Serie 9: Relativistische Energie und Impuls

Mechanik I
Relativistische Energie und Impuls
Übung 9
Abgabe: 11. 5. 2017
1. Bewegung in einer Raumdimension. Für ein Teilchen der Masse m, welches mit
Geschwindigkeit v fliegt, lauten die Ausdrücke für die Energie und den Impuls E =
mc2 (1 − ~v 2 /c2 )−1/2 und p~ = m~v (1 − ~v 2 /c2 )−1/2 . Leite daraus folgende Relationen
her (wobei p = |~
p|, v = |~v |):
(a) E = E(p, m),
(b) p = p(E, m),
(c) v = v(p, E),
(d) m = m(E, p).
2. Ein Teilchen der Masse m besitze einen Impuls vom Betrag p = α mc, α ≥ 0.
(a) Bestimme die Geschwindigkeit als Funktion von α: v = cf (α), f =?
(b) Entwickle f (α) für kleine α in eine Potenzreihe bis und mit der Ordnung α5 .
(c) Für grosse α kann f entwickelt werden nach Potenzen von
2
Entwicklung bis und mit Termen der Ordnung α1 ?
1
α.
Wie lautet die
3. Relativistische Bewegungsgleichung, eindimensional: ṗ = F . F werde erzeugt durch
ein konstantes Gravitationsfeld, F = mg, g = 10 msec−2 .
(a) Bestimme x(t) mit x(0) = ẋ(0) = 0
Hinweis: ṗ = F → p = tF . Auflösen nach v ergibt Dgl. für x(t). Lösen,
x(0) = 0 berücksichtigen.
(b) Für kleine Zeiten ist x von der Form xN R = at2 + O(t3 ), für grosse Zeiten von
der Form x∞ = αt + β + O 1t . Bestimme a, α, β.
(c) Nach welcher Zeit hat die Geschwindigkeit des Teilchens 99% der Lichtgeschwindigkeit
erreicht?
(d) Stelle xN R , x und x∞ graphisch dar. Achsen geeignet wählen, ev. mehr als
eine Graphik.
4. Zerfall eines ruhenden Λ-Teilchens: Λ → p + π − . Berechne die Energien, Impulse
und Geschwindigkeiten der beiden Zerfallsprodukte. Gegeben sind die Ruheenergien:
mΛ c2 = 1115.6 MeV, mp c2 = 938.3 MeV, mπ− c2 = 139.6 MeV.
5. Betrachte den Zerfall K 0 → π 0 π 0 , eines neutralen Kaons in zwei neutrale Pionen.
Alle Teilchen sollen sich im Folgenden entlang der x-Achse bewegen.
(a) Ruhesystem des Kaons. Berechne mittels Energieerhaltung die Energie und
Geschwindigkeit |v0 | der π-Mesonen als Funktion der Massen mK und mπ .
(b) Betrachte nun den Zerfall in einem System indem sich das Kaon mit vK bewegt.
Nach dem Zerfall sollen die beiden Pionen die Geschwindigeiten v1 und v2 (nach
links und rechts) haben. Benutze die relativistische Geschwindigkeitsaddition,
um v1 und v2 aus vK und v0 zu erhalten.
(c) Nimm die Werte für v1 und v2 aus Aufgabe (b) und überprüfe, dass damit die
Energieerhaltung auch im bewegten System erfüllt ist.