9.¨Ubungsblatt

Kryptographie
Prof. Elisa Gorla, Maike Massierer
www.math.unibas.ch/˜massierer/crypto-fs10
Frühjahrssemester 10
Universität Basel – Mathematik
9. Übungsblatt
Abgabe: 11.05.10
Aufgabe 1
Index Calculus
(4 Punkte)
Berechne von Hand“ den diskreten Logarithmus 7x ≡ 13 mod 2039 mit dem Index Calculus Algo”
rithmus.
Aufgabe 2
Babystep-Giantstep
(5 Punkte)
Wir betrachten das DLP g x = h in einer zyklischen Gruppe G = hgi der Ordnung n. Angenommen
wir wissen schon, dass x im Intervall [s, t] ⊆ [0, n − 1] liegt. Wie kann man den
√ Babystep-GiantstepAlgorithmus modifizieren, um den diskreten Logarithmus mit Komplexität O( t − s) zu berechnen?
Beweise, dass dein Algorithmus korrekt ist und die gegebene Komplexität hat.
Aufgabe 3
Geburtstagsparadoxon
(6 Punkte)
Jedes Jahr habe n Tage und wir nehmen an, dass jeder Geburtstag gleich wahrscheinlich ist. In einem
Raum seien 1 ≤ k ≤ n Leute.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person im Raum am selben Tag
Geburtstag hat wie du? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei (beliebige)
Leute im Raum am selben (beliebigen) Tag Geburtstag haben? Zeige, dass letzteres Ereignis für
√
großes n mit Wahrscheinlichkeit ≥ 21 eintritt, wenn k ≈ 1.17 n oder größer ist.
p
(b) Warum erwarten wir, dass der Pollard-Rho-Algorithmus nach O( |G|) Schritten einen diskreten Logarithmus in einer Gruppe G berechnet? Welche Annahmen machen wir dabei an den
random“ walk, um das Geburtstagsparadoxon anwenden zu können?
”
(c) Sei nun n = 365. Wie viele Leute müssen in einem Raum sein, damit jemand mit Wahrscheinlichkeit ≥ 21 deinen Geburtstag hat? Und wie viele, damit zwei Leute mit Wahrscheinlichkeit
≥ 12 den selben Geburtstag haben?
Hinweis zu (a): Benutze 1 + x ≤ ex für alle x ∈ R um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen.