¨Ubungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker IV H. Klein Blatt 1

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker IV
H. Klein
Blatt 1,14. April 2013
Für das Skript und die Lösungen der Übungsaufgaben siehe die in der Vorlesung genannte
Seite
http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/physs13/
Präsenzaufgaben (Bearbeitung im wesentlichen in der Übung)
(1) (a) Berechne die Mengen
1
A :=
z ∈ C\{0} = z ,
z
B := {z ∈ C : |z| = Re(z) + 1},
und gebe auch jeweils eine geometrische Beschreibung an.
(b) Berechne die komplexen Zahlen (1 + i)i , sinh 1 + π3 i , sin(i), cos(i), tan(i) und
√
arctan(2 3 + i).
(2) Bestimme alle Punkte in denen die folgenden Funktionen fi : C → C (i = 1, 2, 3, 4)
komplex differenzierbar sind:
p
f1 (x + iy) = y + ix, f2 (z) = |z|, f3 (z) = |z|2 und f4 (x + iy) = |x| · |y|,
jeweils für z = x + iy ∈ C.
(3) Sei a ∈ R und betrachte die beiden Funktionen u, v : R2 → R definiert durch
u(x, y) = x3 + axy 2 − x2 + y 2 − y,
v(x, y) = 3x2 y − y 3 − 2xy + x.
Für welche Werte von a ist f : C → C; x + iy 7→ u(x, y) + iv(x, y) dann eine holomorphe
Funktion?
Schriftliche Übungsaufgaben
(4) Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und sei A ∈ Cn×n eine komplexe n × n Matrix. Fasse den Cn als den
e ∈ R(2n)×(2n) die Matrix
R2n mit der Standardbasis e1 , ie1 , . . . , en , ien auf und bezeichne A
2n
2n
der linearen Abbildung T : R → R ; u 7→ Au bezüglich dieser Basis.
e aus A entsteht indem jeder komplexe Eintrag z = a + ib in A durch
(a) Zeigen Sie, dass A
a −b
ersetzt wird.
die reelle 2 × 2-Matrix
b
a
e = | detC A |2 gilt.
(b) Zeigen Sie, dass detR A
(5) Sei V := − π2 , π2 × R = z ∈ C |Re z| < π2 . Bestimme das Bild W := sin(V ) ⊆ C
und zeige das sin |V : V → W biholomorph ist. Weiter definiere den Arcus Sinus als
arcsin := (sin |V )−1 : W → V , und berechne die Ableitung arcsin0 des Arcus Sinus.
Gebe schließlich auch noch eine Formel an, die den Arcus Sinus in Termen des komplexen
Logarithmus beschreibt.
Abgabe: Montag, den 22. April in der Vorlesung.