Algebra und Zahlentheorie WS 13/14 Lösungsskizzen zu Zettel 9 FU

Algebra und Zahlentheorie
Lösungsskizzen zu Zettel 9
WS 13/14
FU Berlin
Dozent:
Tutoren:
Zentralübung:
PD Dr. Tobias Finis
Frederik Garbe, Huy Le Duc
David Müßig
Bitte beachten: Diese Lösungen sind Lösungsskizzen. Es wird kein Anspruch auf absolute
Vollständigkeit erhoben!
1. Aufgabe
4 Punkte
Zeigen Sie: Eine 2-Sylowuntergruppe von SL(2, F5 ) ist isomorph zur Quaternionengruppe Q.
2
2
−5)
5 )∣
= (5 −1)(5
= 480
= 120 = 23 ⋅3⋅5. Eine 2-Sylowuntergruppe
Lösung. Es ist ∣SL(2, F5 )∣ = ∣GL(2,F
5−1
5−1
4
3
von SL(2, F5 ) hat also 2 = 8 Elemente. Die Ordnung der Quaternionengruppe Q ist ebenfalls 8.
Betrachte die Abbildung ψ ∶ Q → SL(2, F5 ), gegeben durch
1
1↦(
0
0
),
1
i↦(
2
0
0
),
−2
j↦(
3
0
0
),
−3
k↦(
−1
0
0
).
−1
Wir stellen fest, dass alle so entstandenen Matrizen Determinante 1 haben und somit in SL(2, F5 )
liegen. Zudem ist die Abbildung ein injektiver Gruppenhomomorphismus (nachrechnen!).
Außerdem haben alle Elemente in Imψ Ordnung 2k , wodurch sie in alle in einer 2-Sylowgruppe
enthalten sind. Da jedoch ∣Imψ∣ = 8 und Imψ ⊆ SL(2, F5 ) eine Untergruppe ist, muss Imψ
isomorph zu einer 2-Sylowuntergruppe von SL(2, F5 ) sein.
◇
2. Aufgabe
4 Punkte
2
Sei K ein Körper und X die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume von K . Für ein
Element ḡ ∈ PGL(2, K) und V ∈ X setze ḡ ⋅ V = g(V ) ⊂ K 2 , wobei g ein Vertreter von ḡ in
GL(2, K) sei. Zeigen Sie:
(i) Auf diese Weise ist eine Gruppenoperation von PGL(2, K) auf X definiert.
(ii) Diese Operation ist transitiv.
(iii) Sie induziert einen injektiven Homomorphismus PGL(2, K) → S(X).
Lösung. Zu (i): Zu zeigen ist:
(1) idV = V für alle V ∈ X
(2) (ḡ ⋅ h̄)V = ḡ(h̄V ) für alle ḡ, h̄ ∈ PGL(2, K) und alle V ∈ X
(3) Die Abbildung PGL(2, K) × X → X, (ḡ, V ) ↦ ḡV ist unabhängig von der Wahl des
Repräsentanten von ḡ ∈ PGL(2, K)
¯ = id(V ) = V für alle V ∈ X.
Zu (1): Es ist idV
Zu (2): Es seien ḡ, h̄ ∈ PGL(2, K) mit Repräsentanten g, h. Dann ist
(ḡ ⋅ h̄)V = (g ⋅ h)(V ) = g(h(V )) = ḡ(h̄V )
für alle V ∈ X.
Zu (3): Es seien g, g ′ zwei Repräsentanten für ḡ ∈ PGL(2, K). D.h. es gibt ein k ∈ K ∖ {0}, so
dass g ′ = k ⋅ En ⋅ g = k ⋅ g gilt. Es sei V ∈ X und {v} sei eine K-Basis von V (existiert, das V
eindimensionaler Untervektorraum von K 2 ist). Dann ist
ḡV = g ′ (V ) = ⟨g ′ ⋅ v⟩ = ⟨k ⋅ g ⋅ v⟩ = ⟨g ⋅ v⟩ = g(V ) = ḡV
Damit ist die Abbildung unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.
Zu (ii): Die Operation ist transitiv, falls für alle V1 , V2 ∈ X ein ḡ ∈ PGL(2, K) existiert, so dass
V1 = ḡV2 gilt. Es seien also V1 , V2 ∈ X und {v1 }, {v2 } seien zugehörige Basen. Angenommen
a
c
v1 = ( ) und v2 = ( ) mit a, b, c, d ∈ K.
b
d
Falls a = c = 0 oder b = d = 0 gilt, so existiert ein k ∈ K mit v1 = k ⋅ v2 und somit ist V1 = V2 .
Es gelte also o.B.d.A. c ≠ 0. Dann ist für b ≠ 0
g ∶= (
a−d/c
b/c
1
) ∈ GL(2, K)
0
und es gilt ḡV2 = g(V2 ) = ⟨g ⋅ v2 ⟩ = ⟨v1 ⟩ = V1 .
Falls jedoch b = 0 (und damit d ≠ 0), so tausche die Rollen von v1 und v2 und passe die Matrix
entsprechend an.
Zu (iii): Betrachte die Abbildung ϕ ∶ PGL(2, K) → S(X), mit ḡ ↦ σ so dass σ(i) = j für
ḡVi = Vj ist. Da die Operation ḡV eine transitive Gruppenoperation ist, ist die Abbildung ϕ ein
Homomorphismus.
Bleibt zu zeigen, dass ϕ injektiv ist. Es sei dazu ḡ ∈ PGL(2, K) derart, dass ϕ(ḡ) = id ist.
D.h. für alle Vi ∈ X gilt ḡVi = Vi . Daher ist g = En ein Repräsentant von ḡ und damit ist
ḡ = id ∈ PGL(2, K).
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3. Aufgabe
4 Punkte
Zeigen Sie:
(i) Für jedes n ∈ N hängt die Anzahl der Isomorphieklassen endlicher abelscher Gruppen
der Ordnung pn , p eine Primzahl, nicht von p ab.
(ii) Wieviele Isomorphieklassen gibt es für n = 7?
Lösung. Zu (i): Es sei Z/a1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/ar Z Repräsentant einer Isomorphieklasse, so dass gilt
a1 ∣a2 ∣ . . .∣ar ∣pn .
Damit ist ai = pki für 1 ≤ i ≤ r und ∑ri=1 ki = n. Außerdem gilt ki ≤ ki+1 für alle i. In jeder
Isomorphieklasse finden wir nun genau eine solche Zerlegung. Somit ergibt sich die Anzahl an
Isomorphieklassen endlicher abelscher Gruppen der Ordnung pn aus allen möglichen Zerlegungen
von n mit obigen Bedingungen. Die Primzahl p spielt hier demnach keine Rolle.
Zu (ii): Die Anzahl an Zahlpartitionen von n ∈ N lässt sich mit der Formel
n
P (n) = ∑ P (n, i),
i=1
wobei P (n, 1) = 1, P (n, n) = 1 und P (n, k) = P (n − k, k) + P (n − 1, k − 1) gilt. Setzen wir hier
n = 7 ein, so erhalten wir P (7) = 15.
◇
4. Aufgabe
4 Punkte
Bestimmen Sie die Anzahl der Isomorphieklassen endlicher abelscher Gruppen der Ordnung
14400.
Lösung. Es ist n = 14.400 = 26 ⋅32 ⋅52 . Wenn wir wie in der vorigen Aufgabe Elementarteiler finden
wollen, so können sich die 32 und 52 auf verschiedene Arten auf die letzten beiden Elementarteiler
aufteilen:
(1) nr = 32 ⋅52 ⋅2k : D.h. ni = 2ki für 1 ≤ i ≤ r −1. Hier können wir die 26 auf P (6) = 11 verschiedene
Arten anordnen.
(2) nr−1 = 3 ⋅ 2k und nr = 3 ⋅ 52 ⋅ 2k : Auch hier können wir die 26 unabhängig davon aufteilen
und erhalten wieder P (6) = 11 Möglichkeiten.
′
(3) nr−1 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2k und nr = 3 ⋅ 5 ⋅ 2k : Auch hier haben wir wieder P (6) = 11 Möglichkeiten, die
26 aufzuteilen.
′
(4) nr−1 = 5 ⋅ 2k und nr = 32 ⋅ 5 ⋅ 2k : Analog.
′
Demnach haben wir insgesamt 4 ⋅ P (6) = 44 verschiedene Isomorphieklassen.
◇