ergebnisse technische mechanik iii-iv - mv.uni

E RGEBNISSE
T ECHNISCHE M ECHANIK III-IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
SS 2013, 23.07.2013
1. Aufgabe:
(TMIII)
C
y
z
x
b
ω0
A
D
B
r
a
Im skizzierten System dreht sich die Kurbel AB (Länge r) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0
und ist mit der Stange BC verbunden, welche ihrerseits im Punkt C mit der Stange CD verbunden
ist. Der Kulissenstein (Punkt C) wird horizontal geführt.
a) Skizzieren Sie in der Aufgabenstellung für die dargestellte Lage die Geschwindigkeitsvektoren
in den Punkten B und C. Markieren Sie zudem den Momentanpol der Stange BC.
Berechnen Sie für die dargestellte Lage
b) die Geschwindigkeit ~vB und die Beschleunigung ~aB ,
c) die Geschwindigkeit ~vC und die Winkelgeschwindigkeit ~ωBC ,
d) die Beschleunigung ~aC und die Winkelbeschleunigung ~ω˙ BC .
Gegeben: a, b, r, ω0
b)


0
~vB = ω0 r 
0
 2 
−ω0 r

0 
~aB =
0
c)

0
~ωBC =  0 
−ω0 ar
 br 
ω0 a
~vC =  0 
0

d)
~ω̇BC


0
= 0 
2
ω02 bra3

2
−ω02 (r + ra +
~aC = 
0
0
b2 r 2
a3


2. Aufgabe:
(TMIII)
β
g
s
2r
r
α
θ
M
r
m, θ
glatt
45◦
m
x
Das dargestellte System besteht aus einer Masse m, einer Stufenwalze (Radien r und 2r, Massenträgheitsmoment θ), zwei Umlenkrollen mit vernachlässigbarer Masse und einer homogenen zylindrischen Walze (Radius r, Masse m, Massenträgheitsmoment θ). Die Seile sind masselos und undehnbar.
Die Masse M gleitet reibungsfrei auf der um 45◦ geneigten Ebene.
a) Ermitteln Sie die kinematischen Beziehungen für α̇, β̇ und ṡ in Abhängigkeit von ẋ.
b) Ermitteln Sie die Beschleunigung ẍ der Masse m. Fertigen Sie dabei alle benötigten Freikörperbilder an.
c) Wie groß muss die Masse M sein, damit das System in Ruhe bleibt.
Gegeben: r, g, m, θ, für a) und b) M
a)
ẋ
r
2ẋ
β̇ =
r
ṡ = 4ẋ
α̇ = −
b)
√
2mg − 2 2Mg
ẍ =
2m + 5 rθ2 + 16M
c)
m
M=√
2
3. Aufgabe:
(TMIII)
v0
m, r
g
ϕ
y
x
H
v ∗ = konst.
Im Computerspiel Breakout soll eine Kugel beim Stoß mit einem Schlitten so beeinflusst werden,
dass sie wie abgebildet gegen die Steine prallt.
Für eine Analyse verwenden wir das folgende mechanische Modell:
Die Kugel besitzt die Masse m, den Radius r und bewegt sich anfangs mit der Geschwindigkeit v0 in
horizontaler Richtung ohne dabei zu rotieren (ω0 = 0). Die Kugel fällt unter Einfluss der Erdbeschleunigung g (Luft)reibungsfrei nach unten und prallt schließlich auf den Schlitten, der sich während des
Stoßes mit konstanter Geschwindigkeit v ∗ nach rechts bewegt. Die Kugel haftet während des Stoßes
(Stoßzahl e), d.h. unmittelbar nach dem Stoß entspricht die Tangentialgeschwindigkeit der Kugel der
Schlittengeschwindigkeit v ∗ .
Ermitteln Sie
a) die Geschwindigkeiten vx und vy der Kugel unmittelbar vor dem Stoß,
b) die Geschwindigkeiten v̄x , v̄y sowie die Winkelgeschwindigkeit ω̄ der Kugel unmittelbar nach
dem Stoß,
c) die Stoßkräfte F̂x und F̂y .
Gegeben: H, r, m, v0 , v ∗ , g, e, ω0 = 0
a)
p
vx = 2gH
vy = v0
b)
p
vx = −e 2Hg
−2 ∗ 5
v + v0
vy =
7
7
−5
ω =
(v0 + v ∗ )
7r
c)
p
F̂x = m 2gH(1 + e)
2
F̂y = m(v ∗ + v0 )
7
4. Aufgabe:
(TMIV)
c1
x
2l
cT
g
m
α
bleibt immer lotrecht
c2
Der skizzierte homogene Balken (Masse m, Länge 2l) ist vertikal verschieblich gelagert und über eine reibungsfreie Umlenkrolle durch ein masseloses, stets gespanntes Seil mit einer Feder verbunden.
Die Feder (Federsteifigkeit c1 ) ist für x = 0 entspannt. Am Lager des Balkens ist eine Drehfeder
(Federsteifigkeit cT ) angebracht, und am anderen Ende ist der Balken durch eine immer lotrecht ausgerichtete Feder (Federsteifigkeit c2 ) gestützt, welche für x = 0 und α = 0 entspannt ist.
Ermitteln Sie
a) die potentielle Energie Ep (x, α) des Systems,
b) die kinetische Energie Ek (x, ẋ, α, α̇) des Systems,
c) die Bewegungsgleichungen des Systems mit den L AGRANGEschen Gleichungen 2. Art.
Gegeben: l, m, g, c1 , c2 , cT
a)
1
1
1
Ep = −mg(x1 + l cos α) + c1 x21 + cT α2 + c2 (x1 − 2l(1 − cos α))2
2
2
2
b)
2
1
Ek = ml2 α̇2 − mlα̇ẋ1 sin α + mẋ21
3
2
c)
4 2 2
ml α̈ − mlẍ1 sin α + mgl sin α − c2 2l sin α(x1 − 2l + 2l cos α) + cT α = 0
3
mẍ1 − mlα̈ sin α − mlα̇2 cos α − mg + c1 x1 + c2 (x1 − 2l + 2l cos α) = 0
5. Aufgabe:
(TMIV)
d
Stab:
EA, h
g
2r
x1
r
ϕ
Rollen
3m, θS
x2
m
Das dargestellte schwingungsfähige System besteht aus einer vertikal verschiebbar gelagerten Stufenwalze (Massenträgheitsmoment θS , Masse 3m, Radien r, 2r), welche über eine Stab- und Dämpferkombination (Stab EA, h; Dämpfer d) befestigt ist. Die Stufenwalze rollt an der rechten Wand ohne
zu gleiten ab. Eine Masse m ist über ein dehnstarres, masseloses Seil mit dem kleinen Radius der
Stufenwalze verbunden.
Der Masse m wird aus der statischen Ruhelage ϕ0 in Richtung x2 mit einer Geschwindigkeit v0 ausgelenkt.
Ermitteln Sie
a) die Schwingungsdifferentialgleichung in Abhängigkeit von ϕ,
b) die statische Auslenkung ϕ0 des Systems aufgrund der Gewichtskräfte,
c) die Stablänge h, so dass das System schwingfähig ist,
d) die Lösung ϕ(t) der Bewegungsgleichung bei einer schwachen Dämpfung.
Gegeben: θS , m, r, d, EA, h, g
a)
ϕ̈ +
4r 2 d
4r 2 EA
9mgr
ϕ̇
+
ϕ=
2
2
21mr + θS
h(21mr + θS )
21mr 2 + θS
b)
ϕ0 =
9mgh
4rEA
c)
h<
EA(21mr 2 + θS )
r 2 d2
d)
ϕ(t) = e−δt (ϕ0 cos ωd t +
v0 + 3rδϕ0
sin ωd t)
ωd 3r
6. Aufgabe:
(TMIV)
x
E, A, m
k
2l
Der skizzierte Stab ist links eingespannt und rechts an eine Feder (Federsteifigkeit k) angeschlossen.
Der Stab hat die Länge 2l, die Masse m, die Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E.
a) Geben Sie die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c und die ersten beiden Eigenfrequenzen ω1 ,
ω2 in Abhängigkeit der gegebenen Parameter für die Längsschwingung des Stabs ohne Feder
an.
b) Geben Sie die Randbedingungen des skizzierten Systems an.
c) Ermitteln Sie die charakteristische Gleichung des Systems.
d) Zeichnen Sie die beiden ersten Eigenfrequenzen des Stabs in die gegebene Abbildung unten
ein. Gehen Sie dabei von folgender charakteristischen Gleichung aus:
tan λ +
λ
=0
3
mit
λ=
ω
2l
c
tan λ
3
2π
π
π
2
0
π
2
− π2
−π
− 23 π
Gegeben: E, A, m, l, k
π
3
2π
λ
2π
a)
r
2lEA
rm
π 2lEA
ω1 =
4l rm
3π 2lEA
ω2 = =
4l
m
c=
b)
u(0, t) = 0
N(2l, t) = EAu′ (2l, t) = −ku(2l, t)
c)
ω
EA
tan( 2l) +
ω=0
c
kc