Strahlungskorrekturen und Renormierung

Strahlungskorrekturen und Renormierung
Lars Hofer
IFAE Barcelona
Maria Laach, September 2015
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED und QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED and QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED und QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED and QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
Freie and wechselwirkende Felder
Ausgangspunkt: Lagrangedichte für n Felder φ1 (x), ..., φn (x):
L(φ1 , ..., φn ) = Lfrei (φ1 , ..., φn ) + LWW (φ1 , ..., φn )
freie Lagrangedichte Lfrei : bilineare Terme
WW-Lagrangedichte LWW : Terme höherer Ordnung
Freie and wechselwirkende Felder
Ausgangspunkt: Lagrangedichte für n Felder φ1 (x), ..., φn (x):
L(φ1 , ..., φn ) = Lfrei (φ1 , ..., φn ) + LWW (φ1 , ..., φn )
freie Lagrangedichte Lfrei : bilineare Terme
WW-Lagrangedichte LWW : Terme höherer Ordnung
Feldgleichungen:
∂µ
∂L
∂L
−
= 0
∂(∂µ φi )
∂φi
freies Feld = Lösung für L = Lfrei
wechselwirkendes Feld = Lösung für L = Lfrei + LWW
Freie and wechselwirkende Felder
Ausgangspunkt: Lagrangedichte für n Felder φ1 (x), ..., φn (x):
L(φ1 , ..., φn ) = Lfrei (φ1 , ..., φn ) + LWW (φ1 , ..., φn )
freie Lagrangedichte Lfrei : bilineare Terme
WW-Lagrangedichte LWW : Terme höherer Ordnung
Feldgleichungen:
∂µ
∂L
∂L
−
= 0
∂(∂µ φi )
∂φi
freies Feld = Lösung für L = Lfrei
wechselwirkendes Feld = Lösung für L = Lfrei + LWW
im Folgenden: Spezialfall eines einzelnen skalaren Feldes φ
Freies Feld
Fourier-Zerlegung:
φ(x) =
Z
d3 p
a(~
p)e−ipx + a∗ (~
p)eipx
3
(2π) 2E(~
p)
mit E(~
p) =
p
p~2 + m2
Interpretation: Fourier-Moden = 1-Teilchen Anregungen
φ(x)|0i erzeugt 1-Teilchen Spektrum
Freies Feld
Fourier-Zerlegung:
φ(x) =
Z
d3 p
a(~
p)e−ipx + a∗ (~
p)eipx
3
(2π) 2E(~
p)
mit E(~
p) =
p
p~2 + m2
Interpretation: Fourier-Moden = 1-Teilchen Anregungen
φ(x)|0i erzeugt 1-Teilchen Spektrum
Propagator: (= 2-Punkt Korrelator)
iS(x − y) =
=
=
iS(p) =
h0|T φ(x)φ(y)|0i
Θ(x0 − y 0 )h0|φ(x)φ(y)|0i + Θ(y 0 − x0 )h0|φ(y)φ(x)|0i
Z
d4 p
iS(p) e−i(x−y)
(2π)4
1
p2 − m2 + iǫ
Propagator im Impulsraum
Wechselwirkendes Feld
n-Punkt Greensche Funktion: (= n-Punkt Korrelator)
iG(n) (x1 , ..., xn ) =
=
Z
h0|T φ(x1 ) · · · φ(xn )|0i
Z 4
d pn e (n)
d4 p1
·
·
·
iG (p1 , ..., pn ) e−i(p1 x1 +...+pn xn )
(2π)4
(2π)4
Wechselwirkendes Feld
n-Punkt Greensche Funktion: (= n-Punkt Korrelator)
iG(n) (x1 , ..., xn ) =
=
Z
h0|T φ(x1 ) · · · φ(xn )|0i
Z 4
d pn e (n)
d4 p1
·
·
·
iG (p1 , ..., pn ) e−i(p1 x1 +...+pn xn )
(2π)4
(2π)4
Übung 1:
Zeigen Sie: Translationsinvarianz von G(n) impliziert
e(n) , d.h.
Impulserhaltung in G
e(n) (p1 , ..., pn ) = (2π)4 δ (4) (p1 + ... + pn )f (p1 , ..., pn−1 ).
G
Streuprozess
n einlaufende Teilchen
→
m auslaufende Teilchen
◮
alle Teilchen sollen am Streuprozess teilnehmen
→ betrachte nur vollständig zusammenhängende Beiträge
zur Greenschen Funktion
◮
ein- und auslaufende Teilchen sollen frei sein
(räumlich isolierte Feldanregungen)
→ Propagation mit Propagator des freien Feldes
Streuprozess
n einlaufende Teilchen
→
m auslaufende Teilchen
◮
alle Teilchen sollen am Streuprozess teilnehmen
→ betrachte nur vollständig zusammenhängende Beiträge
zur Greenschen Funktion
◮
ein- und auslaufende Teilchen sollen frei sein
(räumlich isolierte Feldanregungen)
→ Propagation mit Propagator des freien Feldes
e (n+m) (p1 , ..., pn , k1 , ..., km ) = (iS(p1 )) · · · (iS(pn )) (iS(k1 )) · · · (iS(km ))
iG
× iΓ(n+m) (p1 , ..., pn , k1 , ..., km )
+ weitere Terme
Γ(n+m) : Vertexfunktion (trunkierte Greensche Funktion)
weitere Terme: irrelevant für Streuung
S-matrix
Elemente der S-matrix = Übergangsamplituden
M = hk1 , ..., km , out|p1 , ..., pn , ini
◮
◮
Übergangswahrscheinlichkeit ∼ |M|2
R
Wirkungsquerschnitt: σ = dP S |M|2
S-matrix
Elemente der S-matrix = Übergangsamplituden
M = hk1 , ..., km , out|p1 , ..., pn , ini
◮
◮
Übergangswahrscheinlichkeit ∼ |M|2
R
Wirkungsquerschnitt: σ = dP S |M|2
LSZ Theorem:
M ∼ Residuum der Greenschen Funktion für p21 → m2 , ...
M = (iS(p1 ))−1 · · · (iS(pn ))−1 (iS(k1 ))−1 · · · (iS(km ))−1
e(n+m) (p1 , ..., pn , k1 , ..., km ) |on-shell
× iG
M = iΓ(n+m) (p1 , ..., pn , k1 , ..., km ) |on-shell
Källen-Lehmann Propagator
ein- und auslaufende Teilchen wechselwirken nicht miteinander
aber: Teilchen wechselwirken mit sich selbst (wegen LWW =
6 0))
Källen-Lehmann Propagator
ein- und auslaufende Teilchen wechselwirken nicht miteinander
aber: Teilchen wechselwirken mit sich selbst (wegen LWW =
6 0))
a) LWW = 0: Freier Propagator
iS(p) =
p2
i
− m20 + iǫ
m0 : Massenparameter in Lagrangedichte Lfrei
→ nicht messbar (Selbst-WW experimentell nicht abschaltbar!)
Källen-Lehmann Propagator
ein- und auslaufende Teilchen wechselwirken nicht miteinander
aber: Teilchen wechselwirken mit sich selbst (wegen LWW =
6 0))
a) LWW = 0: Freier Propagator
iS(p) =
p2
i
− m20 + iǫ
m0 : Massenparameter in Lagrangedichte Lfrei
→ nicht messbar (Selbst-WW experimentell nicht abschaltbar!)
b) Feld mit Selbst-WW: Källen-Lehmann Propagator
Z ∞
iRφ
iσ(µ)
iS(p) = 2
+
dµ2 2
2
p − mPol + iǫ
p − µ2 + iǫ
m̃2
mPol : experimentell messbarer Propagatorpol → Observable
→ unabhängig von theoretischen Konventionen
Unterschied zu a):
mPol =
6 m0 ,
Rφ =
6 1
LSZ Theorem
Implizite Annahme im LSZ Theorem:
Ein- und auslaufende Teilchen haben Propagatoren der Form
i
2
p − m2 + iǫ
LSZ Theorem
Implizite Annahme im LSZ Theorem:
Ein- und auslaufende Teilchen haben Propagatoren der Form
i
2
p − m2 + iǫ
(i) “on-shell” bedeutet p2i = ki2 = m2Pol (nicht m20 )
LSZ Theorem
Implizite Annahme im LSZ Theorem:
Ein- und auslaufende Teilchen haben Propagatoren der Form
i
2
p − m2 + iǫ
(i) “on-shell” bedeutet p2i = ki2 = m2Pol (nicht m20 )
(ii) Felder müssen so normiert sein, dass der Propagator
Residuum 1 hat
→ renormiere das ursprüngliche Feld φ0 :
p
φ0 = Zφ φ,
mit Zφ = Rφ
⇒ verwende LSZ-Formel für Feld φ (nicht φ0 )
Verallgemeinerte LSZ Formel
Alternative:
Modifiziere LSZ-Formel, so dass sie für allgemeinen
KL-Propagator gilt.
Vorteil:
Normierung der Felder frei wählbar, S-Matrixelemente
unabhängig von Normierung der Felder.
⇒ Renormierungskonstante Zφ frei wählbar
Verallgemeinerte LSZ Formel
Alternative:
Modifiziere LSZ-Formel, so dass sie für allgemeinen
KL-Propagator gilt.
Vorteil:
Normierung der Felder frei wählbar, S-Matrixelemente
unabhängig von Normierung der Felder.
⇒ Renormierungskonstante Zφ frei wählbar
Übung 2:
Bestimmen Sie die LSZ-Formel für Felder mit allgemeinem
KL-Propagator.
Verallgemeinerte LSZ Formel
Alternative:
Modifiziere LSZ-Formel, so dass sie für allgemeinen
KL-Propagator gilt.
Vorteil:
Normierung der Felder frei wählbar, S-Matrixelemente
unabhängig von Normierung der Felder.
⇒ Renormierungskonstante Zφ frei wählbar
Übung 2:
Bestimmen Sie die LSZ-Formel für Felder mit allgemeinem
KL-Propagator.
M =
p
Rφ
n+m
Γn+m (p1 , ..., pn , k1 , ..., km ) |on-shell
Störungstheorie
Übergangsamplitude erfordert Berechnung der Greenschen Funktion
mit wechselwirkenden Feldern
Problem:
Exakte Lsg. der Feldgleichung für φ nicht bekannt
Ausweg:
Für “LWW ≪ Lfrei ” ist störungstheoretische Auswertung der
Greenschen Funktion möglich
Störungstheorie
Übergangsamplitude erfordert Berechnung der Greenschen Funktion
mit wechselwirkenden Feldern
Problem:
Exakte Lsg. der Feldgleichung für φ nicht bekannt
Ausweg:
Für “LWW ≪ Lfrei ” ist störungstheoretische Auswertung der
Greenschen Funktion möglich
R 4
frei
h0|T φfrei
d yHWW }|0i
1 · · · φn exp{−i
R
h0|T φ1 · · · φn |0i =
4
h0| exp{−i d yHWW }|0i
Entwicklung der exp-Funktion:
freie Propagation der Teilchen bis auf “punktuelle Wechselwirkungen”
→ graphische Darstellung durch Feynman-Diagramme
Strahlungskorrekturen = höhere Ordnungen = mehr WW-Punkte
Dyson-Resummation des Propagators
Übung 3:
Betrachten Sie ein freies skalares Feld der Masse m:
1 µ
Lfrei =
∂ φ∂µ φ − m2 φ2 ,
LWW = 0
2
Für Energien E ≫ m kann der Massenterm als Störung
betrachtet werden (mass insertion approximation):
Lfrei =
1 µ
∂ φ∂µ φ,
2
1
LWW = − m2 φ2
2
a) Schreiben Sie die Beiträge zum Propagator iS(p) in 0-ter
1-ter und 2-ter Ordnung Störungstheorie auf.
b) Resummieren Sie den Propagator zu allen Ordnungen:
iS(p) =
∞
X
i=0
iS (i) (p)
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED and QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED und QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
Globale Symmetrien
◮
Lagrangedichte für freies Dirac-Feld ψ der Masse m:
L = ψ(x)(i∂/ − m)ψ(x),
ψ = ψ† γ 0 ,
∂/ = γ µ ∂µ
L invariant unter globaler Phasentransformation
(U (1)-Symmetrie):
ψ(x) → U (θ)ψ(x) = e−iqθ ψ(x)
q: U (1)-Ladung des Feldes ψ
→
Symmetrie der QED
Globale Symmetrien
◮
Lagrangedichte für freies Dirac-Feld ψ der Masse m:
L = ψ(x)(i∂/ − m)ψ(x),
ψ = ψ† γ 0 ,
∂/ = γ µ ∂µ
L invariant unter globaler Phasentransformation
(U (1)-Symmetrie):
ψ(x) → U (θ)ψ(x) = e−iqθ ψ(x)
q: U (1)-Ladung des Feldes ψ
◮
→
Symmetrie der QED
N -komponentiges Dirac-Feld:
X
~ T (x)(i∂/ − m)ψ(x)
~
L=
ψ k (x)(i∂/ − m)ψk (x) = ψ
k
L invariant unter globaler SU (N )-Transformation:
~
~
ψ(x)
→ U (~
θ)ψ(x)
U (~θ): unitäre N × N Matrix mit det U = 1
→
für N = 3: Symmetrie der QCD
Eichsymmetrien
Stärkere Forderung:
Invarianz unter lokalen Transformationen U (θ(x))
Problem:
Ableitungsterm ψi∂/ψ wegen ∂ µ ψ(x) →U
6
∂ µ ψ(x)
Eichsymmetrien
Stärkere Forderung:
Invarianz unter lokalen Transformationen U (θ(x))
Problem:
Ableitungsterm ψi∂/ψ wegen ∂ µ ψ(x) →U
6
∂ µ ψ(x)
Ausweg:
Ersetze ∂ µ durch kovariante Ableitung mit Eichfeld Aµ :
Dµ = ∂ µ − igAµ
Aµ soll sich so transformieren, dass gilt:
D′µ ψ ′ = U Dµ ψ
bzw.
Dµ → U Dµ U †
Eichsymmetrien
Stärkere Forderung:
Invarianz unter lokalen Transformationen U (θ(x))
Problem:
Ableitungsterm ψi∂/ψ wegen ∂ µ ψ(x) →U
6
∂ µ ψ(x)
Ausweg:
Ersetze ∂ µ durch kovariante Ableitung mit Eichfeld Aµ :
Dµ = ∂ µ − igAµ
Aµ soll sich so transformieren, dass gilt:
D′µ ψ ′ = U Dµ ψ
bzw.
Dµ → U Dµ U †
Übung 4:
Bestimmen Sie das Transformationsverhalten von Aµ .
Eichsymmetrien
Stärkere Forderung:
Invarianz unter lokalen Transformationen U (θ(x))
Problem:
Ableitungsterm ψi∂/ψ wegen ∂ µ ψ(x) →U
6
∂ µ ψ(x)
Ausweg:
Ersetze ∂ µ durch kovariante Ableitung mit Eichfeld Aµ :
Dµ = ∂ µ − igAµ
Aµ soll sich so transformieren, dass gilt:
D′µ ψ ′ = U Dµ ψ
bzw.
Dµ → U Dµ U †
Übung 4:
Bestimmen Sie das Transformationsverhalten von Aµ .
i µ
†
µ †
Aµ → A′µ = U
| A{zU } − g (∂ U )U
=Aµ für QED
Kinetischer Term des Eichfeldes
kovariante Ableitung:
D µ = ∂ µ − igAµ ,
Definiere Feldstärketensor:
i
F µν = [D µ , D ν ]
g
mit
Dµ → U Dµ U †
Kinetischer Term des Eichfeldes
kovariante Ableitung:
D µ = ∂ µ − igAµ ,
mit
Dµ → U Dµ U †
Definiere Feldstärketensor:
i
F µν = [D µ , D ν ] = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ − ig [Aµ , Aν ]
| {z }
g
=0 für QED
Kinetischer Term des Eichfeldes
kovariante Ableitung:
D µ = ∂ µ − igAµ ,
mit
Dµ → U Dµ U †
Definiere Feldstärketensor:
i
F µν = [D µ , D ν ] = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ − ig [Aµ , Aν ]
| {z }
g
=0 für QED
kinetischer Term Eichfeld:
◮
lorentz- und eichinvariant
LA ∼ tr {F µν Fµν }
Kinetischer Term des Eichfeldes
kovariante Ableitung:
D µ = ∂ µ − igAµ ,
mit
Dµ → U Dµ U †
Definiere Feldstärketensor:
i
F µν = [D µ , D ν ] = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ − ig [Aµ , Aν ]
| {z }
g
=0 für QED
kinetischer Term Eichfeld:
◮
◮
◮
LA ∼ tr {F µν Fµν }
lorentz- und eichinvariant
enthält Term
∼ (∂A)2
⇒ kinetischer Term des Eichfeldes
in QCD: enthält Terme
∼ (∂A)A2 ,
⇒ Selbst-WW des Eichfeldes
∼ A4
Darstellungen der SU (N ) Farbsymmetrie
Quark:
ψi → Uij ψj
fundamentale Darstellung N → Quarks tragen Farbe
Darstellungen der SU (N ) Farbsymmetrie
Quark:
ψi → Uij ψj
fundamentale Darstellung N → Quarks tragen Farbe
Anti-Quark:
ψ̄i → (U ψ)†i γ0 = Uij∗ ψ̄j
kompl-konj. Darstellung N → Anti-Quarks tragen Anti-Farbe
Darstellungen der SU (N ) Farbsymmetrie
Quark:
ψi → Uij ψj
fundamentale Darstellung N → Quarks tragen Farbe
Anti-Quark:
ψ̄i → (U ψ)†i γ0 = Uij∗ ψ̄j
kompl-konj. Darstellung N → Anti-Quarks tragen Anti-Farbe
Gluon:
∗ Aµ
Aµij → (U Aµ U † )ij = Uii′ Ujj
′
i′ j ′
adjungierte Darstellung ⊂ N × N
→ Gluonen tragen Farbe und Anti-Farbe
N ⊗ N = (N 2 − 1) ⊕1
| {z }
Gluonen
Gluonen: spurlose hermitesche N × N Matrizen
Gluon-Feld: Standard-Basis
Basis für hermitesche Matrizen: {1, |{z}
Ta }
spurlos
konventionelle Normierung: tr T a T b = 12 δ ab
Lie-Algebra der Gruppe SU (N ): [T a , T b ] = ifabc T c
Aµij =
X
a
Aaµ Tija
Aaµ : physikalische Gluonfelder
Gluon-Feld: Standard-Basis
Basis für hermitesche Matrizen: {1, |{z}
Ta }
spurlos
konventionelle Normierung: tr T a T b = 12 δ ab
Lie-Algebra der Gruppe SU (N ): [T a , T b ] = ifabc T c
Aµij =
X
Aaµ Tija
Aaµ : physikalische Gluonfelder
a
◮
kinetischer Term:
1
LA = − tr {F µν Fµν } ⊃
2
−tr {∂ µ Aν ∂µ Aν − ∂ µ Aν ∂ν Aµ }
1 µ aν
∂ A ∂µ Aaν − ∂ µ Aa ν ∂ν Aaµ
2
→ kanonische Normierung ⇒ Propagator ∼ 1/k 2
=
−
Gluon-Feld: Standard-Basis
Basis für hermitesche Matrizen: {1, |{z}
Ta }
spurlos
konventionelle Normierung: tr T a T b = 12 δ ab
Lie-Algebra der Gruppe SU (N ): [T a , T b ] = ifabc T c
Aµij =
X
Aaµ Tija
Aaµ : physikalische Gluonfelder
a
◮
kinetischer Term:
1
LA = − tr {F µν Fµν } ⊃
2
−tr {∂ µ Aν ∂µ Aν − ∂ µ Aν ∂ν Aµ }
1 µ aν
∂ A ∂µ Aaν − ∂ µ Aa ν ∂ν Aaµ
2
→ kanonische Normierung ⇒ Propagator ∼ 1/k 2
=
◮
−
Vertizes enthalten Farbfaktoren Tija , fabc , ...
Gluon-Feld: Farbfluss-Basis
verwende direkt Aµij als Felder → Transformation als N ⊗ N
Gluon-Feld: Farbfluss-Basis
verwende direkt Aµij als Felder → Transformation als N ⊗ N
◮
kinetischer Term:
1
LA = − tr {F µν Fµν }
2
⊃ −tr {∂ µ Aν ∂µ Aν − ∂ µ Aν ∂ν Aµ }
= −1 ∂ µ Aνij ∂µ Aji ν − ∂ µ Aνij ∂ν Aji µ
→ nicht kanonisch normiert ⇒ Aµij →
√1 Aµ
2 ij
wegen LSZ
Gluon-Feld: Farbfluss-Basis
verwende direkt Aµij als Felder → Transformation als N ⊗ N
◮
kinetischer Term:
1
LA = − tr {F µν Fµν }
2
⊃ −tr {∂ µ Aν ∂µ Aν − ∂ µ Aν ∂ν Aµ }
= −1 ∂ µ Aνij ∂µ Aji ν − ∂ µ Aνij ∂ν Aji µ
→ nicht kanonisch normiert ⇒ Aµij →
◮
√1 Aµ
2 ij
wegen LSZ
Farberhaltung an jedem Vertex, keine Farbfaktoren in Vertizes
i1
gs ψ̄i γµ Aµij ψj
j3
i3
−→ q̄i1 qj2 gj3 i3 -Vertex ∝ δi1 j3 δi3 j2
j2
Gluon-Feld: Farbfluss-Basis
verwende direkt Aµij als Felder → Transformation als N ⊗ N
◮
kinetischer Term:
1
LA = − tr {F µν Fµν }
2
⊃ −tr {∂ µ Aν ∂µ Aν − ∂ µ Aν ∂ν Aµ }
= −1 ∂ µ Aνij ∂µ Aji ν − ∂ µ Aνij ∂ν Aji µ
→ nicht kanonisch normiert ⇒ Aµij →
◮
√1 Aµ
2 ij
wegen LSZ
Farberhaltung an jedem Vertex, keine Farbfaktoren in Vertizes
i1
gs ψ̄i γµ Aµij ψj
j3
i3
−→ q̄i1 qj2 gj3 i3 -Vertex ∝ δi1 j3 δi3 j2
j2
◮
N ⊗ N = (N 2 − 1) ⊕ 1
→ Singlett-Beiträge müssen über Forderung trAµ = 0 von Hand
eliminiert werden.
Farbfaktoren in Farbflussdarstellung
i1
i1
j3
i3
j2
−→
1
√
2
j3
i3
j2
Farbfaktoren in Farbflussdarstellung
i1
i1
j3
i3
−→
j2
i1
j1
j3
i3
i2
j2
1
√
2
j3
i3
j2

i1
j1
−→
1 
√ 
2 i
i1
j1
j3
i3
2
j2
−
i2
j2


j3 
i3 
Farbfaktoren in Farbflussdarstellung
i1
i1
j3
i3
−→
1
√
2
j2
i1
j1
j3
i3
i2
i1
j1
j2

i1
j1
−→
j2
j2
i2
j3
i3
−→
1 
√ 
2 i
i1
j1
j3
i3
2

i1
j1
−
j2
j2 − 1 i1
i2
N j1

j3 
i3 
i2
j2
j2
i2
Farbfaktoren in Farbflussdarstellung
i1
i1
j3
i3
−→
1
√
2
j2
i1
j1
j3
i3
i2
i1
j1
j2

i1
j1
−→
j2
j2
i2
j3
i3
−→
1 
√ 
2 i
i1
j1
j3
i3
2

i1
j1
−
j2
j2 − 1 i1
i2
N j1

j3 
i3 
i2
j2
j2
i2
Übung 5:
Berechnung von Farbfaktoren mit Hilfe der Farbflussdarstellung
Axiale Eichung
Eichtrafo: Aµ → U Aµ U † −
i
µ
†
g (∂ U )U
additiver Term kann soP
gewählt werden, dass er eine
Polarisation von Aµ = λ aλ εµλ eliminiert.
→ nicht alle Polarisationen von Aµ sind physikalisch
Axiale Eichung
Eichtrafo: Aµ → U Aµ U † −
i
µ
†
g (∂ U )U
additiver Term kann soP
gewählt werden, dass er eine
Polarisation von Aµ = λ aλ εµλ eliminiert.
→ nicht alle Polarisationen von Aµ sind physikalisch
Axiale Eichung:
Fixiere Eichung so, dass εµλ ⊥ nµ , d.h. εµλ nµ = 0 für ein bel. nµ
Außerdem gilt für on-shell Eichbosonen mit Impuls kµ in
beliebiger Eichung: εµλ kµ = 0
Axiale Eichung
Eichtrafo: Aµ → U Aµ U † −
i
µ
†
g (∂ U )U
additiver Term kann soP
gewählt werden, dass er eine
Polarisation von Aµ = λ aλ εµλ eliminiert.
→ nicht alle Polarisationen von Aµ sind physikalisch
Axiale Eichung:
Fixiere Eichung so, dass εµλ ⊥ nµ , d.h. εµλ nµ = 0 für ein bel. nµ
Außerdem gilt für on-shell Eichbosonen mit Impuls kµ in
beliebiger Eichung: εµλ kµ = 0
Polarisationstensor:
X µ∗
dµν (k) =
ελ ενλ = −g µν + ak µ kν + b(kµ nν + nµ kν ) + cnµ nν
λ
Axiale Eichung
Eichtrafo: Aµ → U Aµ U † −
i
µ
†
g (∂ U )U
additiver Term kann soP
gewählt werden, dass er eine
Polarisation von Aµ = λ aλ εµλ eliminiert.
→ nicht alle Polarisationen von Aµ sind physikalisch
Axiale Eichung:
Fixiere Eichung so, dass εµλ ⊥ nµ , d.h. εµλ nµ = 0 für ein bel. nµ
Außerdem gilt für on-shell Eichbosonen mit Impuls kµ in
beliebiger Eichung: εµλ kµ = 0
Polarisationstensor:
X µ∗
dµν (k) =
ελ ενλ = −g µν + ak µ kν + b(kµ nν + nµ kν ) + cnµ nν
λ
Übung 6: Bestimmen Sie dµν (k)
Geistfelder
Propagator in axialer Eichung
n2 k µ k ν
k µ nν + nµ k ν
i
µν
µν
−
−g +
iS (k) = 2
k + iǫ
n·k
(n · k)2
+ nur physikalische Polarisationen propagieren
− 1/kn-Divergenzen unpraktisch für Schleifenrechnungen
Geistfelder
Propagator in axialer Eichung
n2 k µ k ν
k µ nν + nµ k ν
i
µν
µν
−
−g +
iS (k) = 2
k + iǫ
n·k
(n · k)2
+ nur physikalische Polarisationen propagieren
− 1/kn-Divergenzen unpraktisch für Schleifenrechnungen
Alternative:
erlaube auch nichtphysikalische Polarisationen für Aµ
aber: quantisiere auch die skalare Eichfunktion χ der
Eichtransformation U (χ(x)) = eigχ(x) , und zwar so, dass sie
unphysikalische Polarisationen von Aµ weghebt.
→ χij müssen anti-vertauschen ⇒ Geister
Geistfelder
Propagator in axialer Eichung
n2 k µ k ν
k µ nν + nµ k ν
i
µν
µν
−
−g +
iS (k) = 2
k + iǫ
n·k
(n · k)2
+ nur physikalische Polarisationen propagieren
− 1/kn-Divergenzen unpraktisch für Schleifenrechnungen
Alternative:
erlaube auch nichtphysikalische Polarisationen für Aµ
aber: quantisiere auch die skalare Eichfunktion χ der
Eichtransformation U (χ(x)) = eigχ(x) , und zwar so, dass sie
unphysikalische Polarisationen von Aµ weghebt.
→ χij müssen anti-vertauschen ⇒ Geister
Eichsymmetrie → BRST-Symmetrie: [Becchi,Rouet,Stora;Tyutin]
verknüpft Eichfelder und Geister, so dass sich
nichtphysikalische Beiträge wegheben
BRST Symmetrie
U (θ) = eiθQ
θ: anti-vertauschende Grassmann-Zahl
Q: BRST Ladungsoperator
Transformation von Feldoperatoren:
eiθQ φe−iθQ = (1 + iθQ)φ(1 − iθQ) = φ + θ i[Q, φ]±
| {z }
+ falls φ Fermion,
− falls φ Boson
≡δB φ
BRST Symmetrie
U (θ) = eiθQ
θ: anti-vertauschende Grassmann-Zahl
Q: BRST Ladungsoperator
Transformation von Feldoperatoren:
eiθQ φe−iθQ = (1 + iθQ)φ(1 − iθQ) = φ + θ i[Q, φ]±
| {z }
+ falls φ Fermion,
− falls φ Boson
≡δB φ
ψ und Aµ transformieren sich gemäß Eichtrafo U = eigθχ :
BRST
ψ −→ U ψ
BRST Symmetrie
U (θ) = eiθQ
θ: anti-vertauschende Grassmann-Zahl
Q: BRST Ladungsoperator
Transformation von Feldoperatoren:
eiθQ φe−iθQ = (1 + iθQ)φ(1 − iθQ) = φ + θ i[Q, φ]±
| {z }
+ falls φ Fermion,
− falls φ Boson
≡δB φ
ψ und Aµ transformieren sich gemäß Eichtrafo U = eigθχ :
BRST
ψ −→ U ψ
=⇒
δB ψ = igχψ
BRST Symmetrie
U (θ) = eiθQ
θ: anti-vertauschende Grassmann-Zahl
Q: BRST Ladungsoperator
Transformation von Feldoperatoren:
eiθQ φe−iθQ = (1 + iθQ)φ(1 − iθQ) = φ + θ i[Q, φ]±
| {z }
+ falls φ Fermion,
− falls φ Boson
≡δB φ
ψ und Aµ transformieren sich gemäß Eichtrafo U = eigθχ :
BRST
ψ −→ U ψ
µ BRST
A −→ U Aµ U † −
=⇒
i
µ
†
g (∂ U )U
δB ψ = igχψ
BRST Symmetrie
U (θ) = eiθQ
θ: anti-vertauschende Grassmann-Zahl
Q: BRST Ladungsoperator
Transformation von Feldoperatoren:
eiθQ φe−iθQ = (1 + iθQ)φ(1 − iθQ) = φ + θ i[Q, φ]±
| {z }
+ falls φ Fermion,
− falls φ Boson
≡δB φ
ψ und Aµ transformieren sich gemäß Eichtrafo U = eigθχ :
BRST
ψ −→ U ψ
µ BRST
A −→ U Aµ U † −
i
µ
†
g (∂ U )U
=⇒
δB ψ = igχψ
=⇒
δB Aµ = ig[χ, Aµ ] +∂ µ χ
| {z }
=0 für Photon
BRST Symmetrie
U (θ) = eiθQ
θ: anti-vertauschende Grassmann-Zahl
Q: BRST Ladungsoperator
Transformation von Feldoperatoren:
eiθQ φe−iθQ = (1 + iθQ)φ(1 − iθQ) = φ + θ i[Q, φ]±
| {z }
+ falls φ Fermion,
− falls φ Boson
≡δB φ
ψ und Aµ transformieren sich gemäß Eichtrafo U = eigθχ :
BRST
ψ −→ U ψ
µ BRST
A −→ U Aµ U † −
i
µ
†
g (∂ U )U
=⇒
δB ψ = igχψ
=⇒
δB Aµ = ig[χ, Aµ ] +∂ µ χ
| {z }
=0 für Photon
BRST
χ −→ χ + θδB χ
=⇒
δB χ frei wählbar
BRST Symmetrie
U (θ) = eiθQ
θ: anti-vertauschende Grassmann-Zahl
Q: BRST Ladungsoperator
Transformation von Feldoperatoren:
eiθQ φe−iθQ = (1 + iθQ)φ(1 − iθQ) = φ + θ i[Q, φ]±
| {z }
+ falls φ Fermion,
− falls φ Boson
≡δB φ
ψ und Aµ transformieren sich gemäß Eichtrafo U = eigθχ :
BRST
ψ −→ U ψ
µ BRST
A −→ U Aµ U † −
i
µ
†
g (∂ U )U
=⇒
δB ψ = igχψ
=⇒
δB Aµ = ig[χ, Aµ ] +∂ µ χ
| {z }
=0 für Photon
BRST
χ −→ χ + θδB χ
=⇒
δB χ frei wählbar
Übung 7:
a) Bestimmen Sie δB χ so, dass gilt: δB (δB ψ) = 0.
b) Zeigen Sie, dass dann gilt: δB (δB Aµ ) = 0, δB (δB χ) = 0.
BRST Symmetrie
◮
Forderung: physikalische Zustände sind invariant unter
BRST-Trafo, d.h. Q|φi = 0
◮
◮
Fermionen sind physikalisch
Eichbosonen sind physikalisch für εµ kµ = 0
BRST Symmetrie
◮
Forderung: physikalische Zustände sind invariant unter
BRST-Trafo, d.h. Q|φi = 0
◮
◮
◮
Fermionen sind physikalisch
Eichbosonen sind physikalisch für εµ kµ = 0
Solange L BRST-invariant ist,
◮
tragen Geister nicht zu S-Matrixelementen physikalischer
Zustände bei:
hφ|S|χi = 0
◮
gehen physikalische Zustände nur in physikalische
Zustände über
Q|φi = 0
⇒
QS|φi = 0
BRST Symmetrie
◮
Forderung: physikalische Zustände sind invariant unter
BRST-Trafo, d.h. Q|φi = 0
◮
◮
◮
◮
Fermionen sind physikalisch
Eichbosonen sind physikalisch für εµ kµ = 0
Solange L BRST-invariant ist,
◮
tragen Geister nicht zu S-Matrixelementen physikalischer
Zustände bei:
hφ|S|χi = 0
◮
gehen physikalische Zustände nur in physikalische
Zustände über
Q|φi = 0
⇒
QS|φi = 0
Zusatzterm zur Lagrangedichte
δB Λ = i[Q, Λ]±
ändert S-Matrixelemente zwischen physikalischen
Zuständen nicht
Strategie
1. Addiere Term δB Λ(FGF (Aµ )) zur Lagrangedichte um
Eichung zu fixieren.
→ S-Matrixelemente zwischen physikalischen Zuständen
unabängig von Zusatzterm und Wahl von FGF
FGF : Eichfixierungsfunktion
2. Zeige, dass Geistfelder entkoppeln, wenn eine
physikalische Eichung (z.B. Axialeichung) gewählt wird
⇒ L liefert korrekte Ergebnisse für beliebiges FGF
3. Wähle FGF so, dass Eichboson-Propagator einfache
Struktur hat, und bestimme Feynman-Regeln für Geister
1. Eichfixierungsterm
Führe zusätzliche Felder ein:
◮
χ
e(x): anti-vertauschendes Skalarfeld
Anti-Geist (aber nicht Anti-Teilchen zu χ)
BRST
χ
e −→ χ
e + θδB χ
e
mit
δB χ
e = B(x)
1. Eichfixierungsterm
Führe zusätzliche Felder ein:
◮
χ
e(x): anti-vertauschendes Skalarfeld
Anti-Geist (aber nicht Anti-Teilchen zu χ)
BRST
◮
χ
e −→ χ
e + θδB χ
e
mit
B(x): skalares Hilfsfeld
B
BRST
−→ B + θδB B
mit
δB χ
e = B(x)
δB B = 0
1. Eichfixierungsterm
Führe zusätzliche Felder ein:
◮
χ
e(x): anti-vertauschendes Skalarfeld
Anti-Geist (aber nicht Anti-Teilchen zu χ)
BRST
◮
χ
e −→ χ
e + θδB χ
e
mit
B(x): skalares Hilfsfeld
B
BRST
−→ B + θδB B
⇒ Es gilt:
δB (δB χ
e) = 0,
mit
δB χ
e = B(x)
δB B = 0
δB (δB B) = 0
1. Eichfixierungsterm
Führe zusätzliche Felder ein:
◮
χ
e(x): anti-vertauschendes Skalarfeld
Anti-Geist (aber nicht Anti-Teilchen zu χ)
BRST
◮
χ
e −→ χ
e + θδB χ
e
mit
B(x): skalares Hilfsfeld
B
BRST
−→ B + θδB B
⇒ Es gilt:
δB (δB χ
e) = 0,
mit
δB χ
e = B(x)
δB B = 0
δB (δB B) = 0
Übung 8:
Zeigen Sie, dass χ
e keine physikalische Zustände erzeugt, und
dass externe B-Teilchen nicht zu physikalischen
S-Matrixelementen beitragen.
1. Eichfixierungsterm
Definiere Eichfixierungsterm (ξ: Eichfixierungsparameter):
1
Λ = 2 tr χ
e ξB + FGF (A)
2
1. Eichfixierungsterm
Definiere Eichfixierungsterm (ξ: Eichfixierungsparameter):
1
Λ = 2 tr χ
e ξB + FGF (A)
2
1 2
⇒ δB Λ = 2 tr
ξB + BFGF (A) − 2 tr {e
χ δB FGF (A)}
2
B besitzt keinen kinetischen Term
⇒ kann über Bewegungsgleichungen eliminiert werden.
Übung 9:
Bestimmen Sie B und setzen Sie die Lösung in δB Λ ein.
1. Eichfixierungsterm
Definiere Eichfixierungsterm (ξ: Eichfixierungsparameter):
1
Λ = 2 tr χ
e ξB + FGF (A)
2
1 2
⇒ δB Λ = 2 tr
ξB + BFGF (A) − 2 tr {e
χ δB FGF (A)}
2
B besitzt keinen kinetischen Term
⇒ kann über Bewegungsgleichungen eliminiert werden.
Übung 9:
Bestimmen Sie B und setzen Sie die Lösung in δB Λ ein.
1 2
(A) − 2 tr {e
χ δB FGF (A)}
δB Λ = − tr FGF
ξ
2. Axiale Eichung
Wähle: FGF = nµ Aµ
(axiale Eichung)
2. Axiale Eichung
Wähle: FGF = nµ Aµ
(axiale Eichung)
1
χnµ ∂µ χ} − 2ig tr {e
χ[χ, n · A]}
δB Λ = − tr (nµ Aµ )2 − 2 tr {e
|
{z
}
ξ
{z
}
|
|
{z
}
3
2
1
2. Axiale Eichung
Wähle: FGF = nµ Aµ
(axiale Eichung)
1
χnµ ∂µ χ} − 2ig tr {e
χ[χ, n · A]}
δB Λ = − tr (nµ Aµ )2 − 2 tr {e
|
{z
}
ξ
{z
}
|
|
{z
}
3
2
1
1 Eichfixierung: erzwingt n · A = 0
i
k µ nν + nµ k ν
n2 k µ k ν
⇒ iS µν (k) = 2
−g µν +
−
k + iǫ
n·k
(n · k)2
⇒ nur physikalische Polarisationen propagieren
2. Axiale Eichung
Wähle: FGF = nµ Aµ
(axiale Eichung)
1
χnµ ∂µ χ} − 2ig tr {e
χ[χ, n · A]}
δB Λ = − tr (nµ Aµ )2 − 2 tr {e
|
{z
}
ξ
{z
}
|
|
{z
}
3
2
1
1 Eichfixierung: erzwingt n · A = 0
i
k µ nν + nµ k ν
n2 k µ k ν
⇒ iS µν (k) = 2
−g µν +
−
k + iǫ
n·k
(n · k)2
⇒ nur physikalische Polarisationen propagieren
2 Geist/Anti-Geist Wechselwirkung
2. Axiale Eichung
Wähle: FGF = nµ Aµ
(axiale Eichung)
1
χnµ ∂µ χ} − 2ig tr {e
χ[χ, n · A]}
δB Λ = − tr (nµ Aµ )2 − 2 tr {e
|
{z
}
ξ
{z
}
|
|
{z
}
3
2
1
1 Eichfixierung: erzwingt n · A = 0
i
k µ nν + nµ k ν
n2 k µ k ν
⇒ iS µν (k) = 2
−g µν +
−
k + iǫ
n·k
(n · k)2
⇒ nur physikalische Polarisationen propagieren
2 Geist/Anti-Geist Wechselwirkung
3 Eichfeld/Geist/Anti-Geist Kopplung
→ verschwindet wegen n · A = 0 ⇒ Geister entkoppeln
QED: Geister entkoppeln in beliebiger Eichung
⇒ L = L0 + δB Λ liefert physikalisch richtige Ergebnisse!
3. Kovariante Eichung
Wähle: FGF = ∂ µ Aµ
(kovariante Eichung)
3. Kovariante Eichung
Wähle: FGF = ∂ µ Aµ
(kovariante Eichung)
1 δB Λ = − tr (∂ µ Aµ )2 + 2 tr {∂ µ χ
e∂µ χ} + 2ig tr {(∂ µ χ
e)[χ, Aµ ]}
ξ
{z
}
{z
}
|
|
|
{z
}
2
3
1
3. Kovariante Eichung
Wähle: FGF = ∂ µ Aµ
(kovariante Eichung)
1 δB Λ = − tr (∂ µ Aµ )2 + 2 tr {∂ µ χ
e∂µ χ} + 2ig tr {(∂ µ χ
e)[χ, Aµ ]}
ξ
{z
}
{z
}
|
|
|
{z
}
2
3
1
µ
1 Eichfixierung: erzwingt
∂ Aµ = 0 (kovariante
Eichung)
µ ν
k
k
i
Feynman-Eich.
µν
µν
−g + (1 − ξ) 2
⇒ iS (k) = 2
ξ=1
k + iǫ
k
3. Kovariante Eichung
Wähle: FGF = ∂ µ Aµ
(kovariante Eichung)
1 δB Λ = − tr (∂ µ Aµ )2 + 2 tr {∂ µ χ
e∂µ χ} + 2ig tr {(∂ µ χ
e)[χ, Aµ ]}
ξ
{z
}
{z
}
|
|
|
{z
}
2
3
1
µ
1 Eichfixierung: erzwingt
∂ Aµ = 0 (kovariante
Eichung)
µ ν
k
k
i
Feynman-Eich.
µν
µν
−g + (1 − ξ) 2
⇒ iS (k) = 2
ξ=1
k + iǫ
k
2 kinetischer Term Geist/Anti-Geist
i
⇒ Propagator:
S χ (p) = 2 × Farbstruktur
p
3. Kovariante Eichung
Wähle: FGF = ∂ µ Aµ
(kovariante Eichung)
1 δB Λ = − tr (∂ µ Aµ )2 + 2 tr {∂ µ χ
e∂µ χ} + 2ig tr {(∂ µ χ
e)[χ, Aµ ]}
ξ
{z
}
{z
}
|
|
|
{z
}
2
3
1
µ
1 Eichfixierung: erzwingt
∂ Aµ = 0 (kovariante
Eichung)
µ ν
k
k
i
Feynman-Eich.
µν
µν
−g + (1 − ξ) 2
⇒ iS (k) = 2
ξ=1
k + iǫ
k
2 kinetischer Term Geist/Anti-Geist
i
⇒ Propagator:
S χ (p) = 2 × Farbstruktur
p
3 Eichfeld/Geist/Anti-Geist Kopplung
χ
g
χ
e
p
−→
igs pµ × Farbstruktur
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED and QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED und QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
Korrekturen zum Fermionpropagator
allgemeine Form:
=
+
1PI
+
1PI
1PI
+ ...
mit
1PI
=
iΣ(p)
=
iS (0) (p) =
1-Teilchen irreduzible Selbstenergie
i
p
−
/ m
Freier Propagator
Korrekturen zum Fermionpropagator
allgemeine Form:
=
+
1PI
+
1PI
1PI
+ ...
mit
1PI
=
iΣ(p)
=
iS (0) (p) =
1-Teilchen irreduzible Selbstenergie
i
p
−
/ m
Freier Propagator
Es folgt:
=
iS(p) =
i
p − m + Σ(p)
/
Dyson-resummierter
Propagator
Korrekturen zum Fermionpropagator
Kovarianten-Zerlegung:
Σ(p) =
=
(ΣV : Vektoranteil,
2
ΣS : Skalaranteil)
2
/pΣV (p ) + mΣS (p )
(/
p − m)ΣV (p2 ) + m(ΣV (p2 ) + ΣS (p2 ))
Dyson-resummierter Propagator:
p + mPol )
iRf (/
i
reguläre Terme
iS(p) =
+
=
2
2
für p2 → m2Pol
p − mPol
/p − m + Σ(p)
Korrekturen zum Fermionpropagator
Kovarianten-Zerlegung:
Σ(p) =
=
(ΣV : Vektoranteil,
2
ΣS : Skalaranteil)
2
/pΣV (p ) + mΣS (p )
(/
p − m)ΣV (p2 ) + m(ΣV (p2 ) + ΣS (p2 ))
Dyson-resummierter Propagator:
p + mPol )
iRf (/
i
reguläre Terme
iS(p) =
+
=
2
2
für p2 → m2Pol
p − mPol
/p − m + Σ(p)
Übung 9:
Bestimmen Sie auf Einschleifenniveau aus m, ΣV und ΣS
a) die Polmasse mPol ,
b) den LSZ-Faktor Rf des Fermions.
Korrekturen zum Fermionpropagator
Kovarianten-Zerlegung:
Σ(p) =
=
(ΣV : Vektoranteil,
2
ΣS : Skalaranteil)
2
/pΣV (p ) + mΣS (p )
(/
p − m)ΣV (p2 ) + m(ΣV (p2 ) + ΣS (p2 ))
Dyson-resummierter Propagator:
p + mPol )
iRf (/
i
reguläre Terme
iS(p) =
+
=
2
2
für p2 → m2Pol
p − mPol
/p − m + Σ(p)
Übung 9:
Bestimmen Sie auf Einschleifenniveau aus m, ΣV und ΣS
a) die Polmasse mPol ,
b) den LSZ-Faktor Rf des Fermions.
mPol
=
Rf
=
(1)
(1)
m 1 − ΣV (m2 ) − ΣS (m2 )
(1)′
(1)′
(1)
1 − ΣV (m2 ) − 2m2 1 − ΣV (m2 ) − ΣS (m2 )
Korrekturen zum Eichbosonpropagator
Propagator des freien Feldes in kovarianter Eichung:
kµkν
i
µν
−g
+
(1
−
ξ)
iD(0)µν (k) =
k 2 + iǫ
k 2 + iǫ
µ ν
i
i kµ kν
k k
µν
=
−
ξ
−g
+
2 k2
k2
k2
k{z
}
{z
}|
|
(0)µν
≡iD⊥
(0)µν
D⊥
(k) : Transversalanteil,
(k)
(0)µν
Dk
(0)µν
≡iDk
(k)
(k) : Logitudinalanteil
Korrekturen zum Eichbosonpropagator
Propagator des freien Feldes in kovarianter Eichung:
kµkν
i
µν
−g
+
(1
−
ξ)
iD(0)µν (k) =
k 2 + iǫ
k 2 + iǫ
µ ν
i
i kµ kν
k k
µν
=
−
ξ
−g
+
2 k2
k2
k2
k{z
}
{z
}|
|
(0)µν
≡iD⊥
(0)µν
D⊥
(0)µν
(k) : Transversalanteil,
(0)µν
≡iDk
(k)
Dk
(k)
(k) : Logitudinalanteil
Allgemeine Form des Eichbosonpropagators Dµν (k)?
=
+
1PI
−→ eingeschränkt durch Ward-Identität
+
1PI
1PI
+ ...
Ward-Identität des Eichbosonpropagators
Aus BRST-Symmetrie folgt:
k µ Dµν (k) = −ξ
kν
k2
Beweis für QED
◮
Betrachte
0 = δB h0|T Aµ (x)e
χ(y)|0i
Ward-Identität des Eichbosonpropagators
Aus BRST-Symmetrie folgt:
k µ Dµν (k) = −ξ
kν
k2
Beweis für QED
◮
Betrachte
0 = δB h0|T Aµ (x)e
χ(y)|0i
◮
Auswertung und Fourier-Transformation liefert:
1
kµ S χ (k) + k ν Dµν (k)
ξ
χ
S (k) : Propagator des Geistfeldes
Ward-Identität des Eichbosonpropagators
Aus BRST-Symmetrie folgt:
k µ Dµν (k) = −ξ
kν
k2
Beweis für QED
◮
Betrachte
0 = δB h0|T Aµ (x)e
χ(y)|0i
◮
Auswertung und Fourier-Transformation liefert:
1
kµ S χ (k) + k ν Dµν (k)
ξ
χ
S (k) : Propagator des Geistfeldes
◮
Geist-Propagator:
i
p2 + iǫ
gilt zu allen Ordnungen, da Geister in QED nicht wechselwirken
⇒ es folgt die Ward-Identität
iS χ (p) =
Allgemeine Form des Eichbosonpropagators
k µ Dµν (k) = −ξ
kν
k2
Übung 11:
Bestimmen Sie mit dem Ansatz Dµν (k) = A(k 2 )g µν + B(k 2 )k µ k ν die
allgemeine Form des Propagators Dµν .
Allgemeine Form des Eichbosonpropagators
k µ Dµν (k) = −ξ
kν
k2
Übung 11:
Bestimmen Sie mit dem Ansatz Dµν (k) = A(k 2 )g µν + B(k 2 )k µ k ν die
allgemeine Form des Propagators Dµν .
iD
µν
i k µ kν
kµkν
i
2
µν
(k) = 2 f (k ) −g + 2 − ξ 2 2
k
k
k k
⇒ Schleifenkorrekturen liefern keinen Beitrag zum Longitudinalanteil
⇒ Selbstenergie hat die Form:
Πµν = Π(k 2 ) −g µν k 2 + k µ k ν
Allgemeine Form des Eichbosonpropagators
k µ Dµν (k) = −ξ
kν
k2
Übung 11:
Bestimmen Sie mit dem Ansatz Dµν (k) = A(k 2 )g µν + B(k 2 )k µ k ν die
allgemeine Form des Propagators Dµν .
iD
µν
i k µ kν
kµkν
i
2
µν
(k) = 2 f (k ) −g + 2 − ξ 2 2
k
k
k k
⇒ Schleifenkorrekturen liefern keinen Beitrag zum Longitudinalanteil
⇒ Selbstenergie hat die Form:
Πµν = Π(k 2 ) −g µν k 2 + k µ k ν
Dyson-Resummation:
f (k 2 ) =
1
1 + Π(k 2 )
⇒ LSZ-Faktor auf Einschleifennieveau:
RA = 1 − Π(1) (0)
Korrekturen zum Af f¯ Vertex
p+k
µ = iΓµ (p, p + k)
Vertex-Funktion:
p
k
In QED gilt die Ward-Identität: (nicht in QCD!)
kµ Γµ (p, p + k) = e SF−1 (p + k) − SF−1 (p)
Korrekturen zum Af f¯ Vertex
p+k
µ = iΓµ (p, p + k)
Vertex-Funktion:
p
k
In QED gilt die Ward-Identität: (nicht in QCD!)
kµ Γµ (p, p + k) = e SF−1 (p + k) − SF−1 (p)
Bew.:
Aus BRST-Symmetrie folgt:
e [S χ (x − z) − S χ (y − z)] SF (x − y) −
1 (z)µ
∂
Gµ (x, y, z) = 0
ξ
mit der Green-Funktion Gµ (x, y, z) = h0|T ψ(x)ψ̄(y)Aµ (z)|0i
Fourier-Transformation liefert die Ward-Identität
(1)
Korrekturen zum Af f¯ Vertex
p+k
µ = iΓµ (p, p + k)
Vertex-Funktion:
p
k
In QED gilt die Ward-Identität: (nicht in QCD!)
kµ Γµ (p, p + k) = e SF−1 (p + k) − SF−1 (p)
Bew.:
Aus BRST-Symmetrie folgt:
e [S χ (x − z) − S χ (y − z)] SF (x − y) −
1 (z)µ
∂
Gµ (x, y, z) = 0
ξ
mit der Green-Funktion Gµ (x, y, z) = h0|T ψ(x)ψ̄(y)Aµ (z)|0i
Fourier-Transformation liefert die Ward-Identität
Übung 12:
Leiten Sie Gl. (1) her aus:
0 = δB h0|T ψ(x)ψ̄(y)e
χ(z)|0i.
(1)
Ward-Identität: Graphische Darstellung
kµ (iSF (p + k))(iΓµ (p, p + k))(iSF (p)) = e [iSF (p + k) − iSF (p)]
Graphische Darstellung auf Baumgraphenniveau:
= e
−
Erlaubt graphischen Beweis von Ward-Identitäten zu höherer
Schleifenordnung.
Ward-Identität: Graphische Darstellung
kµ (iSF (p + k))(iΓµ (p, p + k))(iSF (p)) = e [iSF (p + k) − iSF (p)]
Graphische Darstellung auf Baumgraphenniveau:
= e
−
Erlaubt graphischen Beweis von Ward-Identitäten zu höherer
Schleifenordnung.
Übung 13:
Zeigen Sie unter Verwendung der graphischen Darstellung der
Ward-Identität die Transversalität der Photon-Selbstenergie
kµ Πµν (k) = 0
auf 1- und 2-Schleifenniveau.
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED and QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED und QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
Tensorintegrale
Einschleifenkorrekturen führen auf Integrale der Form:
Z
q µ1 · · · q µr
1
N,µ1 ···µr
= 2 d4 q 2
T
iπ
[q − m20 ] [(q + p1 )2 − m21 ] · · · [(q + pN−1 )2 − m2N−1 ]
|
Propagator-Nenner:
T1
{z
D0
}|
{z
D1
}
Di = (q + pi )2 − m2i ,
Konvention:
→ A,
skalare Integrale (r = 0):
T2
T3
|
{z
DN−1
(p0 = 0)
→ B,
→ C, ...
A0 , B0 , C0 , ...
}
Tensorintegrale
Einschleifenkorrekturen führen auf Integrale der Form:
Z
q µ1 · · · q µr
1
N,µ1 ···µr
= 2 d4 q 2
T
iπ
[q − m20 ] [(q + p1 )2 − m21 ] · · · [(q + pN−1 )2 − m2N−1 ]
|
Propagator-Nenner:
T1
{z
D0
}|
{z
D1
}
Di = (q + pi )2 − m2i ,
Konvention:
→ A,
skalare Integrale (r = 0):
T2
|
{z
DN−1
(p0 = 0)
T3
→ B,
→ C, ...
A0 , B0 , C0 , ...
Aus Lorentz-Kovarianz folgt:
B µ = pµ1 B1
B µν
= gµν B00 + pµ1 pν1 B11
C µ = pµ1 C1 + pµ2 C2
C µν
= gµν C00 + pµ1 pν1 C11 + (pµ1 pν2 + pµ2 pν1 )C12 + pµ2 pν2 C22
}
Reduktion von Tensorintegralen
Masterintegrale: A0 , B0 , C0 , D0
◮
analytische Formeln bekannt
◮
Integrale von höherem Rang r ≥ 1 oder mit N ≥ 5
Schleifenpropagatoren können auf Masterintegrale
zurückgeführt werden (Reduktion)
Reduktion von Tensorintegralen
Masterintegrale: A0 , B0 , C0 , D0
◮
analytische Formeln bekannt
◮
Integrale von höherem Rang r ≥ 1 oder mit N ≥ 5
Schleifenpropagatoren können auf Masterintegrale
zurückgeführt werden (Reduktion)
Verschieden Methoden abhängig von der Anzahl N von
Propagatoren
◮
N = 1, 2: explizite analytische Ausrücke
◮
N = 3, 4: Ausnutzung der Lorentz-Kovarianz
Passarino-Veltman Reduktion
(numerisch instabil in bestimmten Regionen des
Phasenraums → stabile Entwicklungen möglich)
◮
N ≥ 5: Ausnutzung der 4-Dimensionalität der Raum-Zeit
N = 3, 4: PV Reduktion
T µ1 ...µr =
Z
dDq
q µ1 · · · q µr
,
D0 · · · DN −1
Di = (q + pi )2 − m2i
Übung 14:
Drücken Sie die Kontraktionen 2pµi qµ und g µν qµ qν durch
Propagatornenner Dk und q-unabhängige Konstanten aus.
N = 3, 4: PV Reduktion
T µ1 ...µr =
Z
dDq
q µ1 · · · q µr
,
D0 · · · DN −1
Di = (q + pi )2 − m2i
Übung 14:
Drücken Sie die Kontraktionen 2pµi qµ und g µν qµ qν durch
Propagatornenner Dk und q-unabhängige Konstanten aus.
Kontraktionen:
pµi qµ = −fi + Di − D0 ,
g µν qµ qν = m20 + D0
→ Reduktion auf Integrale von niedrigerem Rang r und niedrigerer
Propagatorzahl N
N = 3, 4: PV Reduktion
T µ1 ...µr =
Z
dDq
q µ1 · · · q µr
,
D0 · · · DN −1
Di = (q + pi )2 − m2i
Übung 14:
Drücken Sie die Kontraktionen 2pµi qµ und g µν qµ qν durch
Propagatornenner Dk und q-unabhängige Konstanten aus.
Kontraktionen:
pµi qµ = −fi + Di − D0 ,
g µν qµ qν = m20 + D0
→ Reduktion auf Integrale von niedrigerem Rang r und niedrigerer
Propagatorzahl N
System linearer Gleichungen für Tensor-Koefizienten:
→ Auflösen nach T N,P ⇒ rekursive numerische Berechnung
∆T N,P = T N,P −1, T N,P −2, T N −1
Gram-Determinante: ∆ = det(Z) mit Zij = 2pi pj
Kleine Gram Determinanten
(PV)
∆T N,P = T N,P −1 , T N,P −2 , T N −1
kleine Gram Determinante: ∆ → 0
◮
T N,P −1 , T N,P −2 , T N −1 werden linear abhängig
Kleine Gram Determinanten
(PV)
∆T N,P = T N,P −1 , T N,P −2 , T N −1
kleine Gram Determinante: ∆ → 0
◮
T N,P −1 , T N,P −2 , T N −1 werden linear abhängig
◮
T N,P als Summe von 1/∆-singulären Termen
◮
◮
Schein-Singularitäten kürzen sich zu einem
O(∆)/∆-Ergebnis
numerische Bestimmung von T N,P wird instabil
Kleine Gram Determinanten
(PV)
∆T N,P = T N,P −1 , T N,P −2 , T N −1
kleine Gram Determinante: ∆ → 0
◮
T N,P −1 , T N,P −2 , T N −1 werden linear abhängig
◮
T N,P als Summe von 1/∆-singulären Termen
◮
◮
Schein-Singularitäten kürzen sich zu einem
O(∆)/∆-Ergebnis
numerische Bestimmung von T N,P wird instabil
◮
skalare Integrale D0 , C0 , B0 , A0 werden linear abhängig
⇒ O(∆)/∆-Instabilitäten intrinsisch für alle Methoden, die
auf der kompletten Menge von Basis-Integralen
D0 , C0 , B0 , A0 beruhen
◮
Lösung: wähle geeignete Untermenge von
Basis-Funktionen abhängig vom Phasenraumpunkt
Entwicklung in der Gram-Determinante
∆T N,P = T N,P −1 , T N,P −2 , T N −1
Entwicklung in der Gram-Determinante
∆T N,P +1 = T N,P , T N,P −1 , T N −1
◮
nutze lineare Abhängigkeit von T N,P , T N,P −1 , T N für ∆ = 0
aus, um T N,P bis auf Terme O(∆) zu bestimmen
Entwicklung in der Gram-Determinante
∆T N,P +1 = T N,P , T N,P −1 , T N −1
∆T N,P +2 = T N,P +1 , T N,P , T N −1
◮
◮
nutze lineare Abhängigkeit von T N,P , T N,P −1 , T N für ∆ = 0
aus, um T N,P bis auf Terme O(∆) zu bestimmen
berechne T N,P +1 auf die gleiche Weise
Entwicklung in der Gram-Determinante
∆T N,P +1 = T N,P , T N,P −1 , T N −1
∆T N,P +2 = T N,P +1 , T N,P , T N −1
◮
nutze lineare Abhängigkeit von T N,P , T N,P −1 , T N für ∆ = 0
aus, um T N,P bis auf Terme O(∆) zu bestimmen
◮
berechne T N,P +1 auf die gleiche Weise
◮
benutze T N,P +1 um O(∆) in T N,P zu berechnen
Entwicklung in der Gram-Determinante
∆T N,P +1 = T N,P , T N,P −1 , T N −1
∆T N,P +2 = T N,P +1 , T N,P , T N −1
◮
nutze lineare Abhängigkeit von T N,P , T N,P −1 , T N für ∆ = 0
aus, um T N,P bis auf Terme O(∆) zu bestimmen
◮
berechne T N,P +1 auf die gleiche Weise
◮
benutze T N,P +1 um O(∆) in T N,P zu berechnen
◮
höhere Ordnungen in ∆ iterativ:
O(∆k ) von T N,P erfordert T N −1 bis zu Rang P + k
◮
Basis der skalaren Integrale effektiv reduziert
(z.B. D0 aus C0 ’s)
Reduktion von 6-Punkt Integralen
◮
lineare
PAbhängigkeit von p1 , p2 , p3 , p4 , p5 und q in 4 Dimensionen
αi = κij (q · pj )
q µ = i αi pµi + O(D − 4) ,
Reduktion von 6-Punkt Integralen
◮
◮
lineare
PAbhängigkeit von p1 , p2 , p3 , p4 , p5 und q in 4 Dimensionen
αi = κij (q · pj )
q µ = i αi pµi + O(D − 4) ,
drücke (q · pj ) durch Propagatornenner aus (in 4 Dim):
!
qµ pµj =
5
X
i=0
βi D i =
5
X
i=0
βi [(q + pi )2 − m2i ]
Reduktion von 6-Punkt Integralen
◮
◮
lineare
PAbhängigkeit von p1 , p2 , p3 , p4 , p5 und q in 4 Dimensionen
αi = κij (q · pj )
q µ = i αi pµi + O(D − 4) ,
drücke (q · pj ) durch Propagatornenner aus (in 4 Dim):
!
qµ pµj =
5
X
i=0
βi D i =
5
X
i=0
βi [(q + pi )2 − m2i ]
Übung 15:
Bestimmen Sie ein Gleichungssystem für die βi . Wie viele
Gleichungen gibt es?
Reduktion von 6-Punkt Integralen
◮
◮
lineare
PAbhängigkeit von p1 , p2 , p3 , p4 , p5 und q in 4 Dimensionen
αi = κij (q · pj )
q µ = i αi pµi + O(D − 4) ,
drücke (q · pj ) durch Propagatornenner aus (in 4 Dim):
!
qµ pµj =
5
X
i=0
βi D i =
5
X
i=0
βi [(q + pi )2 − m2i ]
Übung 15:
Bestimmen Sie ein Gleichungssystem für die βi . Wie viele
Gleichungen gibt es?
◮
6 lineare Gleichungen for 6 βi
6-Punkt, Rang r
⇒ Reduktion:
→
5-Punkt, Rang r − 1
Reduktion von 6-Punkt Integralen
◮
◮
lineare
PAbhängigkeit von p1 , p2 , p3 , p4 , p5 und q in 4 Dimensionen
αi = κij (q · pj )
q µ = i αi pµi + O(D − 4) ,
drücke (q · pj ) durch Propagatornenner aus (in 4 Dim):
!
qµ pµj =
5
X
i=0
βi D i =
5
X
i=0
βi [(q + pi )2 − m2i ]
Übung 15:
Bestimmen Sie ein Gleichungssystem für die βi . Wie viele
Gleichungen gibt es?
◮
6 lineare Gleichungen for 6 βi
6-Punkt, Rang r
⇒ Reduktion:
→
5-Punkt, Rang r − 1
◮
keine inverse Gram-Determinante
◮
Methode kann verallgemeinert werden auf 5-Punkt und
N ≥ 7-Punkt Integrale
UV Divergenzen
T
µ1 ...µr
=
Z
dDq
q µ1 · · · q µr
D0 · · · DN −1
q→∞
∼
q r+3
= qG,
q 2N
mit G = r+3−2N
Schleifendiagramme sind divergent für G ≥ −1 (UV-Divergenz)
G = −1: logarithmische Divergenz
◮
B-Integrale logarithmisch divergent für r ≥ 0
◮
C-Integrale logarithmisch divergent für r ≥ 2
→ Problem für Theorie?
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
absolutes Potential:
V (z0 ) =
Zz0
−∞
z
0
mg = mgz|−∞
= mgz0 + ∞
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
absolutes Potential:
V (z0 ) =
Zz0
−∞
◮
z
0
mg = mgz|−∞
= mgz0 + ∞
aber: nur Potentialdifferenzen sind physikalisch!
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
absolutes Potential:
V (z0 ) =
Zz0
−∞
z
0
mg = mgz|−∞
= mgz0 + ∞
◮
aber: nur Potentialdifferenzen sind physikalisch!
◮
führe Regulator ein:
V (z0 ) =
lim
Λ→−∞
Zz0
Λ
mg =
lim mg(z0 − Λ)
Λ→−∞
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
absolutes Potential:
V (z0 ) =
Zz0
−∞
z
0
mg = mgz|−∞
= mgz0 + ∞
◮
aber: nur Potentialdifferenzen sind physikalisch!
◮
führe Regulator ein:
V (z0 ) =
lim
Λ→−∞
Zz0
mg =
lim mg(z0 − Λ)
Λ→−∞
Λ
◮
Potentialdifferenz:
V (z2 ) − V (z1 ) = mg(z2 − Λ) − mg(z1 − Λ) = mg(z2 − z1 )
→ Divergenz kürzt sich in physikalischen Potentialdifferenzen
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
absolutes Potential:
V (z0 ) =
Zz0
−∞
z
0
mg = mgz|−∞
= mgz0 + ∞
◮
aber: nur Potentialdifferenzen sind physikalisch!
◮
führe Regulator ein:
V (z0 ) =
lim
Λ→−∞
Zz0
mg =
lim mg(z0 − Λ)
Λ→−∞
Λ
◮
Potentialdifferenz:
V (z2 ) − V (z1 ) = mg(z2 − Λ) − mg(z1 − Λ) = mg(z2 − z1 )
→ Divergenz kürzt sich in physikalischen Potentialdifferenzen
◮
physikalisch: Bewegung des Körpers zwischen z = z1 und
z = z2 kann nicht abhängen vom Potential am Ort z weit entfernt
von z1 , z2 .
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
divergentes Potential ist Artefakt ungeschickter Normierung
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
divergentes Potential ist Artefakt ungeschickter Normierung
◮
wähle Normierungspunkt z = zr :
V (zr ) = Vr
z
z
z
Z0
Zr
Z0
V (z0 ) =
mg =
mg + mg = Vr + mg(z0 − zr )
!
−∞
−∞
| {z }
=V (zr )
zr
Körper der Masse m im homogenen Schwerefeld
◮
divergentes Potential ist Artefakt ungeschickter Normierung
◮
wähle Normierungspunkt z = zr :
V (zr ) = Vr
z
z
z
Z0
Zr
Z0
V (z0 ) =
mg =
mg + mg = Vr + mg(z0 − zr )
!
−∞
−∞
| {z }
zr
=V (zr )
In QED/QCD:
◮
UV-Divergenzen kürzen sich in Observablen nach Einführung
eines Regulators
◮
Artefakt “ungeschickter” Normierung der Parameter in der
Langrangedichte
→ führe Renormierung durch
◮
Physik an der Energieskala µ nicht sensitiv auf Effekte von
Skalen Λ ≫ µ
Dimensionale Regularisierung
◮
rechne allgemein in D = 4 − 2ǫ Dimensionen
◮
Integral konvergent, wenn ǫ entsprechend gewählt wird
→ analytische Forts. des Ergebnisses für bel. komplexes ǫ
◮
UV-Divergenz manifestiert sich als 1/ǫ-Pol
◮
dimensionale Regularisierung respektiert Eichinvarianz
Dimensionale Regularisierung
◮
rechne allgemein in D = 4 − 2ǫ Dimensionen
◮
Integral konvergent, wenn ǫ entsprechend gewählt wird
→ analytische Forts. des Ergebnisses für bel. komplexes ǫ
◮
UV-Divergenz manifestiert sich als 1/ǫ-Pol
◮
dimensionale Regularisierung respektiert Eichinvarianz
◮
◮
R
S = dD xL ⇒ L hat Massendimension D
g ist dimensionslos
Eichkoplung: ersetze g → µǫ g ⇒
⇒ dimensionale Regularisierung führt Energieskala µ ein!
Schleifenkorrekturen ∼ g 2
⇒ absorbiere µ in Def des D-dim Schleifenintegrals:
Z
(2πµ)2ǫ
q µ1 · · · q µr
T N,µ1 ···µr =
dD q
2
iπ
D0 D1 · · · DN −1
Einfache skalare Integrale
Einfachstes Integral:
A0 (m0 ) =
(2πµ)2ǫ
iπ 2
Z
q2
dD q
− m20 + iǫ
Einfache skalare Integrale
Einfachstes Integral:
A0 (m0 ) =
(2πµ)2ǫ
iπ 2
Z
dD q
2
q − m20 + iǫ
W ick−Rot.
=
qE : Euklidischer 4-komponentiger Vektor
(2πµ)2ǫ
π2
Z
−|~
qE
dD qE
− m20 + iǫ
|2
Einfache skalare Integrale
Einfachstes Integral:
A0 (m0 ) =
(2πµ)2ǫ
iπ 2
Z
dD q
2
q − m20 + iǫ
W ick−Rot.
=
qE : Euklidischer 4-komponentiger Vektor
Dimensionale Analyse:
A0 (m0 ) = m0D−2 A0 (1)
(⇒ A0 (0) = 0)
(2πµ)2ǫ
π2
Z
−|~
qE
dD qE
− m20 + iǫ
|2
Einfache skalare Integrale
Einfachstes Integral:
A0 (m0 ) =
(2πµ)2ǫ
iπ 2
Z
dD q
2
q − m20 + iǫ
W ick−Rot.
=
(2πµ)2ǫ
π2
Z
−|~
qE
dD qE
− m20 + iǫ
|2
qE : Euklidischer 4-komponentiger Vektor
Dimensionale Analyse:
A0 (m0 ) = m0D−2 A0 (1)
(⇒ A0 (0) = 0)
Winkelintegration:
dD qE = |~qE |D−1 d|~qE |dΩD ,
β−Funktion:
B(α, β) =
SD =
R∞
0
R
D
dΩD =
2π 2
Γ( D
2)
dt tα−1 (1 + t)−α−β =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
Einfache skalare Integrale
Einfachstes Integral:
A0 (m0 ) =
(2πµ)2ǫ
iπ 2
Z
dD q
2
q − m20 + iǫ
W ick−Rot.
=
(2πµ)2ǫ
π2
Z
−|~
qE
dD qE
− m20 + iǫ
|2
qE : Euklidischer 4-komponentiger Vektor
Dimensionale Analyse:
A0 (m0 ) = m0D−2 A0 (1)
(⇒ A0 (0) = 0)
Winkelintegration:
dD qE = |~qE |D−1 d|~qE |dΩD ,
β−Funktion:
B(α, β) =
SD =
R∞
R
2π 2
Γ( D
2)
dt tα−1 (1 + t)−α−β =
0
⇒ A0 (1) = −
D
dΩD =
(2πµ)2ǫ
SD Γ( D
2 )Γ(1 −
2π 2
D
2)
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
Einfache skalare Integrale
Winkelintegration:
dD q
E
=
|~qE |D−1 d|~qE |dΩD ,
β−Funktion:
B(α, β) =
SD =
R∞
R
dt tα−1 (1 + t)−α−β =
0
D
2π 2
dΩD =
Γ( D2 )
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
Übung 16:
a) Berechnen Sie:
B0 (0, 0, 1) =
(2πµ)2ǫ
iπ 2
Z
d4 q
.
(q 2 + iǫ)(q 2 − 1 + iǫ)
b) Drücken Sie A0 (0) durch A0 (1) und B0 (0, 0, 1) aus und
folgern Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus a), dass
A0 (0) = 0 gilt.
[Hinweis: Γ(z + 1) = zΓ(z)]
UV Pol von B0
Dimensionale Analyse:
B0 (0, 0, m) = mD−4 B0 (0, 0, 1)
Entwicklung um D = 4:
B0 (0, 0, m) =
1
m2
− γE + log(4π) − log 2 + 1
µ
|ǫ
{z
}
≡∆U V
Divergenz universal
⇒
B0U V = ∆U V
Bestimmung divergenter Anteile von Schleifenkorrekturen:
⇒ Entwicklung des Schleifenintegrals für große q 2
UV Pole
für 2-Punkt Integrale:
1
(q 2 − m20 )[(q + p1 )2 − m21 ]
UV Pole
für 2-Punkt Integrale:
#
"
2 2
m0
m20
1
1
+ ...
=
1+ 2 +
(q 2 − m20 )[(q + p1 )2 − m21 ]
(q 2 )2
q
q2
"
#
2
p21 − m21
p21 − m21
2p1 q
2p1 q
× 1−
+ ...
+
+
+
q2
q2
q2
q2
UV Pole
für 2-Punkt Integrale:
#
"
2 2
m0
m20
1
1
+
...
=
1
+
+
(q 2 − m20 )[(q + p1 )2 − m21 ]
(q 2 )2
q2
q2
"
#
2
p21 − m21
p21 − m21
2p1 q
2p1 q
× 1−
+
+
+
...
+
q2
q2
q2
q2
B µ = pµ1 B1 :
◮
B µ ∼ qµ
qµ
1
∼ 3
2
2
(q )
q
→ lineare Divergenz
aber = 0 (ungerade Funktion)
UV Pole
für 2-Punkt Integrale:
#
"
2 2
m0
m20
1
1
+
...
=
1
+
+
(q 2 − m20 )[(q + p1 )2 − m21 ]
(q 2 )2
q2
q2
"
#
2
p21 − m21
p21 − m21
2p1 q
2p1 q
+
× 1−
+
+
...
+
q2
q2
q2
q2
B µ = pµ1 B1 :
◮
B µ ∼ qµ
qµ
1
∼ 3
2
2
(q )
q
→ lineare Divergenz
aber = 0 (ungerade Funktion)
◮
−
q µ (2p1 q)
1
∼ 4
2
3
(q )
q
→ logarithmische Divergenz
UV Pole
für 2-Punkt Integrale:
"
#
2 2
m20
m0
1
1
1
+
+
+
...
=
(q 2 − m20 )[(q + p1 )2 − m21 ]
(q 2 )2
q2
q2
#
"
2
p21 − m21
p21 − m21
2p1 q
2p1 q
+
...
+
+
+
× 1−
q2
q2
q2
q2
B µ = pµ1 B1 :
◮
B µ ∼ qµ
1
qµ
∼ 3
(q 2 )2
q
→ lineare Divergenz
aber = 0 (ungerade Funktion)
◮
1
q µ (2p1 q)
∼ 4
→ logarithmische Divergenz
(q 2 )3
q
q µ q ν ∆UV
1
= g µν
⇒
B1UV = − ∆UV
(q 2 )3 UV
D
2
−
UV Pole
#
"
2 2
m0
m20
1
1
+
+
...
1
+
=
(q 2 − m20 )[(q + p1 )2 − m21 ]
(q 2 )2
q2
q2
"
#
2
p21 − m21
p21 − m21
2p1 q
2p1 q
× 1−
+
...
+
+
+
q2
q2
q2
q2
Übung 17:
UV
UV
Bestimmen Sie die divergenten Anteile von B00
und B11
der
µ ν
µν
µν
Zerlegung B = g B00 + p1 p1 B11 .
UV Pole
#
"
2 2
m0
m20
1
1
+
+
...
1
+
=
(q 2 − m20 )[(q + p1 )2 − m21 ]
(q 2 )2
q2
q2
"
#
2
p21 − m21
p21 − m21
2p1 q
2p1 q
× 1−
+
...
+
+
+
q2
q2
q2
q2
Übung 17:
UV
UV
Bestimmen Sie die divergenten Anteile von B00
und B11
der
µ ν
µν
µν
Zerlegung B = g B00 + p1 p1 B11 .
Divergente Anteile von Schleifenintegralen:
B0UV
= ∆UV ,
UV
B00
= −
C0UV
UV
= CiUV = Cij
= 0,
1
∆UV (p21 − 3m20 − 3m21 ),
12
1
B1UV = − ∆UV ,
2
1
UV
B11 = ∆UV ,
3
1
UV
C00 = ∆UV
4
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED and QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED und QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
(k)
O1th = O1 (m0 , λ0 ),
... , Onth = On(k) (m0 , λ0 )
(k)
Oi
: UV-divergente Funktionen von m0 , λ0
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
(k)
O1th = O1 (m0 , λ0 ),
... , Onth = On(k) (m0 , λ0 )
(k)
Oi
◮
: UV-divergente Funktionen von m0 , λ0
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (m0 , λ0 ),
!
(k)
O2exp = O2 (m0 , λ0 )
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
(k)
O1th = O1 (m0 , λ0 ),
... , Onth = On(k) (m0 , λ0 )
(k)
Oi
◮
: UV-divergente Funktionen von m0 , λ0
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (m0 , λ0 ),
⇒
!
(k)
O2exp = O2 (m0 , λ0 )
(k)
m0 = m0 (O1exp , O2exp ),
→ m0 , λ0 enthalten UV Divergenzen
(k)
λ0 = λ0 (O1exp , O2exp )
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
(k)
O1th = O1 (m0 , λ0 ),
... , Onth = On(k) (m0 , λ0 )
(k)
Oi
◮
: UV-divergente Funktionen von m0 , λ0
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (m0 , λ0 ),
(k)
m0 = m0 (O1exp , O2exp ),
⇒
→ m0 , λ0 enthalten UV Divergenzen
◮
!
(k)
O2exp = O2 (m0 , λ0 )
Vorhersage für restliche (n − 2) Observable:
(k)
(k)
(k)
(k)
λ0 = λ0 (O1exp , O2exp )
Oith = Oi (m0 (O1exp , O2exp ), λ0 (O1exp , O2exp ))
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
(k)
O1th = O1 (m0 , λ0 ),
... , Onth = On(k) (m0 , λ0 )
(k)
Oi
◮
: UV-divergente Funktionen von m0 , λ0
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (m0 , λ0 ),
⇒
(k)
m0 = m0 (O1exp , O2exp ),
→ m0 , λ0 enthalten UV Divergenzen
◮
!
(k)
O2exp = O2 (m0 , λ0 )
(k)
λ0 = λ0 (O1exp , O2exp )
Vorhersage für restliche (n − 2) Observable:
(k)
(k)
(k)
e(k) (Oexp , Oexp )
Oith = Oi (m0 (O1exp , O2exp ), λ0 (O1exp , O2exp )) = O
1
2
i
e(k) UV endliche Funktionen von Oexp , Oexp ?
→O
1
2
i
Renormierung
Technischer Zwischenschritt:
Renormierung der Parameter der Lagrangedichte:
m0 = Z m mr ,
λ0 = Zλ λr
renormierte Parameter
mr , λr :
Zm,λ = Zm,λ (mr , λr ) :
Renormierungskonstanten
Allgemeine Form der Renormierungskonstanten auf
Einschleifenniveau:
αs 1 (1)
(2)
Zm = 1 +
ζ + ζm
4π ǫ m
(1)
ζm : festgelegt durch Forderung, dass mr endlich für ǫ → 0
(2)
ζm : kann beliebig gewählt werden
(2)
→ Wahl von ζm definiert Renormierungsschema
Counterterme
αs
m0 = Z m mr = mr +
mr
4π
|
1 (1)
(2)
ζ + ζm
ǫ m
{z
}
≡δm Counterterm
δm = 1/ǫ-Pol + endliche Anteile (je nach Ren.-Schema)
Counterterme
αs
m0 = Z m mr = mr +
mr
4π
|
1 (1)
(2)
ζ + ζm
ǫ m
{z
}
≡δm Counterterm
δm = 1/ǫ-Pol + endliche Anteile (je nach Ren.-Schema)
Renormierung:
Aufspaltung des nackten Parameters m0 in einen endlichen Anteil mr
und einen Counterterm δm
Lagrangedichte unverändert (nur umgeschrieben als L = Lr + δL)
⇒ physikalische Ergebnisse unabhängig von Renormierung
Counterterme
αs
m0 = Z m mr = mr +
mr
4π
|
1 (1)
(2)
ζ + ζm
ǫ m
{z
}
≡δm Counterterm
δm = 1/ǫ-Pol + endliche Anteile (je nach Ren.-Schema)
Renormierung:
Aufspaltung des nackten Parameters m0 in einen endlichen Anteil mr
und einen Counterterm δm
Lagrangedichte unverändert (nur umgeschrieben als L = Lr + δL)
⇒ physikalische Ergebnisse unabhängig von Renormierung
aber: störungstheoretische Auswertung
behandle mr als mr = O(1) und δm als δm = O(αs )
→ Abhängigkeit vom Renormierungsschema:
Rechnung von O(αns ) →
Schemenabhängigkeit von O(αn+1
)
s
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
b(k) (m(k) (mr , λr ), λ(k) (mr , λr )) = O(k) (mr , λr )
Oith = O
0
0
i
i
(k)
Oi
: UV-endliche Funktionen von mr , λr
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
b(k) (m(k) (mr , λr ), λ(k) (mr , λr )) = O(k) (mr , λr )
Oith = O
0
0
i
i
(k)
Oi
◮
: UV-endliche Funktionen von mr , λr
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (mr , λr ),
!
(k)
O2exp = O2 (mr , λr )
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
b(k) (m(k) (mr , λr ), λ(k) (mr , λr )) = O(k) (mr , λr )
Oith = O
0
0
i
i
(k)
Oi
◮
: UV-endliche Funktionen von mr , λr
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (mr , λr ),
⇒
exp
exp
mr = m(k)
r (O1 , O2 ),
→ mr , λr sind UV-endlich
!
(k)
O2exp = O2 (mr , λr )
λr = λr(k) (O1exp , O2exp )
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
b(k) (m(k) (mr , λr ), λ(k) (mr , λr )) = O(k) (mr , λr )
Oith = O
0
0
i
i
(k)
Oi
◮
: UV-endliche Funktionen von mr , λr
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (mr , λr ),
⇒
exp
exp
mr = m(k)
r (O1 , O2 ),
→ mr , λr sind UV-endlich
◮
!
(k)
O2exp = O2 (mr , λr )
λr = λr(k) (O1exp , O2exp )
Vorhersage für restliche (n − 2) Observable:
(k)
(k)
Oith = Oi (m(k)
r , λr )
Vorhersagen für Observable
Lagrangedichte:
L = L(φ0 , ∂ µ φ0 , m0 , λ0 )
◮
Betrachte n Observable O1 , ..., On
◮
Berechne diese Observablen störungsth. zur Ordnung k:
b(k) (m(k) (mr , λr ), λ(k) (mr , λr )) = O(k) (mr , λr )
Oith = O
0
0
i
i
(k)
Oi
◮
: UV-endliche Funktionen von mr , λr
Wähle 2 (= # freier Parameter) Observable als Input:
→ Wahl definiert Input-Schema
!
(k)
O1exp = O1 (mr , λr ),
⇒
exp
exp
mr = m(k)
r (O1 , O2 ),
→ mr , λr sind UV-endlich
◮
!
(k)
O2exp = O2 (mr , λr )
λr = λr(k) (O1exp , O2exp )
Vorhersage für restliche (n − 2) Observable:
(k)
→ Oi
(k)
(k)
e(k) exp exp
Oith = Oi (m(k)
r , λr ) = Oi (O1 , O2 )
UV endliche Funktionen von mr , λr ?
Feldrenormierung
Feldrenormierung:
ψ0 =
p
Zψ ψr =
1
1 + δZψ ψr
2
unphysikalisch: kürzt sich in physikalischen S-Matrixelementen
⇒ optional
Feldrenormierung
Feldrenormierung:
ψ0 =
p
Zψ ψr =
1
1 + δZψ ψr
2
unphysikalisch: kürzt sich in physikalischen S-Matrixelementen
⇒ optional
◮
ohne Feldrenormierung:
Green-Funktionen UV-divergent
→ Divergenz wird eliminiert durch LSZ Faktoren
Feldrenormierung
Feldrenormierung:
ψ0 =
p
Zψ ψr =
1
1 + δZψ ψr
2
unphysikalisch: kürzt sich in physikalischen S-Matrixelementen
⇒ optional
◮
ohne Feldrenormierung:
Green-Funktionen UV-divergent
→ Divergenz wird eliminiert durch LSZ Faktoren
◮
mit Feldrenormierung:
Green-Funktionen und LSZ Faktoren separat UV-endlich
→ Feynman-Subdiagramme UV-endlich
Fermion-Selbstenergie
q
= iΣ(1) (p)
Fermion-Selbstenergie:
p
µ
p+q ν
Fermion-Selbstenergie
q
= iΣ(1) (p)
Fermion-Selbstenergie:
p
µ
p+q ν
QED:
Σ(1) (p) = −
α (2πµ)2ǫ
4π iπ 2
QCD:
e2 → CF gs2
(CF =
Z
dD q
N2 − 1
)
2N
γ µ (p
/ + q/ + m)γµ
2
q [(p + q)2 − m2 ]
Fermion-Selbstenergie
q
= iΣ(1) (p)
Fermion-Selbstenergie:
p
µ
p+q ν
QED:
Σ(1) (p) = −
α (2πµ)2ǫ
4π iπ 2
QCD:
e2 → CF gs2
(CF =
Z
dD q
γ µ (p
/ + q/ + m)γµ
2
q [(p + q)2 − m2 ]
N2 − 1
)
2N
Übung 18:
Drücken Sie Σ(1) (p) durch Tensorkoeffizienten B0 und B1 aus und
bestimmen Sie die UV-divergenten Anteile ΣUV
und ΣUV
der
V
S
2
2
Zerlegung Σ(p) = /pΣV (p ) + mΣS (p ).
Fermion-Selbstenergie
q
= iΣ(1) (p)
Fermion-Selbstenergie:
p
µ
p+q ν
QED:
Σ(1) (p) = −
α (2πµ)2ǫ
4π iπ 2
QCD:
e2 → CF gs2
(CF =
Z
dD q
γ µ (p
/ + q/ + m)γµ
2
q [(p + q)2 − m2 ]
N2 − 1
)
2N
Übung 18:
Drücken Sie Σ(1) (p) durch Tensorkoeffizienten B0 und B1 aus und
bestimmen Sie die UV-divergenten Anteile ΣUV
und ΣUV
der
V
S
2
2
Zerlegung Σ(p) = /pΣV (p ) + mΣS (p ).
(1)UV
ΣV
=
α
∆UV ,
4π
(1)UV
ΣS
=−
α
4∆UV
4π
(QCD:
α
αs
→
CF )
4π
4π
Counterterme
Massen- und Feldrenormierung:
p
1
ψ0 = Zψ ψ = (1 + δZψ )ψ,
2
m0 = Zm m = m + δm
Counterterme
Massen- und Feldrenormierung:
p
1
ψ0 = Zψ ψ = (1 + δZψ )ψ,
2
L ⊃
=
m0 = Zm m = m + δm
ψ̄0 (i∂/ − m0 )ψ0
ψ̄(i∂/ − m)ψ + δZψ ψ̄i∂/ψ − (mδZψ + δm)ψ̄ψ
|
{z
}
Counterterm-Vertex
Counterterm-Vertex:
= iδZψ (p
/ − m) − iδm
Counterterme
Massen- und Feldrenormierung:
p
1
ψ0 = Zψ ψ = (1 + δZψ )ψ,
2
L ⊃
=
m0 = Zm m = m + δm
ψ̄0 (i∂/ − m0 )ψ0
ψ̄(i∂/ − m)ψ + δZψ ψ̄i∂/ψ − (mδZψ + δm)ψ̄ψ
|
{z
}
Counterterm-Vertex
= iδZψ (p
/ − m) − iδm
Counterterm-Vertex:
Renormierte Selbstenergie:
+
δm
= i/
p (ΣV (p2 ) + δZψ ) +im (ΣS (p2 ) − δZψ −
)
m
|
{z
}
|
{z
}
!
=Σ̂V (p2 )= endlich
!
=Σ̂S(p2 )= endlich
MS vs. On-shell Schema
α
∆U V
+ endliche Terme
4π
α
δm = − (3m)∆U V + endliche Terme
4π
δZψ = −
MS vs. On-shell Schema
α
∆U V
+ endliche Terme
4π
α
δm = − (3m)∆U V + endliche Terme
4π
δZψ = −
◮
MS-Schema:
endliche Terme → 0
MS vs. On-shell Schema
α
∆U V
+ endliche Terme
4π
α
δm = − (3m)∆U V + endliche Terme
4π
δZψ = −
endliche Terme → 0
◮
MS-Schema:
◮
On-shell Schema:
!
m = mPol ,
!
Rψ = 1
mPol = m(1 − Σ̂S (m2 ) − Σ̂V (m2 ))
⇒
δm = m(ΣV (m2 ) + ΣS (m2 ))
Rψ = 1 − Σ̂V (m2 ) − 2m2 (Σ̂′V (m2 ) + Σ̂′S (m2 ))
⇒
δZψ = −ΣV (m2 ) − 2m2 (Σ′V (m2 ) + Σ′S (m2 ))
Eichboson-Sebstenergie
Πµν = Π(k 2 )(−g µν k 2 + k µ k ν )
q
Π(k 2 ) =
⇒
k
Photon-Selbstenergie:
gµν Πµν (k 2 )
(1 − D)k 2
(1)µν
µ
ν
k+q
= iΠ1
(p)
Eichboson-Sebstenergie
Πµν = Π(k 2 )(−g µν k 2 + k µ k ν )
Π(k 2 ) =
⇒
q
k
Photon-Selbstenergie:
gµν Πµν (k 2 )
(1 − D)k 2
(1)µν
µ
ν
= iΠ1
(p)
k+q
(1)
Π1 (k 2 )
1
(2πµ)2ǫ
α
=−
2
4π (1 − D)k
iπ 2
Z
tr (/
k + q/ + m)γ µ (/q + m)γµ
d q
[q 2 − m2 ][(k + q)2 − m2 ]
D
Summe über geladene Fermionen:
e2 → 49 e2 für u, c, t Quarks,
e2 → 19 e2 für d, s, b Quarks
QCD:
e2 → 12 gs2 für alle Quarks
Eichboson-Sebstenergie
Πµν = Π(k 2 )(−g µν k 2 + k µ k ν )
Π(k 2 ) =
⇒
q
k
Photon-Selbstenergie:
gµν Πµν (k 2 )
(1 − D)k 2
(1)µν
µ
ν
= iΠ1
(p)
k+q
(1)
Π1 (k 2 )
1
(2πµ)2ǫ
α
=−
2
4π (1 − D)k
iπ 2
Z
tr (/
k + q/ + m)γ µ (/q + m)γµ
d q
[q 2 − m2 ][(k + q)2 − m2 ]
D
Summe über geladene Fermionen:
e2 → 49 e2 für u, c, t Quarks,
e2 → 19 e2 für d, s, b Quarks
QCD:
e2 → 12 gs2 für alle Quarks
Übung 19:
Werten Sie die Spur aus und bestimmen Sie den divergenten Anteil
von Π1 .
Eichboson-Sebstenergie
weitere QCD-Beiträge:
q
q
q
k
k
µ
ν
µ
ν
k+q
k+q
iΠµν
2 (k)
iΠµν
3 (k)
k
µ
ν
iΠµν
3 (k)
=0
(masseloser Tadpole)
Eichboson-Sebstenergie
weitere QCD-Beiträge:
q
q
q
k
k
µ
ν
µ
ν
k+q
k+q
iΠµν
2 (k)
iΠµν
3 (k)
1 6CA αs (2πµ)2ǫ
Π2 (k ) = −
2 k 2 4π iπ 2
2
Z
dD q
k
µ
ν
iΠµν
3 (k)
=0
(masseloser Tadpole)
kq + k 2
q 2 (k + q)2
(Sym.-Fakt. 1/2)
Eichboson-Sebstenergie
weitere QCD-Beiträge:
q
q
q
k
k
µ
ν
µ
ν
k+q
k+q
iΠµν
2 (k)
iΠµν
3 (k)
1 6CA αs (2πµ)2ǫ
Π2 (k ) = −
2 k 2 4π iπ 2
2
Z
dD q
k
µ
ν
iΠµν
3 (k)
=0
(masseloser Tadpole)
kq + k 2
q 2 (k + q)2
Übung 20:
Bestimmen Sie Π3 (k 2 ) für den Geist-Beitrag.
(Sym.-Fakt. 1/2)
Eichboson-Sebstenergie
weitere QCD-Beiträge:
q
q
q
k
k
µ
ν
µ
ν
k+q
k+q
iΠµν
2 (k)
iΠµν
3 (k)
1 6CA αs (2πµ)2ǫ
Π2 (k ) = −
2 k 2 4π iπ 2
2
Z
dD q
k
µ
ν
iΠµν
3 (k)
=0
(masseloser Tadpole)
kq + k 2
q 2 (k + q)2
(Sym.-Fakt. 1/2)
Übung 20:
Bestimmen Sie Π3 (k 2 ) für den Geist-Beitrag.
Π3 (k 2 ) =
αs (2πµ)2ǫ
CA
2
(D − 1)k 4π iπ 2
Z
dD q
kq
q 2 (k + q)2
Counterterme
Eichparameter- und Feldrenormierung:
p
1
Aµ0 = ZA Aµ = (1 + δZA )Aµ ,
2
ξ0 = Zξ ξ = (1 + δZξ )ξ
Counterterme
Eichparameter- und Feldrenormierung:
p
1
Aµ0 = ZA Aµ = (1 + δZA )Aµ ,
2
ξ0 = Zξ ξ = (1 + δZξ )ξ
Counterterm-Vertex:
i
= iδZA k 2 g µν − k µ k ν − (δZA − δZξ ) k µ k ν
ξ
Counterterme
Eichparameter- und Feldrenormierung:
p
1
Aµ0 = ZA Aµ = (1 + δZA )Aµ ,
2
ξ0 = Zξ ξ = (1 + δZξ )ξ
Counterterm-Vertex:
i
= iδZA k 2 g µν − k µ k ν − (δZA − δZξ ) k µ k ν
ξ
Renormierte Selbstenergie:
+
i µ ν
2
= i k 2 g µν − k µ k ν p
/ (−Π(k ) + δZA ) − k k (δZA − δZξ )
|
{z
} ξ
|
{z
}
!
=−Π̂(k2 )= endlich
Dyson-Resummation des Longitudinalanteil:
ξ
ξ→
1 + δZA − δZξ
⇒ Eichung invariant unter Schleifenkorrekturen für δZA = δZξ
!
= endlich
Counterterme
◮
MS-Schema:
QED:
δZA
QCD:
δZA
δZA = ΠU V (k2 )
α 4
4
1
= 4π
δZξ = δZA
3 n ℓ + 9 n u + 9 n d ∆U V ,
αs 4 2
5
= 4π
δZξ = δZA
3 3 n q − 3 CA ∆ U V ,
nℓ :
# geladener Leptonen
nq :
# Quarks
nu :
nd :
# up-artiger Quarks
# down-artiger Quarks
Counterterme
◮
◮
MS-Schema:
QED:
δZA
QCD:
δZA
δZA = ΠU V (k2 )
α 4
4
1
= 4π
δZξ = δZA
3 n ℓ + 9 n u + 9 n d ∆U V ,
αs 4 2
5
= 4π
δZξ = δZA
3 3 n q − 3 CA ∆ U V ,
nℓ :
# geladener Leptonen
nq :
# Quarks
nu :
nd :
# up-artiger Quarks
# down-artiger Quarks
!
On-shell Schema:
RA = 1
⇒
δZξ = δZA
δZA = Π(0),
Korrekturen zum Af f¯ Vertex
QED + QCD
QCD
q
p
p+k
p
p+q
p+k
Vertex-Korrekturen:
µ
(1)µ
Γ1 (p, p
k
+ k)
µ
(1)µ
Γ2 (p, p
k
+ k)
Korrekturen zum Af f¯ Vertex
QED + QCD
QCD
q
p
p+q
p
p+k
p+k
Vertex-Korrekturen:
k
µ
(1)µ
Γ1 (p, p
µ
(1)µ
Γ2 (p, p
+ k)
k
+ k)
Divergente Anteile:
QED:
QCD:
(1)µ
α
∆UV
Γ1 UV = eγ µ 4π
(1)µ
1
s
Γ1 UV = gs γ µ α
4π − 2N ∆UV ,
Ladungsrenormierung
p
e0 = Zα e
absobiert die Divergenzen
bzw.
(1)µ
N
s
Γ2 UV = gs γ µ α
4π 3 2 ∆UV
(gs )0 =
p
Zα gs
Ladungscounterterme
Übung 21:
a) Bestimmen Sie den Counterterm des Fermion-FermionEichboson Vertex.
b) Zeigen Sie, dass die QED Ward-Identiät
h
i
−1
−1
kµ Γµ (p, p+k) = e SF
(p + k) − SF
(p)
bzw.
Γµ (p, p) = e
∂
S −1 (p)
∂pµ F
impliziert, dass δZα = −δZA im on-shell und im MS Schema.
Ladungscounterterme
Übung 21:
a) Bestimmen Sie den Counterterm des Fermion-FermionEichboson Vertex.
b) Zeigen Sie, dass die QED Ward-Identiät
h
i
−1
−1
kµ Γµ (p, p+k) = e SF
(p + k) − SF
(p)
bzw.
Γµ (p, p) = e
∂
S −1 (p)
∂pµ F
impliziert, dass δZα = −δZA im on-shell und im MS Schema.
Counterterme im MS-Schema:
4
1
α 4
QED:
δZα = − 4π
3 [nℓ + 9 nu + 9 nd ]∆UV
11
s 2
QCD:
δZαs = α
4π [ 3 nq − 3 CA ]∆UV
Damit:
Alle Parameter und (physikalische) Felder der QED- und
QCD-Lagrangedichte renormiert.
→ keine Freiheit mehr für weitere Redefinitionen
Photon-Photon-Streuung
µ
ν
k
iMµνρσ =
+
σ
ρ
5 weitere
Diagramme
Photon-Photon-Streuung
µ
ν
k
iMµνρσ =
+
σ
5 weitere
Diagramme
ρ
Lorentz-Kovarianz und Bose-Symetrie implizieren:
Mµνρσ
= MUV (g µν g ρσ + g µρ g νσ + g µσ g νρ )
UV
Photon-Photon-Streuung
µ
ν
k
iMµνρσ =
+
σ
5 weitere
Diagramme
ρ
Lorentz-Kovarianz und Bose-Symetrie implizieren:
Mµνρσ
= MUV (g µν g ρσ + g µρ g νσ + g µσ g νρ )
UV
Eichsymmetrie impliziert:
kµ Mµνρσ = 0
⇒
Mµνρσ
=0
UV
Photon-Photon-Streuung
µ
ν
k
iMµνρσ =
+
σ
5 weitere
Diagramme
ρ
Lorentz-Kovarianz und Bose-Symetrie implizieren:
Mµνρσ
= MUV (g µν g ρσ + g µρ g νσ + g µσ g νρ )
UV
Eichsymmetrie impliziert:
kµ Mµνρσ = 0
⇒
Mµνρσ
=0
UV
Übung 22:
Beweisen Sie kµ Mµνρσ = 0 durch graphische Anwendung der
Ward-Identität.
Geist-Selbstenergie
q
= iΣχ(1) (p)
Geist-Selbstenergie:
p
µ
p+q ν
Geist-Selbstenergie
q
= iΣχ(1) (p)
Geist-Selbstenergie:
p
Σ
χ(1)
(p) =
=
µ
p+q ν
Z
p(p + q)
αs (2πµ)2ǫ
dD q 2
CA
4π iπ 2
q (p + q)2
αs
CA p2 [B0 (p2 , 0, 0) + B1 (p2 , 0, 0)]
4π
Geist-Selbstenergie
q
= iΣχ(1) (p)
Geist-Selbstenergie:
p
Σ
χ(1)
(p) =
=
µ
p+q ν
Z
p(p + q)
αs (2πµ)2ǫ
dD q 2
CA
4π iπ 2
q (p + q)2
αs
CA p2 [B0 (p2 , 0, 0) + B1 (p2 , 0, 0)]
4π
Renormierte Selbstenergie:
+
MS-Schema:
δZχ =
!
= i Σχ(1) (p2 ) − p2 δZχ = endlich
αs CA
∆UV
4π 2
e
χχg-Vertex
Übung 23:
a) Zeichen Sie die beiden 1-Schleifen Vertexkorrektur-Diagramme
zum χe
χg-Vertex und berechnen Sie den zugehörigen Farbfaktor
mit der Farbflussmethode.
b) Finden Sie durch Anwendung der Feynman-Regeln einen
Ausdruck für die Vertex-Korrektur Γ(1)µ und berechnen Sie den
(1)µ
UV-divergenten Anteil ΓUV .
c) Bestimmen Sie den Vertex-Counterterm δΓ(1)µ und zeigen Sie,
b (1)µ = Γ(1)µ + δΓ(1)µ UV-endlich
dass der renormierte Vertex Γ
ist.
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED and QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED und QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
Inhalt
1 Perturbative QFT
2 Eichtheorien: QED and QCD
3 Schleifenkorrekturen in QED und QCD
4 Systematik der Schleifenintegrale
5 Renormierung
6 Renormierungsgruppengleichungen
7 Infrarote Divergenzen
IR-Struktur von Schleifenintegralen
T N,µ1 ···µr =
2
q µ1 · · · q µr
+ p1 ) − m21 ] · · · [(q + pN −1 )2 − m2N −1 ]
}|
{z
} |
{z
}
m20 ] [(q
[q −
| {z
D0
2
D1
DN −1
Propagator IR-singulär, wenn Teilchen on-shell:
q→0
Di = q 2 + 2pi q + p2i − m2i → 0
| {z }
=0
p2i = m2i
IR-Struktur von Schleifenintegralen
T N,µ1 ···µr =
2
q µ1 · · · q µr
+ p1 ) − m21 ] · · · [(q + pN −1 )2 − m2N −1 ]
}|
{z
} |
{z
}
m20 ] [(q
[q −
| {z
D0
2
D1
DN −1
Propagator IR-singulär, wenn Teilchen on-shell:
p2i = m2i
q→0
Di = q 2 + 2pi q + p2i − m2i → 0
| {z }
=0
k1
∼
d4 q
q 2 (q 2 − 2k1 q)(q 2 + 2k2 q)
→
dq
q 3 dq
∼
q 2 (k1 q)(k2 q)
q
k2
⇒ logarithmisch divergent
IR-Struktur von Schleifenintegralen
T N,µ1 ···µr =
2
q µ1 · · · q µr
+ p1 ) − m21 ] · · · [(q + pN −1 )2 − m2N −1 ]
}|
{z
} |
{z
}
m20 ] [(q
[q −
| {z
D0
2
D1
DN −1
Propagator IR-singulär, wenn Teilchen on-shell:
p2i = m2i
q→0
Di = q 2 + 2pi q + p2i − m2i → 0
| {z }
=0
k1
∼
d4 q
q 2 (q 2 − 2k1 q)(q 2 + 2k2 q)
→
dq
q 3 dq
∼
q 2 (k1 q)(k2 q)
q
k2
⇒ logarithmisch divergent
aber:
q 2 → 0 auch für q 0 → |~
q| =
6 0
Lichtkegelkoordinaten
nµ+ , nµ− lichtartige Vierervektoren mit
n2+ = n2− = 0,
n+ · n− = 1
Lichtkegeldarstellung eines bel. Vierervektors q µ
µ
q µ = q+ nµ+ + q− nµ− + q⊥
q⊥ = (0, ~q) :
2-komponentig mit
q⊥ n+ = q⊥ n− = 0
Lichtkegelkoordinaten
nµ+ , nµ− lichtartige Vierervektoren mit
n2+ = n2− = 0,
n+ · n− = 1
Lichtkegeldarstellung eines bel. Vierervektors q µ
µ
q µ = q+ nµ+ + q− nµ− + q⊥
q⊥ = (0, ~q) :
2-komponentig mit
q⊥ n+ = q⊥ n− = 0
Übung 20:
2
a) Drücken Sie q− durch q+ und q⊥
aus, für den Fall, dass q 2 = 0.
b) Schreiben Sie den Integranden
I=
1
q 2 (q 2 − 2k1 q)(q 2 + 2k2 q)
in Lichtkegelkoordinaten.
IR-Struktur von Schleifenintegralen
TN ∼
1
1
1
· 2
· 2
· d4 q
q2
q − 2k1 q
q + 2k2 q
|{z} | {z } | {z }
1
◮ q soft:
1 ∼
2
3
(q+ , q− , q⊥ ) ∼ (λ, λ, λ)Q mit
λ−2 ,
⇒ TN ∼
dλ
λ
2 ∼
λ−1 ,
3 ∼
λ≪1
λ−1 ,
logarithmische Divergenz
d4 q ∼ λ3 dλ
IR-Struktur von Schleifenintegralen
TN ∼
1
1
1
· 2
· 2
· d4 q
q2
q − 2k1 q
q + 2k2 q
|{z} | {z } | {z }
1
◮ q soft:
1 ∼
2
3
(q+ , q− , q⊥ ) ∼ (λ, λ, λ)Q mit
λ−2 ,
⇒ TN ∼
dλ
λ
2 ∼
λ−1 ,
⇒ TN ∼
dλ
λ
d4 q ∼ λ3 dλ
logarithmische Divergenz
◮ q kollinear zu k1 = (k1+ , 0, 0):
1 ∼ λ−2 ,
3 ∼
λ≪1
λ−1 ,
2 ∼ λ−2 ,
(q+ , q− , q⊥ ) ∼ (1, λ2 , λ)Q
3 ∼ 1,
logarithmische Divergenz
d4 q ∼ λ3 dλ
mit λ ≪ 1
IR-Struktur von Schleifenintegralen
TN ∼
1
1
1
· 2
· 2
· d4 q
q2
q − 2k1 q
q + 2k2 q
|{z} | {z } | {z }
2
1
◮ q soft:
1 ∼
(q+ , q− , q⊥ ) ∼ (λ, λ, λ)Q mit
λ−2 ,
⇒ TN ∼
dλ
λ
2 ∼
λ−1 ,
3 ∼
1 ∼ λ−2 ,
⇒ TN ∼
dλ
λ
2 ∼ λ−2 ,
⇒ TN ∼
dλ dµ
λ µ
d4 q ∼ λ3 dλ
(q+ , q− , q⊥ ) ∼ (1, λ2 , λ)Q
mit λ ≪ 1
d4 q ∼ λ3 dλ
3 ∼ 1,
logarithmische Divergenz
◮ q soft und kollinear zu k1 :
λ−2 µ−2 ,
λ≪1
λ−1 ,
logarithmische Divergenz
◮ q kollinear zu k1 = (k1+ , 0, 0):
1 ∼
3
2 ∼
(q+ , q− , q⊥ ) ∼ µ · (1, λ2 , λ)Q
λ−2 µ−1 ,
3 ∼
µ−1 ,
doppelte logarithmische Divergenz
mit λ, µ ≪ 1
d4 q ∼ λ3 dλ µ3 dµ