Elektrodynamik - Zusammenfassung

Elektrodynamik - Zusammenfassung
Vorlesung: Prof. Dr. Lederer
Zusammenfassung: Fabian Stutzki
22. Juli 2006
Die Zusammenfassung bezieht sich auf Elektrodynamik (SS06). Die Vorlesungen wurde von Herrn Prof. Dr. Lederer gehalten. Fehler (auch bei kleineren Tipfehlern) und Anmerkungen bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Elektrostatik im Vakuum
1.1 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elektrostatisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Gausches Gesetz (Durchflutungsgesetz) . . . . . . . . . . .
1.3.1 Feldberechnung mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes
1.4 Elektrostatisches Potentital . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Elektrischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Multipolentwicklung des elektrischen Potentials . . . . . .
1.7 Elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
2
3
3
3
4
4
5
2 Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern (Randwertproblem der Elektrostatik)
5
2.1 Potential auf Leitern bekannt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Problem mathematisch beschreiben . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Bestimmung der Greenschen Funktion . . . . . . . . . 6
2.1.3 Geometriekoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.4 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.5 Oberflächenladungsdichte auf den Leitern . . . . . . . . 7
2.1.6 Gesamtladung auf Leiter i . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Gesamtladung auf Leitern bekannt . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Elektrostatik in Dielektrika
3.1 Potentialberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7
8
4 Magnetostatik
4.1 Magnetfeld stationärer Ströme
4.2 Maxwellgleichungen . . . . . .
4.2.1 Vektorpotential . . . .
4.3 Multipolentwicklung . . . . .
4.4 Magnetfeld in Materie . . . .
4.5 Kräfte und Drehmoment . . .
4.6 Energie des magnetostatischen
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Feldes
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9
9
9
9
10
10
11
11
5 Induktionsgesetz - langsam veränderliche Felder
12
6 Elektrodynamik
6.1 zeitliche Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Maxwellsche Gleichungen im Fourierraum . . . . . . . .
6.3 Elektrodynamische Potentiale und Eichtransformationen
6.3.1 Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Coulomb- oder transversale Eichung . . . . . . . .
6.4 Energiebilanz - Poyntingscher Satz . . . . . . . . . . . .
12
13
14
14
14
15
15
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7 Mathematisches
1
1.1
16
Elektrostatik im Vakuum
Coulombsches Gesetz
F12 =
Proportional zu
1.2
1
,
r2
1
q1 q2
r1 − r2
2
4πε0 |r1 − r2 | |r1 − r2 |
Superposition möglich, Zentralkraft (∃ Potential)
Elektrostatisches Feld
Abstraktion auf Eigenschaft des Raumes, Feldlinien + → −
E(r) = lim
q→0
F(r)
q
mehrere Punktladungen Qi bei ri
E(r) =
.
.
.
.
.
.
X
i
Ei (r) =
X 1
Qi
r − ri
4πε0 |r − ri |2 |r − ri |
i
2
kontinuierliche Ladungsverteilung
Z
Q→
dV 0 ρ(r0 )
V
1.3
Gausches Gesetz (Durchflutungsgesetz)
Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine Oberfläche ist gleich der im
Volumen enthaltenen Ladung.
Z
Z
ε0
E(r) df = QV =
ρ(r) dV
(V )
V
Die gesamte Ladungsdichte ist die Quelle des elektromagnetischen Feldes.
ε0 div E(r) = ρ(r)
1.3.1
Feldberechnung mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes
nur für hohe Symmetrie praktisch:
• Feld einer geladenen Kugelschale
• Feld eines unendlich langen homogen geladenen Drahtes
• Feld einer unendlich ausgedehnten ebenen homogen geladenen Fläche
1.4
Elektrostatisches Potentital
1
E(r) = −grad ϕ(r) mit ϕ(r) =
4πε0
Z
V
dV 0
ρ(r)
|r − r0 |
Wegunabhängigkeit des elektrischen Feldes
Z
E(r) dr = 0
(F )
rot E(r) = 0
Dies führt auf die Poissongleichung
ε0 div E(r) = −ε0 div grad ϕ(r) = ρ(r)
∆ϕ(r) = −
3
ρ(r)
ε0
1.5
Elektrischer Dipol
Dipol bei r0 :
ρD (r) = −p · grad r δ(r − r0 )
1 p · (r − r0 )
ϕD (r) =
4πε0 |r − r0 |3
Elektrisches Feld für Dipol bei r0 = 0:
1
r
(p · grad ) 3
4πε0
r
3(r · p)r
p
1
− 3
=
4πε0
r5
r
ED (r) = −
∼
1
r3
• Energie im äußeren Feld: WD = −pE
• Kraft durch äußeres Feld FD = (pgrad )E
• Drehmoment im äußeren Feld MD = p × Ehomog
• Energie eines induzierten Dipols WD = − 12 pE
1.6
Multipolentwicklung des elektrischen Potentials
Ziel: Trennung der Quelleigenschaften und des Betrachtungspunktes
∞
1 X Qk1 k2 ...kl
x k1 x k2 . . . x kl
ϕ(r) =
4πε0 l=0 l!r2l+1
1 Q
1 p·r
1 1 Dij xi xj
+
+
+ ...
3
4πε0 r
4πε0 r
4πε0 2 r5
= ϕ0 (r) + ϕ1 (r) + ϕ2 (r) + . . .
=
mit folgenden Multipolmomenten
Ladung
ϕ0 (r) =
mit Ladung Q =
R
Vρ
dV 0 ρ(r0 )
4
1 Q
1
∼
4πε0 r
r
Dipolmoment
ϕ1 (r) =
mit Vektor p =
R
Vρ
1 pr
1
1 Qi xi
=
∼
4πε0 r3
4πε0 r3
r2
dV 0 ρ(r0 )r0
Quadrupolmoment
ϕ2 (r) =
1 1 Dij xi xj
1
1 Qij xi xj
=
∼ 3
5
5
4πε0 r
4πε0 2 r
r
mit spurfreiem, symmetrischen Tensor 2. Stufe
Z
Dij =
dV 0 ρ(r0 )(3x0i x0j − r02 δij )
Vρ
1.7
Elektrostatische Energie
Energie zum Aufbau von Ladungsverteilungen (innere WW)
W =
N
X
Wi =
XX
i=1
i
Qi ϕj
j
Z Z
ρ(r)ρ(r0 )
1 1
=
dV dV 0
2 4πε0
|r − r0 |
Z
1
dV ϕ(r)ρ(r0 )
=
2
Z
1
=
DE
2 V∞
Wechselwirkungsenergie zweier Ladungsverteilungen (äußere WW)
Z
W =
dV ϕa (r0 )ρ1 (r0 )
V1
Z
Z
1
ρ1 (r)ρa (r0 )
=
dV
dV 0
4πε0 V1
|r − r0 |
Va
2
Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern
(Randwertproblem der Elektrostatik)
Raumladungsdichte ρ(r), Geometrie der Leiter und Ladung oder Potential
auf den Leitern bekannt
ρ(r)
∆ϕ(r) = −
sowie ϕi oder Qi auf Li
ε0
5
2.1
Potential auf Leitern bekannt
2.1.1
Problem mathematisch beschreiben
2.1.2
Bestimmung der Greenschen Funktion
Die Greensche Funktion wird bestimmt, indem eine Punktladung in den
Raum gesetzt wird. Damit muss die GF folgende Bedingungen erfüllen:
∆G(r, r0 ) = −
1
δ(r − r0 )
ε0
und G(r, r0 ) = 0 auf dem Rand (Bsp. Kugeloberfläche)
Es bleibt ein geeignetes F zu bestimmen, das folgende Gleichung erfüllt
G(r, r0 ) =
1
1
+ F (r, r0 )
4πε0 |r − r0 |
mit ∆F = 0
Für leitenden Halbraum: Ladung r0 = (x0 , y 0 , z 0 ) und Scheinladung bei
r0s = (−x0 , y 0 , z 0 ). Mit diesem Ansatz ergibt sich
1
1
1
GHalbraum =
+
4πε0 |r − r0 | |r − r0s |
Für leitende Kugel: Ansatz Spiegelladung in der Kugel, für die gilt:
1
A
+
=0
0
|R − r | |R − r0s |
2
Es ergeben sich A = − rR0 und r0s = Rr0 , insgesamt als Greensche Funktion:
(
)
1
1
R
1
GKugel =
− 0
2
0
4πε0 |r − r | r |r − R
r0 |
r02
2.1.3
Geometriekoeffizient
Z
df 0 ε0
Γi (r) = −
(Vi )
zum Beispiel: ΓKugel =
2.1.4
∂G(r, r0 )
∂n0
R
r
Potential
ϕ(r) = ϕρ (r) + ϕi Γi
6
2.1.5
Oberflächenladungsdichte auf den Leitern
η = −ε0
2.1.6
∂ϕ(r)
|OF
∂n
Gesamtladung auf Leiter i
Z
Qi =
ηi df
Li
2.2
Gesamtladung auf Leitern bekannt
Lässt sich auf oberen Fall zurückführen, da über die Ladung Qi und die
induzierte Ladung Qind
das Potential ϕi jedes Leiters berechnet werden kann.
i
X
ϕi =
Cij−1 (Qj − Qind
j )
i
mit
Qind
j
Z
= −ε0
(Vj )
Z
Cij = Cji = −ε0
(Vj )
=
ε20
Z
(Vj )
3
∂ϕρ (r)
=
df
∂nj
∂Γi (r)
df
∂nj
Z
df df 0
(Vi )
Z
df ηj (r)
(Vj )
∂ 2 G(r, r0 )
∂n0i ∂nj
Elektrostatik in Dielektrika
zusätzlich zu externen Ladungen sind Polarisationsladungen als Quellen des
Polarisationsfeldes P zu beachten. (Mittelung über gewissen Bereich)
rot E = 0
div D = ρext
D(r) = ε0 E + P(r)
div D = ρext
div E = ρges = ρext + ρpol
div P = −ρpol
7
Verschiebungs- bzw. Orientierungspolarisation: linear
P = ε0 N αE
bzw.
P=
N p20
E
3kT
Vereinfachung zu
D(r) = ε0 E + ε0 χ(r)E
= ε0 ε(r)E
Ferroelektrika: spontane Ausrichtung unterhalb Curie-Temperatur
⇒ nicht linear
Übergangsbedingung für Felder: An Grenzflächen zwischen ε1 und ε2
sind die tangentiale E- und normale D-Feldkomponente stetig, die normale E- und tangentiale D-Feldkomponente unstetig. Falls keine externen Ladungen vorhanden sind, gilt:
Z
.
div D = ρext ⇒
D df = Qext = 0 ⇒ Dn1 − Dn2 = 0
(V )
Z
rot E = 0 ⇒
E dr = 0 ⇒ Et1 − Et2 = 0
(F )
Et1 = Et2
Dt2
Dt1
=
ε1
ε2
3.1
und
ε1 En1 = ε2 En2
und
Dn1 = Dn2
Potentialberechnung
für stückweise konstantes ε:
−ε0 εi ∆ϕ(r) = ρext
und zusätzlich zu den Randbedingungen noch die Übergangsbedingungen
Dna − Dni = −ε0 εa
∂ϕi
∂ϕa
+ ε0 εi
= ηext
∂n
∂n
Es ergibt sich die bekannte Lösung für r im i-ten Gebiet
Z
ϕ(r) =
dV 0 ρext (r0 )G(r, r0 )
V
8
4
Magnetostatik
stationäre Ströme führen zu zeitunabhängigem Magnetfeld.
j(r) = σE(r)
Z
I=
j(r) df
F
Kontinuitätsgleichung (für beliebige Ströme und Ladungen)
−δQ = Iδt
Q̇ + I = 0
Z
Z
j · df = 0
ρ̇ dV +
V
(V )
∂ρ(r, t)
+ div j(r, t) = 0
∂t
4.1
Magnetfeld stationärer Ströme
Amperesches Gesetz (Kraft von 1 auf 2)
Z Z
I1 ds1 × [I2 ds2 × (s1 − s2 )]
1
F12 =
2
4πε0 c L1 L2
|s1 − s2 |
Biot-Savartsches Gesetz
Z
Z
ds × (r − s)
µ0
r − r0
µ0
0
0
=
dV
I
j(r
)
×
B(r) =
4π L |r − s|3
4π L
|r − r0 |3
4.2
Maxwellgleichungen
rot B(r) = µ0 j(r)
Z
B(r) dr = µ0 IF
(F )
4.2.1
div B(r) = 0
Z
B(r) df = 0
(V )
Vektorpotential
B = rot A
⇒ rot B = rot rot A = grad div A − ∆A = µ0 j
9
Coulomb-Eichung zur Entkopplung der Komponenten
div A0 = 0
A0 = A + grad f
damit möglich:
−∆A = µ0 j
mit bekannter Lösung
Z
A=
dV 0 G(r, r0 )j(r0 )
V
4.3
Multipolentwicklung
nur bis Dipol, da B-Feld c2 schwächer als E-Feld.
Z
Z
µ0 1
µ0 1
0
0
dV 0 j(r0 )(rr0 ) + . . .
dV j(r ) +
A=
4π r V
4π r3 V
Monopolmoment verschwindet, da div B = 0
Dipolmoment
1 m×r
A2 =
4π r3
µ0
mit m =
2
Z
dV 0 [r0 × j(r0 )]
V
Magnetfeld eines Dipols
B = rot A =
4.4
1 3r(rm) − mr2
1
[m × r]
=
rot
4π
r3
4π
r5
Magnetfeld in Materie
Die Wirbel des H-Feldes sind die makroskopischen Ströme, die Quellen des
H-Feldes sind die Senken des Magnetisierungsfeldes M, das B-Feld ist quellenfrei.
rot H = jmakro
div B = µ0 div H + div M = 0
1
H =
[B − M]
µ0
Para- und Diamagnetismus: lineare
χm
M =
B
χm + 1
1
⇒ H =
B mit µ = χm + 1
µ0 µ
10
Ferromagnetismus: Feld führt zum Umklappen weißscher Bezirke ⇒ nicht
lineare Beschreibung notwendig (Hysteresis)
Übergangsbedingung für Felder:
Bn1 = Bn2 da div B = 0
Ht1 − Ht2 = [jmakro ]OF da rot H = jmakro
4.5
Kräfte und Drehmoment
Lorentzkraft
F = qE + qv × B = qE + Il × B
Drehmoment
N=m×B
mit Dipolmoment
µ0
m=
2
Z
r0 × j(r0 ) dV
R
R
Für dünne Stromfäden gilt j dV = I dr und r × dr = df, sodass sich
ergibt
Z
µ0
m= I
df
2
4.6
Energie des magnetostatischen Feldes
analog zur Elektrostatik
Z
1
W =
B · H dV
2 V∞
Z
1
dV A · jmakro
=
2 Vj
Z Z
1 µ0 µ
j
(r0 )jmakro (r)
=
dV dV 0 makro
2 4π Vj Vi
|r − r0 |
Spezialfall: Ströme in dünnen Leitern im Vakuum
Z Z
1
dsk dsi
µ0
W = Lik Ii Ik mit Lik =
= Lki
2
4π (Fi ) (Fk ) |si − sk |
andere Darstellung: magnetischer Fluss durch k-te Leiterschleife
Z
Φk = Lik Ii =
dfk B
Fk
11
5
Induktionsgesetz - langsam veränderliche
Felder
Kopplung von E und B berücksichtigen: Ein zeitlich veränderliches B-Feld
(Änderung des magnetischen Flusses Φ) führt zu Wirbeln des E-Feldes.
Z
Z
d
B df
E dr = −
dt F
(F )
d
⇔
Uind = − Φ(t)
dt
In differentieller Form ergibt sich die homogene Maxwellgleichung
rot E +
d
B=0
dt
D | |j|
Definition von “langsam veränderlich” folgt aus der Annahme | ∂∂t
(keine Änderung an zweiter MWGL)
σ
|ω D̄| | D̄|
ε
⇒
ωε
1
σ
Mit Induktionsgesetz und der Annahme langsam veränderlicher Felder folgen
die Kirchhoffschen Regeln der Elektrotechnik:
X
Ik = 0
Knotensatz
k
Z
E dr +
Ck0
6
X
Lki
i
∂Ii (t)
= Ukext (t)
∂t
Maschenregel
Elektrodynamik
Maxwellsche Ergänzung c12 ∂∂tE zur zweiten MWGL folgt aus der Kontinuitätsgleichung. Es ergibt sich das vollständige System der Maxwellschen Gleichungen zu:
∂B
= 0
∂t
div B = 0
div [ε0 E + P] = ρext
1
∂
rot
[B − M] = jmakro +
[ε0 E + P]
µ0
∂t
rot E +
12
Dazu gehören ferner die Materialgleichungen:
P = P[E, B]
M = M[E, B]
j = j[E, B]
Außerdem werden oft folgende Abkürzungen genutzt. Dabei gilt hinten anstehende Näherung für Verschiebungs- und Orientierungspolarisation sowie
para- oder diamagnetische Medien:
D = ε0 E + P
≈ ε0 εE
1
1
[B − M]
≈
B
H =
µ0
µ0 µ
6.1
zeitliche Response
Medien reagieren nicht instantan auf Veränderung der Felder. (Äquivalent:
Medien reagieren auf unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich) Für schnelle zeitliche Veränderung wird magnetische Eigenschaft des Mediums vernachlässigt B = µ0 H. Weitere Annahme: isotrope lineare Medien mit dielektrischer Response:
Z ∞
P(r, t) = ε0
dt0 R(r, t0 )E(r, t − t0 )
mit R(r, t0 ) = 0 für t0 < 0
−∞
Endliches Gedächnis führt zu Dispersion (Frequenzabhängigkeit) über Fouriertransformation (Felder müssen im unendlichen gleich Null werden):
Z ∞
E(r, t) =
dω Ē(r, ω) exp(−iωt)
−∞
und inverse Fouriertransformation:
Z ∞
1
Ē(r, ω) =
dtE(r, t) exp(iωt)
2π −∞
Man erhält im Frequenzraum die komplexe Suszeptibilitätsfunktion als Fouriertransformierte der Responsefunktion. Nur im Frequenzraum ist der Zusammenhang multiplikativ, im Zeitraum Faltung nötig. Der Realteil kann als
Dispersion, der Imaginärteil von χ als Absorption intepretiert werden.
P̄(r, ω) = ε0 χ(r, ω) Ē(r, ω)
Z ∞
χ(r, ω) =
dt0 R(r, t0 ) exp(iωt0 )
−∞
13
6.2
Maxwellsche Gleichungen im Fourierraum
∂
Zeitliche Ableitung ∂t
wird im Frequenzraum zur Multiplikation mit −iω,
sodass sich mit der komplexen dielektrischen Funktion ε̄(r, ω) folgende Gleichungen ergeben:
rot H̄(r, ω) = −iωε0 ε̄(r, ω) Ē(r, ω)
ε̄(r, ω) = ε(r, ω) + i
6.3
σ̄(r, ω)
ωε0
Elektrodynamische Potentiale und Eichtransformationen
Die homogenen Maxwellgleichungen können durch folgende Potentiale automatisch erfüllt werden:
B(r, t) = rot A(r, t)
∂
E(r, t) = − A(r, t) − grad ϕ(r, t)
∂t
Die entstehenden Potentialgleichungen sind gekoppelt:
1 ∂
1 ∂2
∆ − 2 2 A(r, t) − grad div A(r, t) + 2 ϕ(r, t) = −µ0 jmakro (r, t)
c ∂t
c ∂t
∂
ρext (r, t)
∆ϕ(r, t) + div A(r, t) = −
∂t
ε0
Über geschickte Eichung gelingt Entkopplung
6.3.1
Lorentz-Eichung
Lösung muss alle drei Gleichungen erfüllen, Lorentzeichung explizit überprüfen
div A(r, t) +
1
.
ϕ(r, t) = 0
2
c
A(r, t) = −µ0 jmakro (r, t)
ρext (r, t)
ϕ(r, t) = −
ε0
Lösung bereits aus E-Statik bekannt (Abstraktion auf allgemeines Problem):
⇒
V (r, t) = −q(r, t)
Z Z
V (r, t) =
dV 0 dt0 G0 (r, r0 ; t, t0 )q(r0 , t0 )
14
Nun bleibt die Greensche Funktion der zeitabhängigen Wellengleichung zu
bestimmen
G0 (r, r0 ; t, t0 ) = −δ(r − r0 )δ(t − t0 )
Z ∞Z ∞
1
c2
0
0
0
0
eik(r−r ) e−ω(t−t )
G0 (r, r ; t, t ) =
dV
dω
k
2 2
4
2
(2π) −∞ −∞
k c −ω
⇒
Die Integrale können über Betrachtungen der Funktionentheorie aufgelöst
werden, sodass sich eine retardierte Greensche Funktion (erfüllt Kausalitätsanforderung: Ursache vor Wirkung) für natürliche Randbedingungen ergibt:
1
|r − r0 |
0
0
0
Gret (r, r ; t, t ) =
δ t−t −
4π|r − r0 |
c
6.3.2
Coulomb- oder transversale Eichung
.
div A(r, t) = 0
ρext (r, t)
ε0
A(r, t) = −µ0 [jmakro ]transversal (r, t)
∆ϕ(r, t) = −
Es ergibt sich folgende Lösung
Z
1
ρext (r, t0 )
dV 0
ϕ(r, t) =
4πε0 V
|r − r0 |
|r − r 0 |
0
Z
[j
]
r
,
t
−
makro transversal
c
µ0
A(r, t) =
dV 0
0
4π v
|r − r |
6.4
Energiebilanz - Poyntingscher Satz
rot E +
−
⇒
E
∂
B = 0
∂t
| ·H
∂
D + rot H = j | ·E
∂t
div (E × H) = H · rot E − E · rot H
∂
∂
D + H B + div (E × H) = −jE
∂t
∂t
Mit dem Poyntingvektor
S(r, t) = E(r, t) × H(r, t)
15
ergibt sich
∂
∂
D + H B + div S = −jE
∂t
∂t
Im Vakuum erhält man so eine lokale Energiebilanz
E
∂
w(r, t) + div S(r, t) = −j(r, t)E(r, t)
∂t
Diese Betrachtung ist für dispersive und absorptive Medien nicht mehr möglich,
für die zeitlichen Mittel ergibt sich bei Monochromasie ω = ω0
1 ∗
∗
div hSi = − ω0 =(Ē P̄) + =(H̄ M̄) − hjEi
2
Wird ein schmaler Frequenzbereich ∆ω mit ω0 ∆ω betrachtet, so kann
das Verfahren Fouriertransformierte der langsamen Amplitude eine Näherungslösung liefern. In erster Näherung ergibt sich
hE
∂
∂
D + H Bi =
∂t
∂t
ε0 ω0 =ε(r, ω0 )hE2 (r, t)i
+ µ0 ω0 =µ(r, ω0 )hH2 (r, t)i +
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Mathematisches
∂δ(x)
∂f
= −δ(x)
∂x
∂x
Z
Z
div B dV =
B df
f (x)
V
(V )
1
= −4πδ(r − r0 )
0
|r − r |
1
1
0
=
−grad
grad r
r
(r − r0 )
(r − r0 )
1
r − r0
grad r
=
−
|r − r0 |
|r − r0 |3
∆r
16
∂
hw(r, t)i
∂t