Anfänger-Praktikum III Praktikumsbericht: Beugung am Gitter

Anfänger-Praktikum III
Praktikumsbericht:
Beugung am Gitter
Interferommeter
Michael Seidling
Timo Raab
Wintersemester
19. November 2012
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
4
2 Grundlagen
2.1 Huygenssche-Prinzip . . . . . . . . . .
2.2 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kohärenzlänge . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Verdetsche Kohärenzbedingung
2.4 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Frauenhofersche Beugung . . .
2.5.2 Fresnelsche Beugung . . . . . .
2.5.3 Beugung am Einzelspalt . . . .
2.5.4 Beugung am Gitter . . . . . . .
2.6 Interferenzfilter . . . . . . . . . . . . .
2.7 Michelson-Interferometer . . . . . . . .
2.8 Fabry-Pérot-Interferometer . . . . . . .
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3 Versuch 1: Interferometer
3.1 Bestimmung der Brechzahl von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Aufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bestimmung der Wellenlängendifferenz einer Quecksilberdampflampe
3.2.1 Aufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Fragen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Versuch 2: Beugung am Gitter
4.1 Aufbau und Durchführung . . . . . .
4.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Bestimmung der Wellenlänge
4.2.2 Mittlerer Ablenkwinkel . . . .
4.3 Bestimmung von Gitterkonstante und
4.4 Spektrales Auflösungsvermögen . . .
4.5 Qualitative Beobachtungen . . . . . .
4.6 Fazit & Fehlerdiskussion . . . . . . .
4.7 Fragen & Aufgaben . . . . . . . . . .
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Wellenlängendifferenz
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5 Anhang
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Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
23
2 GRUNDLAGEN
1 Einführung
Bei Wellen sind Beugungsphänomene wichtig, deshalb beschäftigt sich der Versuch Beu”
gung am Gitter“ damit.
Ein anderes Phänomen ist die Brechung. Die Abhängigkeit des Brechungsindexes vom
Luftdruck wird mit einem Iterferometer“ im gleichnamigen Versuchsteil gemessen.
”
Außerdem wird noch die Wellenlängendifferenz der beiden gelben Spektrallinien einer
Quecksilberdampflampe bestimmt.
2 Grundlagen
2.1 Huygenssche-Prinzip
Das Huygenssche-Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer Elementarwelle gesehen werden kann. Elementarwellen sind Wellen, deren
Wellenfront aus konzentrischen Kreisen besteht und die Ausbreitungsrichtung immer
senkrecht zur Wellenfront steht. Zudem sagt das Huygenssche-Prinzip aus, dass eine Wellenfront als Überlagerung von vielen Elementarwellen gesehen werden kann. Mit
diesem Prinzip lassen sich viele optische Phänomene erklären.
2.2 Kohärenz
Kohärenz ist eine Eigenschaft, die Wellen haben können. Sind Wellen kohärent, bedeutet
das, dass sie eine feste Phasenbeziehung haben. Im Allgemeinen müssen sie dazu die selbe
Wellenlänge haben. Man unterscheidet:
Zeitliche Kohärenz Hier ist die Phasenbeziehung der Welle an jedem Ort P zu den
Zeiten t1 und t2 konstant.
Räumliche Kohärenz Hier ist die Phasenbeziehung zu jeder Zeit t zwischen den Punkten P1 und P2 fest.
2.3 Kohärenzlänge
Die Kohärenzlänge beschreibt den maximalen Laufweitenunterschied, den zwei Lichtstrahlen, der selben Quelle, haben dürfen, sodass sie noch interferieren. Das liegt daran,
dass bei realen Lichtquellen nur ein gewisser Bereich kohärent ist, da die ausgesendete
Wellenlänge nicht 100 % konstant ist. Bei idealen monochromatischen Quellen wäre die
Kohärenzlänge unendlich, bei Lasern einige Kilometern, ansonsten erreicht man mit normalen Lichtquellen nur bei Lichtbündeln eine anschauliche Koheränzlänge von einigen
Metern.
4
2 GRUNDLAGEN
2.3.1 Verdetsche Kohärenzbedingung
Die Verdetsche Kohärenzbedingung spielt bei der Beugung, z.B. am Einzelspalt, eine
Rolle, wenn mit einem Beleuchtungsspalt räumlich kohärentes Licht erzeugt werden soll.
Die Verdetsche Kohärenzbedingung gibt an, wie breit der Beleuchtungsspalt maximal
sein darf um mit Licht der Wellenlänge λ an einem Beugungsspalt der breite d noch ein
Beugungsmuster sehen zu können. Zudem wird eine Linse, Brennweite f , zwischen den
Beleuchtungsspalt und den Beugungsspalt platziert um paralleles Licht zu erhalten.
Dd
= D sin(θ) ≤ λ
f
(1)
Dabei ist D die Breite des Beleuchtungsspalts und θ der halbe effektive Öffnungswinkel
zwischen Beleuchtungsspalt und Beugungsspalt.
2.4 Interferenz
Interferenz ist die Überlagerung von Wellen nach dem Superpositionsprinzip. Die Interferenz kann zwischen verschiedenen Teilen einer Welle oder zwischen mehreren Wellen
stattfinden. Will man ein zeitlich stabiles Interferenzmuster erhalten, müssen die Wellen
kohärent sein. Verstärken sich die Wellen gegenseitig, spricht man von konstruktiver
”
Interferenz“. Dabei ist der Gangunterschied δ immer:
δ = kλ k = 0, 1, 2, ...
(2)
Schwächen sie sich ab, spricht man von destruktiver Interferenz“. Kommt es dabei zu ei”
ner vollständigen Auslöschung, spricht man von vollständiger destruktiver Interferenz“.
”
Der Gangunterschied beträgt dann:
δ = (2k − 1)
λ
2
k = 1, 2, ...
(3)
Jedoch interferieren nicht alle Wellen miteinander. Bei Transversalwellen, z.b. Licht, darf
die Polarisation nicht senkrecht zueinander sein.
2.5 Beugung
Wird ein Lichtstrahl beim Passieren einer Öffnung abgelenkt, spricht man von Beugung.
Licht wird dann auch abseits des nach der geometrischen Optik vorhergesagten Weges
beobachtet.
2.5.1 Frauenhofersche Beugung
Trifft der Lichtstrahl parallel auf einen Spalt, sodass dieser gebeugt wird, spricht man
von Frauenhofer Beugung. Dadurch lassen sich viele Probleme mathematisch einfach lösen. Praktisch kann man parallele Lichtstrahlen einfach mit einer Sammellinse
erzeugen.
5
2 GRUNDLAGEN
2.5.2 Fresnelsche Beugung
Wenn man die Sammellinse weglässt und sich mit der Beugung von divergentem bzw.
konvergentem einfallenden Licht beschäftigt, spricht man von Fresnelscher Beugung.
Dann treffen die einzelnen Teilstrahlen mit unterschiedlichen Winkeln auf den Spalt.
Bei der Berechnung muss man beim Gangunterschied zudem den Abstand vom Beobachtungspunkt zum beugendem Objekt beachten.
2.5.3 Beugung am Einzelspalt
Abbildung 1: Schematische Darstellung des Strahlengangs bei einem Einzelspalt
Beschäftigen wir uns nun mit der Frauenhofer Beugung. Treffen parallele Strahlen
wie in Bild (1) auf einen Spalt der Breite b, werden diese gebeugt. Nach dem Prinzip
von Huygens kann man das obere und das untere Ende des Spalts als Zentrum einer
Elementarwelle betrachten. diese Wellen interferieren dann miteinander. Will man an
Punkt P nun destruktive Interferenz haben, muss der Gangunterschied nach Gleichung
(3) sein. Aus der Geometrie ergibt sich für den Gangunterschied dann:
δ = b sin α
(4)
(5)
Da d x0 gilt nach Kleinwinkelnäherung:
x0
= tan(α) ≈ sin α
d
bx0
δ≈
d
6
(6)
(7)
2 GRUNDLAGEN
Man erhält die Minimumbedingung:
δ = (2k − 1)
λ
bx0
= b sin α ≈
2
d
k = 1, 2, ...
(8)
2.5.4 Beugung am Gitter
Abbildung 2: Schematische Darstellung des Strahlengangs bei einem optischen Gitter
Ordnet man N Spalte im Abstand g, von der Spaltmitte zur benachbarten Spaltmitte, an, kann man jeden Spalt, nach dem Prinzip von Huygens, als Ursprungsort einer
Elementarwelle betrachten. Diese Wellen interferieren und man erhält ein Interferenzmuster. Da jeder Spalt die Breite b hat, wird das Interferenzmuster vom Beugungsmuster
des Einzelspalts begrenzt. Aus der Geometrie erhält man für den Gangunterschied:
δ = g sin α
(9)
mit der Kleinwinkelnäherung erhält man:
x0
= tan(α) ≈ sin α
d
gx0
δ≈
d
(10)
(11)
mit der Bedingung für konstruktive Interferenz, Gleichung (2), erhält man die Maximumbedingung:
gx0
d
Man erhält das Interferenzmuster aus Bild 3.
δ = kλ = g sin α ≈
7
k = 0, 1, 2, ...
(12)
2 GRUNDLAGEN
Abbildung 3: Interferenzbild bei einem optischen Gitter
Autokollimation Da man bei den beiden Beugungsphänomenen am Gitter und am
Einzelspalt parallel einfallendes Licht benötigt, benutz man eine Sammellinse. Wenn
die Brennweite einer Sammellinse nicht bekannt ist, kann man Autokollimation anwenden, um diese Näherungsweise zu bestimmen. Dazu nutzt man aus, dass die Linse alle
Lichtstrahlen aus dem Brennpunkt parallelisiert und parallele Strahlen im Brennpunkt
fokussiert. Dafür stellt man hinter die Linse einen Spiegel und verschiebt die Linse so
lange, bis der Beleuchtungsspalt wieder scharf auf sich selbst abgebildet wird.
Spektrales Auflösungsvermögen Bei einem optischen Gitter, sind die Maxima verschiedener Wellenlängen (λ und (λ + ∆λ)), nach Gleichung (12) unter verschiedenen
Winkeln zu finden. Unter dem spektralen Auflösungsvermögen eines Gitters versteht
man die minimale Wellenlängendifferenz ∆λ, die voneinander getrennt werden kann.
Wie man in Bild 3 sieht, ist ein Maximum immer von zwei Nullstellen begrenzt. Das
Rayleigh-Kriterium besagt, dass sich zwei Maxima trennen lassen, wenn das Maximum einer Spektrallinie gerade auf das Minimum der anderen Spektrallinie fällt. Also
definieren wir das spektrale Auflösungsvermögen eines Gitters Ag als:
Ag =
λ
= kN
∆λ
(13)
Man stellt fest, dass die Gitterkonstante g keine Rolle spielt, obwohl eine Änderung ein
spreizen oder ein stauchen des Beugugsmusters verursacht.
Das Auflösungsvermögen hängt lediglich von der Ordnung k des betrachteten Maximums
und der Spaltanzahl N ab.
2.6 Interferenzfilter
Es gibt verschiedene Möglichkeiten monochromatisches Licht zu erhalten. Eine Möglichkeit ist die Nutzung eines Interferezfilters. Dieser lässt nur einen kleinen Frequenzbereich
8
2 GRUNDLAGEN
passieren und löscht die anderen Frequenzen mittels vollständiger destruktiver Interferenz aus. Er besteht aus vielen dünnen Schichten, deren Dicken und Brechzahl genau
so gewählt werden, das alle anderen außer der gewünschten Wellenlänge sich hinterher
destruktiv überlagern.
2.7 Michelson-Interferometer
Abbildung 4: Michelson-Interferometer, (Quelle: Anfängerpraktikum)
Beim Michelson-Interferometer trifft der Lichtstrahl aus der Lampe (5) auf einen
halbdurchlässigen Spiegel (3). Ein Teil des Strahls wird um 90◦ reflektiert, ein anderer
Teil wird durchgelassen. Diese beiden Strahlen werden nun von einem Spiegel (1) reflektiert und auf den halbdurchlässigen Spiegel zurückgeworfen. Hier wird wiederum ein
Teil um 90◦ reflektiert, während ein anderer durchgelassen wird. Diese beiden Strahln
interferieren nun miteinander.
Nun kann man die Weglänge eines Spiegels oder den Brechungsindex des Mediums, hier
durch eine Luftkammer (2), im Strahlengang verändern.
Die Glasplatten (4) sind hier nur dafür da, um den Gangunterschied beim Durchqueren
9
2 GRUNDLAGEN
der Glaswand der Luftkammer zu neutralisieren.
Durch diesen Aufbau können kleinste Gangunterschiede bestimmt werden.
2.8 Fabry-Pérot-Interferometer
Abbildung 5: Fabry-Pérot-Interferometer, (Quelle: Anfängerpraktikum)
Das Fabry-Pérot-Interferometer besteht aus einer Lampe (1), einer Zerstreulinse
(2) und zwei halbdurchlässigen Spiegeln (3). Da zwischen den beiden Spiegeln Licht von
Spiegel 1 durchgelassen und von Spiegel 2 reflektiert wird, kann dieses zwischen den
Spiegeln interferieren.
10
3 VERSUCH 1: INTERFEROMETER
3 Versuch 1: Interferometer
3.1 Bestimmung der Brechzahl von Luft
3.1.1 Aufbau und Durchführung
Hierbei messen wir den druckabhängigen Brechungsindex n(p) von Luft mit Hilfe des
Michelson-Interferometers. Der Aufbau entspricht Abbildung (4) aus dem Grundlagenteil. Dabei verwenden wir einen Farbfilter mit der Wellenlänge λ = 546 nm und
einer Luftkammer der Länge l = 5 cm.
Zunächst justieren wir den Strahlengang und verringern dann den Druck in der Luftkammer um ihn dann kontrolliert wieder ansteigen zu lassen. Dabei zählen wir die Ringe
passierenden Haidingerschen Ringe.
3.1.2 Auswertung
Für den Brechindex von Gasen gilt, dass dieses proportional zum Druck ist. Daher gilt:
n(p) = n(p = 0) +
∆n
·p
∆p
(14)
Dabei ist p der Druck und n der Brechungsindex.
Für die optische Weglängendifferenz ∆d gilt:
∆d = ∆n · L = |Ze − Za | λ = m · λ
m·λ
⇒ ∆n =
L
(15)
(16)
Dabei ist Ze die Anzahl der Ringe am Ende und Za die Anzahl der Ringe am Ende.
Damit ist m die Differenz der Ringe. λ ist die Wellenlänge des Lichtstrahls und L die
Länge des durchquerten Mediums. Dies entspricht zweimal der Länge der Luftkammer.
gilt dann:
Für den Fehler von ∆n
∆p
δ
m·λ
L
∆p
m·λ
L
=
λ δm δ∆p
·
+
L m
∆p
(17)
∆p
best
Mit diesen Werten berechnen wir nun den gewichteten Mittelwert ∆n
. Damit berech∆pbest
nen wir nun den Brechungsindex n(p) nach Gleichung (14). Für den Fehler gilt dann,
wenn wir annehmen, dass der Druck p genau bestimmt ist:
δn(p) = δ
∆nbest
·p
∆pbest
(18)
Damit ergibt sich für den am Versuchstag gemessenen Luftdruck von 953.3 hPa, der
Umrechung 1 torr = 133.32 Pa und der Brechzahl im Vakuum n(p = 0) = 1
n(95 330 Pa) = 1 + 3.44 · 10−4 ± 1.54 · 10−5 Pa
11
3 VERSUCH 1: INTERFEROMETER
Nun sollen wir noch den Brechungsindex bei Normbedingen berechnen. Hier muss man
beachten, dass der Druck bei konstanten Volumen proportional zur Temperatur ist.
Daher muss ∆p angepasst werden. Für ∆p und dessen Fehler gilt dann:
∆pangepasst = (100 ± 10) · 133.32 Pa ·
273 K
= 1.23 · 104 ± 1.23 · 103 Pa
295.7 K
Nun berechnen wir den Brechungsindex wieder mit den zuvor hergeleiteten Formeln.
n(p = 101 300 Pa; T = 273 K) = 1 + 3.96 · 10−4 ± 1.78 · 10−5 Pa
3.1.3 Fazit
Vergleicht man unseren Wert mit dem Literaturwert für den Brechungsindex von Luft
n(p = 101 300 Pa; T = 273 K) = 1 + 2.93 · 10−5 Pa
nach (www.uni-osnabrueck.de), erkennt man, dass unser Wert viel zu groß ist. Dies liegt
höchstwahrscheinlich an einer sehr ungenauen Messung, die leider durch Probleme beim
Aufbau nicht besser zu bewältigen war. So waren z.B. die Ringe sehr schwer zu erkennen,
was teilweise auch auf die Anstrengung unserer Augen zurückzuführen war.
Außerdem konnten wir nur Messungen in einem Bereich ab 400 torr durchführen, da unter diesem Druck keine Veränderung der Ringe stattfand. So war das Messen von größeren Druckintervallen ausgeschlossen, was eine genauere Messung nicht möglich machte.
Somit haben wir zwar bewiesen, dass der Brechungsindex von Luft druckabhängig ist,
allerdings besitzt der gemessene Wert keine wirkliche Aussagekraft, da die Messungen
zu ungenau waren.
3.2 Bestimmung der Wellenlängendifferenz einer
Quecksilberdampflampe
3.2.1 Aufbau und Durchführung
Nun messen wir die Differenz der Wellenlängen der beiden gelben Spektrallinen einer
Quecksilberdampflampe. Hierfür verwenden wir ein Fabry-Perot-Interferometer. Den
Aufbau kann man aus der Abbildung (5) aus dem Grundlagenteil entnehmen. Hierfür
verwenden wir einen Interferenzfilter mit der Wellenlänge λ = 578 nm.
Zunächst justieren wir wieder den Strahlengang und stellen dann den Spiegel so ein, dass
die gelben Linien auf Lücke“ liegen. Dies bedeutet, dass zwischen den beiden gelben
”
Linien der Haidingerschen Ringe keine schwarze Lücke mehr zu sehen ist. Das Maxima
der einen Wellenlänge liegt also genau auf dem Minima der anderen. Nun verändern
wir so lange den Spiegelabstand, bis dieses Bild wieder zu sehen ist. Dabei zählen wir,
wieviele Ringe verschwinden.
12
3 VERSUCH 1: INTERFEROMETER
3.2.2 Auswertung
Die Wellenlängendifferenz ∆λ berechnen wir mit folgender Formel:
∆λ =
λmittel
Z
wobei gilt, dass λmittel = 578 nm und Z die Anzahl der Ringe ist.
Für den Fehler von ∆λ gilt dann:
λmittel · δz
δ∆λ = Z2 (19)
(20)
Für den Fehler von Z nehmen wir 50 Ringe an, da man sich schnell verzählte und auch
nicht genau bestimmen konnte, wann genau das gleiche Beugungsbild wieder zu sehen
war.
Mit diesen Formeln ergibt sich dann für die Wellenlängendifferenz:
∆λ1 = 179 ± 28 nm
∆λ2 = 187 ± 30 nm
∆λ3 = 204 ± 36 nm
Hier können wir nun wieder den gewichteten Mittelwert berechnen und erhalten dann
für ∆λ
∆λ = 1.88 ± 0.18 nm
3.2.3 Fazit
Vergleicht man nun den Literaturwert für ∆λ = 2.1 nm nach, so erkennt man, dass dieser
Wert im Toleranzbereich unserer Messung liegt. Damit kann man dieses Experiment im
Rahmen der Messungenauigkeit als gelungen bezeichnen.
3.3 Fragen und Aufgaben
Frage 1 Welche Veränderung am Interferenzmuster würden Sie erwarten, wenn im
Michelson-Interferometer exakt paralleles Licht verwendet würde?
Man würde ein System aus hellen und dunklen Streifen erkennen.
Frage 2 Wie müsste man den Strahlengang des Michelson-Interferometer verändern,
um damit
1. die Schlierenfreiheit eines Glasprismas
2. die Qualität eines Objektives
13
3 VERSUCH 1: INTERFEROMETER
zu überprüfen ( Twyman-Interferometer)?
Beim Twyman-Interferometer wird, im Gegensatz zum Michelson-Interferometer, das
Licht durch eine Linse zu einem parallelen Strahl aufgeweitet. Außerdem ist ein Spiegel
drehbar gelagert.
Um nun ein Bauteil zu prüfen, wird dieses in den Strahlengang mit dem drehbaren
Spiegel gestellt. Nun muss sichergestellt werden, dass das Licht senkrecht auf den Spiegel
trifft, bei Linsen muss man statt einem planaren Spiegel dafür einen gewölbten Spiegel
nehmen.
Ist nun das Bauteil nicht fehlerfrei, erhält man dunkle Stellen im Interferenzmuster.
Frage 3 Warum sollen die beiden teilverspiegelten Glasplatten beim Fabry-PerotInterferometer keilförmig sein?
Durch das keilförmige Schleifen der Glasplatten werden Interferenzeffekte durch Reflexion an den Außenflächen vermieden.
Aufgabe 4 Vergleichen Sie das Fabry-Perot-Interferomter seines spektralen Auflösungsvermögens mit dem Michelson-Interferometer.
Das Auflösungsvermögen ist nach Gleichung (13) abhängig von der Anzahl der Strahlen,
die interferieren. Dies sind beim Michelson-Interferomter nur 2 Strahlen, beim FabryPérot-Inteferomter wesentlich mehr. Damit hat das Fabry-Pérot-Inteferomter ein
höheres Auflösungsvermögen als das Michelson-Interferomter.
14
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
4 Versuch 2: Beugung am Gitter
4.1 Aufbau und Durchführung
Abbildung 6: Aufbau des Versuchs (Quelle: Anfängerpraktikum)
Die Abbildung (6) zeigt den Strahlengang im Versuchsaufbau.. Bei der Lampe handelt es sich um eine Quecksilber-Dampf-Lampe, deren Licht von der Kondensorlinse auf
den Beleuchtungsspalt gesammelt wird. Im Abstand der Brennweite einer weiteren Linse
wird diese platziert, sodass nach dieser Linse das Licht parallel ist. Um die Paralellität
zu testen wird Autokollimation verwendet.
Als Erstes wird ein zweischichtiges Gitter verwendet. Dabei werden die Ablenkwinkel
für die ersten fünf Beugungsmaxima in jede Richtung gemessen.
Danach wird das zweischichtige Gitter durch ein Glasgitter ersetzt und der Interferenzfilter aus dem Versuchsaufbau genommen. Nun misst man die Winkel der Maxima von
den beiden gelben Spektrallinien. Zudem beobachtet man um wie viel die Spaltweite des
Glasgitters verringert werden muss sodass die beiden gelben Linien zu einer verschmelzen.
Anschließend wird das Glasgitter durch ein einschichtiges Gitter mit der selben Gitterkonstanten wie das zweischichtige Gitter und einer Spaltbreite, die der Gitterkonstanten
entspricht, ersetzt.
Zuletzt muss man das Gitter um 90◦ drehen. Zudem ersetzt man den Beleuchtungsspalt
durch eine Lochblende mit sehr kleinem Radius.
4.2 Auswertung
4.2.1 Bestimmung der Wellenlänge
Aus der Messung der Winkel der Beugungsmaxima bei dem zweischichtigen Gitter (g1 =
0, 4mm) kann man die Wellenlänge des Lichts nach Gleichung (12) bestimmen. Zudem
15
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
wurde die Bildweite d = 34, 9 ± 0, 1cm gemessen.
λ=
x0k g1
dk
(21)
Dabei ist k die Ordnung des Maxima und x0k die Ablenkung von diesem Maxima. Für
den Fehler gilt:
g1
x0 δd
0
δλ =
δxk +
(22)
kd
d
Man erhält Werte für die Wellenlänge bei jeder Ordnung, die in Tabelle 4.2.1 gesammelt werden. Die errechneten Werte werden mittels folgender Formel gemittelt:
k
5
4
3
2
1
0
x0k in m
2,44
1,89
1,41
0,94
0,48
0,00
δx0k in mm
± 0,34
± 0,34
± 0,34
± 0,34
± 0,34
± 0,34
λk in nm
559
541
539
536
550
δλk in nm
± 10
± 12
± 16
± 24
± 48
Tabelle 1: Ergebnisse der gemessenen Wellenlänge
5
1X
λ̄ =
λi
5 i=1
v
u 5
uX
λ2i
δ λ̄ = t
(23)
(24)
i=1
Dadurch erhalten wir für die Wellenlänge des gelben Lichts:
λ̄ = 545 ± 58nm
4.2.2 Mittlerer Ablenkwinkel
Die Ablenkwinkel βi der gelben Spektrallinien wurden für die ersten drei Ordnungen
bestimmt, dann gemittelt und deren Differenz ∆βi bestimmt. Der Winkel wird über den
Abstand zur Drehachse d und der Ablenkung x0 bestimmt:
x0
tan βi,(1/2) =
d
βi,1 − βi,2
βi =
2
∆βi = |βi,1 − βi,2 |
16
(25)
(26)
(27)
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
Die Fehler werden bestimmt durch:
δβi,(1/2)
x0 δd
0
δx +
d
δβi,1 + δβi,2
δβi =
2
δ∆βi = δβi,1 + δβi,2
1
= 02
x + d2
(28)
(29)
(30)
Man erhält die Werte, die in Tabelle (2) gelistet sind.
Ordnung
1
2
3
βi,1 in
4,9
8,3
13,7
◦
δβi,1 in ◦
± 0,1
±0,1
±0,2
βi,2 in
4,9
8,3
13,8
◦
δβi,2 in
±0,1
±0,1
±0,2
◦
βi in ◦
4,9
8,3
13,8
δβi in ◦
±0,1
±0,1
±0,5
∆βi in
0,00
0,03
0,05
◦
δ∆βi in
±0,2
±0,2
±0,3
Tabelle 2: Ergebnisse der mittleren Ablenkwinkel
4.3 Bestimmung von Gitterkonstante und Wellenlängendifferenz
Aus den Werten in Tabelle (2) und der Gleichung 12 kann man die Gitterkonstante g2
bestimmen.
g2 =
k λ̄
sin βi
(31)
mit dem Fehler:
k
δg2 =
sin βi
Ordnung
1
2
3
λ̄δβi
δ λ̄ +
tan βi
g in µm
6,4
7,6
6,9
(32)
δg in µm
± 0,8
± 0,9
± 0,8
Tabelle 3: Ergebnisse der Gitterkonstanten
Man erhält die Werte aus Tabelle (3) für die verschiedenen Ordnungen. Diese werden
gemittelt, wobei sich der Fehler wie folgt fortpflanzt:
v
u 3
uX
2
δg2,i
(33)
δ g¯2 = t
i=1
17
◦
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
Man erhält:
ḡ = 6, 9 ± 1, 5µm
(34)
Zudem kann man dann mit dieser Gitterkonstanten die Wellenlängendifferenz ∆λ
bestimmen:
g2
sin ∆βk
k
∆λ
∆λ
δ∆λ =
δg2 +
δβk
g2
tan ∆βk
∆λ =
(35)
(36)
Es ergibt sich ein Wert von:
∆λ = 1, 9 ± 20nm
(37)
4.4 Spektrales Auflösungsvermögen
Wird die Spaltweite verringert, verschwimmen die beiden gelben Maxima zu einem. Dies
war bei der 1. Ordnung von Beginn an der Fall. Bei der 2. und 3. Ordnung wurde die
Verringerung der Spaltweite s gemessen. Daraus lässt sich das Spektrale Auflösungsvermögen berechnen:
sk λ
k
sδg2
λ
= δ
=
δs +
(38)
∆λ
g ∆λ
g
g2
Man erhält für die einzelnen Ordnungen:
λ
= 430 ± 158
∆λ
λ
= 1241 ± 122
3.Ordnung :
∆λ
2.Ordnung :
Also erhält man als Spektrales Auflösungsvermögen:
λ
= 836 ± 280
∆λ
Man kann aber auch das Auflösungsvermögen direkt bestimmen:
λ̄
1
λ̄δ∆λ̄
δ
=
δ λ̄ +
∆λ̄
∆λ̄
∆λ̄
λ̄
= 292 ± 3000
∆λ̄
18
(39)
(40)
(41)
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
4.5 Qualitative Beobachtungen
Nimmt man anstatt dem zweischichtigen Gitter mit Gitterkonstante g1 ein einschichtiges
mit der selben Gitterkonstanten, fällt auf, dass jedes 2. Maxima unterdrückt ist, da die
Spaltbreite gleich der Gitterkonstanten ist.
Wird das Gitter um 90◦ gedreht, so verschwindet das Beugungsmuster. Was darauf
zurückzuführen ist, das die Verdetsche Kohärenzbedingung nicht mehr erfüllt ist. Ersetzt man die Blende durch eine selbst gebastelte Lochblende ist das Beugungsmuster
vertikal wieder zu erkennen.
4.6 Fazit & Fehlerdiskussion
Die Bestimmung der Wellenlänge des gelben Lichts ist sehr gut gelungen. Auf dem
Interferenzfilter ist ein Wert von λ = 578nm aufgedruckt und das liegt absolut in unserem
Fehlerbereich.
Jedoch sieht man vor allem bei der Bestimmung des Spektralen Auflösungsvermögens
über die gemessenen Werte der Wellenlänge und der Wellenlängendifferenz, dass der
Fehler enorm groß ist. Das liegt aber daran, dass die beiden Spektrallinien extrem nah
beieinander lagen und man aufgrund des Todgangs mit einem großen Fehler gemessen
hat. Betrachtet man aber nur die Werte, stellt man fest, dass die indirekte Bestimmung
des Auflösungsvermögens ein viel höheres Auflösungsvermögen voraussagt, als wir auf
direktem Weg erhalten.
Die anderen Fehler lassen sich darauf zurückführen, dass das Fernrohr nicht ganz fest
geschraubt war und so teilweise in einem leichten Winkel stand. Außerdem konnten wir
durch das Arbeiten im Dunkeln mit andauerndem Blick in die Quecksilber-Dampflampe
nicht mehr so gut sehen, wie man eventuell benötigt hätte.
4.7 Fragen & Aufgaben
Gitter 1 Warum muss die Drehachse des Fernrohres nicht durch das Gitter verlaufen?
Nach dem Gitter breitet sich das Licht in vielen Elementarwellen aus, deshalb ist es
irrelevant, ob die Drehachse auf der Optischen Achse oder dem Gitter liegt. Schematisch
ist die auch in Abbildung 6 gezeigt.
Gitter 2 Warum soll das Interferenzfilter in dem Bereich aufgestellt werden, in dem
die Strahlen parallel verlaufen?
Ist das einfallende Licht nicht parallel, so ist der Weg schräg durch den Interferenzfilter
länger und da der Interferenzfilter mit destruktiver Interferenz arbeitet machen diese
kleinen Wegunterschiede eventuell einen unterschied in der Wellenlänge.
Gitter 3 Warum betragen bei einer 1:1-Abbildung der Lampe auf den Beleuchtungsspalt
die Abstände zwischen Linse und Lampe, sowie zwischen Linse und Beleuchtungsspalt,
gerade jeweils das Doppelte der Brennweite f1 der Kondensorlinse?
19
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
Bei einer 1:1-Abbildung gilt Gegenstandsweite g gleich der Bildweite b mittels der Linsengleichung:
1
1 1
= +
f
g b
g=b
1
2
= ⇒ g = 2f
f
g
(42)
(43)
(44)
Gitter 4 Beweisen Sie mit Hilfe des huygensschen Prinzips, dass bei fraunhoferscher Beugung am Gitter die Maxima unter den Winkeln αmax = arcsin mλ
aufg
treten, wobei g die Gitterkonstante ist, also der Abstand zwischen den Mitten zweier
Gitterspalte, λ die Wellenlänge des gebeugten Lichtes und m die Beugungsordnung.
Grundlagenteil Abschnitt 2.5.4.
Gitter 5 Warum ist für die Interferenz im Interferenzfilter kein Beleuchtungsspalt notwendig?
Der Interferenzfilter arbeitet mit verschiedenen Brechzahlen, dadurch wird das Licht in
Abhängigkeit der Wellenlänge transmittiert und reflektiert. Dadurch überlagert diese
Welle mit sich selbst und ist deshalb von sich aus Kohärent.
λ
=
Gitter 6 Zeigen Sie, dass das spektrale Auflösungsvermögen des Gitters durch ∆λ
mZ gegeben ist, wobei m die Beugungsordnung ist und Z die effektive Strichzahl. Das
spektrale Auflösungsvermögen hängt also nicht von der Gitterkonstanten g ab!
Im Grundlagenteil Abschnitt 2.5.4
Gitter 7 Nach dieser Anleitung erfolgt die Berechnung des Ablenkwinkels aus den Messwerten zweier Strecken mit sehr unterschiedlichen absoluten Unsicherheiten (Abstand
zwischen Drehachse und Spindel mit 1mm-Teilung auf Lineal, Verschiebung entlang der
1
mm-Teilung auf Messspindel). Warum ist diese Art der Berechnung des
Spindel mit 100
Ablenkwinkels trotzdem sinnvoll (Tipp: denken Sie an das Fehlerfortpflanzungsgesetz!)?
Wie man in Gleichung 28 für die Fehlerfortpflanzungsgesetz sieht, fließt der große Fehler
0
von d gewichtet mit xd ein, während der Fehler von x0 direkt einfließt. Da x0 klein und
d groß ist, ist der Gesamtfehler der dadurch Zustande kommt nicht übermäßig groß.
Gitter 8 Beweisen Sie die verdetsche Kohärenzbedingung, aus 1.
20
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
Abbildung 7: Skizze zur Erläuterung
Kohärenzbedingung
der
Größen
bei
der
verdetschen
Aus der Darstellung in Abbildung (7) mit der Näherung dass D a und deshalb
x1 = x2 mit Pythagoras hat man:
2
k−D
+
2
x1 = a
(45)
2
2
k+D
2
+
x2 = a
(46)
2
⇒ x22 − x21 = Dk
(47)
(48)
Nähert man nun noch die kleinen Winkel an:
k
= tan(α) ≈ sin α
2a
θ
α=
2
Gilt jetzt noch für die Wellenlänge (x − y) bedingung.
λ
2
(49)
(50)
erhält man die verdetsche Kohärenz-
Gitter 9 Welche Beugungsordnungen fallen bei der Beugung am Gitter aus, wenn die
Breite der Gitterstege gleich der Breite der Spaltöffnungen ist (mit Begründung!)? Auf
welche Beugungsordnung wird die Beugung am Gitter reduziert, wenn Gittersteg und
Spaltöffnung keine scharfen Grenzen haben, sondern die Lichtdurchlässigkeit sinusförmig
variiert?
Durch Gleichsetzen der Minimumsbedingung des Einzelspalts 8 und der Maximabedingung des Gitters 12 erhält man:
kmax λ
kmin λ
=
b
g
b = 2g
kmin
kmax λ
=
2g
g
kmin = 2kmax
21
(51)
(52)
(53)
(54)
4 VERSUCH 2: BEUGUNG AM GITTER
Also jedes 2. Maximum des Gitters wird durch ein Minimum des Einzelspalts unterdrückt.
Man hat also eine Öffnungsfunktion:
2πx
1
1 + sin
(55)
Ω(x) =
2
d
Mit der Fouriertransformation erhält man:
1
Ω̃(k) =
2
Z∞
eik · eikx sin
2πx
d
(56)
−∞
1iπ
= πδ(k) +
2
2π
2π
δ(k +
) + δ(k −
)
d
d
(57)
Man erkennt, dass nur die Maxima bis Ordnung 2 auftreten.
Gitter 10 Im Versuch wurde zunächst ein zweischichtiges Drahtgitter verwendet. Auch
bei diesem galt Drahtdicke = Drahtabstand. Warum fallen bei diesem Gitter nicht die
Beugungsordnungen aus, die beim einschichtigen Gitter verschwinden?
Durch das erste Gitter bei einem zweischichtigen Gitter interferriert das Licht vor dem
2. Gitter, dadurch hat man keine konstant verteilte Lichtintensität vor dem 2. Gitter,
wodurch die Minima die Maxima nicht mehr auslöschen können.
Gitter 11 Erklären Sie die unterschiedlichen Beobachtungen mit Beleuchtungsspalt und
Lochblende bei senkrechten und horizontalen Gitteröffnungen.
In der Auswertung 4.5
22
Literatur
5 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
Schematische Darstellung des Strahlengangs bei einem Einzelspalt . . . .
Schematische Darstellung des Strahlengangs bei einem optischen Gitter .
Interferenzbild bei einem optischen Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . .
Michelson-Interferometer, (Quelle: Anfängerpraktikum) . . . . . . . . .
Fabry-Pérot-Interferometer, (Quelle: Anfängerpraktikum) . . . . . . .
Aufbau des Versuchs (Quelle: Anfängerpraktikum) . . . . . . . . . . . . .
Skizze zur Erläuterung der Größen bei der verdetschen Kohärenzbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
8
9
10
15
21
Tabellenverzeichnis
1
2
3
Ergebnisse der gemessenen Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse der mittleren Ablenkwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse der Gitterkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
17
17
Literatur
Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung. Universität Konstanz, 2012
Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008
Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2009
www.forphys.de: http://www.forphys.de/Website/qm/gloss/kohlaenge.html.
www.ld-didactic.de: http://www.ld-didactic.de/literatur/hb/d/p5/p5352 d.pdf.
www.uni-osnabrueck.de: http://www.physik.uni-osnabrueck.de/resonanz/hjreyher/lab/anl/spekt/a
www.wikipedia.de: http://de.wikipedia.org/wiki/Verdetsche Koh?renzbedingung.
23