Seminar zur Vorlesung TPV: Fortgeschrittene Konzepte der

Seminar zur Vorlesung
TPV: Fortgeschrittene Konzepte der Quantenphysik
Prof. Dr. Giovanna Morigi
SoSe 2013
Aufgabe 15
Blatt 7
31.05.2013
Teilchen im Zentralpotential
Der Hamiltonoperator eines einzelnen Elektrons in einem Zentralpotential V (~r) = V (r) ist
gegeben durch
H = c ~α̂ · p~ + α̂t mc2 + V (r) .
(1)
~ eine Erhaltungsgröße ist. (1 Punkt)
~ + h̄ Σ
a) Zeigen Sie, dass der Gesamtdrehimpuls J~ = L
2
b) In der nichtrelativistischen Quantenmechanik legen die Eigenwerte des Operators ~σ̂·J~ fest,
ob der Spin des Elektrons parallel oder antiparallel zum Gesamtdrehimpuls J~ ausgerichtet
ist. Wir wollen dies nun für die relativistische Quantenmechanik erweitern.
~ · J~ − h̄/2) eine Erhaltungsgröße ist, die
Zeigen Sie dazu, dass der Operator K = α̂t (Σ
auch mit dem Gesamtdrehimpuls kommutiert.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, die Identität
~ Σ
~ · B)
~ = −γˆ5 A
~·B
~ + i~α̂ · (A
~ × B)
~ ,
(~α̂ · A)(
(2)
wobei γˆ5 durch
γˆ5 = γˆ1 γˆ2 γˆ3 γˆ4 =
02 −12
−12
02
gegeben ist. Die Identität α̂j = −Σj γˆ5 = −γˆ5 Σj kann hilfreich sein.
(3)
(2 Punkte)
c) Als Folge lassen sich simultane Eigenfunktionen zu H, K, J~2 und J3 konstruieren, mit
den jeweiligen Eigenwerten E, −h̄κ, h̄2 j(j + 1) und h̄j3 . Bestimmen Sie die Beziehung
~ 2 und J~2
zwischen den Eigenwerten κ und j, indem Sie zunächst die Eigenwerte von K
miteinander vergleichen.
(1 Punkt)
d) Bestimmen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen die Eigenwertgleichungen für die zweikomponentigen Spinoren ψA und ψB ,die die positive und negative Energiekomponenten
ψA
des vierkomponentigen Spinors ψ =
sind, für die Operatoren K, J~2 , und J3 . ZeiψB
gen Sie, dass die zweikomponentigen Spinoren ψA , ψB einer solchen Eigenfunktion jeweils
~ 2 mit den entsprechenden Eigenwerten h̄2 lA (lA + 1)
für sich auch Eigenfunktionen zu L
~ 2 ist. Wie lauten die
und h̄2 lB (lB + 1) sind, obwohl ψ selbst keine Eigenfunktion zu L
Beziehungen zwischen lA , lB , j und κ?
(1 Punkt)
1
Aufgabe 16
Radialgleichung des Wasserstoffatoms
Wir betrachten im folgenden das Potential V (r) = −(e2 /4πr) des Wasserstoffatoms.
a) Wir nehmen folgenden Separationsansatz für die Wellenfunktion an,
j3 g(r)Yj,l
ψA
A
ψ=
=
.
j3
ψB
if (r)Yj,l
B
(4)
j3
~ 2 , und sie erfüllen aufgrund
Hierbei sind die Yj,l
jeweils Eigenfunktionen zu J~2 , J3 und L
von Paritätsbetrachtungen die folgenden Beziehungen:
~σ · ~x j3
j3
Yj,lA = −Yj,l
,
B
r
~σ · ~x j3
j3
,
= −Yj,l
Y
A
r j,lB
(5)
(6)
(7)
∂
~ die folgenden
Leiten Sie damit, und mit der Beziehung ~σ · p~ = ~σr·~2x (−ih̄r ∂r
+ i~σ · L),
Radialgleichungen aus der Dirac-Gleichung her:
(1 − κ)
df
+
f = E − V − mc2 g
−ch̄
(8)
dr
r
dg (1 + κ)
+
g = E − V + mc2 f .
ch̄
(9)
dr
r
(1 Punkt)
b) Leiten Sie mit den Ersetzungen F (r) = rf (r) und G(r) = rg(r) sowie den Abkürzungen
c1 = (mc2 + E)/h̄c, c2 = (mc2 − E)/h̄c, α = (e2 /4πh̄c) ' 1/137 (die Sommerfeldsche
√
Feinstrukturkonstante in Heavidside-Lorentz-Einheiten) und ρ = c1 c2 r die folgenden
gekoppelten Gleichungen her:
r
d
κ
c2 α
−
F−
−
G=0
(10)
dρ ρ
c1
ρ
r
d
κ
c1 α
+
G−
+
F = 0.
(11)
dρ ρ
c2
ρ
P
P
m
m
Zeigen Sie, dass die Faktorisierung F = e−ρ ρs ∞
und G = e−ρ ρs ∞
m=0 fm ρ
m=0 gm ρ ,
mit f0 , g0 6= 0, auf die folgenden Rekursionsrelationen führt:
p
(12)
(s + q − κ)fq − fq−1 + αgq − c2 /c1 gq−1 = 0
p
(s + q + κ)gq − gq−1 − αfq − c1 /c2 fq−1 = 0 .
(13)
√
Zeigen Sie weiter, dass s = ± κ2 − α2 erfüllt. Warum kann nur die positive Wurzel auf
eine gültige Lösung führen?
(2 Punkte)
2
n
1
2
2
2
3
3
3
3
3
n0 = n − |κ| ≥ 0 κ = ±(j + 21 ) spektroskopische Notation
0
−1
1s 1
2
1
−1
2s 1
2
1
+1
2p 1
2
0
−2
2p 3
2
2
−1
3s 1
2
2
+1
3p 1
2
1
−2
3p 3
2
1
+2
3d 3
2
0
−3
3d 5
2
Tabelle 1: Beziehung zwischen den relativistischen Quantenzahlen und der in der Atomphysik
gebräuchlichen spektroskopischen Notation.
c) Wir nehmen an, dass beide Potenzreihen bei der gleichen Ordnung abbrechen, d.h. für
ein bestimmtes n0 gilt:
fn0 6= 0,
fn0 +1 = gn0 +1 = 0,
gn0 6= 0.
(14)
Leiten Sie damit eine Beziehung zwischen fn0 und gn0 her, und zeigen Sie, dass die Energieeigenwerte durch
mc2
(15)
E=r
2
2
1+ √ α1
0
2
2
n+
(j+ 2 ) −α
gegeben sind.
In Tabelle 1 ist die Beziehung zwischen den relativistischen Quantenzahlen und der
spektroskopischen Notation gegeben, sowie die Beziehung zwischen der Hauptquantenzahl n der nichtrelativistischen Quantenmechanik und n0 der Dirac-Theorie, welche durch
n = n0 + (j + 21 ) = n0 + |κ| gegeben ist. Für n gilt die Relation n ≥ 1 (warum?). Weshalb
sind in der Tabelle für n0 = 0 nur die Zustände mit κ < 0 angegeben? Bestimmen Sie
weiter mit Hilfe von Gleichung (15), welche der in der Tabelle angegebenen Zustände
degeneriert sind.
(2 Punkte)
3