PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Vorlesung nach Tipler
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PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm [email protected] Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2003-2004/ueb/ue# 14. Januar 2004 Universität Ulm, Experimentelle Physik http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz I ~ · d~s = µ0I B 2πr S I rdφ = µ0I S Ampèresches Durchflutungsgesetz ZZ I ~ · d~s = µ0 ~i · d~a B S Universität Ulm, Experimentelle Physik (1) (2) A(S) 1 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz II Universität Ulm, Experimentelle Physik 2 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz III 0 → Eine beliebige Kurve S um einen geraden Leiter d− s ist die Projekti→ on des Weglängenelementes d− s auf der Kurve S auf die in der xy-Ebene liegende Projektion der Kurve S 0. Es ist 0 − ~ · d~s = B ~ · d→ B s = B(r) · cos αds0 = B(r) · r · dφ ~ da B(r) keine Komponente in die z-Richtung hat. Es ist ~ · d~s = µ0 I · dφ B 2π und damit I µ0I ~ B · d~s = 2π S Universität Ulm, Experimentelle Physik Z2π dφ = µ0I 0 3 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz IV Eine beliebige Kurve S 00, die den Leiter nicht umschliesst Es ist I ZB ~ · d~s = B S0 ZA ~ · d~s + B A B µ0 I ~ B · d~s = 2π ZB A µ0 I dφ + 2π ZA dφ B µ0I µ0 I (φB − φA) + (φA − φB ) = 0 2π 2π Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg S umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben. = Universität Ulm, Experimentelle Physik 4 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz V Eine beliebige Kurve S um eine beliebige Stromverteilung Wir betrachten viele Ströme Ik , die von der Integrationskurve S umschlossen werden. Wegen der Linearität des Problems gilt I = µ0 S X Ik k wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von S eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz. Differentialform Mit dem Stokeschen Satz kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben I ZZ ZZ ~ · d~s = ~ · d~a = µ0 ~i · d~a B rot B (3) S A(S) A(S) Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen A(S) gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten ~ = µ0~i rot B Universität Ulm, Experimentelle Physik (4) 6 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten. Universität Ulm, Experimentelle Physik 7 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme II I(∆y) . ∆y→0 ∆y Wir definieren eine lineare Stromdichte j = lim Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass ~z ≡ 0 B (5) Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der xy-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die x-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche ~ Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von B parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null. Universität Ulm, Experimentelle Physik 8 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme III ~ x(x) und B ~ y (x) im Abstand x von der Wir betrachten weiter das Feld B Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an: • Wir drehen die Platte um π um die z-Achse. Die neue Situation (Ströme) ~ ~ ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss B(x) = −B(−x) sein. • Wir drehen die Platte um π um die y-Achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um j → −j. Die Endsituation ist unun~ x(−x) = B ~ x(x) und terscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch B By (−x) = −By (x). Universität Ulm, Experimentelle Physik 9 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme IV Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt: ~ x(x) ≡ 0 B (6) ~ y zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad S Um B symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt I ZZ ~ · d~s = 2By (x) · b + 2 · 0 = µ0 B ~idf~ = µ0 · j · b C Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Universität Ulm, Experimentelle Physik 10 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Ampèresches Durchflutungsgesetz: parallele Ströme V Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung oben Mitte). By = µ0 j 2 (7) Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt. B = µ0 j (8) Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel Universität Ulm, Experimentelle Physik 11 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes Universität Ulm, Experimentelle Physik 12 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit Ia ~ · d~a = 0, ist Da überall auf der Integrationsfläche A gilt: B ZZ ~ · d~a = 0 B (9) A Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass ZZ ZZ ~ · d~a = ~ · d~a B B A M antel ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit II Integration über die Mantelfläche. Universität Ulm, Experimentelle Physik 14 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit III An der Mantelfläche gilt mit da = h · ds ³ ´ π ~ · d~a = B(r) cos α + B h · ds = −B(r) sin (α) h · ds 2 = −B(r) · dr · h = −B(r) · dr dφ · h = −B(r) · r0(φ) · dφ · h dφ und damit ZZ ~ · d~a = − µ0Ih B 2π M antel Universität Ulm, Experimentelle Physik Z2π 0 ¯2π ¯ r (φ) µ0Ih dφ = − ln (r(φ))¯¯ = 0 r(φ) 2π 0 0 15 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit IV Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen ZZ ~ · d~a = 0 B A Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz zeigt man Universität Ulm, Experimentelle Physik 16 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Quellenfreiheit V ZZ ZZ Z ~ · d~s = B A ~ dV div B (10) V (A) oder in differentieller Form ~ =0 div B (11) Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 17 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential − → − → Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rot B = µ0 i und die ~ = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung soll auch für Quellenfreiheit div B das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Mit dem Vektorpotential ~ (x; y; z) = rot A ~ (x; y; z) B (12) werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität ³ ´ ~ =0 div rot A (13) ~ garantiert. ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von A Universität Ulm, Experimentelle Physik 18 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential II ³ ~ Mit der zweiten Vektoridentität rot rot A bekommen wir aus dem Ampèrschen Gesetz ´ ´ ~ − ∆A ~ = grad div A ´ ~ − grad div A ~ = −µ0~i ∆A ³ ³ (14) ~ kann immer so gewählt werden, dass div A ~=0 Das Vektorpotential A gilt. Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ~ = f 6= 0 existiert. ein Vektorpotential mit div A Universität Ulm, Experimentelle Physik 19 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential III ~ mit Dann existiert auch ein Vektorfeld V ~ div V ~ rot V = f (15) = 0 mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren Ein Vektorpotential ~0 = A ~−V ~ A Wegen Gleichung (67) gilt dann ~ 0 = rot A ~ − rot V ~ = rot A ~ rot A Universität Ulm, Experimentelle Physik 20 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential IV ~ Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche B-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen Gleichung (67) gilt auch ~ 0 = div A ~ − div V ~ =f −f =0 div A ~ kann ein Vektorpotential Zu jedem Vektorpotential A ~ 0 gefunden werden, so dass div A ~ = 0 ist. A Universität Ulm, Experimentelle Physik 21 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential V Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende ~ ist nicht eindeutig bestimmt. Die Vektorpotential A ~ gehörenden Wahl eines der zur gleichen Lösung von B Potentiale nennt man Eichung In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. Universität Ulm, Experimentelle Physik 22 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential VI Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung ~ y; z) = −µ0~i(x; y, z) ∆A(x; (16) kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik, ZZZ ~ µ i (~r) 0 0 ~ dV A (~r) = (17) 4π |~r − ~r0| Universität Ulm, Experimentelle Physik 23 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential VII Wenn wir mit ρ ~ = ~r − ~r0 den Abstand von einem Beobachtungspunkt ~r zu einem Punkt ~r0 mit der Stromdichte ~i(~r0) eines linearen Leiterstückes − → d ` bezeichnen und ρ ~ = ~r − ~r0 setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld ~` × ρ µ I d ~ 0 ~ = dB · (18) 3 4π ρ Universität Ulm, Experimentelle Physik 24 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Vektorpotential VIII Durch Integration der Formel von Laplace oder des Gesetzes von Biot-Savart bekommt man µ0 I ~ B(~r) = 4π I d~` × ρ ~ ρ3 (19) Leiter Mit diesem Gesetz kann man das Magnetfeld einer beliebigen Spule berechnen. Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung! Die Formel von Laplace wird über das Vektorpotential berechnet. Universität Ulm, Experimentelle Physik 25 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt Universität Ulm, Experimentelle Physik 26 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt II Wenn Elektronen mit der Geschwindigkeit ~v durch ein Metall in einem ~ fliessen (in einer Geometrie Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B wie im obigen Bild), werden sie von der Lorentzkraft ~ F~L = −e · ~v × B nach unten abgelenkt. Man kann sich dies klar machen, indem man annimmt, der gesamte Metallstreifen werde mit der Geschwindigkeit ~v nach rechts bewegt. Da der Leiter eine begrenzte Ausdehnung hat, laden sich die ~ nach oben auf Grenzflächen auf. Das elektrische Feld bewirkt eine Kraft eE die Elektronen. Im Gleichgewicht gilt −e · v · B = −e · E Universität Ulm, Experimentelle Physik (20) 27 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt III Eine Einheitsladung, die langsam von A nach B herumgeführt wird, erfährt vom elektrischen Feld eine Arbeit h · E, so dass diese elektromotorische Kraft als Spannung am Voltmeter abgelesen werden kann. Durch Kombination mit der Gleichung (71) bekommt man für die Hallspannung UHall = h · v · B (21) Diese Hallspannung ist unabhängig vom Material. Die Geschwindigkeit der Ladungsträger ist die Driftgeschwindigkeit < v >, die über I = q · n · h · b· < v > mit der Driftgeschwindigkeit zusammen hängt. b ist hier die Dicke des Leiters. Universität Ulm, Experimentelle Physik 28 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Hall-Effekt IV Die Hallspannung hängt dann wie UHall I ·B = e·b·n (22) von Strom und Spannung ab. Universität Ulm, Experimentelle Physik 29 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Lorentztransformation der Felder I Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder. Universität Ulm, Experimentelle Physik 30 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist σ Ez = ²0 (23) wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist Bx = µ0 · j = µ0 · σ · v0 = v0 · σ ²0 · c2 (24) Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S 0 müssen nun berechnet werden. Auch in S 0 sind die Platten homogen geladen. Also haben wir 0 σ Ez0 = ²0 Universität Ulm, Experimentelle Physik (25) 31 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 und Bx0 14. Januar 2004 v00 · σ 0 = ²0 · c2 (26) Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ 0 und v0 v00 = σ0 = σ0 = v0 − v 0 1 − v·v 2 c σ γ0 σ0 γ00 (27) ³ ´−1/2 v02 wenn σ0 das Ruhesystem der Ladungen und γ0 = 1 − c2 ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 32 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Wir bekommen γ00 σ =σ· =σ γ0 s 0 1 − v02/c2 1 − v002/c2 (28) und damit σ 0 v u = σu u t 1 − v02/c2 µ ¶2 1− c p = σ q¡ Universität Ulm, Experimentelle Physik v0 −v v·v 1− 20 1− 1− v02/c2 ¢ v·v0 2 c2 (29) /c2 ¡ 1− v·v0 c2 ¢ − (v0 − v)2/c2 33 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 = = = = 14. Januar 2004 p ¢ ¡ v·v0 2 2 1 − v0 /c 1 − c2 σ q¡ ¢ v·v0 2 1 − c2 − (v0 − v)2/c2 p ¡ ¢ v·v0 2 2 1 − v0 /c 1 − c2 q σ v 2 ·v02 v·v0 1 − 2 c2 + c4 − v02/c2 − v 2/c2 + 2vv0/c4 p ¡ ¢ v·v0 2 2 1 − v0 /c 1 − c2 p σp 2 2 1 − v0 /v · 1 − v 2/c2 ³ v · v0 ´ σ·γ· 1− 2 c und damit σ 0 · v00 = σγ (v0 − v) Universität Ulm, Experimentelle Physik (30) 34 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Damit ist 0 σ Ez0 = =γ ²0 und µ σ σv · v0 − ²0 ²0c2 ¶ µ = γ (Ez − v · Bx) (31) ¶ ´ ³ · σ σ · v σ · v v 0 =γ − Bx0 = = γ Bx − 2 Ez (32) 2 2 2 ²0 · c ²0 c ²0c c Damit sind die transversalen Felder Bx0 und Ez0 in S 0 Linearkombinationen der Felder Bx und Ez in S. v00 0 Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhält man, indem man die obige Anordnung um π/2 um die y-Achse dreht. Dann gehen Ez → Ex (33) Bx → −Bz (34) Universität Ulm, Experimentelle Physik 35 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 über. Die Transformationsgleichungen sind dann Ex0 = γ (Ex + v · Bz ) ³ ´ v Bz0 = γ Bz + 2 Ex c (35) (36) Universität Ulm, Experimentelle Physik 36 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 ~ Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des ~ B-Feldes (rechts). Universität Ulm, Experimentelle Physik 37 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 ~ Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators1 nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist Ey Ey0 σ Also ist auch σ = ²0 σ0 = ²0 = σ0 Ey0 = Ey (37) (38) Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in 1 oder jeder anderen Anordnung von zwei parallelen, homogenen Flächenladungen Universität Ulm, Experimentelle Physik 38 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist I ·N By = µ0 L (39) wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I = Q̇ ist N dQ By = µ0 (40) L dt Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann By0 Universität Ulm, Experimentelle Physik N dQ = µ0 0 0 L dt (41) 39 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Mit der Längenkontraktion L0 = γL und der Zeitdilatation dt0 = dt/γ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit By0 = By (42) ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 40 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Bewegung in die y-Richtung mit ~v = (0; vy ; 0) (γ = p 1 − v 2/c2) Ex0 = γ (Ex + v · Bz ) (43) Ey0 = Ey Ez0 = γ (Ez − v · B − x) ³ ´ v Bx0 = γ Bx − 2 Ez c By0 = By ´ ³ v Bz0 = γ Bz + 2 Ez c Universität Ulm, Experimentelle Physik 41 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Leiterschleife bewegt Induktion eines Stromes in einer in einem inhomogenen Magnetfeld bewegten Leiterschlaufe. Universität Ulm, Experimentelle Physik 42 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Stabmagnet und Spule Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule. Universität Ulm, Experimentelle Physik 43 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Induzierte Spannung Induzierte Spannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 44 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2003-2004 14. Januar 2004 Selbstinduktion Selbstinduktion Universität Ulm, Experimentelle Physik 45