Zeitschrift für Naturforschung / A / 13 (1958) - ZfN - Max

Die Quantentheorie der einfachen Alternative
( K o m p l e m e n t a r i t ä t u n d L o g i k II)
V o n
C.
F. v.
Weizsäcker
Aus dem Philosophischen Seminar der Universität Hamburg
( z . Naturforschg. 13 a, 245—253 [1958] ; eingegangen am 3. Februar 1958)
Die von J. v. NEUMANN gegebene Formulierung der Quantentheorie wird auf einen zweidimensionalen Zustandsraum spezialisiert. In 1. wird dieses Verfahren im Sinne der Arbeit I logisch interpretiert. Die in diesem Fall sich ergebende Mathematik der Zweierspinoren wird in 2. in ihrem Zusammenhang mit der Theorie eines drei- bzw. vierdimensionalen reellen Raumes noch einmal dargestellt.
In 3. sind vier physikalisch verschiedene Beispiele erörtert: Elektronenspin, Isotopenspin, Polarisation des Lichts und YouNcscher Versuch. Dieselbe abstrakte Mathematik erhält in jedem Fall eine
andere physikalische Bedeutung. In 4. werden einige Grundbegriffe der v. NEUMANNschen Deutung
spezialisiert: Projektionsoperatoren, ScHRÖDiNGER-Gleichung. Zerlegung der Einheit und statistische
Deutung. Ein für spätere Arbeiten wesentliches Resultat dieser Arbeit ist die allgemeingültige Gleichung ( 2 , 1 7 ) .
1. Alternativen in der Quantentheorie
gegeben
werden. Die
F o r m e l n , die sich dabei
er-
geben, werden ferner in einer nachfolgenden Arbeit
D i e Quantenmechanik beschreibt die
der
möglichen
stems
als
Zustände
einen
linearen
eines
Gesamtheit
physikalischen
komplexen
Vektorraum.
Die statistische Deutung benutzt eine Metrik, die in
diesem R a u m definiert ist. Der R a u m hat im allgemeinen
unendlich
HiLBERT-Raum.
viele Dimensionen,
J . v . N e u m a n n
1
ist also
ein
hat wohl als erster
den begrifflichen A u f b a u der Quantentheorie
über mehrfache Quantelung gebraucht werden.
Sy-
unter
dem mathematischen Aspekt, daß sie eine T h e o r i e
im HiLBERT-Raum ist, zusammenhängend analysiert.
Als « - f a c h e Alternative
wollen wir
logisch
M e n g e von n Aussagen a/; (k = 1 , . . . , n)
nen,
die
den
folgenden
beiden
eine
bezeich-
Bedingungen
ge-
nügen :
1. Wenn eine Aussage ak wahr ist, sind alle übrigen
a/ (l=/=k) falsch.
2. Wenn alle Aussagen a/ bis auf eine, ak , falsch sind,
so ist ak wahr.
Das Verständnis seiner Analyse ist vielleicht dadurch
Physikalisch kann man statt dessen auch v o n n Zu-
etwas erschwert worden, daß er zwei P r o b l e m e zu-
ständen eines Systems sprechen mit den Eigenschaf-
gleich behandelt hat: die neuen physikalischen Ge-
ten, daß das V o r l i e g e n eines von ihnen
danken der Quantentheorie und den mathematischen
NichtVorliegen aller anderen impliziert und
Übergang von Vektorräumen endlicher
das NichtVorliegen aller anderen das des einen ip/{
zahl
zum
HiLBERT-Raum.
Die
Dimensions-
vorliegende
Arbeit
(y.'k)
das
ebenso
impliziert.
versucht einen Beitrag zur Erleichterung dieses Ver-
Es gibt in der Quantenmechanik
«-dimensionale
ständnisses zu geben, indem sie die beiden P r o b l e m e
Zustandsräume
mit
trennt und die physikalischen Gedanken der Quan-
und positiven)
n. Ein Beispiel ist die
beliebigen
endlichen
(ganzen
Gesamtheit
tentheorie am mathematisch wohl einfachsten denk-
der
baren
komplexen
j ' h ; hier ist n = 2 /' + 1 . n orthogonale Basisvekto-
W i r knüpfen hierzu an den Begriff der «-fachen
bilden genau eine «-fache Alternative. Ist z. B. ein
Alternative an, der in einer vorangegangenen Arbeit
Drehimpuls mit j = 1 v o r g e g e b e n und weiß m a n , daß
Beispiel
des
zweidimensionalen
Vektorraumes erläutert.
Einstellungsmöglichkeiten
eines
ren eines solchen n-dimensionalen
Drehimpulses
Zustandsraumes
(weiterhin als I
die magnetische Quantenzahl m bezüglich einer vor-
zitiert) entwickelt w o r d e n ist 2 . Doch ist eine Kennt-
gegebenen Richtung den W e r t + 1 hat, so ist sicher,
über Komplementarität und L o g i k
nis jener Arbeit hier nicht vorausgesetzt, und ihre
daß sie nicht die Werte 0 o d e r
ins Philosophische gehende Fragestellung wird hier
umgekehrt, daß die W e r t e 0 und
nicht verfolgt. Hier soll lediglich ein einfaches M o -
nicht v o r k o m m e n , so ist er ein Zustand mit
dell der NEUMANNschen Deutung der Quantentheorie
scharfen W e r t + 1.
1
J. v. NEUMANN, Mathematische Grundlagen
mechanik. Springer-Verlag. Berlin 1932.
der
Quanten-
2
C.
F. v.
WEIZSÄCKER.
Naturwiss.
42,
— 1 hat, weiß man
Nr.
— 1 im Zustand
19/20, 548
dem
[1955],
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Im letzten Satz deuten die W o r t e „nicht v o r k o m -
xen Wahrheitswerte"
der drei Aussagen
„m = l " ,
m e n " den Unterschied der Quantentheorie von der
„ m = 0 " , „rn = — 1 " im Zustand xp . Mit dieser Aus-
klassischen T h e o r i e an. Nach klassischer A u f f a s s u n g
drucksweise soll hier keine Hypothese über die M ö g -
dürfte man sagen: „ w e i ß m a n , d a ß m die Werte 0
lichkeit o d e r Unmöglichkeit verborgener
und — 1 nicht hat, so hat m den W e r t 1 " . Nach der
verbunden werden. Sie ist vielmehr rein deskriptiv
Quantentheorie ist es möglich, daß m gar
g e m e i n t : wenn man nicht mehr über den Zustand
keinen
Parameter
bestimmten Wert hat; man m u ß daher die schärfere
weiß, als die Quantentheorie angibt, so kann man
F o r d e r u n g stellen, daß in der Entwicklung des Zu-
bei
standes nach der durch die drei möglichen
nicht als wahr oder falsch, wohl aber durch die ihnen
Werte
gegebenem
Zustand
gewisse
Aussagen
v o n m definierten Basis die beiden W e r t e 0 und — 1
zukommenden
nicht v o r k o m m e n . Das heißt die betreffenden
ihrer Verifizierbarkeit kennzeichnen.
Ent-
wicklungskoeffizienten sollen verschwinden. Im Sinne
der statistischen Deutung kann man s a g e n : es soll
sicher sein, daß m die Werte 0 und
b)
Entwicklungskoeffizienten
zwar
bezüglich
V o n einer L o g i k wird verlangt, daß sie für
alle Aussagen unabhängig von deren Inhalt gilt. Nun
— 1 nicht hat.
ist in der Tat die mathematische Struktur des quan-
Nur wenn man das W o r t „ f a l s c h " in den Bedingun-
tentheoretischen Zustandsraums der n-fachen Alter-
gen 1. und 2. in diesem Sinne als „sicher
native eindeutig festgelegt, ohne j e d e Rücksicht dar-
falsch"
interpretiert, bleibt in der Quantentheorie der Be-
auf, was die 7i-Aussagen physikalisch bedeuten; sie
griff der <rc-fachen Alternative auf
müssen nur die Bedingungen 1. und 2. erfüllen. D i e
die Basis
eines
n-dimensionalen Zustandsraumes anwendbar.
I m Anschluß an v.
Neumann
folgenden die Quantentheorie
Quantentheorie ist demnach nicht eine Theorie über
und I werden wir im
spezielle physikalische
des
alle Gegenstände, über die überhaupt Aussagen ge-
rc-dimensionalen
Gegenstände,
sondern
über
abgeänderte
macht werden können, die sich zu Alternativen zu-
der n-fachen Alternative bezeichnen. D a wir
sammenfassen lassen. In diesem Sinne soll die Zu-
das philosophische P r o b l e m des W e s e n s der L o g i k
standsraum-Theorie als eine L o g i k bezeichnet wer-
Zustandsraumes
Logik
gelegentlich
als
eine
hier beiseitelassen, wollen wir genau a n g e b e n , was
den. Natürlich ist die Geltung dieser L o g i k auf den
mit dieser T e r m i n o l o g i e in der vorliegenden. A r b e i t
Geltungsbereich der Quantentheorie beschränkt, des-
gemeint sein soll. Es handelt sich um zwei definierte
sen Grenzen uns unbekannt sind. W i r erheben für
Schritte:
eine empirisch
a)
die Einführung statistischer Wahrheitswerte,
spruch einer Geltung a priori. Damit ist aber die
b)
die F o r d e r u n g der Allgemeingültigkeit.
gar
nicht relativ zu der Achse orientiert, welche bei der
Definition von m ausgezeichnet
w u r d e , so ist
Aussage
wahr
weder
sicher
noch
die
sicher
falsch, sondern hat eine Wahrscheinlichkeit, sich bei
Nachprüfung als wahr zu erweisen. M a n kann
der
Aussage
als
„m = l "
„Wahrheitswert"
diese
Wahrscheinlichkeit
zuschreiben. Bekanntlich
definiert
aber auch die A n g a b e der Wahrscheinlichkeiten
drei Basiszustände m = l , 0 ,
nicht den
Anins
Unbekannte verlegt. Uns genügt es hier, daß sie im
Ist etwa im Falle j = 1 der D r e h i m p u l s
„m = l "
Theorie
mögliche Grenze der Geltung unserer „ L o g i k "
Beide Schritte sollen kurz erläutert werden.
a)
begründete
— 1 den Zustand
der
im
allgemeinen noch nicht vollständig, sondern es müs-
bekannten Bereich so allgemein gilt wie die L o g i k :
unsere positiven Kenntnisse weisen ihr keine Grenze
an. Der einzige Einwand, der hiergegen heute wohl
e r h o b e n werden könnte, ist, daß die
Mathematik,
mit deren Hilfe wir sie definieren, selbst der klassischen L o g i k unterliege. Dieser Einwand ist in I besprochen und wird in den nachfolgenden
über mehrfache
Quantelung wieder
Arbeiten
aufgenommen.
Hier lassen wir ihn beiseite.
W i r wenden uns nun der „einfachen Alternative",
d. h. dem Falle n = 2 zu.
sen noch relative Phasen bekannt sein. Erst die drei
Entwicklungskoeffizienten cm in der Darstellung des
2. D i e Mathematik der einfachen Alternative
Zustandes
Es seien, zwei Aussagen at und a2 gegeben, die
+1
v
=
2
c
eine Alternative bilden. Im nächsten Abschnitt wer-
> »
m=- 1
den
definieren den Zustand y>. In I wurde d a f ü r
Ausdruck gebraucht, C\ , c 0 , c
der
\ seien die „ k o m p l e -
wir
Beispiele
betrachten;
vorerst
Hinweis, daß sie z. B. die beiden
genüge
der
Einstellungsmög-
lichkeiten eines Elektronenspins, die beiden
Polari-
sationsrichtungen eines Lichtquants, die beiden m ö g lichen L a d u n g e n eines Nukleons unterscheiden können. Es ist eine Eigentümlichkeit des Falles n = 2 ,
d a ß a2 zur Negation v o n
äquivalent ist und um-
gekehrt.
Nach der Quantentheorie kann j e d e der
beiden
A u s s a g e n einen „ k o m p l e x e n W a h r h e i t s w e r t "
haben,
den wir mit u x bzw. u 2 bezeichnen wollen. Als Variable f ü r den
Index
benützen
wir g r o ß e
lateinische
B u c h s t a b e n : die A u s s a g e a 4 hat den Wahrheitswert
114 (A = 1 , 2 ) . Das k o m p l e x e Zahlenpaar uj,
u2 fas-
s^ s22 - s2
(2.4)
s2l = 1 .
Solche S j B heißen unimodular.
D i e übliche N o r m i e -
rung ist definiert durch den Begriff des inneren Produkts
(u, v) = ut* vt + u2* v2 .
D i e inneren P r o d u k t e b l e i b e n invariant, wenn s
= So2*
Die
Sl2
= _ 5 2 I*,
unimodularen
IV
|2 + 1
s
* |2 = 1 .
Transformationen
Fläche des v o n zwei V e k t o r e n u, v
(genauer:
Paralellogramms
heißt.
Die
Gesamtheit
B
ist:
unitär
V
sen w i r zum V e k t o r u zusammen, der auch S p i n o r
Zweierspinor)
(2. 5)
aller S p i n o r e n u ist ein V e k t o r r a u m . In ihm bilden
f = u1v2
die V e k t o r e n ( 1 , 0 ) und ( 0 , 1 ) , welche die W a h r h e i t
(2. 6)
lassen
die
aufgespannten
(2.7)
— u2v1
v o n a j b z w . a2 anzeigen, eine Basis. Diese Begriffe
invariant. W i r definieren bezüglich der durch / be-
sind physikalisch sinnvoll wegen des quantentheore-
stimmten
tischen S u p e r p o s i t i o n s p r i n z i p s :
eines S p i n o r s durch die Gleichungen
Bezeichnen die Spi-
„Metrik"
n o r e n u und v mögliche Zustände und sind a und ß
k o m p l e x e Zahlen, so bezeichnet auch
(2. 1)
w = au+ ß v
einen m ö g l i c h e n Zustand. Dies gilt uneingeschränkt,
wenn m a n auf N o r m i e r u n g verzichtet; sonst müssen
a und ß der F o r d e r u n g
|a|2 + | £ | 2 = l
unterworfen
(2.2)
werden. Es wird sich im Lauf
dieser
und der f o l g e n d e n Arbeiten als zweckmäßig herausstellen, die N o r m i e r u n g zunächst zu unterlassen und
erst in einer späteren Stufe, in der sie sich als A u s druck einer bestimmten A u f f a s s u n g von selbst
er-
kontravariante
ul = — u2 ,
u2
=
Komponenten
Uj .
( 2 . 8 )
M a n kann dann schreiben
/ = u 1 vx + u2 v2 = uA
VA
(2. 9)
•
In diesem Sinne sollen auch die oberen Indizes der
s
B
verstanden
werden. W i r
werden im
folgenden
über doppelte S p i n o r i n d i z e s nur summieren,
wenn
einer o b e n , einer unten steht.
Es ist bekannt, d a ß m a n einen S p i n o r durch einen
reellen
Dreier-
bzw.
Vierervektor
repräsentieren
kann und umgekehrt. Unter Benutzung der
Pauli-
Matrizen
ao
(10'j
lo 1 /
gibt, e i n z u f ü h r e n . In der jetzigen Betrachtungsstufe
„1,(0
1\
a
2
=
U or
/O - £ \
\i
0!
a 3 =
(l
\0
0\
-1/
(2. 10)
m u ß man dann alle S p i n o r e n , die durch Multiplikation mit einer k o m p l e x e n Zahl auseinander hervor-
definieren wir zu j e d e m S p i n o r u einen v i e r k o m p o -
g e h e n , d e m s e l b e n Zustand zuordnen.
nentigen reellen V e k t o r
Eine lineare T r a n s f o r m a t i o n
ua=S
ab
UB
(2.3)
mit einer beliebigen festen Matrix s,B
ren B e z i e h u n g e n
( 2 . 1)
invariant.
(2.11)
k" = uA* O"abUb,
explizit:
k1 =
läßt die lineaMan
kann
T r a n s f o r m a t i o n in bekannter W e i s e als den
g a n g zur Darstellung desselben Zustands
die
k2 =
Über-
k3 = u^
bezüglich
einer neuen Basis oder als eine A b b i l d u n g des Zu-
k° = ux* ut + u2* u2 ,
u2 + u2
(z^*
«j,
u2 — u2* U j ) ,
(2.12)
— u2* u2 .
Diese Beziehung ist nicht ein-eindeutig. Z w a r ist ein
standsraumes auf sich auffassen. Die T r a n s f o r m a t i o -
S p i n o r durch zwei k o m p l e x e , also vier reelle Zahlen
nen
bestimmt. A b e r zwischen den vier Zahlen k" besteht
(2. 3)
bilden
eine G r u p p e , wenn
nicht singulär ist. Verzichten wir auf
so brauchen wir s,B
die
Matrix
Normierung,
keinen weiteren Einschränkun-
gen zu unterwerfen. Eine für das f o l g e n d e unwesentliche Einschränkung
ist die F o r d e r u n g , die
minante v o n SAB solle 1 sein:
Deter-
eine algebraische B e z i e h u n g :
-
(A; 0 ) 2 + (A: 1 ) 2 ^- (A; 2 ) 2 + (k3)2
= k"ku
= 0.
(2. 13)
W i r haben hier v o n de.r aus der Relativitätstheorie
bekannten Schreibweise Gebrauch gemacht mit der
stätigen.
Definition
k0=-k°,
ki =
(1= 1 , 2 , 3 ) .
kl
(2.14)
Also genügt der dreidimensionale reelle Vektor
f = {k\k2,k3},
Ihre geometrische
(2. 12)
(^0 + ^3) "1
(2.15)
willkürlich
gelegt) . In der Tat definieren die
als positiv
ku
fest-
den Spinor u
besprechen
ein Gleichungspaar:
+ ( ^ - 1 ^ 2 ) "2 = 0 ,
{kx + i k2) ux+(k0-ks)
um alle vier k" zu bestimmen (das Vorzeichen von
ist durch
Bedeutung
wir im 4. Abschnitt. Explizit geschrieben ist (2. 17)
u2
^
=0.
Aus (2. 17) bzw. (2. 18) kann man (2. 11) nur bis
auf
einen
unbestimmt
(a reell)
(2. 18) nur lösbar, wenn (2. 13) gilt. Unter dieser
dieselben k".
Da aber in der Quantentheorie ein
Phasenfaktor physikalisch belanglos ist, bestimmen
das
homogene
zurück-
senfaktor e'3
sich
ist
Faktor
nicht vollständig, denn wenn man u mit einem Phamultipliziert, ergeben
Zunächst
bleibenden
gewinnen..
Bedingung folgt das Verhältnis uju2,
System
während der
Absolutwert unbestimmt bleibt.
die k" gerade so viel von u als wir physikalisch wissen wollen.
3. Physikalische Beispiele
Daß wir den Spinor nicht durch die drei Zahlen f,
a)
sondern durch die vier Zahlen kn beschreiben, bedeutet im Sprachgebrauch der
eine redundante
Informationstheorie
Ausdrucksweise. Der mathematische
Grund für die Wahl dieser vier Zahlen ist, daß einer
linearen Transformation der Spinoren eine lineare
Transformation der k" , aber im allgemeinen nicht
der f entspricht. Die vier Matrizen o " bilden nämlich eine Basis im vierdimensionalen
Vektorraum
der hermiteschen zweireihigen Matrizen. Daher müssen sich bei einer linearen Transformation der u die
reellen k"(u)
linear durch die k" (u)
ausdrücken
lassen. Dabei entsprechen den unimodularen Transformationen
der k"
eigentliche
LoRENTZ-Transformationen
(ohne Raum- und Zeitspiegelung). Die uni-
täre Transformation läßt k° invariant, bedeutet also
eine
Drehung
im
dreidimensionalen
f-Raum.
All
dies erlaubt eine anschauliche Deutung der uA
im
reellen
im
dreidimensionalen
Raum.
Führt
f-Raum Polarkoordinaten um die k3-Achse
man
ein, so
ist
Elektronenspin
Das Beispiel, in dem die soeben entwickelten Formeln ihre vertraute physikalische Bedeutung haben,
ist der Spin eines Fermions. W i r beschränken uns
hier auf die PAULische Näherung der Spintheorie.
Die DiRAcsche Theorie wird in den nachfolgenden
Arbeiten über mehrfache Quantelung behandelt.
Ein
Strahl
von
Atomen
mit
einem
einzelnen
Leuchtelektron wird im STERN-GERLACH-Versuch
aus, daß das Elektron im Magnetfeld zwei mögliche
Einstellungen hat. Wir unterscheiden sie durch die
Ziffern 1 und 2. Quantentheoretisch muß der
= yk° cos(#/2)
e-('V2)
e
(ixl2)
« 2 = y k ° s i n ( $ / 2 ) e(«>/2) e (i z /2) _
Zu-
stand bezüglich dieser Alternative durch einen Spinor (iij , u2) dargestellt werden. Diesem Spinor entspricht ein Vektor f . Wir behaupten, daß die Richtung dieses Vektors identisch ist mit der Richtung
des Elektronenspins im gewöhnlichen physikalischen
Raum. Dies folgt sofort aus der bekannten Formel
für den Operator der Wechselwirkungsenergie
Ul
in
genau zwei Strahlen aufgespalten. Man folgert dar-
des
Elektrons mit einem äußeren Magnetfeld
?
(2. 16)
/}, (p und x sind EuLERsche Winkel. # und (p definie-
£=(£,a).
( 3 a . 1)
W i r nehmen an, daß der Spin des Elektrons von sei-
ren die Richtung des Vektors f, k° seinen Betrag.
ner Bahn entkoppelt ist (nur dann hat das Reden
Der Phasenwinkel X kann als eine Drehung um den
von einer einfachen Alternative einen klaren S i n n ) .
Vektor f aufgefaßt werden.
Dann ist seine Wellenfunktion
Zwischen den k" und uA gilt die „WEYLsche Gleichung"
k„ o"AB
uji = 0 .
(2.17)
Man kann diese Gleichung durch Einsetzen der Ausdrücke (2. 11) für k" und explizites Ausrechnen be3
xp{l,A)
(3a.
=(p{%)-uA
2)
3
Diese Bezeichnung der Gleichung wird in der Arbeit über
mehrfache Quantelung motiviert werden. Im dortigen Sinne
ist (2. 17) die „WEYLsche Gleichung erster Stufe."
und der Erwartungswert der Energie im Magnetfeld
E=
2/V*Eydr=(u
A
*o
A B
u
B
,$)=(L%).
A
(3a. 3)
Dieses vertraute Ergebnis ist eigentlich sehr wunderbar. Es ist nur möglich infolge einer „prästabi-
Herten H a r m o n i e " zwischen der Quantentheorie des
entgegengesetzte
Spins und der Geometrie des physikalischen
gegengesetzte
Rau-
Bewegungsrichtungen
verwandeln.
Am
in
nicht-ent-
anschaulichsten
ist
mes, nämlich eben der im vorigen Abschnitt b e s p r o -
das wohl bei Impulsrichtungen.
chenen Beziehung der S p i n o r e n zu den
chen, die von ihrem gemeinsamen Schwerpunkt aus
dreidimen-
Zwei gleiche
Teil-
sionalen reellen V e k t o r e n . Der Spin w i r d ja in der
betrachtet in entgegengesetzter Richtung
Quantentheorie
gen v o n einem quer dazu bewegten System aus ge-
eigentlich
in doppelter
Weise
ein-
fliegen,
flie-
geführt. Traditionell erscheint er als ein D r e h i m p u l s
sehen unter einem W i n k e l gegeneinander. A n a l o g e s
im physikalischen R a u m . A u f G r u n d der Spektren
gilt für D r e h b e w e g u n g e n um entgegengesetzte Ach-
und des STERN-GERLACH-Versuchs behandelt man ihn
sen. Nun scheint freilich aus dem zu A n f a n g g e g e b e -
jedoch als einfache Alternative. D i e
Quantentheorie
nen Beweis zu f o l g e n , daß quantentheoretisch ortho-
der
eindeutig
gonale Spinzustände stets entgegengesetzt
einfachen
Alternative
ist aber
fest-
gerichtet
gelegt. W ä r e der physikalische R a u m nun z. B. vier-
sind. A b e r die Formel ( 3 a. 1) gilt nur in A b w e s e n -
dimensional
heit v o n elektrischen Feldern und B a h n b e w e g u n g e n .
oder
wiche
er
dreidimensional-euklidischen
sonst
vom
bekannten
Verhalten ab, so wäre
Der
Stern-Gerlach-Versuch
zeichnet
das
Bezugs-
die Identifizierung b e i d e r A u f f a s s u n g e n v o m
Spin
system aus, in dem der Magnet ruht. In einem rasch
unmöglich:
würde
nicht
bewegten Bezugssystem treten elektrische Felder auf
definieren.
Hier
und der Widerspruch verschwindet. D e r M e ß a p p a r a t
einfach
eine
einen
einfache
Alternative
räumlichen
Vektor
können wir diesen Z u s a m m e n h a n g nur aussprechen.
ist dann ein solcher, der zwei nicht-entgegengesetzte
In
ver-
Richtungen voneinander eindeutig trennt. In bezug
suchen, ihn durch den P r o z e ß der mehrfachen Quan-
auf diese Basis hat dann die metrische Fundamental-
den
nachfolgenden
Arbeiten
werden
wir
telung zu erklären.
Zwei
bezüglich
f o r m eine andere Gestalt, die aus ( 2 . 5 )
der
Metrik
(2. 5)
orthogonale
Spinoren entsprechen räumlichen V e k t o r e n entgegen-
durch die
der LoRENTZ-Transformation entsprechende u n i m o d u lare T r a n s f o r m a t i o n folgt.
gesetzter Richtung. Eine o r t h o g o n a l e Basis im Spinraum ist also einer Achse im Ortsraum zugeordnet.
Einer
unitären
Transformation
im
Spinraum
spricht die in 2. genannte D r e h u n g
im
Ortsraum.
Man kann auch umgekehrt s a g e n : j e d e r D r e h u n g im
Ortsraum
entspricht
eine
unitäre
Transformation
der Spinalternative.
A u f den ersten Blick überrascht es, daß der allgemeinen LoRENTZ-Transformation keine unitäre Transformation
zustände,
im
Spinraum
die von
entspricht.
einem
Zwei
LoRENTZ-System
b)
ent-
Spinaus
ge-
sehen orthogonal sind, können doch v o n einem an-
Heisenberg
brauch
von
sein;
m . a. W . ,
das
Ubereinstimmungswahr-
scheinlichkeit Null h a b e n , zwei Zustände mit
licher Übereinstimmungswahrscheinlichkeit
end-
machen.
Die Antwort ist, daß die Zustände im neuen System
zwar natürlich
quantentheoretisch
orthogonal
blei-
ben, aber räumlich nicht m e h r entgegengesetzte Spinrichtungen haben.
als
erster
bewußten
der
Ge-
Quanten-
S p i n f o r m a l i s m u s auf die Alternative anwandte,
ob
ein Nukleon ein P r o t o n oder ein Neutron ist. D e r
Isotopenspin-Raum
ist
das
bekannteste
Beispiel
eines aus dieser Allgemeingültigkeit f o l g e n d e n dreidimensionalen euklidischen R a u m e s , der mit „ d e m "
R a u m der Physik nichts zu tun hat.
c)
Bezugssystem
kann nicht aus zwei Zuständen, die, in einem anderen System betrachtet, die
wohl
Allgemeingültigkeit
theorie der einfachen Alternative gemacht, als er den
deren LoRENTZ-System aus gesehen nicht auf einmal
nicht-orthogonal
hat
der
Isotopenspin
Ist
eine
Polarisation
ebene
Lichtwelle
Fortschreitungsrichtung
des
Lichts
fester
vorgegeben,
Frequenz
so
und
bleibt
ihr
bezüglich der Polarisation und Intensität noch eine
dreidimensionale
Zustände. Der
reelle Mannigfaltigkeit
allgemeinste
möglicher
Polarisationstyp
ist j a
die elliptische Polarisation. D i e Ellipse, die z. B. der
elektrische V e k t o r dabei beschreibt, hat drei
reelle
P a r a m e t e r : etwa die Längen der b e i d e n Achsen und
Unter Verzicht auf die DiRACsche T h e o r i e k ö n n e n
den W i n k e l der g r o ß e n Achse gegen eine g e g e b e n e
wir dies nur qualitativ diskutieren. D i e Spinrichtung
Richtung in der Wellenebene. Diese drei Parameter
ist als Richtung eines Drehimpulses nicht rein g e o -
hat
metrisch,
einen F o r m a l i s m u s verknüpft, der essentiell der der
sondern
durch
einen
Bewegungsvorgang
definiert. Eine LoRENTZ-Transformation
kann
aber
Stokes
Spinoren
bereits 1 8 5 2 mit den Feldstärken durch
ist.
Quantentheoretisch
kann
man
um-
gekehrt das Auftreten der drei Parameter schon dar-
Interferenzfigur die drei reellen Parameter bestim-
aus ableiten, daß es Apparate (z. B. NicoLsche Pris-
men kann.
men) gibt, die ein Lichtquant zwingen, zwischen ge-
Im Schirm S sind zwei um die Strecke 2 c voneinander
entfernte Löcher verschiedener Größe, 1 und 2, durch
die von der Quelle Q Strahlung (z. B. Licht oder Elektronen) auf die zu S parallele photographische Platte P
fällt. Q liegt in der Ebene, welche die Verbindungslinie 12 mit ihrer Mittelsenkrechten, der Figurenachse A, bildet, aber gegen A um y verschoben. Wir betrachten Strahlung, die auf einen in derselben Ebene
liegenden Aufpunkt R auf P im Abstand x von A fällt.
x, y und c seien klein gegen a und b . Die Durchmesser
der Löcher seien nicht groß gegen die Wellenlänge der
Strahlung.
nau zwei Polarisationsrichtungen zu wählen.
W i r wählen die Fortschreitungsrichtung des Lichts
als positive 2-Richtung und fassen die Feldstärken
an einem festen Ort zu einem komplexen Vektor zusammen :
Fx = Es + i H„,
(3 c. 1)
Fy = Eu — iHj.
Für in der x-Richtung linear polarisiertes Licht ist
dann
F j t i - F ^ » ' ,
(3 c. 2 )
F„W = 0;
für in der ?/-Richtung linear polarisiertes Licht ist
FJ2) = 0 ,
F y / 2 ) = F0 eio>t.
(3 c. 3 )
Superponieren wir beide Lösungen mit den Amplituden
und u2 , so ergibt sich die allgemeine Lösung
Fy = u2 F0 eiwt = F0 k° sin (&/2)
der
Polarisationsebene
d' — Tij2 und cp=+7i/2
gegen
die
sind die zwei
x-Achse.
Richtungen
des zirkulär polarisierten Lichtes. Im A-Raum sind
diese Richtungen entgegengesetzt, also bilden auch
diese
beiden
Richtungen
eine
quantentheoretische
orthogonale Basis.
Auch in der Möglichkeit, in dieser Weise eine einfache Alternative in die MAXwELLsche Theorie einzubetten, steckt ein nichttrivialer Sachverhalt, über
den im Zusammenhang der mehrfachen Quantelung
noch einmal zu reden sein wird.
cl) YouNGscAer
Löchern
ist das klassische
f2 = b2 + ( c — x ) 2 ,
e W
g2 = b2 + (c + x)2,
+ (c + y)2,
(3d-
1}
und für ihre Differenzen gilt genähert
=
2 c y
a
,
l= g - f =
2 c
J
b
(3d. 2)
.
Im Teilchenbild kann nun ein von Q ausgegangenes und in R eingetroffenes Quant nur durch eins
der beiden Löcher, aber nicht durch beide zugleich
gegangen sein. Dies ist die einfache Alternative. Das
Wellenbild bewertet diese beiden Aussagen mit den
komplexen Zahlen ux und u2 . Die Beträge von ut
und u2 ergeben sich dabei aus der Größe der Löcher
(da c l ^ e angenommen ist), ihre Phasendifferenz aus
der seitlichen Verschiebung y der Quelle. Die Wellenfunktion xp sei so normiert, daß sie einen zeitlich
konstanten Strom darstellt. Die mit ihr gebildeten
Erwartungswerte beziehen sich dann auf die Zeiteinheit. xp mag eine Elektronenwelle oder sein Realteil m a g eine Vektorkomponente des elektromagneti-
Versuch
Der Durchgang von Strahlung durch einen Schirm
mit zwei
d2 = a2+{c-y)2,
L = e-d
ei(-°)t+,,l'2).
(p = 0 ist linear polarisiertes Licht; 0/2 ist der Winkel
Für clie Abstände der Löcher von Q und R gilt
streng
Diskussions-
schen Feldes bedeuten. Schwingt xp im Umkreis einer
Wellenlänge um Q wie
xpQ = i
beispiel für einfache Alternativen in der Quantentheorie. W i r wollen hier zeigen, wie man aus der
(
p
3
d
.
3)
so erreicht es die Löcher in der F o r m
xp, = {XId) xp0 ei(kd—o}t)
?
rp2 =
{l/g)
ei(ke-mt)
.
(3d. 4)
k = 2 n/k ist die Wellenzahl. Nach rechts strahlen die
kleinen Löcher wie Punktquellen, deren
Intensität
durch die Lochgröße bestimmt ist. Bis auf einen gemeinsamen
Phasenfaktor,
der
im
Zeitnullpunkt
untergeht, sind also die Schwingungen rechts in der
Nachbarschaft der beiden Löcher
u1 = s
mit
1
e ~ O V ä ) u
2
= s2e(irr'^'iwt
cp = kL
( 3 d . 5)
(3d. 6)
und reellen 5X , s2 . In R ist dann die W e l l e n f u n k t i o n
ux eik'+(l/g)
y>=(X/f)
« c o n s t • (si
+
Projektionen
auf u und die zu u senkrechte
S g c i(v+*)/2) e~i<°t
(3
d
Aus
(3d. 8)
Z = kl.
( 3 d . 7)
ergibt sich die Interferenzfigur
der Platte. Ein S c h w ä r z u n g s m a x i m u m
tritt ein
so kennt man also q=
für
. D e r zweite W i n -
2 k x0(c/b)
tg ( 0 / 2 )
bestimmt,
und
Minimum
und
das
(3d. 9)
Intensitätsverhältnis
Maximum
der
Schwärzung
(4a. 6)
( u , u) = 1 folgt
auf
kel, ft, ist durch
1 /*,+ &, A-x-i \ _
2 \k, + iÄ, k0~ks ) -
-
1 ,
2 K"
ist
ge-
D i e P r o j e k t i o n von u auf die zu u senkrechte Richtung verschwindet:
Q„u=
-±k"o„u
(4a. 8)
= 0.
D i e s ist die WEYLsche Gleichung
( 2 . 1 7 ) , die also
mißt
(A; 0 ) 2 = 5 X 2 + s22
die
einen u annullierenden P r o j e k t i o n s o p e r a t o r
^
zu
1+
Pa=
Gesamtintenv.
betrachtet die
Neumann
(4a. 9)
\kuO".
Projektionsoperatoren
als quantenmechanische A n a l o g a v o n Aussagen.
4 . Lineare Operatoren
idempotente
Als Abschluß illustrieren wir ein paar B e g r i f f e des
NEUMANNschen Buches an unserem
zweidimensiona-
len Zustandsraum.
Operatoren
haben sie nur die
werte 0 und 1. P„ + 1 heißt: „u liegt v o r "
P„v
Als
Eigen-
(explizit:
= v heißt: u und v sind derselbe Z u s t a n d ; liegt
also v v o r , so liegt u v o r ) ; P„ = 0 h e i ß t : „u
liegt
v o r " . A b e r es ist möglich, daß P„ nicht in D i a g o n a l -
a)
Jeder Vektor
fin-
den. Für Pu können wir nun auch schreiben
sität.
f o r m ist. Dies ist die „ M e h r w e r t i g k e i t " der quanten-
Projektionsoperatoren
theoretischen L o g i k . D i e Übertragung auf die P r o -
u definiert eine Richtung
im
Zu-
standsraum, in der alle seine Vielfachen a u liegen.
jektion
nicht
auf
einzelne
„oder":
u hat, sofern u auf 1 normiert ist, die L ä n g e (u, v)
Zustände liegt v o r .
und die Richtung u . Heißt der
auf die Richtung v o n u : P„,
Vektoren,
sondern
auf
U n t e r r ä u m e entspricht der E i n f ü h r u n g des logischen
D i e P r o j e k t i o n eines Vektors v auf die Richtung v o n
irgendeiner
der im Unterraum
liegenden
Projektionsoperator
so ist
b)
( 4 a. 1)
Pu v = (u v) u
oder explizit
ScHRÖDINGER-G/e/c/lUTJg
W i r lassen den Zustand von der Zeit
abhängen.
V o n einer individuellen „ B a h n " eines Zustands im
(u1*v1
Pu21 vx + Pu22 V2 = (u*
+ ui*v2)
vt + u2
ut,
v2) u2 .
( 4 a. 2 )
Eine Matrix P„ , die diese Gleichungen für alle v erfüllt, ist
Zustandsraum unterscheidet sich ein allgemeines Gesetz zeitlicher V e r ä n d e r u n g : es ist durch eine zeitabhängige
Abbildung
des ganzen
Zustandsraumes
in sich bestimmt. Sie ist durch einen Operator T (t)
beschrieben. M a n nennt
-iT
d.h.
'
als die L ö s u n g der A u f g a b e angesehen werden kann,
/min _ / S i - S g \ 2 _ /cos(ff/2) —sin(ff/2)\ 2
/max
\s1 + s,)
\ cos (ff/2)+sin (ff/2)/ '
Punv1+Pul2v2=
,
zwischen
nähert
Schließlich
Pu + Qu = 1 .
Mit der N o r m i e r u n g s b e d i n g u n g
für x = x0 = (b/a) y . Ist x0 gemessen,
<P = — X , z.B.
( 4 a. 5 )
Pu v + Qu v = v
7)
oder
mit
Rich-
tung:
u2eik°
Pu Aß = uA uB* .
Man bestätigt leicht die I d e m p o t e n z
den hamilton-Operator.
= P„ .
Im zweidimensionalen R a u m gibt es zu einer gegebenen Richtung nur eine o r t h o g o n a l e . W i r
nen-
nen den P r o j e k t i o n s o p e r a t o r auf die zu u senkrechte
Richtung Qu . Jeder V e k t o r v ist die S u m m e seiner
u ( £ + d«) = T(dt)
u(t)
( 4 b . 1)
= H
Aus
= (1 +Tdt)
u{t)
= u{t)
( 4 b . 2)
+u(t)
d£
f o l g t die Sc.HRÖDiNGER-Gleichung
u = iHu.
( 4 b . 3)
In
dieser
Allgemeinheit
ist die
ScHRÖDiNGER-Glei-
chung also lediglich der Ausdruck der
Forderung,
d a ß sich der Zustand nach einem allgemeinen Gesetz
Es f o l g t
H — X I = bu ou
( 4 b . 11)
ö}.
( 4 b . 12)
mit
b = {+a,
stetig ä n d e r e ; wir sagen, sie sei Ausdruck der Kau-
D i e z e i t u n a b h ä n g i g e ScHRÖDiNGER-Gleichung hat die
salität.
Gestalt
M a n pflegt zu verlangen, daß T unitär, also H
hermitesch sei. N u r dann bleibt die Metrik des Zustandsraumes zeitlich bewahrt. Nicht nötig ist d a f ü r ,
d a ß T b z w . H v o n u u n a b h ä n g i g , also die
Schrö-
d i n g e r - G l e i c h u n g linear sei. Die allgemeinste
Schrö-
dinger-Gleichung mit hermiteschem H können wir in
unserem Fall s o f o r t angeben. Die a-Matrizen
sind
eine Basis der hermiteschen Matrizen, also ist
H = afi o "
(4b. 4)
mit beliebigen reellen a u die allgemeinste
hermite-
sche HAMILTON-Funktion.
S i n d die au v o n u und t u n a b h ä n g i g , so wird die
ScHRÖDiNGER-Gleichung durch den Ansatz
(H -X)
die an die WEYLsche Gleichung ( 2 . 1 7 ) erinnert. Sie
ist in der Tat mit ihr identisch bis auf einen konstanten F a k t o r ; denn bis auf einen solchen Faktor
ist der u annullierende O p e r a t o r Q u eindeutig
be-
stimmt. D a a > 0 ,
be-
/r0<0,
ist mit irgendeinem
stimmten £ > 0
a = — £ k0 .
( 4 b. 1 4 )
A l s o ist
H — X. =H
— an — a=
+ £ k Z o" = 6„ o" ,
H — l_=H
— a0 + a=
— £ k ^ o'1 = bu ou .
Für /
(4b. 5)
u = u0ent
( 4 b. 1 3 )
u = bu o" u = 0 ,
+
( 4 b . 15)
ist somit Q = £ f , f ü r X _ aber a = — £ f . Hier
ist a ein fest g e g e b e n e r V e k t o r . Dies bedeutet nichts
anderes als d a ß f + entgegengesetzt gleich f ~ und u +
gelöst, die zu d e m E i g e n w e r t p r o b l e m
Hu0
führt. Dieser
o r t h o g o n a l auf u _ ist.
( 4 b. 6 )
= Xu0
Ansatz m a g
übrigens
vielleicht
c)
eine
Zerlegung
der
Einheit
Art „ d a r w i n i s t i s c h e r " Rechtfertigung der F o r d e r u n g
Diese, von
g e b e n , daß H hermitesch sei. Auch für nichthermite-
ches eingeführte
sche H wäre der Ansatz möglich, aber X wäre nicht
sionszahl
reell und der Zustand wäre nicht
Ziel ist, solche mathematischen G r ö ß e n einzuführen,
„lebenstüchtig",
Neumann
dem
in Abschnitt II, 7 seines Bu-
Methode
ist für endliche
Eigenwertproblem
Dimen-
äquivalent.
Sein
s o n d e r n würde durch Riesen- oder Z w e r g w u c h s ver-
die durch das E i g e n w e r t p r o b l e m eindeutig bestimmt
lorengehen.
sind. D i e Eigenwerte sind eindeutig, nicht aber die
Mit konstanten au ist H im Beispiel des Elektro-
E i g e n v e k t o r e n , die stets einen skalaren Faktor und
Magnetfeld,
bei Entartung s o g a r eine lineare T r a n s f o r m a t i o n zu-
vermehrt um eine b e l i e b i g e additive Konstante a0 .
lassen. Eindeutig sind h i n g e g e n wieder die linearen
nenspins genau die Energie in einem
Dies
ist
also
schon
das
allgemeinste
mögliche
W i r k ö n n e n das E i g e n w e r t p r o b l e m s o f o r t explizit
lösen. W i r schreiben die vier da wie
U n t e r r ä u m e des Zustandsraums, in denen die zu den
j e w e i l i g e n Eigenwerten g e h ö r i g e n Eigenvektoren lie-
„ ä u ß e r e F e l d " für eine einfache Alternative.
Quaternionen
gen. Diese linearen Unterräume charakterisiert man
durch die P r o j e k t i o n s o p e r a t o r e n , die auf sie p r o j i -
{ a 0 , q } , w o b e i der Betrag des Vektors ö mit a be-
zieren. v.
zeichnet werde. Nun hat das h o m o g e n e lineare Glei-
G r ö ß e . Jedem Eigenwert XT entspricht der auf seinen
chungssystem
Eigen-Unterraum
= 0
{H~X)u
(wir schreiben wieder u statt u 0 )
( 4 b . 7)
die Lösbarkeits-
\ H - X I \ = X2 - S X +D
= 0 .
(4b. 8)
5 und D sind Spur und Determinante v o n H. Es ist
5 = 2 a0 ,
und folglich
D = a2-a2
X+ = a
0
±a .
(4b. 9)
.(4 b. 1 0 )
projizierende
Projektionsoperator
E r . D a n n wird eine O p e r a t o r f u n k t i o n E ( l ) der reellen Zahl X definiert als die S u m m e aller der
Fr,
deren Eigenwert Xx kleiner o d e r gleich /. ist. Ist X
kleiner
bedingung
ordnet die Eigenwerte nach ihrer
Neumann
E(X)
als
der
kleinste
Eigenwert,
so
setzt
man
= 0 ; ist X g r ö ß e r als der g r ö ß t e Eigenwert, so
ist der R a u m , auf den projiziert
Z u s t a n d s r a u m , also E{X)
= 1 . E(X)
w i r d , der
ganze
heißt eine Zer-
l e g u n g der Einheit.
I m z w e i d i m e n s i o n a l e n Zustandsraum können wir
den Fall der Entartung ausschließen, denn er würde
bedeuten, d a ß der ganze Zustandsraum aus Eigenvektoren v o n H bestünde, also ein Vielfaches
w
= I! pu
v
!l = (pu v, Plt v) = (P„ v, v) = (v u) (u v)
der
( 4 d . 3)
= \(u,v)\*.
Einheitsmatrix wäre. W i r setzen also / _ < / . + . Z u m
Eigenvektor
zu u+
gehört der P r o j e k t i o n s o p e r a t o r
,
g e h ö r t P + . Es ist
P_+P
= l,
+
( 4 c. 1)
und die Z e r l e g u n g der Einheit ist
=
E(l)
I0
für X < X _ ,
j
für / _
i
v. NEUMANNS
Erw (/?, v) = {R v, v) = Spur ( P , R).
( 4 c . 2)
des, u zu s e i n " , d. h. P„ einsetzen und erhält
E r w ( P M , ü) = (Pu v, v).
<
Darstellung
des
HAMILTON-Operators
durch ein SUELTJES-Integral wird einfach
Schreiben
wir
für
einen
+/
= X_
/\ .
+
( 4 c . 3)
— oo
0 0
=
00
Als
Statistische
Grundlagen
v. NEUMANN
die
der
o
iv = o ( 1 + f 1) = c o s 2 ( 0 / 2 ) ,
Aussagen
wobei 0
Deutung
statitischen
W.
v) = a , J ' < = a 0 + ( ö 1) ,
(Rv,
Deutung
(S. 1 0 4 )
wählt
oder
E.
vektor u
die Wahrscheinlichkeit w
so definieren wir
wenn / :
/ ' < / < / " .
(4 d. 1)
In unserem Falle ist
w
, wenn nur /
+
in / ,
Eigenvektor
in
den
des
beiden
in /
mittleren
enthaltenen
Fällen
( 4 d . 2)
habe
(4d. 9)
(4d. 10)
.
ander ausschließenden Zuständen additiv. A l s o ist
+
) +w_(R
u
, u_)
mit
( 4 d . 11)
U = w+ P+ +w_
P_ .
( 4 d . 12)
W i r definieren einen Operator N durch
u
den
Eigenwerts
der
Energie und ist R die Energie, so folgt die „ Ü b e r einstimmungswahrscheinlichkeit von u und
+ w . = 1,
= Spur ( f / R)
1 , wenn b e i d e /.+ in I
Bezeichnet
und it +
Im Sinne der Statistik sind Erwartungswerte in einE r w ( R ) = tv + (R u +
P _ , wenn n u r / _ in / ,
+
+
W = iv + - w
0 , wenn kein X± in / ,
P
(4d. 8)
bekannt, welcher Zustand vorliegt. H a b e der Eigen-
(S. 1 5 7 ) . Mit angepaßten Bezeichnungen lautet:
-E(X'),
ist. Setzt
der W i n k e l zwischen f und 1 ist.
W . Die Wahrscheinlichkeit w dafür, daß im Zustande v
die Größe R einen Wert aus dem Intervall I annimmt, ist \\E(I)v\\. Dabei ist definiert
u
als
Länge des Vektors u und
E(I)=E(X")
( 4 d . 7)
In einem G e m e n g e ist nur mit Wahrscheinlichkeit
iv + , mit
E(I)
( 4 d. 6 )
man für R nach ( 4 a. 9 ) P„ ein, so folgt
0
H =
0 1
so folgt
(4c. 4)
d)
hermiteschen
wobei l" der v z u g e o r d n e t e Vierervektor
und u + als Basis, so wird
1 0
=
beliebigen
R = auo",
J XdE{X)
W ä h l t man
(4d. 5)
Operator
+ oo
H=
(4 d. 4)
Hier m u ß man für R die „ E i g e n s c h a f t des Zustan-
/.</
für
Dasselbe folgt aus
E. Der Erwartungswert einer Größe R im Zustand v
ist
v":
N = P+-P_
Es folgt
und
U =
2
= l+ka-af.
{ \ + W Q )
E r w ( # ) =a0+W(a.t~).
( 4 d . 13)
( 4 d . 14)
( 4 d . 15)