1 Examen zu Topologie SS2017

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Examen zu Topologie SS2017
Arbeiten Sie acht der folgenden 12 Beispiele aus und vereinbaren Sie danach einen Prüfungstermin via e-mail. Die Prüfung besteht i.w. aus dem Vortrag Ihrer Ausarbeitungen.
Beispiel 1.1 Sei X ein topologischer Raum und F die Menge aller Familien offener,
paarweise disjunkter, nicht leerer Teilmengen von X. Zeigen Sie, daß F durch U ⊆ V
S
induktiv geordnet ist. Ist U eine maximale Familie, so gilt: U = X.
Beispiel 1.2 Sei K ein Körper und |.| eine Norm auf K, i.e. d(x, y): = |x − y| ist eine
Metrik auf K, so daß für alle x, y ∈ K: |xy| ≤ |x||y|.
Sei E die Menge aller f ∈ KN , so daß f (n) eine Cauchyfolge in K ist.
1. E ist ein kommutativer Ring mit Eins und |f |: = lim |f (n)| ist eine Halbnorm auf dem
Vektorraum E über K.
b
2. I: = {f ∈ E : |f | = 0} ist ein maximales Ideal in E, also ist E/I ein Körper K.
b
3. (K, |.|) ist ein vollständiger, normierter Körper und enthält einen zu K isometrischen
b ist die Vervollständigung von K.
dichten Unterkörper, i.e. K
Beispiel 1.3 Sei ϕ : R → R+
0 konvex, dann ist p : L2 (µ) → [0, ∞], p(f ): =
konvex und l.s.c.
R
ϕ(f ) dµ
Beispiel 1.4 Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum und A eine abgeschlossene Teilmenge von X. Gibt es zu jedem x ∈ X genau ein bestapproximierendes Element fA (x) ∈ A,
so ist fA : X → A stetig.
Beispiel 1.5 Sei ∆ ⊆ [0, 1] die Cantor-Menge. Zeigen Sie: 1. ∆ ist homöomorph zu
P
{0, 2}N mit der Metrik d((xj ), (yj )) = |xj − yj |3−j .
2. Sei A ⊆ {0, 2}N abgeschlossen. Dann gibt es zu jedem x ∈ {0, 2}N genau ein bestapproximierendes Element fA (x) ∈ A. Folgern Sie, daß jede abgeschlossene Teilmenge von
{0, 2}N – und damit von ∆ – ein Retrakt ist.
Beispiel 1.6 Besitzt U (x) eine abzählbare Umgebungsbasis, so ist f : X → Y genau dann
stetig in x, wenn das Bild jeder gegen x konvergenten Folge unter f in Y gegen f (x)
konvergiert.
Beispiel 1.7 Seien R bzw. S Äquivalenzrelation auf den topologischen Räumen X bzw.
Y und πX bzw. πY die Quotientenabbildungen. Zeigen Sie: Sind πX und πY offen, so ist
X × Y /R × S homöomorph zu X/R × Y /S.
Beispiel 1.8 Sei p : X ′ → X ein lokaler Homöomorphismus, d.h. zu jedem x′ ∈ X ′ existieren Umgebungen U ′ von x′ und U von p(x′ ), so daß p : U ′ → U ein Homöomorphismus
ist. Standard-Beispiel: X ′ = R, X = S 1 und p(x) = eix .
Sei f : Y → X stetig. Eine stetige Abbildung f ′ : Y → X ′ heißt ein Lift von f , falls
p ◦ f ′ = f . Zeigen Sie: Ist Y zusammenhängend und sind f1 bzw. f2 zwei Lifts von f mit
f1 (y0 ) = f2 (y0 ) für ein y0 ∈ Y , so gilt: f1 = f2 .
Beispiel 1.9 Ein zusammenhängender, vollständig regulärer Raum ist überabzählbar.
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Beispiel 1.10 Sei G eine topologische Gruppe mit dem neutralen Element e. Dann gilt: 1.
e besitzt eine Umgebungsbasis aus offenen und symmetrischen Mengen U , d.h. U = U −1 .
2. Jede Untergruppe H, die einen inneren Punkt in G besitzt, ist zugleich offen und abgeschlossen in G.
Beispiel 1.11 Seien Xα , α ∈ I, topologische Räume und Z die disjunkte Summe der
Xα . Sind alle Xα hausdorffsch bzw. regulär bzw. vollständig regulär bzw. normal, so ist Z
hausdorffsch bzw. regulär bzw. vollständig regulär bzw. normal.
Beispiel 1.12 Der Raum X = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} mit der Niemytzki Topologie ist
nicht normal.
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