobei P dem Hauptteil entspricht, ist für Integrale definiert und kann an dieser
.
104
Literaturverzeichnis
Stelle verwendet werden, um den Imaginärteil der zwei komplexen Brüche im Integranden zu bestimmen. Mit den gerade beschriebenen Identitäten lässt sich der
Ausdruck F̃ (λ) umformen zu
!
Z
Z
1
f (x)
1
0
dx 0
dx
− Re
−π Re
2
x − λ + i0+
x + λ − λ + i0+
.
Gilt für die Grenzen der Integrale Cβ λ,λ0 so verschwindet der zweite Term.
Anschaulich lässt sich dies erklären, indem man analog zu der Integration von Diagrammen erster Ordnung in Γ , einen Integrationsweg wählt, inerhalb dessen keine
Singularitäten liegen. Der Integrand ist dann innerhalb dieses Bereiches analytisch,
wodurch das Integral verschwindet. Das Integral
−
Z
dx
f (x)
x − λ + i0+
wurde
und dessen Realteil wird als die Funktion φ(λ) :=
bereits explizit
berechnet
Cβ
1
λi
−Re ψ 2 + 2π + ln 2π
definiert. Für
F̃ (λ) =
π
φ(λ)
2
ist somit ein analytischer Ausdruck gefunden. Zur Berechnung von F (λ0 ,λ) benötigt man noch zusätzlich die Identität f (x0 )f (x) = (f (−x0 ) − f (x))b(x + x0 ). Die
Funktion b(x) steht für die modifizierte Bose-Funktion mit
b(x) :=
ex
1
−1
.
Formen wir zunächst den Ausdruck F (λ0 ,λ) um indem wir die Dirac-Identität
verwenden und erhalten
F (λ0 ,λ)
Z Z
0
f (x0 )f (x)
0 f (x )f (x)
= −πRe
dxdx
δ(x
−
λ)
+
dxdx
δ(x + x0 − λ0 )
(x + x0 − λ0 + i0+ )
(x − λ + i0+ )
!
Z
Z
f (x0 )f (λ)
f (−x + λ)f (x)
0
= −πRe
dx
+ dx
.
(λ + x0 − λ0 + i0+ )
(x − λ + i0+ )
Z Z
!
0
Literaturverzeichnis
105
Für den zweiten Term nutzen wir nun die Identität für das Produkt zweier FermiFunktionen und erhalten
−πRe
Z
Z
f (x0 )f (λ)
f (−x) − f (λ0 − x)
dx
+
b(λ)
dx
(λ + x0 − λ0 + i0+ )
x − λ + i0+
0
!
.
Auch diese Integrale sind wieder aus den Integralen der Diagramme erster Ordnung in Γ bekannt und es kann explizit die analytische Form von
F (λ0 ,λ) = π (φ(λ0 − λ)f (λ) + b(λ0 ) [φ(λ0 − λ) − φ(−λ)])
angegeben werden. Schließlich wollen wir noch die Funktionen F (λ0 ,λ) und F̃ (λ)
mit den Integralen IE und IZ in Beziehung setzten. Hierzu ist zunächst wichtig,
dass sowohl Integrale der Form
Z Z
dx1 dx2
(x1 + x2 −
λ0
1
+ i0+ )(x1 − λ + i0+ )
λ0
f (x2 )
+ i0+ )(x1 − λ + i0+ )
als auch der Form
Z Z
dx1 dx2
(x1 + x2 −
verschwinden. Das verschwinden lässt sich bei beiden Integralen analog erklären.
Beide Integranden sind für von der Ordnung O( x12 ). Im unendlichen bzw. für sehr
1
große Abschneideenergien Cβ lässt sich der Integrationsweg in der Imaginären Halbebene schließen in welcher der Integrand analytisch ist. Da es sich dann um einen
geschlossenen Integrationsweg einer in dem Bereich analytischen Funktion handelt,
verschwindet das Integral. Setzen wir nun die Identität
(1)
(2)
f (δt 1 )f (δt 2 ) =
1 (2)
1 (1)
(2)
(1)
(1) (2)
δt δt f (1 )f (2 ) + δt (1 − δt )f (1 ) + δt (1 − δt )f (2 ) + δδ(1) ,−1 δδ(2) ,−1
t
t
2
2
für Fermi-Funktionen in den Ausdruck für IE ein, so erhält man nur folgende
nicht verschwindende Ausdrücke
106
Literaturverzeichnis
IE =
1
(1) (2)
(1)
(2)
δt δt (F (λ2 ,λ3 ) − F (λ2 ,λ1 )) + δt (1 − δt )(F̃ (λ3 ) − F̃ (λ1 ))
λ3 − λ1
.
Für IZ verfährt man analog und erhält
IZ =
(1) (2) F (λ2 ,λ1 )
δt δt
− F (λ3 + λ1 ,λ1 ) + F (λ2 ,λ3 ) − F (λ3 + λ1 ,λ3 )
λ2 − λ3 − λ1
1 (1)
1 (2)
1
(2)
(1)
δt (1 − δt )(F̃ (λ1 ) − F̃ (λ1 )) + δt (1 − δt )(F̃ (λ3 ) − F̃ (λ3 ))
+
λ2 − λ3 − λ1 2
2
!
(1) (2) F (λ2 ,λ1 ) − F (λ3 + λ1 ,λ1 ) + F (λ2 ,λ3 ) − F (λ3 + λ1 ,λ3 )
.
= δt δt
λ2 − λ3 − λ1
!
Analytizität von IE und IZ
In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass die Ausdrücke IE und IZ für alle Werte
von λ1 ,λ2 und λ3 analytisch sind. Hierzu betrachten wir zunächst IE als Funktion
der Größen (λ1 ,λ2 ,λ3 ). Für den Bereich λ3 − λ1 6= 0 und λ2 6= 0 ist IE (λ1 ,λ2 ,λ3 )
eine analytische Funktion und es gilt
für
IE =
λ3 − λ1 6= 0 und
λ2 6= 0
1
(1) (2)
(1)
(2)
δt δt (F (λ2 ,λ3 ) − F (λ2 ,λ1 )) + δt (1 − δt )(F̃ (λ3 ) − F̃ (λ1 ))
λ3 − λ1
Von dem Fall λ2 → 0 ist zunächst nur die Funktion F (λ0 ,λ) betroffen. Wir betrachten diese separat und erhalten
Literaturverzeichnis
107
lim F (λ0 ,λ)
λ0 →0
=
lim π (φ(λ0 − λ)f (λ) + b(λ0 ) [φ(λ0 − λ) − φ(−λ)])
λ0 →0
[φ(λ0 − λ) − φ(−λ)]
= π φ(−λ)f (λ) + lim
λ0 →0
eλ0 − 1
!
∂
[φ(λ0 − λ) − φ(−λ)]
∂λ0
= π φ(−λ)f (λ) + lim
∂ λ0
λ0 →0
e −1
∂λ0
!
φ0 (λ0 − λ)
= π φ(−λ)f (λ) + lim
λ0 →0
eλ0
= π (φ(−λ)f (λ) + φ0 (−λ)) .
!
Es gilt somit
für
IE =
λ3 − λ1 6= 0 und
λ2 = 0
1
(1) (2)
δ δ π((φ(−λ3 )f (λ3 ) + φ0 (−λ3 )) − (φ(−λ1 )f (λ1 ) − φ0 (−λ1 )))
λ3 − λ1 t t
(1)
+δt (1
−
(2)
δt )(F̃ (λ3 )
!
− F̃ (λ1 ))
.
Für den Fall λ3 − λ1 = 0 betrachtet man den Grenzübergang λ3 = λ1 + δ mit
δ → 0. In IE wird nun der Differenzenquotient deutlich
lim IE
δ→0
1 (1) (2)
(1)
(2)
δt δt (F (λ2 ,λ1 + δ) − F (λ2 ,λ1 )) + δt (1 − δt )(F̃ (λ1 + δ) − F̃ (λ1 ))
δ→0 δ
(1) (2)
(1)
(2)
= δt δt F (0,1) (λ2 ,λ1 ) + δt (1 − δt )F̃ (1) (λ1 )
.
= lim
Da für die Ableitung einer Fermi-Funktion f 0 (x) = −f (x)f (−x) gilt, kann man
das obige Ergebnis schreiben als
108
Literaturverzeichnis
für
λ3 − λ1 = 0 und
(1) (2)
IE = π δt δt
λ2 6= 0
b(λ2 )(φ0 (−λ1 ) − φ0 (λ2 − λ1 ))
1 (1)
(2)
−f (λ1 )(f (−λ1 )φ(λ2 − λ1 ) + φ (λ2 − λ1 )) + δt (1 − δt )φ0 (λ1 )
2
!
!
0
Für den Fall λ3 − λ1 = 0 und λ2 = 0 nehmen wir das Ergebnis der Grenzwertberechnung für λ3 − λ1 6= 0 und λ2 = 0 und machen wie im vorherigen Beispiel den
Grenzübergang λ3 = λ1 + δ mit δ → 0. Dies führt wieder zu Differenzenquotienten
die im Grenzwert der Definition der Ableitung entsprechen und man kann schreiben
1 (1) (2)
δt δt π((φ(−λ1 − δ)f (λ1 + δ) + φ0 (−λ1 − δ))
δ→0 δ
lim
− (φ(−λ1 )f (λ1 ) − φ (−λ1 ))) +
0
(1)
δt (1
−
(2)
δt )(F̃ (λ1
!
+ δ) − F̃ (λ1 ))
(1) (2)
= π δt δt f (λ1 )(−f (−λ1 )φ(λ1 ) + φ0 (λ1 ) + φ00 (λ1 ))
1 (1)
(2)
+ δt (1 − δt )φ0 (λ1 )
2
!
.
Hierbei wurde wiederum f 0 (x) = −f (x)f (−x) genutzt. Es gilt also
für
λ3 − λ1 = 0 und
λ2 = 0
(1) (2)
IE = π δt δt f (λ1 )(−f (−λ1 )φ(λ1 ) + φ0 (λ1 ) + φ00 (λ1 ))
1 (1)
(2)
+ δt (1 − δt )φ0 (λ1 )
2
!
.
Auch für IZ müssen die kritischen Fälle gesondert betrachtet werden. Für den
Bereich mit λ2 − λ3 − λ1 6= 0 und λ2 6= 0 müssen können wir die bereits bekannte
Form von IZ verwenden und es gilt
.
Literaturverzeichnis
109
für
λ2 − λ3 − λ1 6= 0 und
λ2 6= 0
!
(1) (2) F (λ2 ,λ1 ) − F (λ3 + λ1 ,λ1 ) + F (λ2 ,λ3 ) − F (λ3 + λ1 ,λ3 )
δt δt
λ2 − λ3 − λ1
IZ =
Da uns bereits das Verhalten von F (x1 ,x2 ) für x1 → 0 bekannt ist, betrachten
wir zunächst den Bereich λ2 = 0 mit λ2 − λ3 − λ1 6= 0 bzw. λ3 + λ1 6= 0. In diesem
Fall lässt sich IZ schreiben als
(1) (2) F (0,λ1 )
δt δt
IZ = −
− F (λ3 + λ1 ,λ1 ) + F (0,λ3 ) − F (λ3 + λ1 ,λ3 )
λ3 + λ1
!
Da alle Terme bereits bekannt sind erhält man durch einsetzten
für
IZ
λ2 − λ3 − λ1 6= 0 und
λ2 = 0
1
(1) (2)
= −δt δt
f (λ1 )(φ(λ1 ) − φ(λ3 )) + f (λ3 )(φ(λ3 ) − φ(λ1 ))
λ1 + λ3
!
+φ (λ1 ) + φ (λ3 )
0
0
.
Die Bedingung λ2 − λ3 − λ1 = 0, unter Berücksichtigung von λ2 6= 0, kann
auch hier wiederum durch den Grenzwert δ → 0 mit λ2 = λ3 + λ1 + δ dargestellt
werden.Substituieren wir zudem noch λ3 + λ1 = λd so ist in IZ eine Summe aus
Differenzenquotienten zu erkennen.
lim IZ
δ→0
=
(1) (2)
δt δt
(1) (2)
= δt δt
F (λd + δ,λ1 ) − F (λd ,λ1 ) + F (λd + δ,λ3 ) − F (λd ,λ3 )
lim
δ→0
δ
F (1,0) (λd ,λ1 ) + F (1,0) (λd ,λ3 )
!
.
Da das Ergebnis dieser Ableitung bereits bekannt ist erhalten wir auch hier wieder
durch einsetzen und rücksubstituieren der Variablen λd
.
110
Literaturverzeichnis
für
IZ =
(1) (2)
δt δt
λ2 − λ3 − λ1 = 0 und
λ2 6= 0
!
f (λ3 )φ (λ1 ) + f (λ1 )φ (λ3 ) + b(λ1 + λ3 )(φ (λ1 ) + φ (λ3 ))
0
0
0
.
0
Für den übrigen Fall λ2 − λ3 − λ1 = 0 und λ2 = 0 gehen wir von dem Ergebnis
aus der Betrachtung von λ2 − λ3 − λ1 6= 0 und λ2 = 0 und bilden den Grenzwert
δ → 0 wobei λ3 = −λ1 + δ. Durch einsetzen in IZ erhält man Terme mit f (δ + x),
was im Grenzfall δ → 0 gegen f (x) konvergiert. Berücksichtigt man nun noch, dass
φ0 (−x) = −φ0 (x), so sind in IZ die folgenden Differnzenqotienten zu erkennen und
es gilt
lim IZ
δ→0
=
(1) (2)
−δt δt
(f (−λ1 ) − f (λ1 ))(φ(λ1 − δ) − φ(λ1 )) + φ0 (−λ1 + δ) − φ0 (−λ1 )
lim
δ→0
δ
Man kann daher schreiben
für
IZ =
(1) (2)
δt δt
λ2 − λ3 − λ1 = 0 und
λ2 = 0
!
(f (λ1 ) − f (−λ1 ))φ (λ1 ) + φ (−λ1 )
0
00
.
!
Selbstständigkeitserklärung und Zustimmung zur
Veröffentlichung
Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und ohne
unerlaubte Hilfe angefertigt habe. Alle verwendeten Quellen sind im Literaturverzeichnis vollständig aufgeführt.
Mit der Veröffentlichung meiner Diplomarbeit bin ich einverstanden.
Hamburg, 16. Februar 2010
Christoph Hübner
Danksagung
An erster Stelle möchte ich Frau Prof. Dr. Daniela Pfannkuche danken, dass ich unter ihrer Betreuung meine Diplomarbeit erstellen durfte. Die Diskussionen mit ihr
über diverse Probleme haben mir stets einen neuen Blickwinkel auf das bearbeitete
System gegeben. Sie hat mich stets in meinen Vorhaben unterstützt.
Herrn Prof. Dr. Lichtenstein möchte ich für die Übernahme der Zweitbegutachtung danken. Auch möchte ich ihm dafür danken, mich auf Fragestellungen hingewiesen zu haben, die bei mir das Interesse an weitergehenden Untersuchung an dem
System geweckt haben.
Generell allen Gruppenmitgliedern möchte ich für die tolle Atmosphäre danken.
Bei Fragen konnte ich mich an jeden wenden, woraus meistens sehr interessante
Diskussionen entstanden sind. Ganz besonders möchte ich dabei Daniel Becker und
Benjamin Baxevanis danken. Daniel stand mir stets bei allen Fragen helfend beiseite, die ich zu dem verwendeten Formalismus hatte. Auch die über den Tisch
geführten Diskussionen mit meinem Büronachbarn Benjamin haben zu der Diplomarbeit maßgeblich beigetragen.
Meiner Familie bin ich sehr dankbar für die Unterstützung während meines Studiums.
Auch meinen Kommilitonen Theo Gerhardt, Michael Salz und Malte Weinberg
möchte ich für die gemeinsame Zeit während des Studiums danken.
Meinem Mitbewohner Axel Frauen möchte ich danken, der mich auch zu später
Stunde auf seiner Couch geduldet hat und mir damit einen Ort zum abschalten
geboten hat.
Zum Schluss möchte ich all meinen sonstigen Freunden danken, die immer viel
Verständnis für mein Studium gezeigt haben.
Vielen Dank.

Zugehörige Unterlagen

Zusatzmaterial 3 4.2 Elektronenstruktur der Atome Das

Pauli-Schema der Atome (Orbitale) (S 15/16)

Spintransport durch magnetisch dotierte Quantenpunkte

Zugehörige Unterlagen

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