Mathematik für Informatiker I WS 12/13 3. ¨Ubung

Mathematik für Informatiker I
3. Übung
Aufgabe 1:
WS 12/13
Abgabe: 09.11.2012 bis 10:00 Uhr (12.11.2012 bis 10:00 Uhr
für die Mittwochs- und Donnerstagstutorien)
kanonische DNF
5 Punkte
B3
Sei f :
−→ B die Boolesche Funktion, die genau dann für ein Tupel (b1 , b2 , b3 )
den Wert 1 annimmt, wenn b1 ≤ b2 ≤ b3 gilt (die Relation ≤ verhält sich auf
Wahrheitswerten wie auf den entsprechenden Zahlen). Konstruieeren Sie die kanonische DNF der Funktion f und vereinfachen Sie diese so weit wie möglich.
Aufgabe 2:
KNF
8 Punkte
Wie Sie wissen, kann man jede Bitfolge und damit jedes Bittupel als natürliche Zahl
interpretieren. Wir wollen das in dieser Aufgabe für 4-Tupel wie üblich festlegen:
P
Z(a3 , a2 , a1 , a0 ) = 3i=0 ai · 2i .
Finden Sie für die folgenden Booleschen Funktionen möglichst einfache Darstellungen als KNF. Denken Sie immer zuerst darüber nach, ob Sie wirklich die kanonische
KNF konstruieren müssen, oder ob Sie durch andere Überlegungen schneller und
eleganter zum Ziel kommen (welche Tupel aus f −1 (0) kann man zusammenfassen).
1 falls Z(x, y, z, u) durch 4 teilbar ist
f (x, y, z, u) =
0 sonst
1 falls Z(x, y, z, u) ≤ 5
g(x, y, z, u) =
0 sonst
1 falls (Z(x, y, z, u) mod 8) 6= 3
h(x, y, z, u) =
0 sonst
Aufgabe 3:
Monotone Boolesche Funktionen
3+4 Punkte
Definition:
1) Auf der Menge n-Tupel (b1 , . . . , bn ) ∈ Bn führen wir eine Ordnungsrelation ein:
(b1 , . . . , bn ) (c1 , . . . , cn ) genau dann, wenn bi ≤ ci für alle i = 1, . . . , n.
2) Man nennt eine Boolesche Funktion f : Bn −→ B monoton, wenn für zwei beliebige Tupel aus der Bedingung (b1 , . . . , bn ) (c1 , . . . , cn ) folgt, dass f (b1 , . . . , bn ) ≤
f (c1 , . . . , cn ).
a) Welche der folgenden Booleschen Funktionen f, g, h : Bn −→ B sind monoton und
welche nicht? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung!
f (b1 , b2 , . . . , bn ) = 1 ⇐⇒ b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn
g(b1 , b2 , . . . , bn ) = 1 ⇐⇒ mindestens drei Eingabebits sind Einsen
h(b1 , b2 , . . . , bn ) = 1 ⇐⇒ eine gerade Anzahl Eingabebits sind Einsen
b) Zeigen Sie mit Terminduktion, dass jede Formel über der Signatur {0, 1, ∨, ∧}
eine monotone Boolesche Funktion repräsentiert. Für den Induktionsschritt ist eine
Unterscheidung von neun Fällen notwendig, die man in einer Tabelle ausführen kann.