Funktionentheorie und gewöhnliche Differentialgleichungen

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Dr. N. Koksch
SS 2010
Blatt 1
Funktionentheorie und gewöhnliche Differentialgleichungen
z1
, z1 · z¯2 , z2 · z¯1 für folgende komplexe Zahlen:
z2
√
b) z1 = 1 + i 3, z2 = 1 − i;
1. Berechnen Sie z1 +z2 , z1 −z2 , z1 ·z2 ,
a) z1 = 1 + i, z2 = 1 − i;
c) z1 = i, z2 = −2 − 4i;
d) z1 = 5 + 2i, z2 = 2 − 5i.
2. Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil, Betrag und Argument folgender komplexer
Zahlen:
√
√
1
5
, (3i − 3)4 , 4 exp( πi), 64(sin2 ϕ + i 3 + cos2 ϕ)−6 (ϕ ∈ R),
1+i
6
q
3
q
√
√
2 + 3 + i 2 − 3 , (1 + i)3047 , in (n ∈ Z).
3.
a) Bestimmen Sie die kartesische Darstellung der folgenden Zahlen z = rei ϕ :
3
1
4
25
π
; r = 4, ϕ = π; r = , ϕ = π; r = 8, ϕ = π.
6
4
2
3
4
b) Wandeln Sie folgende komplexe Zahlen in die Form z = x + y i um:
r = 3, ϕ =
exp(3π i),
exp(−3 + 3π i),
22+3 i ,
104 i .
4. Bestimmen Sie die komplexe Zahl, die sich durch Spiegelung von z ∈ C, z 6= 0,
a)
b)
c)
d)
e)
f)
am Ursprung,
an der reellen Achse,
an der imaginären Achse,
an der Geraden z0 (y) = x0 + i y, x0 , y ∈ R,
an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten,
an der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten
ergibt.
5. Skizzieren Sie die folgenden Mengen komplexer Zahlen:
∈ C| |z − 1 + i| = 1},
∈ C| Re(z̄ − i) = 2},
∈ C| 23 < |i − 3z − 1| ≤ 4},
∈ C| 12 ≤ Re( z1 ) ≤ 1, −2 ≤ Im(z 2 ) ≤ 2}.
1 1
e) {z ∈ C| + = 1}.
z z̄
6. Ermitteln Sie alle komplexen Lösungen z = x + iy der folgenden Gleichungen:
a)
b)
c)
d)
{z
{z
{z
{z
a) z 2 = −1,
e) z 3 = 8i,
b) z 2 = ±i,
c) z 4 = −1,
f ) z 2 + (i − 1)z − i = 0,
d) z 8 = −1,
g) |z| = z · z̄.