Übungen zur Maß- und Integrationstheorie (SoSe 14)

Dr. Peng Jin
M.Sc. Barun Sarkar
Übungen zur Maß- und Integrationstheorie (SoSe 14)
Blatt 5
19. Mai 2014
Gruppenübung
Aufgabe G1.
(Indikatorfunktion) Sei (Ω, A) ein messbarer Raum und S ⊂ Ω eine beliebige
Teilmenge. Die Funktion 1S : Ω → R,
(
1, falls x ∈ S,
1S (x) =
0, sonst,
heißt Indikatorfunktion der Teilmenge S ⊂ Ω. Zeigen Sie:
1S ist A-messbar ⇔ S ∈ A.
Aufgabe G2.
Seien f, g : (Ω, A) → R̄ messbare Funktionen. Setze
h(ω) := f (ω)
wenn ω ∈ A und
h(ω) := g(ω)
c
wenn ω ∈ A , wobei A ∈ A. Zeigen Sie, dass h wieder messbar ist.
Aufgabe G3.
Seien R ≡ R ∪ {+∞} ∪ {−∞} und B(R) := σ B(R) ∪ {∞} ∪ {−∞} .
(a) Zeigen Sie: B(R) = A ∪ B : A ∈ B(R), B ⊂ {−∞, ∞} .
(b) Sei σ B(R) die von B(R) über R erzeugte σ-Algebra. Zeigen Sie:
σ B(R) = {A ∪ B : A ∈ B(R), B = {−∞, ∞} or B = ∅}.
1
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Hausübung
Aufgabe H1. (5 Punkte)
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. Bestimmen Sie alle messbaren Funktionen
f : Ω → R im Falle, dass
(a) A = 2Ω .
(b) A = {∅, Ω}.
(c) A = {∅, Ω, A, Ac } für eine Menge A ⊂ Ω.
Aufgabe H2. (5 Punkte)
Wenn x und y reelle Zahlen und x − y eine rationale Zahl ist, dann schreiben wir
x ∼ y und sagen, dass x und y äquivalent sind. Man kann zeigen, dass ∼ eine
Äquivalenzrelation ist. Zu jedem x gibt es eine Teilmenge [x] = {y ∈ R : x ∼ y} in
R, die Äquivalenzklasse von x. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet eine Partition von R. Das Auswahlaxiom erlaubt es uns, eine Menge N ⊂ [0, 1] auszuwählen,
die einen Repräsentanten jeder Äquivalenzklasse enthält (für jede Äquivalenzklasse
[x] enthält die Menge N ∩ [x] nur ein einziges Element). Wir nennen N dann eine
Vitali-Menge.
Zeigen Sie:
0
0
(a) N + r und
S N + r sind disjunkt für rationale Zahlen r 6= r .
(b) [0, 1] ⊂ r∈Q∩[−1,1] (N + r) ⊂ [−1, 2].
(c) N ist keine Borel-Menge.
Abgabetermin: 26. Mai 2014, 14:00 Uhr, Zimmer G.16.03