TU Kaiserslautern SS 2009 FB Mathematik Prof. Dr. Jörn Saß 27
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TU Kaiserslautern FB Mathematik Prof. Dr. Jörn Saß SS 2009 27. Juli 2009 Klausur zur Vorlesung Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler“ ” Aufgabe 1: (a) Für eine Meinungsumfrage werden aus der Bevölkerung (80 Millionen Personen, davon genau 50% Frauen) zufällige 100 Personen ausgewählt. (i) [4 Punkte] Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Frauen unter den ausgewählten Personen genau? Wie müssen die Parameter dieser Verteilung gewählt werden? (ii) [5 Punkte] Bestimmen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mehr als 60 Frauen sind. (b) Bei der Erhebung von Zeitspannen zwischen aufeinander folgenden Schadensereignissen ergeben sich Stichprobenmittelwert 1, 98 und Stichprobenvarianz 3, 96. (i) [3 Punkte] Spricht dies für eine Exponentialverteilung der Zeitspannen? (ii) [4 Punkte] Wie groß müsste der Stichprobenmedian etwa sein, wenn die Zeitspannen wirklich exponentialverteilt sind? (c) Eine faire Münze werde viermal geworfen ( fair“ heißt, dass Zahl und Kopf jeweils ” genau mit Wahrscheinlichkeit 0,5 auftreten). A sei das Ereignis, dass die Münze in mindestens zwei aufeinander folgenden Würfen Kopf“ zeigt. ” (i) [5 Punkte] Beschreiben Sie das Ereignis A in einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. (ii) [3 Punkte] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis A. Aufgabe 2: Bei einer Fluggesellschaft weiß man aus Erfahrung, dass mit einer Wahrscheinlichkeit p eine Personen, die sich einen Platz auf einer bestimmten Route reserviert hat, zum Abflug erscheint. Damit nicht zu viele Plätze ungenutzt bleiben, werden für ein Flugzeug mit 220 Sitzen 250 Reservierungen vorgenommen. Dabei werde angenommen, dass die Personen unabhängig voneinander erscheinen. (a) [6 Punkte] Aus Erfahrung sei bekannt, dass p = 0, 82 gilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten alle zum Abflug erscheinenden Personen mit Reservierung auch einen Platz? (b) [7 Punkte] In einer neuen Untersuchung zeigt sich, dass von 10 000 Passagieren mit Reservierung 8 420 zum Abflug erschienen sind. Bestimmen Sie ein approximatives 99%-Konfidenzintervall für den Anteil p der Personen, die erscheinen. (c) [5 Punkte] Angenommen, es sei nur bekannt, dass p im Intervall [0, 80, 0, 90] liegt. Wie wahrscheinlich ist es, dass alle erscheinenden Personen mit Reservierung einen Platz bekommen, wenn p den ungünstigsten Wert aus diesem Intervall annimmt? Hinweis: Berechnen Sie die gesuchten Binomialwahrscheinlichkeiten in Aufgabe 2 approximativ mit Hilfe einer geeigneten Normalverteilung. 1 Aufgabe 3: Eine Wirtschaftszeitung behauptet, dass die Gewinne deutscher Unternehmen 2008 nicht höher als im Jahr 2004 seien. Für 2004 wurde aus einem großen Datensatz ermittelt, dass die Gewinne normalverteilt mit Erwartungswert µ0 = 2, 25 Millionen e und Standardabweichung σ0 = 0, 42 Millionen e waren. Eine Stichprobe von 20 Unternehmen ergibt für 2008 ein Stichprobenmittel von 2,40 Millionen e bei einer Stichprobenstandardabweichung von 0,48 Millionen e. Die Daten für 2008 können als normalverteilt mit unbekannten Parametern µ, σ 2 angenommen werden. (a) [8 Punkte] Testen Sie zum Niveau α = 5%, ob die Varianz im Jahr 2008 von der in 2004 abweicht. (b) [7 Punkte] Kann die Behauptung der Wirtschaftszeitung aufgrund dieser Stichprobe zum Niveau 1% widerlegt werden? (c) [7 Punkte] Wie groß müsste die Stichprobe bei gleichem Stichprobenmittelwert und gleicher Stichprobenstandardabweichung mindestens sein, um die Behauptung der Wirtschaftszeitung zum Niveau 1% widerlegen zu können? Aufgabe 4: Die jährlichen prozentualen Renditen X1 , . . . , XN von einem Aktienfonds und Y1 , . . . , YN von einem Immobilienfonds werden über N = 16 Jahre beobachtet. Dabei ergeben sich die Stichprobenstandardabweichungen sN,x = 25, 81 und sN,y = 15, 63 sowie die Stichprobenkovarianz ĉN = 123, 85. Die Paare (X1 , Y1 ), . . . , (XN , YN ) können als unabhängig und identisch gemeinsam normalverteilt angenommen werden. (a) [8 Punkte] Testen Sie zum Niveau α = 5%, ob die jährlichen prozentualen Renditen des Aktienfonds und des Immobilienfonds korreliert sind. (b) [8 Punkte] Ein risikobewusster Investor kauft den Immobilienfonds nur dann, wenn er mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% sicher sein kann, dass die Varianz der Renditen des Immobilienfonds kleiner als die des Aktienfonds ist. Überprüfen Sie dies mit einem geeigneten Test. Wie wird sich der Investor entscheiden? Aufgabe 5: (a) [12 Punkte] In Kaiserslautern wird im Sommerhalbjahr an 180 Tagen die Anzahl der Gewitter pro Tag gezählt. Es werde angenommen, dass die Anzahlen der Gewitter an verschiedenen Tagen unabhängig voneinander seien. Die Zählung ergibt folgende Werte: k (Anzahl der Gewitter pro Tag) 0 1 2 3 4 5 Anzahl der Tage mit k Gewittern 86 56 29 6 1 2 Testen Sie zum Niveau 1%, ob eine Poisson-Verteilung für die Anzahl der Gewitter pro Tag angenommen werden kann. (b) Die Anzahl der Gewitter Y1 und Y2 an zwei aufeinander folgenden Tagen sei jeweils Poisson-verteilt mit Parameter 1, 0. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von Y1 + Y2 , (i) [2 Punkte] falls Y1 und Y2 unabhängig sind, (ii) [2 Punkte] falls Y1 = Y2 gilt, (ii) [4 Punkte] falls Y1 und Y2 korreliert sind mit Kovarianz Cov(Y1 , Y2 ) = 0, 5. 2
