¨Ubungen zur Vorlesung ” Elementare Stochastik“
Werbung
Übung 10
Prof. Dr. A. WAKOLBINGER
Übungen zur Vorlesung
Abgabetermin:
”
SoSe 2003
Elementare Stochastik “
Dienstag, 08.07.03, in der Vorlesung
37.a) Für festes n ∈ N sei W die Menge der gewöhnlichen Irrfahrtspfade
auf Z mit n Schritten und Start in 0. (Jedes w ∈ W ist also von der Form
(x0 , x1 , ..., xn ) = (0, z1 , z1 + z2 , ..., z1 + ...zn ) mit zi ∈ {−1, 1}.). Es sei a ∈ N,
und W a die Menge derjenigen x in W , die das Niveau a erreichen. Zeigen Sie: Die
Mengen {x ∈ W a |xn > a} und {x ∈ W a |xn < a} haben gleich viel Elemente.
Hinweis: Betrachten Sie das Endstück von x ab dem ersten Erreichen des Niveaus a und spiegeln Sie dieses am Niveau a.
b) Es sei X eine gewöhnliche Irrfahrt auf Z mit Start in 0, und a ∈ N. Zeigen
Sie
Ws( max Xi ≥ a) = Ws(Xn = a) + 2Ws(Xn > a).
0≤i≤n
38.S Wieder sei X eine gewöhnliche Irrfahrt auf Z mit Start in 0. Wir betrachten
die Wahrscheinlichkeit bis zur Zeit n im Positiven zu bleiben:
pn := Ws(Xi ≥ 0 für i = 0, 1, ..., n).
Drücken Sie p2k durch ein Binomialgewicht aus und berechnen Sie dessen Asymptotik für k → ∞.
Hinweis: Aufgabe 37 und die Stirlingsche Formel (siehe Aufgabe 12) sind hilfreich.)
39.S X0 , . . . , Xn sei Markoffsche Kette mit Übergangsmatrix (Pxy ) und einer
stationären Startverteilung (πx ). (Mit anderen Worten: π ist Gleichgewichtsverteilung zu P .) Zeigen Sie, daß dann auch Y0 = Xn , Y1 = Xn−1 , . . . , Yn = X0
Markoffsche Kette ist. Was sind deren Übergangswahrscheinlichkeiten? Was ergibt sich für den Fall, dass π ein reversibles Gleichgewicht ist?
40. Für eine Startverteilung µ und eine Übergangswahrscheinlichkeit P auf S
nennen wir
X X
F (B0 , B1 ) :=
µ(x) P (x, y), B0 , B1 ⊆ S
x∈B0 y∈B1
den Fluss von B0 nach B1 .
Zeigen Sie:
a) µ ist Gleichgewichtsverteilung zu P ⇐⇒
⇐⇒ F (B, B c ) = F (B c , B) für alle B ⊆ S.
b) µ erfüllt die Reversibilitätsbedingung
⇐⇒ F (B0 , B1 ) = F (B1 , B0 ) für alle B0 , B1 ⊆ S.
