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Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 1
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für Mechanik 3 abgedruckt, aus dem jede Woche
Aufgaben für die Große Übung, die Tutorien und das eigenständige Arbeiten ausgewählt werden.
Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung
veröffentlicht. Leider schleichen sich manchmal in die veröffentlichten Lösungen Fehler ein. Wir
bemühen uns, diese möglichst zügig zu beseitigen. Jeder Student ist aber in erster Linie selbst
verantwortlich. Darum selbständig rechnen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterlösungen)
rechnen möchte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenbüchern verwiesen.
Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.
1
Prinzipe der Mechanik
1.1
Prinzip der virtuellen Verrückungen
1. Die abgebildete Konstruktion besteht aus drei starren Balken (AB, BC und CD) und einer Stütze, die in der Mitte
des Balkens AB angebracht ist.
'(!"#$%&' ( E
Zur Dimensionierung der Stütze soll die Kraft in der Stütze
bestimmt werden.
PSfrag replacements
Führen Sie die Berechnungen auf zwei verschiedenen Wegen
durch:
(a) Schneiden Sie frei und berechnen Sie die gesuchte
Kraft mittels Kräfte- und Momentengleichgewichten.
1
2l
A
l
B
l
D
C
(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verückungen zur
Bestimmung der gesuchten Kraft.
PSfrag replacements
Geg.: F , l
2. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten
Stellung auf die Kolbenfläche die Gaskraft FG . Wie
groß ist das erforderliche Moment M A , wenn die Reibungskräfte vernachlässigt werden können und statisches
Gleichgewicht vorausgesetzt wird?
F
MA
α
FG
A
l
Geg.: FG , l, α
3. Bestimmen Sie mit der Methode der virtuellen Verrückungen für fol- q0
genden Kragbalken die Lagerreaktionen.
PSfrag replacements
Geg.: q0 , l
l
PSfrag replacements
4. Bestimmen Sie für das skizzierte System mit Hilfe der Methode der virtuellen Arbeit / Leistung /
Verrückungen
(a) die Lagerkraft im Punkt B
(b) alle Schnittlasten.
Geg.: F , H, a, b
>:9+=>8+7 ? 6<56;< :9 43487 @?@
:9+= ?+5; :9 3 ?
A
b
)-+) -..
1*+-)/+1*-/2,0
a
N+M N+M KL IJNM
FE+A+FE G+CD AB GH
F
B
H
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Seite 2
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
PSfrag replacements
5. Für den durch eine Einzelkraft P belasteten skizzierten Balken ist die Lagerkraft im Punkt C sowie das Schnittmoment
im Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen zu
bestimmen.
P
A
B
C
a
Geg.: P , l, a, b
b
l
&! %& $#$ ! ('(
"
"!% # ""! '
l
6. Bestimmen Sie mit der Methode der virtuellen Verrückungen
PSfrag replacements
für den skizzierten Balken die Lagerreaktionen!
Geg.: q0 , l, a, α
e2
S
√1 a
3
1
3a
a
F
F
ϕ
ϕ
S
S
cos 30◦ = 23
sin 30◦ = 12
ϕ
A
Skizze a)
8. Für das aus starren Stäben bestehende
PSfrag replacements
skizzierte Fachwerk unter der Belastung W
sind folgende Größen mit dem Prinzip der
virtuellen Verrückungen zu bestimmen:
Geg.: W, l, β
√1 a
3
A
Hinweis:
√
atan 33 =√30◦
(b) die Stabkraft SBC .
α
e1
(a) Berechnen Sie mit den Basisvektoren e1 und e2
sowie mit Skizze a) die Ortsvektoren r A und rF
zu den Angriffspunkten der Kräfte A und F . Berechnen Sie die Variationen δr A und δr F . BerechPSfrag
nen Sie die Lagerkraft A mithilfe
des replacements
PdvV.
(a) Die Auflagerkraft im Punkt B,
q0
F
7. Das abgebildete Fachwerk aus starren Stäben wird mit
der Kraft F belastet.
(b) Notieren Sie mit Skizze b) den Ortsvektor r F =
r S zum gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte
F und S. Berechnen Sie die Variationen δr F und
δr S . Berechnen Sie die Stabkraft S mithilfe des
PdvV, indem Sie S als äußere Last ansehen.
7316
85 87 43 12 ,+, 65 8787 0/0
-. + )* /
a
Skizze b)
C
W
l
l
B:F:E:D L:HI BCFG ED LM JK
A
β
D
:>? N:<:Q:P ?> @:NO<= QP @A
9:9;
B
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PSfrag replacements
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
9. Das skizzierte Balkensystem ist durch ein Einzelmoment M0 und eine Einzelkraft K belastet. Alle Balken
sind starr und masselos.
(a) Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen
Verrückungen das Schnittmoment M an der Stelle C (x = a).
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M0
A
x C
z
a
K
B
a
b
& $
%$ "# & !
"&
c
b
(b) Bestimmen Sie ebenfalls mit Hilfe des Prinzip der
virtuellen Verrückungen die Lagerkraft in B.
Geg.: a, b, c, K, M0
1.2
Lagrangesche Gleichungen
10. Für eine überschlägige Dimensionierung einer Werkzeugmaschine sollen PSfrag
die Eigenfrequenreplacements
zen des abgebildeten Ersatzsystems berechnet
werden. Bei der Untersuchung des schwingungsfähigen Systems soll die Reibung vernachlässigt werden. Für q1 = q2 = 0 sind alle
Federn entspannt.
q2
q1
1
2c
1
2c
c
c
m
m
Geg.: m, c
Gehen Sie wie folgt vor:
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die kinetische Energie T und potentielle Energie U des Systems auf.
(c) Bestimmen Sie nun die Lagrangefunktion L.
(d) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen?
(e) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und dazugehörigen Eigenformen des Systems.
(f) Angenommen, das System startet aus der Ruhe, d.h. q̇ 1 (0) = q̇2 (0) = 0, mit bestimmten
Anfangsauslenkungen q1 (0) = q10 und q2 (0) = q20 . Geben Siepmögliche Wertepaare
(q10 , q20 ) an, für die das System mit der Periodendauer T p = 2π m
c schwingt.
11. Zwei masselose Stangen (Längen l1 und l2 ) und zwei Punktmassen
m1 und m2 bilden ein Doppelpendel.
(a) Bestimme für die Bewegung des skizzierten Doppelpendels in
einer vertikalen Ebene (Erdbeschleunigung g) mit Hilfe der
Lagrangeschen Gleichungen 2. Art die Bewegungsgleichungen. Nutze die generalisierten Koordinaten ϕ 1 und ϕ2 .
(b) Wie lauten die Gleichgewichtslagen?
Geg.: m1 , m2 , l1 , l2 , g
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
12.
18. Februar 2005
(a) Für das skizzierte System stelle man
das Bewegungsdifferentialgleichungssystem auf und schreibe es auf Matrizenform um. Es sollen von vornherein kleine Auslenkungen angenommen werden.
(b) Man berechne die Eigenkreisfrequenzen
und die dazugehörigen Eigenformen des
Systems.
13.
Geg.: c1 = 14 c , c2 = c3 = c ,
2
m2 = m, ΘS = 12 m1 r 2 , r
3 m,
s
m1 =
PSfrag replacements
m1
m2
x
y
ϕ
l(t)
Die
Aufhängevorrichtung
eines
ebenen
Pendels
mit
der
zeitlich
veränderlichen
Länge l(t) und
der Pendelmasse
m2 gleitet reibungsfrei längs
der x-Achse und
hat die Masse
m1 .
Ermitteln
Sie
mit Hilfe der
Lagrangeschen
Gleichungen 2.
Art die Bewegungsdifferentialgleichungen
für die Massen
m1 und m2 .
Geg.: m1 , m2 ,
l(t), g
14. Auf einer schiefen Ebene bewegt sich reibungsfrei ein
Körper der Masse m, Bewegungskoordinate s, infolge
der Schwerkraft abwärts. In einer radialen Bohrung
ist ein Zylinder der Masse M , der Relativkoordinate
x, elastisch angeordnet, der sich ebenfalls reibungsfrei
bewegen kann. Ausgehend von der Ruhelage des Systems sind mit den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art
die Bewegungsdifferentialgleichungen für die generalisierten Koordinaten s und x aufzustellen.
Geg.: m, M , c, α, g
15. Ein Massenpunkt m ist am unteren Ende einer Feder k angebracht. Am oberen
Ende ist die Feder gelagert. In spannungloser Ruhelage hat die Feder die Länge
r0 .
Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2.Art auf.
Geg.: k, m, r0 , r, ϕ, g
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
16. Das skizzierte System schwingt
kleinen
PSfragmit
replacements
Auslenkungen. Die Feder und der Pendelstab
sind masselos. Die Länge der entspannten Feder ist l0 .
(a) Stelle die Schwingungsdifferentialgleichung (in Matrixschreibweise, ohne die
Spezialisierung in Teil b) auf!
(b) Bestimme die Eigenkreisfrequenzen als
Funktion von c und m für folgenden Spem
1
zialfall: m1 = 33
, m2 = m, Θ1 = 66
mr 2 ,
mg
1
Θ2 = 2 mr 2 , l = 2r, c = 33r
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g
x
ϕ
l
c
l
Ψ
r
m2 , Θ 2
l0
m1 , Θ 1
Geg.:m1 , m2 , Θ1 , Θ2 , l, r, c, g, l0
y
PSfrag replacements
in vertika17. Ein starrer Körper (Masse m1 ) gleitet reibungsfrei
ler Richtung und ist über eine masselose Stange (Länge l) mit
einer Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Die Punktmasse ist
über eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an die Umgebung glatt
gekoppelt.
g
m1
l
m2
ϕ
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
l
(b) Bestimme mit den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art die
Bewegungsdifferentialgleichung für das System?
PSfrag replacements
x
Geg.: l, g, m1 , m2
18. Ein starrer Körper (Masse m1 ) gleitet reibungsfrei in vertikaler Richtung und ist über eine masselose Stange (Länge l) mit
einer Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Der starre Körper
ist außerdem über ein lineares Feder-Dämpfer-Element (Federsteifigkeit k, Dämpferkonstante d) an den Boden gekoppelt. d
Die entspannte Länge der Feder sei 2l. Die Punktmasse m 2
ist über eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an den Boden
gekoppelt.
glatt
y
g
m1
l
k
ϕ
m2
l
x
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die kinetische Energie T , die potentielle Energie U und die Dissipationsfunktion D als Funktion von ϕ und ϕ̇ auf. Wie ist die Lagrangefunktion L definiert?
(c) Arbeiten Sie im folgenden mit der Lagrangefunktion
1
L = (2m1 sin2 ϕ + m2 )l2 ϕ̇2 − (2m1 + m2 )gl cos ϕ − 2kl 2 (1 − cos ϕ)2
2
weiter. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für das System.
(d) Wie groß muß die Federsteifigkeit k sein, damit das System für ϕS =
wichtslage hat?
(e) Welche weiteren Gleichgewichtslagen sind im Bereich − π2 < ϕ <
Federsteifigkeit k den in Teil (d) bestimmten Wert hat?
Geg: k, d, m1 , m2 , l, g
π
2
π
3
eine Gleichge-
vorhanden, wenn die
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
PSfrag replacements
z
19. Ein gefederter und gedämpfter einachsiger Anhänger rollt
mit konstanter Geschwindigkeit v durch sinusförmige BoPSfrag
denwellen mit der Wellenlänge l und
der replacements
Amplitude z0 .
Untersuche für den stationären Zustand den Einfluß der
Parameter z0 , v, m, c und r auf die Amplitude V und die
Phasenverschiebung ϕ der Schwingung und die Achskraft
Fa !
18. Februar 2005
v
m
c
2
r
c
2
z0
l/4
Geg.: l, z0 , v, m, c, r, g
20. Die Vertikalschwingungen eines Automobils können
durch das gezeichnete Ersatzmodell beschrieben werden. Durch die Koordinaten y10 , y20 ist die Ruhelage
des Systems gekennzeichnet.
y
y1
Fahrzeugaufbau
m1
y10
c1
(a) Bestimme
die
Bewegungsdifferentialgleichung(en) des Systems!
(b) Wie lautet die charakteristische Gleichung?
(c) Welche Eigenwerte (Eigenkreisfrequenzen) hat
das System ohne Dämpfung (k=0)?
y2
k
m2
y20
c2
Dämpfung,
Federung
Achsen,
Räder
Reifenfederung
Geg.: m1 = 600kg, m2 = 40kg, cPSfrag
c2 =
1 = 150N/cm,
replacements
1600N/cm
21. Das skizzierte System wird durch das Moment M (t)
zum Schwingen angeregt. Der Strömungswiderstand
der Kugel ist proportional zur Geschwindigkeit mit
dem Widerstandskoeffizienten k. Alle anderen Widerstände, die Masse der Umlenkrolle sowie der hydrostatische Auftrieb der Kugel sollen vernachlässigt
werden. Die nicht dehnbaren Seile bleiben immer gespannt. Die Feder ist bei x̃ = 0 entspannt.
(a) Berechnen Sie die statische Ruhelage x stat für
den Fall M (t) = 0!
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung um die statische Ruhelage (in der Variable x = x̃ − xstat ).
(c) Bestimmen sie die Amplitude und den Phasenwinkel der stationären Schwingung!
Geg.: m1 , m2 , J1S , M (t) = M0 cos Ωt, M0 , Ω, g, c, k
x
c
r
m1 , J1S
M (t)
S
g
x̃
k
R
reines Rollen
y
m2
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
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b
22. Ein schwach gedämpftes schwingungsfähiges System wird
durch M (t) = M0 sin λt angeregt. In der skizzierten Stellung
m1 , J S
ist die Feder gerade spannungsfrei.
PSfrag replacements
(a) Bestimme die Bewegungsdifferentialgleichung für kleine
Auslenkungen ϕ!
ϕ
M (t)
a
(b) Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an
und passe diese folgenden Anfangsbedingungen an:
ϕ(t = 0) =
m2 g
ca
und ϕ̇(t = 0) = 0
c
(c) Wie groß sind Amplitude und Phasenwinkel im eingeschwungenen Zustand?
m2
r
Geg.: a, b, c, r, M0 , λ, m1 , JS , m2 , g
23. Das skizzierte System wird durch das Moment M (t) zum Schwingen angeregt. In der eingezeichneten Position (x = 0) sind beide Federn gespannt. Die obere Feder ist um die Länge
l0 gespannt; die untere Feder ist so gespannt, daß x = 0 die Gleichgewichtslage ist. Die Seile
seien undehnbar. Es werden ausschließlich kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage
betrachtet.
(a) Stellen Sie die kinetische Energie
PSfrag
replacements
T und potentielle
Energie
U für
das System auf.
(b) Bestimmen Sie die Dissipationsfunktion D.
M (t)
c
d
S
r
(d) Bestimmen sie die Amplitude
der stationären Schwingung!
Geg.: m, JS , M (t) = M0 cos Ωt, M0 , Ω, c, d
24. Das skizzierte System wird von einem im Massenmittelpunkt S angreifenden Moment angetrieben. Nach einer
Einschwingphase stellt sich ein stationärer Zustand mit
kleinen Ausschlägen ein. (Gravitation spielt keine Rolle.)
(a) Bestimmen Sie die lineare Bewegungsdifferentialgleichung!
(b) Wie groß ist die Kreisfrequenz der freien gedämpften
Schwingung?
(c) Bestimmen Sie die Amplitude und den Phasenwinkel der stationären Schwingung!
Geg.: a, r, c, m, JS = 2ma2 , M (t) = M0 cos Ωt
x
R
(c) Bestimmen
Sie
nun
die
Bewegungsdifferentialgleichung
in der Schwerpunktskoordinate
x. Um welche Länge muß die untere Feder gespannt sein, damit
x = 0 die Gleichgewichtslage
ist?
m, JS
c
reines Rollen
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
25. Das skizzierte System (homogene Kreisscheibe M ,
Θs , masselose Umlenkrolle, ideales Seil, Masse m,
lineare Feder c, linearer Dämpfer k) erfährt eine
Fußpunkterregung u(t) = û cos Ωt.
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u( t )
M, Js
c
g
r
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
PSfrag replacements
(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die
Bewegung des Scheibenschwerpunktes mit
Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art
auf.
k
reines Rollen
m
Geg.: M , m, Θs = 12 M r 2 , c, k, r, û, Ω, g
y
26. Das skizzierte System besteht aus einem Körper
der Masse M , der sich auf seiner Unterlage reibungsfrei bewegen kann. Er wird von den beiden
Federn (Steifigkeit c) festgehalten. Beide Federn
seien in der eingezeichneten Lage entspannt.
In einer Mulde rollt eine Kugel. Wenn der
Grundkörper sich in der Mittelposition befindet
(x = 0) und die Kugel im tiefsten Punkt der Mulde ist, gilt ψ = 0.
x
y
R
f
m , Js
S r
c
c
M
m= 0
Mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art
sind die Bewegungsdifferentialgleichungen für die
generalisierten Koordinaten ψ und x aufzustellen.
Geg.: m, M , Θs , c, R, r, g
27. Ermittle für das skizzierte System die Beschleunigung der Masse 1, die reibungsfrei auf
der schiefen Ebene gleitet. Die Rolle 2 wird
durch ein konstantes Moment M angetrieben,
und die Walze 3 rollt ohne zu gleiten.
Geg.: M , m, a, α, Θ1 , Θ2 , g
PSfrag replacements
28. Ein starrer Körper (Masse M ) gleitet reibungsfrei in einer
Führung und ist über ein Feder-Dämpfer-Element (Konstanten k, d) an die Umgebung gekoppelt. Außerdem trägt
der starre Körper eine mit der Winkelgeschwindigkeit Ω
rotierende masselose Stange, die im Abstand e vom Drehpunkt eine Punktmasse m trägt. Zum Zeitpunkt t = 0
sei die Stange horizontal und die Punktmasse rechts vom
Drehpunkt. Für x = 0 sei die Feder entspannt.
x
k
e
Ω
d
m
M
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System, wenn die Winkelgeschwindigkeit Ω vorgegeben
ist?
(b) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung für das System?
(c) Bestimme die Lösung im eingeschwungenen Zustand.
(d) Wie groß sind die Kräfte im Feder-Dämpfer-Element im eingeschwungenen Zustand?
29. Das skizziere System besteht aus einem Zahnrad 1 (Masse m 1 , Radius R), einer Zahnstange
3 und einem Gleitkörper 2 (Masse m2 ). Die Masse der Zahnstange soll vernachlässigt werden.
Zudem soll für eine erste Untersuchung des Schwingungsverhaltens auf eine Berücksichtigung
der Reibung verzichtet werden.
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
Durch eine periodische
PSfrag replacements
Kraft P (t) wird das System zu Schwingungen
angeregt. Bestimme mit
Hilfe der Lagrangeschen
Gleichungen die Bewegungsgleichungen
des
Systems!
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reibungsfreies Gleiten
2
c
P (t)
3
1
reibungsfreies Gleiten
Geg.: m1 , m2 , R, P (t), c
30. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im
Abstand l ist eine Punktmasse m1 befestigt. Auf
der Stange
gleiPSfrag
replacements
tet außerdem eine zweite Punktmasse m 2 reibungslos unter der
Wirkung der Federkraft und der Erdanziehungskraft auf und ab.
Der Abstand der zweiten Punktmasse vom Aufhängungspunkt
P sei mit r(t) bezeichnet. Die Feder hat die Federsteifigkeit k
und die unverformte Länge l0 .
P
k
g
m2
ϕ
m1
(a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen für das
System in den generalisierten Koordinaten r(t) und ϕ(t)?
(b) Prüfe durch Betrachtung von Grenzfällen die Plausibilität
der hergeleiteten Differentialgleichungen.
31. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im
Abstand r1 = l ist eine Punktmasse m1 befestigt.
Auf der
PSfrag replacements
Stange gleitet außerdem eine zweite Punktmasse m 2 reibungslos unter der Wirkung der Federkraft und der Erdanziehungskraft auf und ab. Der Abstand der zweiten Punktmasse vom
Aufhängungspunkt P sei mit r2 (t) bezeichnet. Die Feder hat
die Federsteifigkeit k und die unverformte Länge l0 .
Gesucht sind die Bewegungsdifferentialgleichungen und die
Längskraft in der Stange. Gehe dabei in den folgenden Schritten
vor:
P
k
g
m2
ϕ
m1
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Welche generalisierten Koordinaten sind zu wählen? Wie lauten die Zwangsbedingungen?
(c) Formuliere die kinetische und potentielle Energie in den gewählten Koordinaten.
(d) Wie lauten die Lagrangeschen Gleichungen 1. Art?
(e) Leite nun die Bewegungsdifferentialgleichungen und die Kraft in der Stange her.
(f) Wie lauten die Gleichgewichtslagen? Welche Lagerkraft wirkt dann im Lager P ?
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
ω
32. An einer vertikalen Achse, die sich mit der Winkelgeschwinreplacements
digkeit ω dreht, ist unter dem Winkel α PSfrag
ein gerader
Draht
befestigt, auf dem eine Perle der Masse m reibungsfrei gleitet.
g
z
x
y
α
(a) Stellen Sie die Lagrangegleichungen 1.Art für die Zylinderkoordinaten r, ϕ, z auf.
r
m
(b) Lösen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für
z(t) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
z(0) = ż(0) = 0.
(c) Ermitteln Sie die Zwangskräfte in Abhängigkeit der
Zeit.
(d) Berechnen Sie die Energie der Perle und zeigen Sie,
daß der Energiegewinn durch rheonome Zwangsarbeit
verursacht wird.
Geg.: m, g, α, ω
y
33. Auf einem ruhenden, parabelförmig gebogenen DrahtPSfrag
rutschtreplacements
eine Perle
mit Reibung. Die Schwerkraft wirkt in negative y-Richtung.
Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung auf und berechnen Sie
die Zwangskraft mit Hilfe der Lagrangegleichungen 1.Art.
PSfrag replacements
Geg.: m, g, y(x) = ax2 , a = const., µ
34. Zwischen der Masse m1 und der horizontalen Ebene besteht y
Gleitreibung. Der Betrag der Gleitreibungskraft wird über die
Zwangskraft des Pendelfadens von der Schwingung der Masse
m2 beeinflußt.
m
x
x
g
m1
ϕ l
Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 1.Art
sowohl die Normalkraft zwischen m1 und der Ebene als auch die
Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems (Die Zwangskraft
des Pendelfadens ist nicht gesucht!).
m2
Geg.: m1 , m2 , l, g, µ
35. Zwei Massen m1 und m2 sind mit einer masselosen
Stange gelenkig verbunden. Die Masse m 1 kann sich
nur in y–Richtung und die Masse m2 kann sich nur
in x–Richtung bewegen. Mit Hilfe der Lagrangeschen
Gleichungen 1. Art berechne man die Stangenkraft.
Die Feder ist bei y = H spannungslos.
g
k
m1
m2
y
x
g
r
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
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m ,Θ
C
36. Mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art berechne man
alle Kontaktkrafte und die Bewegungsgleichung des skizzierten
Systems.
g
r
ϕ
α
1.3
Prinzip von Hamilton PSfrag replacements
37. Ein Balken (Länge l, Massebelegung µ, Biegesteifigkeit EI) ist bei A gelenkig gelagert und
bei B in eine Hülse gesteckt, die dem Balken
dort eine horizontale Tangente aufzwingt. Die
Hülse (Masse m) kann auf einer starren Stange
in vertikaler Richtung reibungsfrei gleiten. Der
Balken schwingt ausschließlich in Querrichtung.
glatt, starr
A
l
B
x
w
EI, µ
m
Leite die Bewegungsdifferentialgleichungen und
die dynamischen Randbedingungen mit dem
Prinzip der kleinsten Wirkung her!
Geg.: EI, µ, l, m
PSfrag replacements
l
38. Ein bei x = 0 eingespannter Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI = konst., Massenverteilung µ = konst.) mit der
Endmasse m an der Stelle x = l soll Eigenschwingungen
x
durchführen. Mit Hilfe des Hamilton Prinzips sind die dyEI, µ
namischen Randbedingungen und die Bewegungsdifferenw(x, t)
tialgleichung zu ermitteln.
Geg.: EI, l, µ, m.
Rx
Die Formänderungsenergie des Biegebalkens beträgt UBalken = 12 x12 EIw00 (x)2 dx.
x1
39. Zwei Stäbe (Längen l1 , l2 Querschnittsflächen A1 , A2 , EPSfrag replacements
Moduln E1 , E2 und Dichten ρ1 , ρ2 ) sind wie skizziert miteinander verbunden und links fest eingespannt. Das System
schwingt ausschließlich in Längsrichtung.
Benutze zur Formulierung der Bewegungsdifferentialgleichungen und Randbedingungen die eingezeichneten raumfesten Koordinaten x1 und x2 .
E1 , A 1 , ρ 1 , l 1
m
x2
E2 , A 2 , ρ 2 , l 2
(a) Wie lauten die geometrischen Rand- und Übergangsbedingungen für das dargestellte
System?
(b) Formuliere die kinetische und potentielle Energie für das Gesamtsystem.
(c) Leite nun die Bewegungsdifferentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungen
mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung her!
(d) Mit welchem Ansatz kann man die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen? Wieviele
Eigenfrequenzen hat das System?
Geg.: E1 , E2 , A1 , A2 , ρ1 , ρ2 , l1 , l2
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 12
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
40. Zwei Euler-Bernoulli-Balken sind links (x = 0) fest
eingespannt und rechts (x = l) durch eine Feder
(Steifigkeit k) verbunden. Die Querauslenkungen
replacements
des oberen Balken seien mit w(x,PSfrag
t) bezeichnet,
die
des unteren mit v(x, t). Am oberen Balken greift
bei x = l eine äußere Kraft F (t) an.
18. Februar 2005
F (t)
x
EI, µ, l
k
EI, µ, l
Die Bewegungsdifferentialgleichungen und die
Randbedingungen sollen auf verschiedenen Wegen
hergeleitet werden.
(a) Wie lauten die geometrischen Randbedingungen für das dargestellte System?
(b) Leite nun die Bewegungsdifferentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungen
mit Newtons Grundgesetz und dem Schnittprinzip her.
(c) Zeige, daß man mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung zum gleichen Ergebnis kommt.
(d) Mit welchem Ansatz kann man die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen?
41. Betrachtet werden die Transversalschwingungen eis
k
ner Saite (Länge l, Spannkraft S, Massebelegung
µ), die am rechten Ende (x = l) eingespannt ist und
am linken Ende (x = 0) an einen starren Körper
gekoppelt ist. Schwingungen in Längsrichtung
seiPSfrag replacements
en vernachlässigbar. Der starre Körper (Masse m) m
gleitet reibungsfrei in einer vertikalen Führung
und wird über eine Feder (Steifigkeit k) angeregt.
Die Fußpunktanregung folgt dem Gesetzt s(t) =
ŝ sin Ωt. Die transversale Auslenkung der Saite sei
x
mit w(x, t) beschrieben. Die Verschiebung des starren Körpers aus der gezeichneten Mittellage wird
mit q(t) = w(0, t) bezeichnet. Zum Zeitpunkt t = 0
seien die Saite und der starre Körper in Ruhe und
in der eingezeichneten Lage. Die Feder ist dann entspannt. Für die gegebenen Konstanten gilt die Beziehung 4km > Sµ.
Zeige, daß die Bewegung des starren Körpers im Zeitintervall 0 ≤ t < 2lc gemäß
ŝ
−δt δb − Ωa
q(t) = 2
a
sin
Ωt
−
b
cos
Ωt
+
e
sin
ωt
+
b
cos
ωt
a + b2
ω
S, µ
erfolgt, wobei
√
Sµ
δ=
2m
,
ω0 =
r
k
m
,
ω =
q
ω02 − δ 2
,
a = ω02 − Ω2
,
b = 2δΩ
.
Gehe dabei in den folgenden Schritten vor:
(a) Leite ausgehend von der kinetischen und potentiellen Energie der Saite
1
T =
2
Z
l
µ
0
∂w
∂t
2
dx
,
1
U=
2
Z
l
S
0
∂w
∂x
2
dx
die Bewegungsdifferentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungen f ür das
System her.
(b) Formuliere die gewöhnliche Differentialgleichung, die die Bewegung q(t) des starren
Körpers für 0 ≤ t < 2lc beschreibt. Hinweis: Nutze den Ansatz nach d’Alembert zur
Lösung der Wellengleichung.
(c) Warum ist die Bewegung des starren Körpers gedämpft?
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 13
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
(d) Löse nun die gewöhnliche Differentialgleichung für q(t), und zeige, daß die oben angegebene Beziehung gilt.
PSfrag replacements
x
k
42. Ein massebehafteter elastischer Stab (Dehnsteifigkeit EA,
Massebelegung µ, Länge l) ist am linken Rand (x = 0)
fest eingespannt und trägt am rechten Rand (x = l) eine
EA, µ, l
Punktmasse m. Die Punktmasse ist außerdem über eine
m
Feder (Steifigkeit k) an die Umgebung gekoppelt.
Die Feder sei entspannt, wenn der Stab unverformt ist. Es werden ausschließlich Längsschwingungen
u (x, t) betrachtet.
(a) Wie lautet die geometrische Randbedingung für das System?
(b) Wie berechnen sich die kinetische Energie T und die potentielle Energie U für das Gesamtsystem?
(c) Formulieren Sie das Prinzip der kleinsten Wirkung für das untersuchte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und die dynamische Randbedingung
her.
(e) Mit welchem Ansatz für die Verschiebungen u (x, t) kann man die Bewegungsdifferentialgleichung lösen und die Eigenfrequenzen des Systems ermitteln? Wieviele Eigenfrequenzen hat das System?
Geg.: m, k, l, EA = konst., µ = konst.,
Formänderungsenergie eines Dehnstabes: U el =
1.4
1
2
R x2
x1
EAu02 dx.
Verfahren von Ritz
43. Im folgenden soll die Längsverschiebung eines einseitig eingespannten Stabes mit linear veränderlichem
Querschnittsradius r im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) untersucht werden. Es seien linearelastisches Material, ein eindimensionaler Spannungszustand, über die Stablänge l konstante Dichte ρ und
PSfrag rreplacements
E-Modul E vorausgesetzt. Für die Radien
0 = r(x =
0) und r1 = r(x = l) gelte die Beziehung r1 = 23 r0 .
Zudem gilt r l.
x
r(x)
l
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die den geometrischen Randbedingungen genügt. Berechnen
Sie nun näherungsweise die Absenkung des freien
Endes.
(b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten
Ergebnis.
q0
44. Dargestellt ist ein BalkenPSfrag
unter der
Last q 0 .
replacements
Am rechten Ende ist eine Drehfeder (Federsteifigkeit cM ) angebracht. Bestimmen
Sie eine Näherungslösung für die Durchsenkung w(x). Verwenden Sie den Ansatz
x
w(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 . Gehen Sie
wie folgt vor:
w
cM
ϕ
EI
l
(a) Passen Sie den Ansatz an die 3 geometrischen Randbedingungen an. Eliminieren Sie a 0 ,
a1 und a2 , und geben Sie die angepasste Ansatzfunktion an.
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
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(b) Berechnen Sie die Formänderungsenergie W und die äußere Arbeit A. Die Formänderungsenergie
einer Drehfeder berechnet sich aus W F = 12 cM ϕ2 .
Hinweis: Es gilt ϕ(x = l) = w 0 (x = l).
(c) Berechnen Sie den Freiwert a3 aus der Bedingung δ(W − A) = 0, und geben Sie damit
die Näherungslösung an.
F
PSfrag replacements
45. Bestimmen Sie für die nebenstehend
skizzierten Balken mit Hilfe des Ritz’schen Verfahrens
eine Näherungslösung für die Biegelinie w(x)!
Passen Sie zunächst die Ansatzfunktion den
geometrischen Randbedingungen an!
Ansatz:
w(x) = a0 + a1 cos( πlx ) + a2 sin( πlx )
EI
x
z, w
cF
l
l
Gegeben:
l, I, E, cF , F
q0
46. Ein elastischer Balken (Länge l, Biegesteifigkeit
EI) ist links fest eingespannt und rechts in einer
Hülse gelagert. Der Balken wird auf
seinerreplacements
gesamten
PSfrag
Länge durch eine konstante Streckenlast belastet.
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die die geometrischen Randbedingungen erfüllt.
A
B
(b) Berechnen Sie näherungsweise die Biegelinie.
(c) Vergleichen Sie die Näherungslösung mit der
exakten Lösung.
Geg.: q0 , l, EI
PSfrag replacements
47. Mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens berechne
man die Durchsenkung des skizzierten Balkens
an der Stelle x = 2l. Als Ritzansatz soll folgende Funktion verwendet werden:
w
w(x) = a0 + a1 x + a2 cosh( xl )
Gegeben: M0 , EI, c, l
EI
M0
x
c
l
l
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
PSfrag replacements
48. Für das aus zwei Stäben und einer linearen Feder bestehende System ist näherungsweise die Horizontalverschiebung
des Punktes A zu bestimmen, wenn an diesem wie skizziert
mit der Kraft F gezogen wird. Zur Lösung dieser Aufgabe
l
sind folgende Teilschritte zu bearbeiten:
(a) Für die Biegelinie beider Bereiche ist jeweils ein Polynom 3.Grades als Ansatzfunktion zu wählen. Passen
Sie diese Ansatzpolynome den geometrischen Randbedingungen an; fordern Sie zudem, daß die das Moment
betreffenden Randbedingungen erfüllt sind.
18. Februar 2005
A
F
cf
EI
3EI
x1
x2
w1
w2
(b) Stellen Sie das Energiefunktional Π = A − W auf.
(c) Berechnen Sie durch Extremalisierung dieses Funktionals (δΠ = 0) die noch unbestimmten Koeffizienten
und geben Sie die Näherungslösung für die Horizontalverschiebung im Punkte A an.
Gegeben: l, EI, cf =
2EI
l3 ,
F
l
49. Für den skizzierten einseitig fest eingespannten und am anPSfrag replacements
deren Ende gelenkig gelagerten Balken ermittle man nach
Ritz die erste Eigenkreisfrequenz und vergleiche sie mit dem
exakten Wert:
s
1 EI
ω1, exakt = 15, 42 2
l
ρA
ρ, EI, A
Warum ist die Näherungslösung zu groß?
Ansatzfunktion:
w(x, t) = x2 (l − x)2 q(t)
Geg.: ρ, A, EI, l
50. Berechnen Sie die beiden ersten Eigenkreisfrequenzen des skizzierten Balkens näherungsweise mit einem zweigliedrigen Ansatz nach Ritz:
w(x, t) = ϕ1 (x)q1 (t) + ϕ2 (x)q2 (t) .
Verwenden Sie die Ansatzfunktionen
ϕ1 (x) =
x
;
l
ϕ2 (x) = sin
Geg.: l, EI, c, ρA, c = π 4 EI
, EI =const.
2l3
πx
l
.
l
EI , r A
x
c
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
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x, u(x, t)
PSfrag replacements
51. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen
Anregung
Longitudinalschwingungen aus. Man ermittle:
ρ, A, E, l
(a) die exakte erste Eigenkreisfrequenz und
(b) Näherungen für die erste Eigenfrequenz unter Verwendung
der Ansatzfunktionen:
(a) u(x, t) = x2 q(t)
(b) u(x, t) = x2 (3l − 2x)q(t)
(c) u(x, t) = sin πx
2l q(t)
Geg.: ρ, A, E, l
52. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen Anregung Longitudinalschwingungen aus.
Ermitteln Sie mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz eine Näherungslösung für die erste Eigenkreisfrequenz unter Verwendung der folgenden Ansatzfunktion:
x, u(x, t)
PSfrag replacements
u(x, t) = x2 (3l − 2x)q(t)
ρ, A, E, l
Geg.: ρ, A, E, l
x
53. Der skizzierte Betonschornstein konstanter Wandstärke führt Biegeschwingungen aus.
ra
(a) Überprüfe die angegebene Funktion ϕ(x) auf ihre Brauchbarkeit als Ansatz für eine näherungsweise Bestimmung der ersten
Eigenkreisfrequenz (nach Ritz).
(b) Bestimme näherungsweise die niedrigste Eigenfrequenz des Systems!
h x 2
x 3 x 4 i
ϕ(x) = l4 6
−4
+
l
l
l
Geg.: l, E, ρ, ra , Ra = 2ra , Ra − Ri =
1
2 ra
l
y
Ri
Ra
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
54. Auf dem Tisch einer Waage liegt ein Paket (Masse M 2 ).
Der Tisch (Masse M1 ) wird von zwei Blattfedern (Biegesteifigkeit EI, Massebelegungen µ, Längen l) so gehalten,
daß er in vertikaler Richtung schwingen kann. Für beide
Blattfedern wird die Verformung mit der gleichen Ansatzfunktion, einem Polynom dritten Grades, beschrieben. Bei
z = 0 sind die Blattfedern entspannt.
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M2
M1
EI , µ
g
EI , µ
z
(a) Beschreibe das Vorgehen zur exakten Bestimmung
der Eigenfrequenzen des abgebildeten Systems. Wieviele Eigenfrequenzen hat das System?
l
(b) Wie muß die Ansatzfunktion gewählt werden, damit
alle geometrischen Randbedingungen erfüllt werden?
(c) Stelle die kinetische und potentielle Energie für kleine Schwingungen z(t) des Systems auf. Beachte dabei die Wirkung der Erdbeschleunigung g.
(d) Formuliere das Prinzip der kleinsten Wirkung
für das untersuchte System und bestimme
näherungsweise die niedrigste Eigenkreisfrequenz.
(e) Wie groß ist die statische Absenkung z stat des Systems?
55. Betrachtet wird ein Stabwerk aus zwei identischen Stäben (Länge l, Dehnsteifigkeit EA,
Massebelegung µ). Am oberen Ende sind die
Stäbe gelenkig an die Umgebung angebunden.
PSfrag
replacements
Am unteren Ende sind beide
Stäbe
gelenkig √
1
mit einer Punktmasse m verbunden. Betrach- 2 2l
tet werden ausschließlich kleine Vertikalbewegungen der Punktmasse. Vereinfachend sei angenommen, daß beide Stäbe stets gleich schwingen.
√
2l
EA, µ
m
Im folgenden soll mit verschiedenen Verfahren die niedrigste Eigenkreisfrequenz bzw. eine
Näherung für die niedrigste Eigenkreisfrequenz
des Systems bestimmt werden.
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das abgebildete System?
(b) Wie lauten die geometrischen Randbedingungen?
(c) Leite die Bewegungsdifferentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungen f ür
das untersuchte System her.
(d) Wie lautet die Frequenzgleichung des untersuchten Systems? Bestimme nun f ür µ =
die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems.
Hinweis: Die kleinste positive Lösung der Gleichung 10χ tan χ = 1 ist χ 1 ≈ 0, 3111.
(e) Welche Eigenkreisfrequenz erhält man für µ =
für die Längsverschiebung der Stäbe wählt?
m
10l ,
m
10l
wenn man einen linearen Ritz-Ansatz
(f) Vernachlässigt man die Stabmasse gegenüber der Punktmasse, erhält man einen Einmassenschwinger. Bestimme die zugehörige Eigenkreisfrequenz mit dem zweiten Satz
von Castigliano. Vergleiche die drei Ergebnisse miteinander.
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
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PSfrag replacements
56. Ein massebehafteter Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI, Massebelegung µ) ist bei A gelenkig gelagert und bei B in eine Hülse gesteckt,
die dem Balken dort eine horizontale Tangente
aufzwingt. Die Hülse (Masse m) kann auf einer
starren Stange in vertikaler Richtung reibungsfrei gleiten. Der Balken schwingt ausschließlich
in Querrichtung.
glatt, starr
l
B
x
A
w
EI
m
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die den geometrischen Randbedingungen genügt.
(b) Bestimmen Sie nun die kinetische und potentielle Energie des Systems.
(c) Berechnen Sie schließlich ein Näherung für die erste Eigenkreisfrequenz ω1 ?
Geg.: EI, l, m, µ
PSfrag replacements
57. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit
kreisförmigem Querschnitt trägt an seinem Ende eine Einzelmasse m. Geeignete Anfangsbedingungen
lassen den Stab um seine Längsachse schwingen.
Bestimmen Sie näherungsweise die erste Eigenkreisfrequenz.
ϑ
r
y
x
G, Ip , A, %
z
1.5
m
l
Geg.: l, m, G, Ip , A, %
Sätze von Castigliano
PSfrag replacements
58. Berechne mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens die Biegelinie w(x̂) des
skizzierten Kragarms mit der Biegesteifigkeit K B unter Einwirkung der
Einzellast F am freien Ende.
x̂
F
EI
l
Geg.: F , l, EI
59. Am Ende des skizzierten schubstarren Balkens PSfrag
mit derreplacements
Biegesteifigkeit K B greifen ein Moment M0 und eine Einzellast F an.
(a) Berechne die Formänderungsergänzungsenergie W ∗ des Systems. Bestimme nun mit dem ersten Satz von Castigliano
die Durchsenkung w1 (l) und den Biegewinkel ϕ1 (l) am rechten
Ende des Balkens (x = l).
x
F
EI
l
(b) Berechne den Biegewinkel ϕ2 (l) am rechten Balkenende für
den Fall M0 = 0 mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens.
PSfrag replacements
Geg.: M0 , F , EI, l
60. Berechne für den skizzierten Balken die Durchbiegung an der
Krafteinleitungsstelle und die Auflagerreaktionen. Verwende dazu
den ersten Satz von Castigliano.
Geg.: M0 , F , EI, l
EI
F
2l
x
PSfrag replacements
61. Gegeben ist die nebenstehend skizzierte Konstruktion.
M0
l
q0
Berechnen Sie unter Verwendung des ersten Satzes von
Castigliano die Durchsenkung an der Stelle A.
Gegeben: l, q0 , E, I, der Balken sei schubstarr
E, I
A
l
B
2l
M0
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
q0
62. Für den skizzierten schubstarren Träger mit der konPSfrag
replacements
stanten Biegesteifigkeit EI ist mittels
des ersten
Satzes von Castigliano die Lagerkraft an der Stelle B zu
bestimmen.
Gegeben seien die Größen: l, E, I, q0
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B
EI
l
PSfrag replacements
63. Der skizzierte dehn- und schubstarre Träger mit der konstanten Biegesteifigkeit EI ist einfach
statisch unbestimmt.
(a) Machen Sie das System statisch bestimmt, indem Sie
das Lager an der Stelle B durch eine noch zu bestimmende Kraft ersetzen.
q0
A
x
z
(b) Unterteilen Sie den Balken in zwei Bereiche, und ermitteln Sie den Momentenverlauf analytisch.
B
2l
C
l
(c) Ermitteln
Sie
die
Ableitung
der
Formänderungsenergie, und bestimmen Sie die
eingeführte unbekannte Kraft.
(d) Geben Sie alle Lagerkräfte bzw. -momente an.
Gegeben seien die Größen: l, E, I, q0
q0
64. Ein rechtwinkliger, einhüftiger Tragrahmen wird wie skizziert
PSfragwird
replacements
durch die Streckenlast q(x) belastet. Der Rahmen
als biegeelastisch, aber dehn- und schubstarr angesehen.
B
EI
Berechnen Sie mit den Sätzen von CASTIGLIANO die Lagerreaktionen an den Orten A und B.
h
Gegeben seien die Größen: h, l, E, I, c, q0
*)* !
+
!
" + (
" ('&% D
')&
replacements
65. Das abgebildete Fachwerk aus 7PSfrag
Stäben
mit der
%
#
$
$#
Dehnsteifigkeit EA ist innerlich statisch bestimmt.
Aufgrund der Lagerung in den Punkten B, C,
D ist das Fachwerk äußerlich einfach statisch
überbestimmt.
Die (komplementäre) Formänderungsenergie eines
longitudinal gedehnten Stabes beträgt:
Z
1 x1 N 2
UStab =
dx
2 x0 EA
l
C c
A
l
E
l
l
A
2
4
7
5
6
3
1
FA
B
(a) Machen Sie die Lagerung des Fachwerks statisch bestimmt, indem Sie das Lager bei B
entfernen und dort die Lagerkraft F B einführen. Bestimmen Sie dann die Kräfte in den
Stäben, z.B. indem Sie die Knoten A, B und E freischneiden.
(b) Berechnen Sie nun die (komplementäre) Formänderungsenergie U des Fachwerkes als
Funktion der Kräfte FA und FB .
(c) Nutzen Sie im folgenden die (komplementäre) Formänderungsenergie
U=
l 2
aFA + bFA FB + cFB2 ,
EA
mit den bekannten Konstanten a, b und c. Berechnen Sie die Lagerkraft F B .
(d) Wie groß ist die statische Durchsenkung in vertikaler Richtung u A am Punkt A?
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(e) An der Stelle A sei nun statt der Kraft F A eine Punktmasse m angebracht. Die Masse
der Stäbe soll gegenüber dieser Punktmasse vernachlässigt werden.
Betrachtet werden ausschließlich vertikale Schwingungen der Punktmasse m. Das Fachwerk verhält sich dann wie eine lineare Feder. Wie groß ist die Ersatzfedersteifigkeit?
Welche Eigenkreisfrequenz hat das PSfrag
System?
replacements
Geg.: FA , l, EA, m
66. Alle Stäbe des Fachwerks haben die gleiche Querschnittsfläche A und den gleichen E-Modul E. Berechne die vertiPSfrag replacements
kale Verschiebung des Lasteinleitungspunktes C unter der
Einwirkung der äußeren Last P .
l
1
B
A
5
2
4
Geg.: P , l, E, A
3
C
l
D
P
67. Ein Fachwerk aus 9 Stäben ist in A und B gelagert. Im Punkt B wirkt eine vertikale Kraft
P . Die Stäbe haben alle die gleiche Querschnittsfläche A und den gleichen E-Modul E.
Variante 1
Variante 2
F
l
4
9
E
5
6
1
A
7
2
8
3
B
l
l
4
D
C
P
l
F
9
6
5
1
A
l
7
2
B
l
E
8
3
D
C
P
l
l
Es werden zwei verschiedene Varianten vorgeschlagen (siehe Bild). Welche Variante ist zu
wählen, wenn die vertikale Durchsenkung in B möglichst klein sein soll? Begründen Sie Ihre
Entscheidung durch geeignete Berechnungen. Wie groß ist die Durchsenkung im besseren
Fall?
Geg.: P , l, E, A
68. Ein Fachwerk aus 5 Stäben ist in A und B gelagert. Im Punkt C wirkt eine vertikale Kraft
P . Die Stäbe haben alle die gleiche Querschnittsfläche A und den gleichen E-Modul E.
PSfrag replacements
Variante 2
Variante 1
1
B
l
A
5
2
3
C
P
l
l
4
D
1
B
5
2
4
3
C
P
A
D
l
Es werden zwei verschiedene Varianten vorgeschlagen (siehe Bild). Welche Variante ist zu
wählen, wenn die vertikale Durchsenkung in C möglichst klein sein soll? Begründen Sie Ihre
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Entscheidung durch geeignete Berechnungen. Wie groß ist die Durchsenkung im besseren
Fall?
Geg.: P , l, E, A
2
Schwingungen kontinuierlicher Systeme, Wellenausbreitung
69. (a) Gegeben sei eine Funktion f (t, x) = a cos(x + ct). Bestimme die partiellen Ableitungen
∂f
,
∂t
∂f
,
∂x
∂2f
,
∂t2
∂2f
,
∂t∂x
2
∂2f
,
∂x∂t
∂2f
!
∂x2
2
(b) Gegeben sei eine Funktion w(x, y) = ae x −y , mit x = sin y. Berechne die folgenden
Ableitungen:
∂w
∂w
dw
,
,
!
∂x
∂y
dy
70. (a) Bestimme die partiellen Ableitungen
√
2t kx + ωt!
∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f
∂2f ∂2f
∂t , ∂x , ∂t2 , ∂t∂x , ∂x∂t , ∂x2
der Funktion f (x, t) =
(b) Bestimme für den Fall, daß x = v0 t ist, die Ableitung df
dt einmal durch Einsetzen von
x = v0 t in f und anschließendes Ableiten nach t und einmal durch Anwenden der Formel
df
∂f
∂f ∂x
=
+
dt
∂t
∂x ∂t
(c) Es sei g(u, v) = u2 + πv 3 . Zwischen den Koordinaten u und v bzw. x und y gelten die
Transformationsbeziehungen u = αx + βy und v = αx − βy.
Bestimme zuerst die Ableitungen nach den Koordinaten u und v:
∂g
∂u
und
∂g
∂v .
∂g
∂g
Bestimme anschließend unter Verwendung von ∂u
und ∂v
und mit den Komponenten
∂g
∂u ∂u ∂v
∂v
der Jakobimatrix ∂x , ∂y , ∂x und ∂y die Ableitungen nach den Koordinaten x und y: ∂x
und
∂g
∂y !
71. Betrachtet wird die beidseitig eingespannte mit der w
Seilkraft S0 vorgespannte Saite (Dichte ρ, Querx
PSfrag replacements
schnittsfläche A0 ). Sie kann transversale
Schwingungen ausführen. Mit dem Lösungsansatz von
d’Alembert soll die Lösung zu folgenden Anfangsbedingungen bestimmt werden:
ẇ(x, t = 0) = 0
(
w(x, t = 0) =
L
x
für 0 ≤ x < L2
2 L w0
2 1 − Lx w0 für L2 ≤ x ≤ L
Geg.: ρ, A0 , S0 , L, w0
(a) Welche Gleichung beschreibt das Verhalten der Saite?
(b) Wie lautet die allgemeine Lösung nach d’Alembert?
(c) Bestimme die Lösung für die gegebenen Anfangsbedingungen.
(d) Skizziere die Auslenkung der Saite für die folgenden Zeitpunkte: t0 = 0, t1 =
S0
2
t2 = 14 T , t3 = 38 T , t4 = 12 T , t5 = 58 T mit T = 2L
c und c = ρA0 .
1
8T,
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
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ẇ
72. Betrachtet wird eine unendlich lange Saite, die transversale Schwingungen ausführen kann. Der Querschnitt
PSfrag replacements
der Saite sei A, die Dichte ρ. Sie ist vorgespannt mit der
Seilkraft S. Mit dem Lösungsansatz von d’Alembert soll
die Lösung zu folgenden Anfangsbedingungen bestimmt
werden:
v0
x
2l
w(x, t = 0) = 0 ,
ẇ(x, t = 0) = ẇ0 (x) =
v0 für − l < x < l
0
sonst
Geg.: ρ, A, S, l, v0
(a) Welche Gleichung beschreibt das Verhalten der Saite?
(b) Wie lautet die allgemeine Lösung nach d’Alembert?
(c) Bestimme die Lösung für die gegebenen Anfangsbedingungen. (Das Integral muß nicht
aufgelöst werden.)
(d) Skizziere die Auslenkung der Saite im Intervall −3 ≤
τ1 = 14 , τ2 = 12 , τ3 = 1, τ4 =
3
2
x
l
≤ 3 für die Zeitpunkte τ0 = 0,
q
S
und τ5 = 2! Dabei ist τ = 1l ρA
t.
73. Eine Saite (Dichte ρ, Querschnittsfläche
A,
PSfrag replacements
Länge l) ist links (x = 0) über ein Loslager
gelagert und rechts (x = l) an einem vertikal geführten Körper (Masse m) befestigt.
l
Der starre Körper wird durch eine Feder wie
skizziert gestützt. Die Feder ist in der gezeichneten Lage entspannt. Die äußere Kraft
N ist zeitlich konstant (und wirke immer genau waagerecht).
m
N
ρ, A, l
k
(a) Bestimme die Eigenwertgleichung.
(b) Zeige, daß sich für den Fall k =
4ρAl−πm
πN
16ρAl2
die erste Eigenfrequenz ω1 =
πc
4l
ergibt.
Geg.: l, m, k, N , ρ, A
74. Betrachtet werden die Transversalschwingungen einer Saite (Massebelegung µ). Die Saite ist
am oberen Ende fest eingespannt und trägt am unteren Ende eine Punktmasse m.
(a) Leiten Sie an einem infinitesimalen Stück der Saite die Bewegungsdifferentialgleichung für das skizzierte System her. Die transversale
Auslenkung der Saite sei mit w(x, t) bezeichnet. Hinweis: Die Verschiebungen in x-Richtung werden vernachlässigt. PSfrag
Die Spannkraft
ist
replacements
über die Länge nicht konstant.
(b) Nutzen Sie einen geeigneten Separationsansatz für die Auslenkung
2
w(x, t), und überführen Sie die partielle Differentialgleichung ∂∂tw
2 =
h
i 2
Q − gx ∂∂xw2 − g ∂w
∂x (Q bekannt und konstant) in zwei gewöhnliche
Differentialgleichungen.
w
x
l
g
µ
m
Geg.: l, µ, m, g
75. Betrachtet wird eine Saite (Länge l, Spannkraft S und Massebelegung µ) mit elastischer
Bettung. Hinweis: Die Bettungssteifigkeit γ ist die Steifigkeit der Bettung bezogen auf die
Länge. Die Saite ist an beiden Enden fest eingespannt.
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
(a) Leite an einem infinitesimalen Stück der Saite die Bewegungsdifferentialgleichung für das untersuchte System
her. Die transversale Auslenkung PSfrag
der Saite
sei mit
replacements
w(x, t) bezeichnet.
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x
S, µ, γ
(b) Wie lauten die Randbedingungen?
(c) Nutze einen geeigneten Separationsansatz für die Auslenkung w(x, t) und überführe die hergeleitete partielle Differentialgleichung in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen.
76. Betrachtet wird eine unter der Spannkraft S eingespannte Gitarrensaite der längenbezogenen
Masse µ = ρA. Die Saite werde an der Stelle ξ mit der Amplitude h ausgelenkt (gezupft)
und losgelassen. Die Anfangsauslenkung (AB 1) und Anfangsgeschwindigkeit (AB 2) sind
l
gegeben:
PSfrag replacements
w(x, t = 0) =
(
∂w =0
∂t x,t=0
hx
ξ
h(l−x)
l−ξ
ξ
für 0 ≤ x < ξ
(AB 1)
für ξ ≤ x ≤ l
∀x
(AB 2)
h
x
w(x, t)
Die Differentialgleichung, die das Problem beschreibt,
lautet:
2
∂ 2 w(x, t)
2 ∂ w(x, t)
=
c
∂t2
∂x2
mit c2 =
S
µ
(a) Überführe die partielle Differentialgleichung mittels Produktansatz in zwei gewöhnliche
Differentialgleichungen. Verwende dabei die Abkürzung ω, so dass folgende Ansätze die
gewöhnlichen Differentialgleichungen erfüllen:
T (t) = A cos ωt + B sin ωt und X(x) = C cos( ωc x) + D sin( ωc x)
(b) Bestimme die Konstanten der Ortsfunktion X(x) durch Auswertung zweier geometrischer Randbedingungen. Zeige, dass die allgemeine Lösung des Randwertproblems lautet:
P
kπct
w(x, t) = ∞
+ Bk sin k πl c t ) sin k πl x .
k=1 (Ak cos
l
(c) Werte nun auch die Anfangsbedingungen aus, und zeige unter Ausnutzung der Orthogonalitätsrelationen
Eigenfunktionen, dass die Funktion
Pder
∞
kπξ
1
l2
kπx
kπct
w(x, t) = π22ξh(l−ξ)
k=1 k 2 sin l sin l cos
l
die Lösung des gegebenen Anfangswertproblems ist.
PSfrag
replacements
77. Betrachtet wird eine eingespannte
Klaviersaite
der
Länge l, Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c. Die
Saite werde an der Stelle ξ vom Hammer der Breite
d getroffen. Die Saite werde dabei initial nicht ausgelenkt (AB 1) und genüge zum Anfangszeitpunkt der
skizzierten Geschwindigkeitsverteilung (AB 2):
w(x, t = 0) = 0 ∀x
∂w v0 cos π(x−ξ)
d
=
∂t x,t=0
0
l
ξ
v0
x
w(x, t)
d
(AB 1)
für ξ− d2 ≤ x ≤ ξ+ d2
sonst
(AB 2)
(a) Wie lautet die das Problem beschreibende Differentialgleichung?
(b) Zeige mit dem Produktansatz nach Bernoulli, daß die Lösung des Randwertproblems
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durch folgende Gleichung beschrieben wird:
w(x, t) =
∞ X
Ak sin
k=1
kπct
k π c t
kπx
+ Bk cos
sin
l
l
l
(c) Werte nun auch die Anfangsbedingungen aus, und zeige unter Ausnutzung der Orthogonalitätsrelationen der Eigenfunktionen, dass die Funktion
w(x, t) =
∞
kπξ
πd
kπx
4 v0 d X 1 sin l cos k 2l
kπct
sin
sin
2
2
π c
k
l
l
1 − kd
k=1
l
die Lösung des gegebenen Anfangsrandwertproblems ist.
Hinweise zur Lösung:
Z
Z
ξ+ d2
ξ− d2
cos
l
0
sin2
kπx
l
dx =
l
2
∀k ∈ N
π(x − ξ)
kπx
2dl2
kπd
kπξ
sin
dx =
cos
sin
2
2
2
d
l
π(l − d k )
2l
l
x1
78. Zwei Stäbe (Längen L1 , L2 Querschnittsflächen A1 , A2 , EPSfrag replacements
Moduln E1 , E2 und Dichten ρ1 , ρ2 ) sind wie skizziert miteinander verbunden und links fest eingespannt. Das System
schwingt ausschließlich in Längsrichtung.
x2
E1 , A 1 , ρ 1 , L 1
E2 , A 2 , ρ 2 , L 2
(a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen sowie die Rand- und Übergangsbedingungen
für die Stablängsschwingungen? Benutze die eingezeichneten Koordinaten x 1 und x2 .
Hinweis: Beachte, daß die Stäbe unterschiedliche Dehnsteifigkeiten haben.
(b) Löse die partiellen Differentialgleichungen jeweils mit einem Separationsansatz und formuliere das Eigenwertproblem. Hinweis: Eine Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist nicht notwendig.
(c) Wie lautet die Frequenzgleichung? Hinweis: Die Frequenzgleichung braucht nicht gelöst
zu werden.
(d) Zeige, daß man bei Aneinanderkopplung zweier identischer Stäbe auf das bekannte Ergebnis
πc
ω1 =
2L
kommt, wobei L = L1 + L2 und c die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ist.
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79. Es soll das Eigenschwingverhalten des Systems Förderkorb/Seil einer Schachtanlage untersucht werden. Seil und Förderkorb schwingen in guter Näherung nur in vertikaler Richtung.
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g
x, u
l
replacements
(a) Stelle das zweite Newtonsche Gesetz fürPSfrag
ein infinitesimales
Seilstück auf. Die lokale Verschiebung des Seils in x-Richtung
sei u(x, t). Leite dann mit dem Hookeschen Materialgesetz EA, ρ
N = EA ∂u
∂x die Bewegungsdifferentialgleichung für das darm
gestellte System her.
(b) Gib die Randbedingungen für das System an!
(c) Bestimme die statische Ruhelage u 0 (x) des Systems!
(d) Wie lauten die Differentialgleichung und die Randbedingungen mit der neuen Variablen ũ = u − u0 ?
(e) Wie groß sind die ersten beiden Eigenfrequenzen des Systems, wenn der in den Tiefen l = L, l = 2L und l = 5L haltende Förderkorb in Schwingung gerät? Verwende die Gleichungen aus Teil (d)!
Geg.: L, E, A, ρ, m, g
80. Im folgenden sollen die Längsschwingungen eines einseitig eingespannten Stabes untersucht werden. Die Querschnitte sind
kreisförmig, der Radius r verläuft linear. Es seien linearelastisches Material, ein eindimensionaler Spannungszustand,
PSfrag replacements
über die Stablänge l konstante Dichte ρ und E-Modul E vorausgesetzt. Für die Radien r0 = r(x = 0) und r1 = r(x = l) gelte
die Beziehung r1 = 23 r0 . Zudem gilt r l.
x
r(x)
l
(a) Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen mit einem Produktansatz.
(b) Bestimmen Sie die erste Eigenfrequenz näherungsweise mit dem Verfahren von Ritz.
81. Ein mit Masse belegter Stab ist an einem Ende unverschieblich gelagert,
an dem anderen mit einer Feder befestigt. Der Stab schwingt nach
geeigneten Anfangsbedingungen längs.
x
l
E, A, ρ
(a) Wie lautet die Differentialgleichung, die die Schwingung für kleine
PSfrag replacements
Auslenkungen beschreibt?
(b) Forme die partielle Differentialgleichung um in zwei gewöhnliche
Differentialgleichungen.
c
(c) Wie lauten die allgemeinen Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen?
(d) Formuliere die geometrischen und dynamischen Rand- und
Übergangsbedingungen.
(e) Stelle die Frequenzgleichung auf, und löse sie grafisch.
Gegeben seien die Größen:
l, c, E,
A, ρ.
PSfrag
replacements
82. Es wird ein Stab aus linear elastischem
Material untersucht, der am rechten Ende
(x = 0) über einen viskosen Dämpfer an die
Umgebung gekoppelt ist. Am linken Ende
(x = l) wird eine Verschiebung s (t) vorgegeben.
E, ρ, l, A
d
x
s
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Aufgrund der vorgegebenen Verschiebung s (t) kommt es zur Ausbreitung von Wellen in dem
Stab.
Beginnt man mit dem Zustand der Ruhe, breiten sich anfangs Wellen nur in negative xRichtung aus. Es soll untersucht werden, ob es eine Dämpfung d gibt, so daß eine Reflexion
der Wellen am rechten Rand vollständig unterbunden werden kann.
l
83. Der abgebildete Stab (Länge l, Querschnittsfläche A, MassebelePSfrag replacements
gung µ) führt ausschließlich Längsschwingungen u(x, t) aus. Der
Stab ist aus viskoelastischem Material, das dem folgenden Materialgesetz gehorcht.
σ = E(ε + τ ε̇)
µ, A, E, τ
m
(a) Leiten Sie an einem infinitesimalen Stück des Stabes die Bewegungsdifferentialgleichung
für die Längsschwingungen u(x, t) her. Hinweis: Beachten Sie das oben angegebene Werkstoffgesetz.
(b) Überführen Sie die partielle Differentialgleichung in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen. Benutzen Sie dazu einen geeigneten Separationsansatz für die Auslenkung
u(x, t).
(c) Wie lauten die Randbedingungen für das System?
Folgende Konstanten sind gegeben: l, µ, A, m, E, τ
84. Ein Dehnstab (Dehnsteifigkeit EA, Massebelegung µ = ρA, Länge l) stützt sich an seinen
= 2l ) über
Federn (Federsteifigkeit k) an der Umgebung ab. In
beiden Enden (x = − 2l und xPSfrag
replacements
der Ruhelage sind die Federn entspannt. An den Punkten P und Q greifen entgegengesetzt
wirkende Kräfte mit dem Betrag F (t) = F0 cos Ωt an. Die Längsschwingungen u(x, t) des
Stabes im eingeschwungenen Zustand sind zu untersuchen.
x
Q
(a) Wie lautet die die Längsschwingungen
k P
k
beschreibende partielle Differentialgleichung? Hinweis: Keine Herleitung notwendig.
l
F (t)
EA, µ
F (t)
glatt
(b) Wie lauten die Randbedingungen? Beachten Sie bitte den Ursprung der Koordinate
x!
(c) Bestimmen Sie nun die Lösung u(x, t) im
eingeschwungenen Zustand!
(d) Für welche Erregerkreisfrequenzen Ω bewegt sich der Punkt Q nicht?
Geg.: F0 , Ω, EA, µ, l
85. Ein einseitig eingespannter massebehafteter Stab (Dehnsteifigkeit EA, Dichte ρ, Länge l) im
Schwerefeld trägt an seinem Ende eine Einzelmasse m. An dieser greift eine harmonische
Erregerkraft F (t) = F0 cos Ωt an, die den Stab in erzwungene Longitudinalschwingungen
versetzt.
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(a) Leite die das System beschreibende partielle Differentialgleichung durch Freischnitt eines infinitesimalen Massenelementes
her.
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g
x, u
l
(b) Durch eine Transformation auf die statische Ruhelage läßt
sich die Differentialgleichung auf die folgende
bekannte
Form
PSfrag
replacements
überführen:
∂ 2 ũ(x,t)
∂t2
= c2l ∂
2 ũ(x,t)
∂x2
mit c2l =
E
ρ
EA, ρ
m
Ausgehend von dieser homogenen partiellen Differentialgleichung sollen die Längsschwingungen ũp (x, t) im eingeschwungenen Zustand bestimmt werden.
F (t)
Geg.: F0 , Ω, EA, ρ, l, m, g
l
86. Ein mit Masse belegter Stab ist an einem Ende
replacements
unverschieblich gelagert, an demPSfrag
anderen
Ende ist
eine Einzelmasse befestigt. Der Stab schwingt nach
geeigneten Anfangsbedingungen längs.
Gegeben seien die Größen: l, m, E, A, ρ und
2
c2L ∂∂xu2 mit c2L = Eρ
∂2u
∂t2
E, A, ρ
m
=
(a) Wähle einen geeigneten Ansatz, um die partielle Differentialgleichung in zwei gewöhnliche
Differentialgleichungen zu überführen. Begründe und diskutiere dein weiteres Vorgehen
bei der Lösung.
(b) Wie lauten die allgemeinen Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen?
(c) Formuliere die geometrischen und dynamischen Rand- und Übergangsbedingungen.
(d) Stelle die Frequenzgleichung auf, und löse sie grafisch.
(e) Erläutere den Zusammenhang zwischen den Lösungen der Frequenzgleichung und den
Eigenformen.
87. Ein Stab (Länge l, Dehnsteifigkeit EA, Massebelegung µ) liegt auf einer glatten Unterlage.
Er trägt am rechten Rand (x = l) eine Punktmasse m, am linken Rand (x = 0) wirkt eine
unbekannte Kraft F (t). Im eingeschwungenen Zustand wird die Verschiebung s(t) = ŝ cos Ωt
am Kraftangriffspunkt gemessen.
PSfrag replacements
s(t)
(a) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung, die die
Bewegung des Stabes beschreibt?
m
l, EA, µ
glatt F (t)
(b) Wie lauten die Randbedingungen?
(c) Welche Kraft F (t) ist im eingeschwungenen Zustand
erforderlich?
88. Eine Masse m trifft zum Zeitpunkt t = 0 auf das freie Ende eines einseitig fest eingespannten
geraden Stabes (Länge l, Dichte ρ, Dehnsteifigkeit EA). Unmittelbar vor dem Stoß hat die
Masse die Geschwindigkeit v0 und der Stab ist unverformt und in Ruhe.
PSfrag replacements
l
2l
c
(a) Für das Zeitintervall 0 ≤ t <
ist der zeitliche
Verlauf der Kontaktkraft zwischen der Masse und
dem Stab zu berechnen.
(b) Kann die Masse im betrachteten Zeitintervall vom
Stab abheben?
m
v0
EA, ρ
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89. Ein kreiszylindrischer Draht mit dem Radius r und der Dichte ρ sei
wie skizziert eingespannt und mit einer Scheibe mit
PSfrag
dem
replacements
Massenträgheitsmoment J verbunden. Ermittle die Frequenzgleichung!
G, ρ
2r
a
G, ρ
b
Geg.: G, ρ, J, a, b, r.
J
90. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreisförmigem Querschnitt trägt an seinem Ende eine Einzelmasse. Geeignete Anfangsbedingungen lassen den Stab um seine Längsachse
schwingen.
PSfrag replacements
(a) Forme die Wellengleichung (partielle Differentialgleichung) in 2 gewöhnliche Differentialgleichungen um.
(b) Wie lauten die allgemeinen Lösungen dieser
gewöhnlichen Differentialgleichungen? Wie
lautet die Lösung der partiellen Differentialgleichung?
ϑ
r
x
y
G, Ip , A, ρ
z
m
l
(c) Formuliere die geometrischen und dynamischen Randbedingungen.
(d) Stelle die Frequenzgleichung auf, und löse sie
grafisch.
PSfrag replacements
Geg.: l, m, G, Ip , A, ρ, r
91. Ein Balken (Länge l, Massebelegung µ, Biegesteifigkeit
EI) ist bei A gelenkig gelagert und bei B in eine Hülse
gesteckt, die dem Balken dort eine horizontale Tangente
aufzwingt. Die Hülse (Masse m) kann auf einer starren
Stange in vertikaler Richtung reibungsfrei gleiten. Der
Balken schwingt ausschließlich in Querrichtung.
glatt, starr
A x
w
l
B
EI, µ
m
(a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichung und die zugehörigen Randbedingungen?
Hinweis: Keine Herleitung notwendig.
(b) Wie lautet die Frequenzgleichung? Hinweis: Die Frequenzgleichung braucht nicht gelöst
zu werden.
Geg.: EI, µ, l, m
l
92. Ein einseitig eingespannter, massebehafteter
trägt
PSfragBalken
replacements
am freien Ende eine Einzelmasse. Geeignete Anfangsbedingungen lassen den Balken quer schwingen.
E, I, A, ρ
m
Gegeben seien die Größen: l, m, E, I, A, ρ
(a) Zeige an einem differentiellen Massenelement, dass gilt:
∂2w
∂t2
4
= −c2Q ∂∂xw4 mit c2Q =
EI
ρA !
(b) Forme die partielle Differentialgleichung um in 2 gewöhnliche Differentialgleichungen.
(c) Bestimme die allgemeine Lösung mit einem für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen allgemeingültigen Ansatz der Form X(x) = Aeλx !
(d) Formuliere die geometrischen und dynamischen Randbedingungen.
(e) Stelle die Frequenzgleichung auf!
93. Der skizzierte massebehaftete Balken wird durch geeignete Anfangsbedingungen in freie Transversalschwingungen versetzt.
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x, u
PSfrag replacements
(a) Wie lautet die das System beschreibende
partielle Differentialgleichung? Hinweis: Keine
Herleitung notwendig.
l
(b) Formen Sie diese partielle Differentialgleichung in zwei gewöhnliche um und geben Sie
deren Lösungen an.
EI, ρ, A
z, w
(c) Formulieren Sie die geometrischen und physikalischen Randbedingungen.
(d) Stellen Sie die Frequenzgleichung auf.
Geg.: A, EI, ρ, l
94. Ein einseitig eingespannter, massebehafteter Balken trägt am freien Ende eine Einzelmasse
und ist dort mit einer Feder abgestützt. Geeignete Anfangsbedingungen lassen den Balken
quer schwingen.
l
2
2 ∂4w
(a) Forme die partielle Differentialgleichung ∂∂tw
2 = −cQ ∂x4
mit c2Q = EI
DifferentialgleiρA um in zwei gewöhnliche
PSfrag replacements
m
chungen!
E, I, A, ρ
(b) Bestimme die allgemeine Lösung der Ortsfunktion mit
c
einem Exponentialansatz!
(c) Formuliere die geometrischen und dynamischen Randbedingungen!
(d) Stelle die Frequenzgleichung auf und gib eine Bestimmungsgleichung für die Eigenformen an!
Gegeben seien die Größen: l, m, c, E, I, A, ρ
95. Ein Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI, MassebelePSfrag
gung µ) ist bei A gelenkig gelagert
und replacements
bei B mit w
einem starren Körper (Masse m) verbunden. Eine
starre, masselose Pendelstütze DC (Länge l) hält die
Masse waagerecht.
(a) Gib die partielle Differentialgleichung und die
Randbedingungen für kleine Biegeschwingungen w(x, t) des Balkens an.
A
D
x
EI, µ, l
starr, masselos
B
C
m
(b) Stelle die Frequenzgleichung für das Systems
auf.
(c) Bestimme numerisch die erste Eigenfrequenz
für den Fall, das der starre Körper gerade 10
mal schwerer ist als der Balken.
Geg.: l, EI, µ, m
96. Erzwungene Schwingungen eines Balkens
Ein einseitig eingespannter Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI, MassebelegungPSfrag
µ) werde
dadurch
replacements
in erzwungene Schwingungen versetzt, daß die
Einspannung eine harmonische Auf- und Abbewegung mit der Frequenz Ω durchführt. Die Durchbiegung w(x, t) des Balkens im eingeschwungenen
Zustand ist in den folgenden Schritten zu bestimmen.
x
!
""#!
ŵ sin Ωt
EI, µ, l
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(a) Wie lautet die die Transversalschwingungen beschreibende partielle Differentialgleichung?
Hinweis: Keine Herleitung notwendig.
(b) Wie lauten die Randbedingungen?
(c) Welcher Produktansatz ist zu wählen, um die Auslenkung im eingeschwungenen Zustand
zu berechnen? Die Ortsfunktion sei mit X(x) bezeichnet.
(d) Der Produktansatz führt bekanntlich auf
X(x) = A sinh λx + B cosh λx + C sin λx + D cos λx
Wie wurde demnach λ definiert?
(e) Bestimme davon ausgehend die Durchbiegung im eingeschwungenen Zustand!
PSfrag replacements
x
97. Ein beidseitig gelenkig gelagerter Balken (Länge l, Biel
gesteifigkeit EI, Massebelegung µ) werde dadurch in erzwungene Schwingungen versetzt, daß am rechten Lager
EI, µ
eine harmonische Drehbewegung mit der Frequenz Ω vor- A
gegeben ist. Geben Sie die Durchbiegung w(x, t) im eingeschwungenen Zustand an.
B
α(t)
Geg.: l, EI, µ, α(t) = α̂ sin Ωt, Ω, α̂
98. Ein Balken (Länge 2l, Massebelegung µ, Biegesteifigkeit EI) ist an beiden Enden an Federn
(Steifigkeit k) aufgehängt. An den Endpunkten werden die Bewegungen s(t) = ŝ cos Ωt durch
geeignete Kräfte F (t) erzwungen.
x
(a) Gib die partielle Differential-
+ ,-./0123
+
"! "! ; 65 4 ;< 9 65 78 4 :9 k
gleichung und die RandbedinPSfrag
replacements
gungen für kleine
Biegeschwingungen w(x, t) des Balkens an.
(b) Bestimme die Balkenschwingungen w(x, t) im eingeschwungenen Zustand.
3.1
µ, EI
s(t)
Geg.: µ, EI, l, k, ŝ, Ω
3
) &% )* (' #$ &% ('
ED A@ = ED CB >? A@ = CB
k
l
s(t)
l
F (t)
F (t)
Grundlagen der Hydromechanik
Hydrostatik
99. Ein Wasserlauf wird durch ein schräg liegendes Klappenwehr begrenzt. Die Wehrklappe ist in
ihrem Schwerpunkt S drehbar gelagert. Die Breite der Wehrklappe (senkrecht zur Bildebene)
ist b. Bei einem bestimmten Wasserstand klappt das Wehr selbständig auf.
p0
(a) Berechnen Die die resultierende Kraft auf die
Wehrklappe und das Moment bezüglich der Wehrachse infolge des Wasserdruckes!PSfrag replacements
(b) Berechnen Sie den Wasserstand z 0 , bei dem das
Wehr selbständig öffnet!
(c) Berechnen Die das maximale Moment, das erforderlich ist, um das Wehr zu öffnen!
Geg.: ρ, h, α, p0 , g
ρ
S
z0
h
α
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Seite 31
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
100. Zwei
mit
(inkompressiblen)
Flüssigkeiten der Dichten ρA bzw.
ρB gefüllte Behälter sind in der
skizzierten Weise über ein U-RohrPSfrag
Manometer verbunden.
Die replacements
Dichte der
Manometerflüssigkeit ist ρC .
Wie groß ist die Druckdifferenz pA −pB
in Abhängigkeit vom Manometerausschlag 4h?
18. Februar 2005
pA
4h
2
hA
4h
2
hB
ρA
ρC
Geg.: hA , hB , 4h, ρA , ρB , ρC
ρB
PSfrag replacements
101. Zwei Flüssigkeitsbehälter sind nach nebenstehender
Skizze durch ein Rohrsystem miteinander verbunden.
Über der Flüssigkeit in beiden Behältern befindet sich
Luft. In den Behältern und dem Rohrsystem befinden
sich drei verschiedene Flüssigkeiten mit den Dichten
ρ1 , ρ2 und ρ3 . Die Druckdifferenz zwischen den beiden
Behältern beträgt pa −pb = ∆p. Wie groß ist die Dichte
ρ3 der dritten Flüssigkeit?
pB
g
h1
ρ3
pa
pb
ρ1
ρ2
h2
h4
h3
Geg.: ∆p, h1 , h2 , h3 , h4 , ρ1 , ρ2 , g
ω
102. EULERsches Fluid: EULERsches Grundgesetz fürPSfrag
ρ = const.
replacements
g
p0
Ein Becher sei mit einem reibungsfreien, inkompressiblen Fluid (ρ =
const) gefüllt und rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit
ω im Schwerefeld der Erde. In einer mitgewegten Basis gilt das EULERsche Grundgesetz der Hydrostatik in bekannten Form (ohne Beweis).
z0
z
(a) Berechnen Sie mit der Vorgabe f = ω 2 rer − gez ein Potential
U in Zylinderkoordinaten, aus dem sich f berechnen läßt aus
f = −gradU . Hinweis: Der Gradient von U hat in der mitbewegten Basis < er eϕ ez > die (physikalischen) Komponenten
1 ∂U ∂U
[ ∂U
∂r , r ∂ϕ , ∂z ].
(b) Setzen Sie f = −gradU in das EULERsche Grundgesetz der
Hydrostatik ein. Was können Sie über U + pρ sagen? Stellen Sie
p als Funktion von z, r mit den Parametern p 0 , z0 dar.
PSfrag replacements
(c) Welche Form nimmt die Oberfläche der Flüssigkeit an?
103. Eine senkrechte Trennwand der Breite b, die ein Wasserreservoir der Wassertiefe h2 gegen ein anderes der Tiefe
h1 abschließt, soll vor Überlastung geschützt werden. Bei
Überschreiten einer bestimmten Wassertiefe h 2 soll der Ventilkörper der Masse m abheben, damit das Wasser vom
Behälter 2 in den Behälter 1 fließen kann.
(a) Ab welchem Wasserstand h2,krit überschreitet das resultierende Moment Mres um den Punkt B den kritischen Wert Mkrit = 9,81 · 106 Nm?
g
p0
Ao
2
h2
Mres
B
1
m
Au
h1
h3
(b) Wie groß muß die Ventiloberfläche Ao sein, damit das
Ventil bei Erreichen des Wasserstandes h 2,krit öffnet?
Geg.: h1 = h3 = 1m, Au = 1m2 , p0 = 1bar, g = 9,81 sm2 , m = 1000kg, Mkrit = 9,81 · 106 Nm,
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 32
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
b = 2m
104. Eine transportable Hochwassersperre sei viertelzylinderförmig mit dem Radius R und der
Breite b senkrecht zur Zeichenebene ausgeführt. Sie besteht aus homogenem Material der
Dichte ρS = 3 · ρW . Die Sperre liegt lose auf dem Grund. Es sei angenommen, daß zwischen
Sperre und Grund kein Wasser eindringt und daß dort der Haftreibungskoeffizient µ 0 wirksam
ist. Es soll der höchste Wasserstand hPSfrag
werden.
0 = R betrachtet
replacements
(a) Wie groß ist die Horizontalkraft F x des Wassers
auf die Sperre?
(b) Wie groß ist die Vertikalkraft F y des Wassers auf
die Sperre?
(c) Wie groß muß der Haftreibkoeffizient µ 0 mindestens sein, damit die Sperre nicht wegrutscht?
g
x
y
R
h0
ρS
ρW
(d) Wie verläuft die Wirkungslinie der resultierenden
Wasserlast? Gib einen Punkt und die Neigung an.
Geg.: ρW , R, b, g
105. Eine in einem Wasserbehälter eingebaute Klappe der Höhe h und
der Breite b ist im Punkt D um eine horizontale Achse drehbar
gelagert.
PSfrag replacements
(a) Wie groß ist die resultierende Wasserlast F auf die Klappe
in Abhängigkeit von der Höhe x des Wasserspiegels?
(b) Bei welcher Höhe x des Wasserspiegels öffnet sich die Klappe durch die Wasserlast selbsttätig? Stellen Sie Ihr Ergebnis
M
in einem Diagramm dar.
(c) Berechnen Sie nun mit den gegebenen Zahlenwerten, bei
welcher Wasserhöhe sich die Klappe öffnet.
kg
Geg.: h = 1m, d = 0,45m, b = 1m, g = 9,81 sm2 , ρH2 O = 103 m
3
x
h
D
d
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Seite 33
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
x3 = H
106. Das EULERsche Grundgesetz der Hydrostatik lautet für den Spezialfall
∂U
∂U
∂U
f = −grad U = −( ∂x
e1 + ∂x
e2 + ∂x
e3 ):
1
2
3
PSfrag replacements
1
grad p = −grad U
ρ
18. Februar 2005
g = −g e3
e3 , x 3
(1)
p0 ,ρ0
(a) Welche Einheit hat die Volumenkraftdichte f?
e1 , x 1
(b) Bestimmen Sie das Potential U so, dass f die Volumenkraftdichte der Schwerkraft ist.
(c) Schreiben Sie für die vektorwertige Gleichung (1) drei partielle
Differentialgleichungen. p hängt offenbar nur von x3 ab. Wie
lautet die gewöhnliche Differentialgleichung für p(x3 )?
(d) Integrieren Sie die Differentialgleichung zwischen x 3 = 0 und
x3 = H, um den Luftdruck p(H) zu ermitteln. Am Erdboden
herrsche der Druck p0 und die Dichte ρ0 . Um ρ(p) zu bestimmen, werde angenommen, dass gilt:
p
p0
= const. = κ
κ
ρ
ρ0
mit κ = const. 6= 1
Hinweis: Die ideale Gasgleichung wird zur Lösung nicht
benötigt. Bei der gesuchten Gleichung handelt es sich nicht
ρ
− 0 gx
um die barometrische Höhenformel p(x3 ) = p0 e p0 3 .
3.2
Bernoullische Gleichung
107. Auf einem Podest der Höhe H 0 = 0, 5m steht ein
großes Gefäß (Durchmesser D = 1m), welches bis
zu Höhe H = 1m mit Wasser gefüllt ist (vgl. nebenstehende Skizze). Dieses Gefäß wird mit Hilfe
PSfrag replacements
eines Schlauches (Durchmesser
d = 1cm) nach dem
Heberprinzip entleert.
(a) Wie groß ist bei reibungsloser Strömung die
Wasseraustrittsgeschwindigkeit v A = f (h)
am Schlauchende in Abhänigkeit von der
veränderlichen Wasserhöhe h im Behälter?
(b) Wie groß ist bei reibungsloser Strömung die
Entleerungszeit T des Behälters?
108. Wasserleitung/BERNOULLIsche
chung
Glei-
(b) die maximal mögliche Anzahl von
Entnahmestellen W unter der Bedingung, daß an keiner Stelle der
Leitungen L1 und L2 Kavitation
!
auftreten soll (p > pD )!
(1)
A1 L1
D
des Druck-
(3)
ρ
Bestimme für das dargestellte System
unter der Voraussetzung stationärer
Verhältnisse
(a) den Innendruck pi
behälters D,
p0
(0)
(2)
pi
A3
h3
h1
(4)
L2
A3
A4
W
h4
h0
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 34
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
Geg.: h0 , h1 , h3 , h4 , A1 , A3 , A4 , ρ, Umgebungsdruck p0 , Dampfdruck pD , mit h4 < h1 <
h3 < h0 und A21 = A3 = 10 A4 , Erdbeschleunigung g.
109. Ein Hochofengebläse drückt Luft mit dem Druck p1 in eine Rohrleitung vom Durchmesser d1 . Der Volumenstrom
V̇ soll durch eine einfache Druckablesung kontrolliert
werden. Zu diesem Zweck ist in die Leitung eine Verengung (Venturirohr) und ein U-Rohr-Manometer eingebaut.
p1
d1
p2
u1
u2
d2
r
Dh
Berechnen Sie den Volumenstrom V̇ als Funktion der im
Manometer angezeigten Höhendifferenz ∆h bei vorgegebenen Durchmessern d1 und d2 !
r
H2 O
Geg.: ρH2 O , ρLuft , p1 , d1 , d2 , reibungsfreie, inkompressible Strömung
110. Eine Rohrleitung mündet h Meter unterhalb
des Wasserspiegels eines oberen Wasserbehälters
ins Freie. Mit Hilfe einer düsenförmigen Verengung und einem Saugrohr soll aus einem unteren Wasserbehälter Wasser gefördert werden
(Höhendifferenz zur Düse hs ).
Wie ist das Querschnittsverhältnis Ae /Aa in der
Düse zu wählen, damit Wasser angesaugt wird?
Geg.: h, hs , ρ, g
111. Staumauer/BERNOULLIsche Gleichung
PSfrag replacements
p0
(0)
Durch plötzliches Öffnen des Schiebers S am Ende einer
Druckrohrleitung (mit dem Querschnitt A und der Länge l)
zum Zeitpunkt t0 fließt Wasser aus einem Stausee Wasser ab.
ρ
h
A
S
(1)
(a) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der AustrittsgePSfrag
replacements
schwindigkeit vE (t). Das
Absinken
des Wasserspiegels
des Stausees sei dabei vernachlässigbar.
(b) Wie groß ist die Drucksteigerung in der Leitung, wenn
nach dem Erreichen des stationären Ausflußzustandes
durch Schließen des Schiebers die Ausflußgeschwindigkeit vE innerhalb eine kurzen Zeit τ linear auf null gebracht wird?
p1
112. Gegeben sei nebenstehend skizziertes Leitungs(1)
system. Der Flüssigkeitspegel im Kessel werde
durch eine Speisewasserpumpe auf konstanter
ρ
Höhe gehalten.
l
p0
(M)
hx
(3)v3
Gegeben: hi (i = 1, . . . , 4), A, ρ, p0 , Q4 , g
A
h1
(a) Geben Sie den Zusammenhang zwischen
dem Volumenstrom Q4 und der Aus- z
trittsgeschwindigkeit v4 an der Stelle (4)
an. Wie groß ist der Druck an der Stelle
(4)?
h2
A
(2)
h3
v4
(4)
h4
(b) Formulieren Sie die BERNOULLIsche Gleichung zwischen den Punkten (1) und (4). Wie
groß muss der Kesseldruck p1 sein, damit an der Stelle (4) ein vorgegebener Volumenstrom Q4 entnommen werden kann?
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Seite 35
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
(c) Formulieren Sie die BERNOULLIsche Gleichung nun zwischen den Punkten (1) und (3).
Benutzen Sie das Ergebnis für den Druck p1 aus Aufgabenpunkt (b), um die Austrittsgeschwindigkeit v3 an der Stelle (3) zu berechnen.
(d) Auf welche Höhe hx steigt der Wasserspiegel im Meßrohr?
3.3
Impulssatz
113. Ein Wasserleitungssystem wird aus einem Druckbehälter gespeist. Aus allen drei Austrittsquerschnitten soll der gleiche Volumenstrom austreten. Die Füllhöhe h des Druckbehälters sei
konstant. Das Wasser wird als inkompressibel und die Strömung als reibungsfrei angenomPSfrag replacements
men.
p0
g
(a) Berechnen Sie die dazu erforderlichen QuerA3 a
schnitte A2 und A3 !
pi
(b) Berechnen Sie das Moment um den Punkt P,
A2 a
das durch den Rückstoß des austretenden
Wassers entsteht. Hinweis: Die Ergebnisse
h
ρ
P
A1 a
für v1 , v2 und v3 aus Aufgabenteil (a) sollen nicht eingesetzt werden.
Geg.: A1 , p0 , pi , a, h, ρ, g.
114. Es ist mit Hilfe des Impulssatzes der Druckverlust (p 1 − p2 )
im Rohreinlauf eines Kreisrohres vom Radius R zu ermitteln. Im Einlaufquerschnitt (1) sei die Geschwindigkeit über
dem Rohrquerschnitt konstant. Im Querschnitt
(2) herrsche
die Geschwindigkeit v2 (r) = v2max · 1 − (r/R)2 . Die Verluste durch Wandreibung können gegenüber den Druckverlusten vernachlässigt werden.
Wie groß ist der Verlustkoeffizient ζ E =
mittleren Geschwindigkeit?
Geg.: R, v2 (r) = v2max · 1 − (r/R)2
p1 −p2
e
· v̄22
2
mit v̄2 als der
115. Ein Ball vom Gewicht G wird von einem Luftstrahl reibungsfrei umströmt und dadurch in
der Schwebe gehalten. Der Strahl strömt unter dem Winkel α1 mit der Geschwindigkeit v1
an. Die Kompression der Luft in der Nähe des Balls kann ebenso vernachlässigt werden wie
die Wirkung der Schwerkraft auf den Luftstrahl.
(a) Wie groß ist v2 (Abströmgeschwindigkeit)?
(b) Wie groß ist der Abströmwinkel α2 ?
(c) Welcher Massenstrom im Strahl ist erforderlich, damit
der Ball schwebt?
Annahme: Es wird keine horizontale Kraft vom Luftstrahl auf
den Ball ausgeübt!
Geg.: v1 , G, α1 , p0
116. Aus einem Rohr mit der Querschnittsfläche A1 tritt an der Stelle 2 durch eine Düse (Querschnitt A2 ) ein dünner Wasserstrahl aus und trifft an der Stelle 3 auf einen senkrecht geführten
Kolben der Masse M . Dort wird der Strahl horizontal abgelenkt. Der dann folgende d ünn
gestrichelt gezeichnete weitere Verlauf soll nicht berücksichtigt werden. Die Reibung soll vernachlässigt werden, das Wasser habe die konstante Dichte ρ.
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Seite 36
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
(a) Bestimmen Sie die Düsenaustrittsgeschwindigkeit v2 !
g
M
des Wassers
nach
(b) Wie groß ist die Geschwindigkeit v 3 (z)PSfrag
replacements
der Umlenkung am Kolben in Abhängigkeit von der Höhe
z des Kolbens? v2 soll jetzt gegeben sein. Bitte das Ergebnis aus Teil (a) nicht mehr einsetzen!
(c) Geben Sie den Vektor der Kraft an, die der Wasserstrahl
auf den Kolben ausübt!
(d) Bestimmen Sie die statische Ruhelage des Kolbens z.
Geg.: A1 , p1 , A2 , h1 , p0 , g
18. Februar 2005
z
3
2
N.N.
p0
h1
v1
p1 , A 1
ez
ex
117. Ein Wasserstrahl (Dichte ρ), der ein Geschwindigkeitsprofil u/u0 = 1 − (r/R)2 besitzt, tritt aus einem
kreisförmigen Rohr (Radius R) ins Freie und trifft stromabwärts von der Rohrmündung auf eine senkrecht zum
Strahl gestellte ebene Platte (vgl. nebenstehende Skizze).
(a) Wie groß ist die auf die Platte wirkende Strahlkraft
F ? Das Ergebnis ist in der Form F = f1 (ρ, u0 , R)
anzugeben.
(b) Wie groß ist die mittlere Strahlgeschwindigkeit
ū = Q/πR2 = f2 (u0 ) ?
(c) Die unter a) berechnete Strahlkraft F ist in der dimensionslosen Form cF = F/ ρ2 ū2 πR2 ) anzugeben.
(d) Wie groß ist der dimensionslose Beiwert c F für
den Fall einer reibungslosen Rohrströmung mit der
über den Rohrquerschnitt konstanten Geschwindigkeit ū ? Vergleichen Sie die Ergebnisse aus c) und
aus d).
PSfrag
118. Entsprechend nebenstehender Skizze
sollreplacements
die Kraft
p0
berechnet werden, mit der die Feder infolge des
verlustfreien Ausströmens einer inkompressiblen
Flüssigkeit der Dichte ρ zusammengedrückt wird.
z
Geg.: A1 A2 , H, p0 , g, ρ
x
3.4
Reibungsbehaftete Strömungen
A1
H
A2
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 37
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
x3
119. Reibungsbehaftete (i.A. kompressible) isotrope Fluide, die
PSfrag replacements
folgendem Schubspannungsansatz genügen, nennt man
NEWTONsche Fluide:
σij = −pδij + λ
∂vm
∂vi
∂vj
δij + µ(
+
)
∂xm
∂xj
∂xi
(2)
18. Februar 2005
v0
h
x2
Ein NEWTONsches, inkompressibles Fluid befinde
sich zwischen zwei Platten mit Abstand h unter Vernachlässigung von Volumenkräften. Die obere Platte bewege sich mit der Geschwindigkeit v 0 in x1 -Richtung (s.
Skizze). Das Fluid hafte an den beiden Platten, so dass
nur v1 von Null verschieden ist und von x3 abhängt.
x1
(a) Welche Form nimmt (2) an, wenn zusätzlich Inkompressibilität angenommen wird?
(b) Wie lautet die differentielle Form des Impulssatzes für stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids ohne Volumenkräfte?
(c) Setzen Sie v und σ in den Impulssatz ein, um 3 partielle Differentialgleichungen zu
gewinnen!
(d) Nehmen Sie nun zusätzlich an, dass p sich in x1 -Richtung nicht ändert (ebene COUETTEStrömung), um v1 zu bestimmen!
dp
(e) Nehmen Sie nun an, das p sich in x1 ändert mit dx
= const. = G < 0 und dass beide
1
Platten ruhen (ebene HAGEN-POISEUILLE-Strömung). Berechnen Sie wiederum v1 !
120. Längs einer unter α = 60o gegen die Waagerechte geneigten
Platte der Breite b = 0,5m fließt eine konstante Ölmenge Q =
3 l/s als dünner Film der Stärke δ.
Annahme: Es stellt sich ein in x-Richtung konstantes
Geschwindigkeits- und Druckprofil ein.
Man berechne
(a) die Geschwindigkeit im Film und
(b) die Filmdicke δ (ν = 0,436 · 10−4 m2 /s).
121. Das gezeichnete Traglager wird durch einen sehr dünnen Ölfilm
der Dicke s geschmiert. Die Zähigkeit des Schmieröls sei η. Bestimmt werden soll das zur Überwindung der Flüssigkeitsreibung
erforderliche Drehmoment M (ω) in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit ω. Die Reibung im Radiallagerteil (zylindrischer
Bereich) soll dabei vernachlässigt werden.
(a) Bestimme die Schubspannung τ (r) im Abstand r von der
Drehachse bei vorgegebener Winkelgeschwindigkeit ω.
(b) Wie groß ist das Drehmoment dM (r), das zur Überwindung
der Flüssigkeitsreibung eines Kreisringes mit der infinitesimalen Breite dr erforderlich ist?
(c) Bestimme das Drehmoment M (ω)!
(d) Welches Drehmoment ergibt sich für ω = 318, 3 min−1 ?
Geg.: R1 = 0,2m; R2 = 0,4m; s = 0,2mm;
ω = 318,3min−1 =
ˆ n = 50.66min−1 ; η = 0,4Ns/m2
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 38
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
4
18. Februar 2005
Weitere Aufgaben
PSfrag replacements
122. Mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens berechne
man näherungsweise die Biegelinie. Vergleichen Sie ihr Ergebnis für die Durchsenkung an
der Stelle x = 2l für den Spezialfall c = 0 mit w
dem exakten Ergebnis.
EI
M0
x
c
l
l
Es soll der folgende zweigliedrige Ansatz verwendet werden:
w(x) = q1 f1 (x) + q2 f2 (x)
,
wobei die beiden Formfunktionen f1 und f2 Polynome sind.
Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Formfunktionen so zu normieren, daß q 1 die Durchsenkung
des Balkens in der Mitte (x = l) und q2 die Verdrehung des Balkens am rechten Ende (x = 2l)
sind.
Gegeben: M0 , EI, c, l
123. Der Flügel eines Hochdeckerflugzeuges erzeugt annähernd eine über die Flügelspannweite
konstante Auftriebslast p. Um das Biegemoment an der fest eingespannten Flügelwurzel A
zu reduzieren, wurde eine Strebe BC eingebaut. Der Flügelaufbau wird wie abgebildet durch
einen dehnstarren Balken und einen Stab modelliert. Alle Teile seien aus dem gleichen Material.
PSfrag replacements
p
A
D
C
c
5
B
a
b
Hinweis: Setzen Sie die unten gegebenen Zahlenwerte erst in Aufgabenteil (d) ein.
(a) Ist das System statisch bestimmt?
(b) Bestimmen Sie die komplementäre Formänderungsenergie W ∗ als Funktion der Stabkraft
S.
(c) Wie groß ist die Kraft S in der Strebe?
(d) Setzen Sie nun die gegebenen Zahlenwerte in das Ergebnis für S ein.
Geg.: IAD = 900 cm4 , AAD = 45 cm2 , ABC = 20 cm2 , c = 180 cm, a = 230 cm, b = 320 cm,
p = 7 N mm−1
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Seite 39
PSfrag replacements
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
124. An einem Torsionsstab (Länge a + b) ist horizontal
ein Hebel der Länge c angebracht. Beide sind aus
dem gleichen Rundstahl gefertigt (Durchmesser D, EModul E und Schubmodul G). Am Hebel wirkt senkrecht die Kraft F . Die Durchbiegung des Torsionsstabes soll vernachlässigt werden, die Verschiebungen
und Drehungen sollen klein sein. Berechnen Sie die
Absenkung des Kraftangriffspunktes P!
Geg.: a, b, c, D, F
18. Februar 2005
z
F
x
c
A
P
B
a
b
y
ε
C
125. Die Enden einer abgesetzten Welle (Abschnitt 1: Durchmesser d 1 , Abschnitt 2: Durchmesser
d2 ) sind in den Lagern A und B gegen Verdrehung festgehalten. Auf ein Zahnrad, das mit
der Welle fest verbunden ist, wirkt ein Kräftepaar, so daß auf die Welle das Torsionsmoment
MT übertragen wird.
PSfrag replacements
(a) Wie groß sind die in den Lagern A und B aufzunehmenden Torsionsmomente?
(b) An welcher Stelle müßte das Zahnrad auf dem
Wellenabsatz 2 befestigt sein, damit der Verdrehwinkel maximal wird?
Geg.: d1 , d2 , a, b, c, MT
1
A
2
B
x
a
b
c
126. Betrachtet wird ein unterirdisch verlegtes Rohr (Radius R), durch das eine Newtonsche
Flüssigkeit (dynamische Viskosität η) fließt. Der Volumenstrom sei Q. Es soll von laminarer Strömung ausgegangen werden. Das Geschwindigkeitsprofil u(r) bei stationärer Strömung
soll in den unten aufgeführten Schritten bestimmt werden.
(a) Zeigen Sie, daß die Differentialgleichung
für die Strömungsgeschwindigkeit u(r)
r dp
du
= PSfrag replacements
dr
2η dx
lautet.
(b) Wie lauten die Randbedingungen?
(c) Bestimmen Sie nun das Geschwindigkeitsprofil in Abhängigkeit vom Druckgefälle.
(d) Leiten Sie schließlich eine Formel für das
Geschwindigkeitsprofil u(r) her, in der
nur die gegebenen Größen enthalten sind.
Geg.: R, Q, η
2R
u(r)
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Seite 40
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
PSfrag replacements
127. Dargestellt ist ein System aus einem schubstarren Balken, einem Dehnstab und einer Feder.
Berechnen Sie die Verdrehung ϕ am Lagerpunkt A unter Verwendung des Satzes von CASTIGLIANO. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) Berechnen Sie zunächst die maßgeblichen Schnittkräfte in Dehnstab, Balken und Feder N, M und
F unter Berücksichtigung eines Hilfsmoments M H ,
B
das dort anzubringen ist, wo der Verdrehwinkel gesucht ist.
A
q0
x
ϕ
l
2
EI
z
c
l
EA
(b) Berechnen Sie die gesuchte Verdrehung unter Ausnutzung von
Rl
R 2l
∂W
∂W ∗
1
∂M
1
∂N
=
=
M
dx+
∂MH
∂MH
EI 0
∂MH
EA 0 N ∂MH dz+
F ∂F
c ∂MH
(c) Berechnen Sie die Verdrehung ϕ nun für den Spezialfall EI → ∞ und c → ∞.
PSfrag replacements
128. Eine beidseitig eingespannte Saite der Länge
h
l (Dichte ρ, Querschnittsfläche A) ist um die
Kraft S vorgespannt. Nach Einleitung der folgenden Anfangsbedingungen führt sie freie, ungedämpfte, rein transversale Schwingungen aus:
ẇ(x, t = 0) = 0
(
w(x, t = 0) =
Geg.: ρ, A, S, l, h
w
x
l
4
l
h
l
4 l x für 0 ≤ x < 4
4
x
l
3 1 − l h für 4 ≤ x ≤ l
(a) Bestimmen Sie die d’Alembertsche Lösung der Wellengleichung, und zeichnen Sie die
Auslenkungen der Saite zu den Zeitpunkten: t 0 = 0, t1 = 18 T , t2 = 14 T , t3 = 38 T , ... über
eine volle Periode T .
(b) Lösen Sie die Wellengleichung mit Hilfe des Produktansatzes von Bernoulli. Passen Sie
die Lösung an die Rand- und Anfangsbedingungen an.
(c) Zeichen Sie die ersten vier Eigenschwingungsformen und die Auslenkung der Saite aus
der gewichteten Überlagerung dieser vier Eigenformen für den Zeitpunkt t = 0.
(d) Zeigen Sie, dass die Lösung nach Bernoulli die Fourierdarstellung der d’Alembertschen
Lösung ist.
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
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Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
18. Februar 2005
PSfrag replacements
129. Ein Balken ist links und rechts gelenkig gelagert, am
rechten Ende (x = L) greift ein periodisches Moment
an: M (t) = M0 cos Ωt.
x
L
EI, A, ρ
A
(a) Gib die das Problem beschreibende partielle Differentialgleichung und die dazugehörigen Randbedingungen an!
B
M (t)
(b) Bestimme die Schwingungsform im eingeschwungenen Zustand!
Geg.: M0 , L, EI, A, ρ
PSfrag replacements
130. Die Öffnung einer Behälterwand wird durch eine Klappe K mit der Breite b (senkrecht zum
Bild) und der Höhe h verschlossen. Sie ist über
einen um O drehbaren und masselosen Winkelhebel mit einem zylindrischen masselosen Schwimmer S (Durchmesser d, Breite b) verbunden. Der
Auftrieb des Hebels werde vernachlässigt.
Geg.: p0 , s, h, b, ρ, g, d
p0
a
O
S
s
d
ρ
g
K
h
(a) Bestimmen Sie die Auftriebskraft des Schwimmers, wenn der Wasserspiegel auf der Höhe
des Drehpunkts O liegt.
(b) Bestimmen Sie die Druckverteilung innen an der Klappe und die Kraft, die aufgrund
des Wasserdrucks von innen auf die Klappe wirkt.
(c) Wie groß muss a sein, damit die Klappe öffnet, wenn der Wasserspiegel bis zur Höhe des
Drehpunkts O gestiegen ist?
131. Der skizzierte massebehaftete Balken wird durch geeignete Anfangsbedingungen in freie Transversalschwingungen versetzt.
PSfrag
replacements
l
(a) Wie lautet die das System beschreibende
partielle
Differentialgleichung? Hinweis: Keine Herleitung notwendig.
(b) Formen Sie diese partielle Differentialgleichung in zwei
gewöhnliche um und geben Sie deren Lösungen an.
(c) Formulieren Sie die geometrischen und physikalischen
Randbedingungen.
(d) Stellen Sie die Frequenzgleichung auf und geben sie
näherungsweise die erste von Null verschiedene Eigenkreisfrequenz an.
Geg.: A, EI, ρ, l
x, u
EI, ρ, A
z, w
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Seite 42
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
132. Das abgebildete System besteht aus einem elastischen, massebehafteten Seil (Dichte ρ, Länge l, Querschnittsfläche A,
E-Modul E) und einer Endmasse m.
18. Februar 2005
s(t)
g
Es sollen die erzwungenen Längsschwingungen des Systems
untersucht werden. Die Position des oberen Endes ist vorgegeben: s = ŝ cos Ωt. Die Position der Endmasse
sei mit q
PSfrag replacements
bezeichnet. Wenn das Seil nicht gedehnt ist, gilt q = s.
Leiten Sie für den Fall, daß man die Verschiebung u(x, t) des
Seils mit folgendem Ritz-Ansatz u(x, t) = s(t) + xl (q(t) −
s(t)) beschreiben kann, die Bewegungsdifferentialgleichung
her. Überprüfen sie zunächst, ob der gegebene Ansatz im Sinne von Ritz zulässig ist.
E, A, ρ, l
q
m
Geg.: l, E, A, ρ, m, g, ŝ, Ω
Anmerkung: Das untersuchte System kann u.a. als ein sehr
einfaches Modell zur Beschreibung der Bewegung von kabelgebundenen Systemen in der Meerestechnik (z.B. remotely operated vehicle) dienen. Die Bewegung des oberen Kabelendes
wird durch den Seegang verursacht.
v0
133. Eine ebene Platte wird in einem Abstand h über
einer festen Platte wie skizziert mit der konstanten Geschwindigkeit v0 verschoben. Dabei stellt
sich eine ebene Parallelströmung des Newtonschen Fluides ein. Vorausgesetzt
sei replacements
eine statiPSfrag
h y
onäre, volumenkraftfreie, laminare Strömung.
(a) Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsprofil der Strömung zwischen den Platten,
wenn es sich um ein inkompressibles Fluid
handelt und die Platte eine genügend
große Breite b besitzt, um diese Schichtenströmung zu ermöglichen.
(b) Diskutieren Sie das Ergebnis
Abhängigkeit des Druckgradienten.
x
in
Geg.: h, v0 , η, b
134. Das abgebildete System besteht aus einem elastischen, massebehafteten Stab (Dichte ρ, Länge l, Querschnittsfläche A, E-Modul E)
und einer Endmasse m.
g
Mit Hilfe eines eingliedrigen Ansatzes nach Ritz soll näherungsweise
PSfrag replacements
die erste Eigenkreisfrequenz berechnet werden,
wobei die
Längsverschiebung der Punktmasse den Freiheitsgrad q(t) beinhaltet. Als Formfunktion ist ein linearer Ansatz zu wählen.
s(t)
E, A, ρ, l
Geg.: l, E, A, ρ, m, g,
q
m
Mechanik 3 Prof. Popov WS 04/05
Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik
Seite 43
18. Februar 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Prinzipe der Mechanik
1
1.1
Prinzip der virtuellen Verrückungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Lagrangesche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Prinzip von Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4
Verfahren von Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5
Sätze von Castigliano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Schwingungen kontinuierlicher Systeme, Wellenausbreitung
21
3 Grundlagen der Hydromechanik
30
3.1
Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2
Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3
Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4
Reibungsbehaftete Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Weitere Aufgaben
38

Zugehörige Unterlagen

Der Zusammenhang zwischen Kraft (F/N) - Arbeit (W/Nm)

2.KA_7C_16.12.2010_L_

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