Kap. 11 Matrix-Spiele Teil 1

Kap. 11 Matrix-Spiele
Teil 1
• Feste Anzahl von Strategien je Spieler
• Feste Auszahlungen (payoff)
1.
Nullsummenspiel
’’Der Verlust des einen Spielers bildet
den Gewinn des anderen Spielers.’’
=⇒ Kooperation macht hier keinen Sinn.
2. sonstige Spiele
=⇒ Kooperation kann evtl. Sinn machen,
wird aber aufgrund des beiderseitigen Egoismus nicht gespielt.
Beispiel für 1.:
Pfennigspiel (geht auch mit Euro)
Regeln:
• Einsatz je 1 Pfennig
• beide Spieler legen ihren Einsatz verdeckt auf den Tisch,
• danach wird aufgedeckt. 2 x Zahl bzw. 2 x Adler,
dann gewinnt Spieler A den Gesamteinsatz; sonst Spieler B.
Spieler B
Adler
Zahl
-1
Spieler
A
+1
Adler
+1
-1
+1
-1
Zahl
-1
+1
Es existiert kein Gleichgewicht in reinen Strategien.
Allerdings existiert ein GG in gemischten Strategien. (50:50)
Beispiel für 2.:
Regeln:
Gefangenendilemma
(Aumann: Nobelpreis)
• 2 Enkel zu Weihnachten bei der Oma
• ’’Gibt mir 1000 Euro’’
• ’’Gibt meiner Schwester 3000 Euro’’
• Oma erfüllt den Enkeln die Wünsche!
Enkel 1
mir 1000
mir
1000
Enkel
2
dir 3000
1000
1000
dir
3000
0
4000
4000
0
3000
3000
Beide haben eine dominante Strategie mit ’’gibt mir 1000’’.
Problem:
Wenn beide sich auf die Kooperation verlassen könnten,
ja dann ...wird die Oma ausgebeutet (3000+3000).
Ziehen die Spieler unabhängig voneinander,
so tritt die ’’Dilemma’’-Situation ein.
Solche Spielsituation gibt es vielfach:
• Lerngruppe
• Teamarbeit
• Finanzierung einer Fete (jeder bringt was mit; ’’öffentliches Gut’’)
Anderes Gefangenendilemma
Spieler B
Spieler
A
nicht
kooperativ
nichtkooperativ kooperativ
2
1
1
4
2
3
kooperativ
0
3
A hat eine dominante Strategie (n − k)
B antwortet darauf mit (n − k)
’’Beide verlieren gegenüber der (k − k)-Variante’’!
Welchen Vorschlag würden Sie als Spieler B dem A machen?
’’Ich bin großzügig und lasse Dir die Wahl:
Du darfst zu erst ziehen oder du sagst mir ich soll zuerst ziehen.’’
Wie wird sich A entscheiden?
A zieht zuerst
danach B
k
3,3
n-k
k
0,2
k
4,1
n-k
n-k
1,2
A zieht k, B antwortet k.
Beide Spieler erhalten eine Auszahlung von 3.
B zieht zuerst
danach A
k
3,3
n-k
k
4,1
k
0,2
n-k
1,2
n-k
B zieht n − k , A antwortet n − k . Beide Spieler erhalten (1,2).
Wir stellen fest:
A steht besser da, wenn er zuerst zieht
(k, k) = (3, 3)
B hat einen guten Vorschlag gemacht, da er das Kooperationsdilemma löst.
Teil 2
(simultan//strategische Form)
(sequentiell//extensive Form)
Wichtig:
GG in simultanen bzw. sequentiellen Spielen
sind nicht zwingend identisch.
Sequentielle Zugreihenfolge kann das Kooperationsproblem lösen
(muss aber nicht!).
Worin unterscheiden sich die einzelnen Spieltypen?
Informationsannahme:
Jeder Spieler kennt die Regeln des Spieles,
- die eigenen und gegenerischen Strategien und die eigenen
und gegnerischen Interessen (Zielfunktionen).
Bei simultanen Zügen haben wir keine Information über
- das gegenerische Verhalten bevor wir uns selbst
entschieden haben.
Alles hängt von den verfügbaren Infos ab:
Bei sequentiellen Zügen kann man realisierte Spielzüge der
- Vergangenheit beobachten und darauf entsprechend
reagieren.
Es kann aber auch passieren, dass die Entscheidungen
- sequentiell getroffen werden, die getätigten Spielzüge
jedoch nicht beobachtet werden können.
Beispiel:
Matrix strategische Form
Spieler 1
links
rechts
1
2
oben
Spieler
2
1
kein
GG
2
7
5
unten
0
3
Das Spiel hat kein Gleichgewicht in reinen Strategien.
(In gemischten Strategien gibt es immer ein GG!)
in extensiver Form: Spieler 1 zieht zuerst
oben 1,1
links
2
unten
7,0
1
oben
2,2
rechts
2
unten
5,3
jeweils ein Teilspiel
Dynamischer Entscheidungsablauf wird sichtbar.
Wichtig:
Sobald eine Entscheidung getroffen worden ist,
befinden sich die Spieler in einem neuen Teilspiel.
Jedes Teilspiel hat ein GG:
(l, o); (r, u)
Das gesamte Spiel hat auch ein GG:
(r, u)
Spieler 1 berücksichtigt alle Teilspiele, die Spieler 2 im GG spielt
und entscheidet sich so, dass die eigene Auszahlung
(gegeben das GG-Verhalten des anderen) maximiert wird.
Hierfür gibt es einen eigenen Begriff:
Teilspielperfektheit
Die Lösung bestimmt man durch ’’Rückwärtsinduktion’’.
D.h.: zuerst werden alle Teilspiele gelöst, danach erfolgt die Lösung
der vorgelagerten Entscheidung unter Berücksichtigung der
vorhersehbaren GG in den Teilspielen.
Simultane Spiele lassen sich aber auch in extensiver Form schreiben
oben
links
2
1,1
unten
7,0
1
oben
2,2
unten
5,3
rechts
2
Bedeutet: Informationsmenge des Spielers 2 (er kennt nicht den Zug des Spi elers 1;
er hat daher keine Ahnung, ob er sich im „oberen“ oder „unteren“ Teilspiel befindet.
1.