,,Analysis 1” 1.¨Ubungsblatt Hausaufgaben

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2013/14
Prof. Karl-Theodor Sturm, Dr. Sebastian Andres
,,Analysis 1”
1. Übungsblatt
Abgabe bis Dienstag 22.10.2013 in der Vorlesungspause
Wichtige Informationen zur Lehrveranstaltung und die Übungsblätter finden Sie unter
http://wt.iam.uni-bonn.de/andres/teaching/analysis-1/general-information/
Dort finden Sie auch eine Auflistung der Gesetze der Aussagenlogik, nützlich für die Aufgaben 1, 2 und 6.
Hausaufgaben
Aufgabe 1
[5 Pkt ]
Seien A, B und C beliebige Aussagen. Beweisen Sie durch geeignete Umformungen, d.h.
unter Verwendung der Gesetze der Aussagenlogik, und mit Hilfe einer Wahrheitstabelle,
dass
h
i
i) (A ∨ B) ⇔ A ∧ B ∨ (B ∧ C) = B;
h
i h
i
ii) A ⇒ (B ⇔ C) = (A ⇒ B) ⇔ (A ⇒ C) .
Aufgabe 2
[5 Pkt ]
Die logische zweistellige Verknüpfung ↑ zwischen Aussagen A und B sei definiert duch
A ↑ B := A ∨ B. Drücken Sie jede der drei elementaren Verknüpfungen (d.h. ¬, ∨ und
∧) mit Hilfe von ↑ aus. Wie sieht die Wahrheitstabelle dieser Verknüpfung aus? Ist sie
assoziativ? (Begründung!)
Aufgabe 3
Beweisen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass für jedes n ∈ N,
n
X
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
k3 =
n2 (n + 1)2
.
4
k=1
n
X
k=1
1
[5 Pkt ]
Aufgabe 4
[5 Pkt ]
Pn
p
Sei p ∈ N0 und n ∈ N. Man bestimme für sn,p := k=1 k (vgl. Aufgabe 3) die Pascalsche
Identität
p+1 X
p+1
sn,p+1−l = (n + 1)p+1 − 1.
l
l=1
Bestimmen Sie damit sn,4 .
Präsenzaufgaben
Aufgabe 5
[0 Pkt ]
Benutzen Sie die vollständige Induktion, um die folgenden Aussagen nachzuweisen.
i) (Bernoulli-Ungleichung) (1 + x1 ) · (1 + x2 ) · · · (1 + xn ) ≥ 1 + x1 + x2 + . . . + xn , n ∈ N,
n ≥ 2, wobei die xi ’s beliebige reelle Zahlen sind, die entweder alle in (−1, 0] oder
alle in [0, ∞) liegen;
n
ii) n! < n+1
, n ∈ N, n ≥ 2.
2
Aufgabe 6
[0 Pkt ]
Seien A und B beliebige Aussagen. Beweisen Sie durch geeignete Umformungen und mit
Hilfe einer Wahrheitstabelle, dass
i) [A ⇔ B] = (A ∧ B) ∨ (A ∧ B) ;
ii) (A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A) eine Tautologie ist, d.h. die Wahrheitsfunktion dieser Aussage
ist identisch “WAHR”.
2