Grundlagen der Stochastik

Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Grundlagen der Stochastik
Blatt 6
Aufgabe 1:( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Punkte)
Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B und C Ereignisse in A. Es gilt:
P[A] = 0.4, P[B] = 0.3, P[C] = 0.7, P[A{ ∩ B] = 0.1 und P[A ∩ B ∩ C { ] = 0.1
Bestimmmen Sie:
a) P[C|A ∩ B],
b) P[A ∩ B { |A],
d) P[B { ∪ C { |A],
e) P[A ∩ B|C { ].
c) P[B { ∪ C|A],
Aufgabe 2:( 1 + 2 Punkte)
Professor Tierlieb“ bittet seinen Freund, Professor Vergesslich“, für die Zeit, in der er sich
”
”
auf einer Urlaubsreise befindet, die Pflege seiner Katze zu übernehmen. Die Chance der Katze,
diese Pflegezeit zu überleben, beträgt 99%, wenn sie in dieser Zeit gefüttert wird, jedoch nur
3%, wenn sie nicht gefüttert wird. Professor Tierlieb“ weiß aus Erfahrung, dass sein Freund mit
”
Wahrscheinlichkeit 1/12 das Füttern vergisst.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Katze diese Zeit nicht überlebt?
b) Professor Tierlieb“ kommt aus dem Urlaub zurück und findet seine Katze tot in seinem
”
Haus vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Professor Vergesslich“ das Füttern
”
vergessen hat?
Aufgabe 3:( 2 + 2 + 2 Punkte)
Eine Bundestagsfraktion besteht aus 19 Männern und 11 Frauen. Die Fraktion muss für 5
Ausschüsse jeweils 6 Personen abordnen, ohne dass eine Person in zwei verschiedenen Ausschüssen
tätig ist. Da es zu keiner Einigung kam, werden die Fraktionsmitglieder zufällig auf die Ausschüsse
aufgeteilt, wobei jede Verteilung der einzelnen Personen dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
a) A1 : Der Ausschuss für Finanzangelegenheiten ist paritätisch, also mit gleich viele Männer
wie Frauen, besetzt.
b) A2 : Es existieren mindestens drei Ausschüsse, welche paritätisch besetzt sind.
c) A3 : In jeden Ausschuss sitzt mindestens ein Mann dieser Fraktion.
Bitte wenden.
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Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Aufgabe 4:( 2 + 2 + 2 Punkte)
Pk
Es seien k, n ∈ N, und pj ∈ (0, 1) (1 ≤ j ≤ k) mit j=1 pj = 1. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) wobei P := M (n, k, (p1 , p2 , ..., pk )) die Multinomialverteilung auf
Ω := Nk0 ist.
a) Bestimmen Sie P[{x = (x1 , ..., xk ) ∈ Nk0 : x1 = x2 = 0}].
b) Bestimmen Sie P[{x = (x1 , ..., xk ) ∈ Nk0 : x1 · x2 = 0}].
c) Sie stehen vor einem Geldspielautomaten der ein Vektor x = (x1 , ..., xk ) ∈ Nk0 entsprechend
der Verteilung M (n, k, (p1 , p2 , ..., pk )) generiert und Ihnen x1 x2 Euro als Gewinn auszahlt.
Ein Spiel kostet (np1 )(np2 ) Euro.
P Wir sagen der Automat ist fair, falls der Spielpreis gleich
dem zu erwartende Gewinn, x∈Nk x1 x2 · P[{x}], entspricht. Ist der Automat fair ?
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Abgabe: Freitag, 04.12.15, 10 Uhr
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