Diskrete Mathematik (NAWI)

Diskrete Mathematik (NAWI)
WS2014
Übungsblatt №01
Aufgabe 1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
1. Genau eine Behauptung auf dieser Liste ist falsch.
2. Genau zwei Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
3. Genau drei Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
4. Genau vier Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
5. Genau fünf Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
6. Genau sechs Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
7. Genau sieben Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
8. Genau acht Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
9. Genau neun Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
10. Genau zehn Behauptungen auf dieser Liste sind falsch.
Ändert sich etwas, wenn die Bedingung “Genau” weggelassen wird?
Aufgabe 2. Inspektor D befragt drei Verdächtige – A, B und C – für eine Tat. Er weiß,
daß genau eine der drei Personen schuld ist und jede Person einmal lügt und einmal die
Wahrheit sagt.
A sagt: Ich war es nicht. B hat es getan.
B sagt: Ich war es nicht. Ich weiß, daß C es getan hat.
C sagt: Ich war es nicht. B weiß nicht wer es war.
Ist eindeutig feststellbar, wer es getan hat? Wenn ja, wer war es?
Aufgabe 3. Auf einem entfernten Planeten sagen Mathematiker immer die Wahrheit und
Physiker immer die Unwahrheit. Untersuche die folgenden Situationen und stelle fest, wer
Mathematiker und wer Physiker ist.
(a) A sagt: “B ist ein Mathematiker.”
B sagt: “A ist kein Mathematiker.”
(b) A sagt: “B ist ein Mathematiker.”
B sagt: “A ist ein Physiker.”
Aufgabe 4. (a) Schreibe das gesamte griechische Alphabet eigenhändig (in Groß- und
Kleinschreibung).
(b) Löse das Memoryspiel von der Internetseite der Übung in möglichst kurzer Zeit.
(c) Benenne die folgenden Symbole und finde jeweils alle, die nicht im griechischen Alphabet vorkommen.
xξπζ ∅χωℵϑηλϕκ℘ψ∈υv∂ θφδν µ
ABΓΛ∇MΥNΦΠΣTXX∆ΞEHKΩΨ
αβγ
1
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Übungsblatt №02
Aufgabe 5. Bestimme die Wahrheitstafeln der folgenden logischen Aussageformen und
stelle fest, ob sie äquivalent sind.
(a) (¬A → B) → C
(b) ¬A → (B → C)
Aufgabe 6. Formalisiere folgende Aussagen mittels Aussagenlogik.
• Von A, B und C gilt genau eines.
• Von A, B und C gelten genau zwei.
• Von A, B und C gilt mindestens eines.
Aufgabe 7. Formalisiere die folgenden Schlüsse und stelle jeweils fest, ob sie korrekt
sind.
(a) Wer in der Stadt wohnt, darf keinen Diesel fahren. Siegfried fährt einen Diesel, daher
wohnt Siegfried nicht in der Stadt.
(b) Wenn die Begleitmusik stimmt, dann läßt Uwe mit sich reden. Uwe läßt nicht mit sich
reden, daher stimmt die Begleitmusik nicht.
(c) Wenn Josef größer ist als Werner, dann ist Frank kleiner als Arnold. Wenn Josef und
Susi gleich groß sind, dann ist Josef größer als Werner. Frank ist nicht kleiner als
Arnold, daher sind Josef und Susi nicht gleich groß.
(d) Wenn ich Kopfweh habe, bin ich nervös. Wenn ich Kopfweh habe, brauche ich ein
Aspirin. Ich bin nervös, also brauche ich ein Aspirin.
Aufgabe 8. Bestimme alle paarweise nicht-äquivalenten Aussageformen, die aus den
Variablen A und B sowie dem Junktor → (Implikation) aufgebaut werden können.
Aufgabe 9. (a) Lies den Monolog des Mephistopheles (Verse 1908–1941 aus Goethes
Faust I ).
(b) Formalisiere die Verse 1928–1933 und bringe sie auf möglichst kompakte Form. Letztere lauten:
Der Philosoph, der tritt herein
Und beweist Euch, es müßt so sein:
Das Erst wär so, das Zweite so,
Und drum das Dritt’ und Vierte so;
Und wenn das Erst’ und Zweit’ nicht wär,
Das Dritt’ und Viert’ wär nimmermehr.
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Übungsblatt №03
Aufgabe 10. Zeige durch Induktion, daß
X
2
n
n
X
3
k =
k
k=1
k=1
Aufgabe 11. Zeige anhand eines Beispiels, daß die Aussagen
_
_
P (a) → B und
(P (a) → B)
a∈A
a∈A
im Allgemeinen nicht äquivalent sind.
Aufgabe 12. Sei A eine nichtleere Menge. Zeige die folgenden Äquivalenzen:
(a)
^
^
P (a) ∧ B
⇔
(P (a) ∧ B)
a∈A
a∈A
(b)
^
a∈A
P (a) → B
⇔
_
(P (a) → B)
a∈A
Aufgabe 13. Sei A eine Menge mit n Elementen. Zeige, daß die Potenzmenge 2n Elemente
besitzt.
Aufgabe 14. Die symmetrische Differenz zweier Mengen wurde definiert als A4B :=
{x : x ∈ A ∨˙ x ∈ B}. Zeige (anhand von Venndiagrammen und durch formale Logik):
(a) A4(B4C) = (A4B)4C
(b) A4B = (A \ B) ∪ (B \ A)
(c) A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
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Übungsblatt №04
Aufgabe 15. Was ist falsch am folgenden Induktionsbeweis der Aussage:
“Für alle n ∈ N gilt: je n Punkte der Ebene liegen auf einer Geraden”.
Induktionsanfang: Die Aussage gilt für n = 1 und n = 2.
Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage ist für n wahr. Seien P1 , P2 , . . . , Pn+1
Punkte. Nach Induktionsvoraussetzung liegen die Punkte P1 , P2 , . . . , Pn auf einer
Geraden g und P1 , P2 , . . . , Pn−1 , Pn+1 auf einer Geraden h. Da aber sowohl g als
auch h durch die Punkte P1 und P2 verlaufen, gilt g = h und P1 , P2 , . . . , Pn+1 liegen
auf einer Geraden.
Aufgabe 16. Untersuche, ob die folgenden Relationen R ⊆ A × A reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch, konnex oder asymmetrisch sind. Welche Relationen
sind Äquivalenz-, welche Ordnungsrelationen? Bestimme ggf. die Äquivalenzklassen und
ein Repräsentantensystem.
(i) X = N0 , Relation: mRn ⇐⇒ ∃k ∈ N : k < m ∧ k < n.
(ii) X = R2 , Relation: (x1 , x2 )R(y1 , y2 ) ⇐⇒ x2 ≤ y2 .
(iii) X = R2 , Relation: (x1 , x2 )R(y1 , y2 ) ⇐⇒ x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2 .
(iv) X = {a, b, c}, R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}.
(v) X = N, Relation: xRy ⇐⇒ x − y = 2.
(vi) X beliebig, Relation: xRy ⇐⇒ x 6= y.
(vii) X = N, Relation: mRn ⇐⇒ 2 | (m · n).
Aufgabe 17. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Bilde die kleinste Äquivalenzrelation auf A, die die
Elemente (1, 3) und (4, 3) enthält.
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Übungsblatt №05
Aufgabe 18. Sei X eine Menge und Z ⊆ P(X) eine Partition. Zeige, daß durch
_
x ∼ y : ⇐⇒
x∈A∧y ∈A
A∈Z
eine Äquivalenzrelation definiert wird, sodaß X/∼ = Z.
Aufgabe 19. Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Zeige:
(a) Wenn f und g injektiv sind, dann auch g ◦ f .
(b) Wenn f und g surjektiv sind, dann auch g ◦ f .
Gilt jeweils auch die Umkehrung? (Beweis oder Gegenbeispiel!).
Aufgabe 20. Seien X und Y Mengen und f : X → Y eine Funktion. Zeige, daß durch
x ∼ y : ⇐⇒ f (x) = f (y)
eine Äquivalenzrelation auf X definiert wird und daß die Funktion
f : X/∼ → Y
[x] 7→ f (x)
wohldefiniert und injektiv ist.
Aufgabe 21. Sei X = {a, b, c}. Bestimme alle bijektiven Abbildungen f : X → X und
darunter alle Paare (f, g) sodaß f ◦ g 6= g ◦ f .
Aufgabe 22. Zeige, daß durch
(x, y) ∼ (u, v) : ⇐⇒ x − y = u − v
eine Äquivalenzrelation auf R2 definiert wird. Bestimme die Faktormenge R2 /∼ und interpretiere sie geometrisch.
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Übungsblatt №06
Aufgabe 23. Wieviele ungerade Zahlen zwischen 1000 und 9999 haben lauter verschiedene Ziffern?
Aufgabe 24. Beweise durch kombinatorische Argumente:
2n
n
(a)
=2
+ n2
2 2
n
n−k
n
m
(b)
=
k
m−k
m
k
m X
n
n−k
n
(c)
= 2m
k
m−k
m
k=0
Aufgabe 25. Auf wieviele Arten kann man k Personen auf n in einer Reihe stehende
Stühle so verteilen, daß keine zwei direkt nebeneinander sitzen?
Aufgabe 26. An einem Turnier nehmen n Spieler teil und jeder tritt gegen jeden anderen
genau einmal an. Für einen Sieg erhält ein Spieler 3 Punkte, für ein Unentschieden 1
Punkt. Die Platzierung ergibt sich aus den erzielten Punkten, bei Punktgleichheit wird
gelost. Wie viele Punkte hat für allgemeines k der k-Platzierte mindestens?
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Übungsblatt №07
Aufgabe 27. Sei M eine Menge mit 6 Elementen und R ⊆ M × M eine symmetrische
Relation. Zeige, daß es stets 3 Elemente x, y, z ∈ M gibt, für welche
{(x, y), (x, z), (y, z)} ⊆ R
oder
{(x, y), (x, z), (y, z)} ∩ R = ∅
gilt.
Aufgabe 28. Ein Fixpunkt einer Abbildung f : X → X ist ein Element x ∈ X, sodaß
f (x) = x. Bestimme die Anzahl der bijektiven Abbildungen f : X → X, die keinen
einzigen Fixpunkt besitzen, wobei |X| = n.
Hinweis: Inklusion-Exklusion.
Aufgabe 29. Seien X und Y Mengen mit |X| = n und |Y | = n − 3.
(a) Bestimme die Anzahl aller injektiven Funktionen von Y nach X.
(b) Zeige, daß die Anzahl aller surjektiven Funktionen von X nach Y gegeben ist durch
n!(n − 2)(n − 3)2
48
Aufgabe 30. Zeige, daß die Folge Bn der Anzahl der Mengenpartitionen einer n-elementigen
Menge die Rekursion
n X
n
Bn+1 =
Bk
k
k=0
erfüllt.
Aufgabe 31. Sei n = pk. Bestimme die Anzahl der Mengenpartitionen von {1, 2, . . . , n},
sodaß alle Klassen k Elemente enthalten.
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Übungsblatt №08
Aufgabe 32. Auf wieviele unterschiedliche Arten kann man die Buchstaben des Wortes
ABRAKADABRA so anordnen, daß die doppelt vorkommenden Buchstaben nicht jeweils
alle nebeneinanderstehen (d.h., die beiden B und R voneinander getrennt und die fünf A
nicht alle hintereinander)?
Aufgabe 33. Bestimme die Anzahl der k-elementigen Teilmengen der Menge {1, 2, . . . , n},
in denen keine zwei aufeinanderfolgenden Zahlen enthalten sind.
Aufgabe 34. Zeige, daß
mn =
n
X
Sn,k mk
k=0
Hinweis: Zu jeder Funktion f : X → Y gibt es eine surjektive Funktion f¯ : X → f (X).
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Übungsblatt №09
Aufgabe 35. Berechne ggT(144, 89) mit dem euklidischen Algorithmus.
Aufgabe 36. Seien n1 , n2 , . . . , nk ∈ Z, nicht alle gleich 0. Zeige:
ggT(n1 , n2 , . . . , nk ) = min({
k
X
ai ni : a1 , a2 , . . . , ak ∈ Z} ∩ N)
i=1
Aufgabe 37. Seien a ≥ 2, m, n ∈ N. Zeige, daß ggT(am − 1, an − 1) = aggT(m,n) − 1.
Aufgabe 38. Seien a, b, c ∈ Z Zeige: Wenn a|bc und ggT(a, b) = 1, dann gilt a|c.
Aufgabe 39. Seien a, b, c ∈ Z mit (a, b) 6= (0, 0) und d = ggT(a, b). Wir betrachten die
Gleichung
ax + by = c
Zeige:
(a) Die Gleichung besitzt eine ganzzahlige Lösung genau dann, wenn d|c.
(b) Sei (x0 , y0 ) eine Lösung, dann haben alle anderen Lösungen die Form (x0 +k db , y0 −k ad )
für ein k ∈ Z.
Hinweis: Aufgabe 38.
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Übungsblatt №10
Aufgabe 40. Für n ∈ N und p ∈ P sei vp (n) = max{k : pk |n}, dann gilt n =
Zeige:
Q
(a) ggT(m, n) = p∈P pmin(vp (m),vp (n))
Q
(b) kgV(m, n) = p∈P pmax(vp (m),vp (n))
(c) ggT(m, n) · kgV(m, n) = m · n
Q
p∈P
pvp (n) .
Aufgabe 41. Zeige: Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 3 mod 4.
Aufgabe 42. Zeige die Elferprobe: Eine Zahl n ∈ Z ist genau dann durch 11 teilbar,
wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist, d.h., mit der Ziffernentwicklung
X
n=
ai 10i
ist n durch 11 teilbar genau dann, wenn
X
ai (−1)i
durch 11 teilbar ist.
Aufgabe 43. Sei p eine Primzahl. Wir erweitern die Funktion vp (n) = max{k : pk |n}
(für n ∈ Z∗ := Z \ {0}; vp (0) := ∞) auf die rationalen Zahlen Q∗ := Q \ {0}, indem wir
setzen
= vp (m) − vp (n)
vp m
n
Zeige:
(a) vp ist wohldefiniert.
(b) vp (rs) = vp (r) + vp (s) für alle r, s ∈ Q∗
(c) Sind r, s ∈ Q∗ und r + s 6= 0, dann ist vp (r + s) ≥ min(vp (r), vp (s)) mit Gleichheit,
wenn vp (r) 6= vp (s).
(d) Für r ∈ Q∗ gilt r ∈ Z genau dann, wenn vp (r) ≥ 0 für alle p ∈ P.
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Übungsblatt №11
Aufgabe 44. (a) Zeige:
a ≡ b mod m1
∧
a ≡ b mod m2
=⇒
a ≡ b mod m
wobei m = kgV(m1 , m2 ).
(b) Folgere daraus, daß die Lösung des Kongruenzgleichungssystems
x ≡ c1 mod m1
x ≡ c2 mod m2
..
.
x ≡ cn mod mn
eindeutig ist modulo m = m1 m2 · · · mn , wenn ggT(mi , mj ) = 1 für i 6= j.
Aufgabe 45. Berechne 231 mod 900.
Hinweis: Rechne modulo der Primfaktoren (900 = 4 · 9 · 25) und ermittle das Endresultat
mit dem chinesischen Restsatz.
Aufgabe 46. Löse, wenn möglich, die folgenden Gleichungssysteme. Ist der chinesische
Restsatz anwendbar?
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 1 mod 5
(a) x ≡ 2 mod 9
(b) x ≡ 3 mod 9
x ≡ 1 mod 10
x ≡ 2 mod 10
Aufgabe 47. Berechne ohne Taschenrechner in Z50
[3](2
Hinweis: Berechne zunächst 232 mod ϕ(50).
32 )
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Übungsblatt №12
Aufgabe 48. Zu einem Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch seien folgende Daten bekannt:
g=3
m = 54
p = 113
n = 42
Bestimme wenn möglich die geheimen Parameter a, b und den Schlüssel r!
Aufgabe 49. Sei m = pq mit p, q ∈ P. Zeige, daß es für beliebiges r mit ggT(r, ϕ(m)) = 1
ein s ∈ N gewählt werden kann, sodaß rs ≡ 1 mod ϕ(m).
Aufgabe 50. Von der Zahlenfolge
(455, 1001, 2666, 2305)
ist bekannt, daß sie mit dem RSA-Algorithmus mit öffentlichem Schlüssel
(m = 2701, r = 1111)
verschlüsselt wurde. Die Buchstaben sind mit der Konvention
aa 0 ba 26 . . . za 650
ab 1 bb 27 . . .
..
.
az 25 bz 51 . . .
zz 675
aus der Vorlesung kodiert.
Finde den privaten Schlüssel s und entschlüssle die Nachricht.
Hinweis: Für einen Teil der Berechnungen ist wahrscheinlich ein Computer erforderlich.
Aufgabe 51. Zeige, daß in einem ungerichteten Graphen G die Relation
x R y ⇐⇒ ∃ Weg von x nach y
eine Äquivalenzrelation ist. Welche Relation erhält man, wenn man “Weg” durch “Pfad”
ersetzt?
Aufgabe 52. Zwei Graphen G1 und G2 heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung
f : V (G1 ) → V (G2 ) zwischen beiden Knotenmengen gibt, sodaß [x, y] ∈ E(G1 ) ⇐⇒
[f (x), f (y)] ∈ E(G2 ). Isomorphe Graphen werden miteinander identifiziert.
Bestimme alle nicht-isomorphen Graphen mit n = 2, 3, oder 4 Knoten (nicht-zusammenhängende Graphen miteingeschlossen).
Aufgabe 53. Die Gradfolge eines Graphen ist die Folge der Grade der einzelnen Knoten
in absteigender Ordnung. Ist es möglich, Graphen (ohne Schleifen und Mehrfachkanten)
mit den folgenden Gradfolgen zu konstruieren?
(a) (3, 3, 3, 3)
(b) (4, 3, 2, 1)
(c) (3, 3, 3, 2, 1)
(d) (1, 1, 1, 1, 1)
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Übungsblatt №13
Aufgabe 54. Sei Qn der Hyperwürfel: Knotenmenge V = {0, 1}n , Kantenmenge E =
{[u, v] : u und v unterscheiden sich an genau einer Stelle}.
(a) Wieviele Kanten hat Qn ?
(b) Ist Qn zusammenhängend? Regulär? Bipartit?
(c) Für welche n besitzt Qn einen Hamiltonkreis?
(d) Für welche n besitzt Qn eine Eulertour?
Aufgabe 55. Ein Baum ist definiert als zusammenhängender, kreisfreier Graph. Zeige,
daß für einen endlichen Graphen G = (V, E) die Aussage “G ist ein Baum” zu jeder der
drei folgenden Eigenschaften äquivalent ist.
(a) G ist zusammenhängend und |E| = |V | − 1
(b) Für je zwei Knoten u und v gibt es genau einen Pfad von u nach v.
(c) G ist kreisfrei und das Hinzufügen einer beliebigen neuen Kante erzeugt einen Kreis.
Aufgabe 56. Sei G = (V, E) ein Graph. Der Kantengraph von G ist der Graph L(G) =
(E, W ) wobei [e1 , e2 ] ∈ W ⇐⇒ e1 ∩ e2 6= ∅. (In Worten: Die Knoten von L(G) sind die
Kanten von G und zwei Kanten werden verbunden, wenn sie einen Knoten gemeinsam
haben). Zeige, daß der Kantengraph eines Eulerschen Graphen wieder ein Eulerscher
Graph ist. Gilt auch die Umkehrung?