Clausius-Clapeyron Gleichung

Wolkenphysik: Gliederung
I.
Einführung
- Bedeutung und Definition von Wolken
- Größenverteilungen von Wolkenpartikeln
- Klassifikation von Wolken
- Thermodynamik (Feuchtemaße, Entstehung von Sättigung, atmos. Stabilität)
II.
Wasserwolken
- Bildung von Wolkentropfen
- Wachstum von Tropfen
- Wachstum von Tropfenpopulationen
III. Niederschlag
- warmer und kalter Niederschlag
- Radarmeteorologie
IV. Eisphase
V.
Messung von Wolkenparametern
VI. Modellierung von Wolken
- spektrale Modelle
- Wolkenparameterisierungen in NWP und Klimamodellen
Wolkenphysik und Niederschlag, Susanne Crewell
SS 2005, 26. April
Zusammenfassung 2. Doppelstunde
ƒ Wolkeneigenschaften werden durch Tropfengrößenverteilung (DSD) N(D) [m-4].
Reduktion der Freiheitsgrade durch idealisierte DSD.
Modifizierte Gamma-Verteilung
1/ γ
mit Modal-Radius
 
α
N (r ) = a ⋅ r α ⋅ exp(−b ⋅ r γ )
rm = 
 bγ 
ƒ Synoptiker klassifizieren Wolken mittels Wolkengattung (10), Wolkenarten (14), 9
Wolkenunterarten (9), Sonderformen (9) und Begleitwolken, z.B. Ac str op mam
ƒ Zur physikalischen Beschreibung werden andere Wolkenparameter benötigt:
Wolkenbegrenzungen und Momente der DSD (rm, reff, N, LWC, z)
ƒ In der Meteorologie genutzte Feuchtemaße sind: ρw, e, m, q,f, Td, Tf
ƒ Einführung der Verdampfungswärme L
ƒ Ableitung der Clausius-Clapeyron'schen Gleichung für die Abhängigkeit des
Sättigungsdampfdrucks es von der Temperatur
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Clausius-Clapeyron Gleichung
Wärme, die für den Übergang einer Einheitsmasse
von der flüssigen (l) in die gasförmige (v) Phase
benötigt wird
qv
uv
αv
ql
ul
l
L = ∫ δ q = ∫ du +
∫α pdα
1. HS der Thermodynamik
= uv − ul + es (α v − α l )
qv
L =T ∫
ql
δq
T
= T (sv − sl )
q
u
α
es
spez. Wärmeenergie
spez. innere Energie
spez. Volumen
Sättigungsdampfdruck
2.HS Definition der Entropie S
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Clausius-Clapeyron Gleichung
L = uv − ul + es (α v − α l ) = T ( sv − sl )
Gibbs Funktion ist
Erhaltungsgröße
bei isotherm,
isobaren Phasenübergängen
ul + esα l − Tsl = uv + esα v − Tsv
gl = gv
Abbhängigkeit von Temperatur und Druck durch Differenzierung
dg = du + es dα + α des − Tds − s dT = α des − s dT
1Hs:
δ q = du + es dα s = − T ds
Beim Phasenübergang vom Wasser (l) zum Dampf (v) gilt
d gl = d gv
des
sv − sl
=
dT α v − α l
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Clausius-Clapeyron Gleichung
des
s −s
= v l
dT α v − α l
qv − ql
L
=
=
T (α v − α l ) T (α v − α l )
≈
des
L dT
=
es
Rv T 2
L
Tα v
=
Les
T 2 Rv
1 g flüssig nimmt 1 cm3 ein
1 g Dampf
" 1600 cm3
(bei 1000 hPa und 100°C)
α v = Rv T es
Annahme: L ist nicht temperaturabhängig
 L
es (T ) = es (T0 ) exp
 Rv
 1 1 
 −  

 T0 T  
Experimentelle Bestimmung der Integrationskonstante
es(T0) =611 Pa bei T0=0°C.
= A exp(− B / T )
Magnus-Formel (empirisch)
 17.08085 ⋅ ϑ 
 [hPa]
es = 6.1078 ⋅ exp 
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 234.175 +SSϑ2005,
 26. April
Temperaturabhängigkeit von L
L = uv − ul + es (α v − α l ) ≈ uv − ul + es α v
Gasgleichung
≈ uv − ul + RvT
dL duv dul
=
−
+ Rv = cvv − c + Rv = cvp −c
dT dT
dT
L(T ) = L0 − (c − c pv ) (T − T0 )
Latente Verdampfungswärme hängt schwach von
der Temperatur ab:
Variation von 6% im Bereich von -30 bis +30°C
L = (2.501 − 2.44 ⋅ ϑ ) ⋅106 J / kg
cvv spez. Wärme von Wasserdampf bei konst. Volumen 1410 J kg-1 K-1
cvp spez. Wärme von Wasserdampf bei konst. Druck
1870 J kg-1 K-1
c spez. Wärme von Flüssigwasser (1 cal g-1)
4187 J kg-1 K-1
Vorsicht: auch spez. Wärmen sind temperatur- und druckabhängig
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Spezifische Wärme feuchter Luft
Zufügen einer Wärmemenge δq zu einem Gemisch (index m) von
1 kg trockener und m Kilogramm Waserdampf
Addition der Wärmekapazitäten
(1 + m ) dq = cv dT + mcvv dT
für spezifische Wärme feuchter Luft bei konst. Volumen cvm
cvm
δq
1 + mr 
=
= cv 

dT v
 1+ m 
cv spezifische Wärme von trockener Luft
cvv spezifische Wärme von Wasserdampf
r=cv/cvv = 1.96 ~2
Rm Gaskonstante für feuchte Luft
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cvm ≈ cv [1 + m]
c pm ≈ c p [1+ 0.9m]
Rm ≈ Rd [1+ 0.6m]
718 J kg-1 K-1
~ 1410 J kg-1 K-1
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Phasendiagramm
ƒ Nur auf Kurven können
2 Phasen koexistieren
ƒ Am Tripelpunkt können
alle 3 koexistieren
6.11 hPa, 0.01°C
Gleichgewicht zwischen
Eis und Wasserdampf Li
Gleichgewicht zwischen
unterkühltem Wasser und
Wasserdampf Lw
Phasenübergang durch:
- Abkühlung/Erwärmung
- Zufuhr/Abfuhr von Wasserdampf
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Dampfdruck über Eis
ƒ Im Eis bewegen sich die Moleküle langsamer und
die Bindungskräfte sind viel stärker als im Wasser.
ƒ Deshalb benötigen sie eine höhere
kinetische Energie, um in die Luft zu gelangen.
e
es
ƒ Sättigungsdampfdruck über Eis esi ist niedriger als über einer
gleichtemperierten Oberfläche unterkühlten Wassers, da die
größeren Anziehungskräfte zwischen den Molekülen im
Eiskristall diese stärker binden und ein Gleichgewicht bei
niedrigerem Dampfdruck bewirken
 17.84362 ⋅ ϑ 

esi = 6.1078 ⋅ exp 
 245.425 + ϑ 
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[hPa]
TL
TW
Wasser
Eis
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es-ei [hPa]
Sättigungsdampfdruck Eis/Wasser
ƒ Sublimationswärme Li ~ 2.83 · 106 J kg-1
ƒ Verdampfungswärme L ~ 2.5 · 106 J kg-1
ƒ Fusionswärme Lf = L - Li
2.66
 L f  T0    273 
es (T )

= exp 
 − 1  ≈ 
T

ei (T )
 
 Rv T0  T
ƒ Sättigungsdampfdruck über Wasser ist bei allen
Temperaturen unter 0°C höher als über einer
gleichtemperierten Eisoberfläche
- jede in Bezug auf Wasser gesättigte Atmosphäre
ist bzgl. Eis gesättigt
- Atmosphäre, die in Bezug auf Wasser untersättigt ist,
kann bzgl. Eis gesättigt sein
Bei Koexistenz von Wasser- und Eisphase wachsen die Eisteilchen
auf Kosten der Wassertropfen (Bergeron-Findeisen Effekt)
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Bergeron-Findeisen Effekt
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Sättigungsdampfdruck über Wasser und
Eis und latente Wärmen
(Kondensation und Sublimation)
T[°C]
es[Pa]
es[Pa]
L[J/g]
Ls[J/g]
-40
19.05
12.85
2603
2839
-30
51.06
38.02
2575
2839
-20
125.63
103.28
2549
2838
-10
286.57
259.92
2525
2837
0
611.21
611.15
2501
2834
10
1227.94
2477
20
2338.54
2453
30
4245.20
2430
40
7381.27
2406
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Erzeugung von Übersättigung
Abkühlung
Erreichen von Td bei p,m = konst.
Dampfdruck / hPa
25
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Wasser
Eis
20
15
thermische Ausstrahlung
Advektion über kühlen Grund
Verdunstung von Wasserdampf*
Mischung von warmer mit kalter Luft
Aufsteigen
(e,T)
10
Erhöhung der Feuchte
6.1
0
Erreichen von es
-10
0
10
20
30
Temperatur / °C
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Abkühlung durch Verdunstung
Erreichen von Tf bei p= konst.
und sich änderndem m
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Erzeugen von Übersättigung
ƒ Mischung zweier Luftpakete verschiedener Eigenschaften
- durch nichtlineare Sättigungsdampfdruckkurve
ƒ Abkühlung eines Luftpakets
- adiabatische Abkühlung durch Anheben der Luftmasse
instabile Schichtung → konvektive Wolken
stabile Schichtung → geschichte Wolken
- Anhebung beim Überstromen von Hindernissen (orografische Wolken)
- durch Strahlungsemission im Langwelligen (Nebel)
- Advektion warmer Luftmasse über kalte Oberfläche und nachfolgende
Wärmeleitung
ƒ Anfeuchtung (d.h. Hinzufügen vom Dampf zum Luftpaket)
- Kontakt der Luftmasse mit warmer Wasseroberfläche
- Regen- oder Schneefall aus höherer feuchter Schicht in
tieferliegende trockenere, aber wärmer Schicht
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Übersättigung durch Mischung
ƒ Isobare Mischung zweier Luftmassen unterschiedlicher Temperatur, Feuchte und
Massen M
M 1q1 + M 2 q2
q=
M1 + M 2
ƒ Spezifische Feuchte q des Luftgemisches
ƒ Auch Mischungsverhältnis m und Dampfdruck e ergeben
sich näherungsweise als massengewichtetes Mittel
M 1 (c p + m1c pv )⋅ T1 = M 2 (c p + m2 c pv )⋅ T2
M T + M 2T2
T≈ 11
M1 + M 2
James Hutton hat bereits 1784 aus der Tatsache, dass
Atemluft an kalten Tagen kondensiert, auf die konkave
Kurve des Sättigungsdampfdrucks geschlossen
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Dampfdruck / hPa
ƒ In abgeschlossenem System ist der Verlust von Wärme einer Luftmasse der
Gewinn der anderen
T2 ,e2
(T',e')
T1 ,e1
abhängig von
Massenverhältnis
Temperatur / °C
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Übersättigung durch Abkühlung
ƒ Abkühlung bei konstantem Druck und Mischungsverhältnis bis
Sättigungsdampfdruck erreicht ist (Strahlungsnebel)
Taupunk Td
ƒ Abkühlung bei konstantem Druck durch Verdunstung
Mischungsverhältnis nicht mehr konstant (Psychrometer)
Feuchttemperatur Tf
ƒ Sättigung durch trockenadiabatische Abkühlung bei konstantem
Mischungsverhältnis
isentropische Kondensationstemperatur Tc
ƒ Feuchadiabatische Abkühlung mit Kondensation
a) pseudoadiabatischer (irreversibler Prozess)
Kondensat fällt direkt aus
adiabatischer Flüssigwassergehalt LWCadi
b) reversibler feuchtadiabatischer Prozess
Kondensat verbleibt und erhöht Gesamtwärmekapazität
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Feucht-Temperatur
1. HS der Thermodynamik für
feuchtes Luftpaket bei isobarem Prozess
δq = c p (1 + 0.9m ) dT + αdp
c p dT = − L dm
cp ∫
Tf
T
T − Tf
1
1
≈ − Ldm
(1 + 0.9m ) (1 + m)
dT ' = − L ∫
L
=
ms ( p , T ) − m c p
ms
m
dm'
Wärmeverlust durch Verdunstung
(1 + m) δq = − Ldm
L ist nicht temperaturabhängig
ms = 0.622 es/p
es(T) = A exp (-B/T)
 B
L  0.622
A ⋅ exp −
Tf = T −
 T
c p  p
 f


 − m




Lösung durch numerische Integration (Psychrometertafeln)
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Adiabatische Abkühlung
Isentropische Kondensationstemperatur Tc und -druck pc
Temperatur, bei der Sättigung eintritt, wenn Luftpaket adiabatisch abgekühlt wird
Mischungsverhältnis bleibt konstant
Welche Gleichung beschreibt Temperatur während des adiabatischen
Aufsteigens und woraus ergibt sie sich?
Tc  pc 
=  
T  p
κ
Poissongleichung mit κ=Rm/cpm ≈
R ⋅ [1 + 0.6m] R
≈ ⋅ [1 − 0.2m]
c p ⋅ [1 + 0.9m] c p
Tc = Td (m, pc )
Lösung durch iterative Kombination beider Gleichungen
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Trockenadiabatischer Prozess
Statische Grundgleichung:
z
Tu(z) aktuelles
Temperaturprofil
p = pU
T − ∆T
dT
=?
dz
T
p
= pU
T + ∆T
T
Beim adiabtischen Verschieben
kommt es zum instantanen
Druckausgleich
zwischen Luftvolumen und
Umgebung
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∂pU = − ρU g∂z ,
U
Umgebung
dp ∂pU
p
= − ρU g =
−
≡
g
{
∂z
dz
RLTvU
p = ρU RLTvU
1 dp
g
1%
⇒
=−
≈−
p dz
RLTvU
100m
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Feuchtegrößen bei adiabatischen Bewegungen
Luftpaket steigt trocken adiabatisch auf
Absolute Feuchte
ρw [kg m-3]
wie ρ → Abnahme
Wasserdampfdruck
e [hPa]
wie p → Abnahme
spezifische Feuchte
q [g/kg]
konstant da Massenverhältnis
Mischungsverhältnis
m [g/kg]
konstant da Massenverhältnis
Taupunkt
Td [°C]
nimmt ab, da e abnimmt
Relative Feuchte
f [%]
nimmt zu, da es schneller abnimmt als e
Sättigungsdefizit
es -e [hPa]
nimmt ab
q, m sind Erhaltungsgrößen bei adiabatischen Bewegungen
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Trockenadiabatischer Prozess
Änderung des Sättigungsdampfdruckes e*
Da es=es(T) muss bei der Änderung bei adiabatischen Prozessen die damit
verbundene Temperaturänderung betrachtet werden, also
1 des
es dz
=
{
Clausius
Clapeyron
Gleichung
es = es ( T )
trocken
adiabatisch
L dT
RW T 2 dz
}
=
1 des dT
es dT dz
trocken
adiabatisch
Clausius - Clapeyron
trocken
adiabatisch
6%
≈−
100m
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Gleichung :
des
L
L
=
≈
dT T∆α Tα Gas
Les
=
TRW T
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Trockenadiabatischer Prozess
Änderung des Taupunkts Td
des (Td )
des (Td ) d Td
=
dz trocken
d Td dz
adiabatisch
d Td
⇒
dz
trocken
adiabatisch
−1
trocken
adiabatisch
erweitern mit
 des (Td )  de
es (Td )

= 
1≡
trocken
d
T
dz
d


adiabatisch
e
−1
 1 des (Td )  1 de

= 
≈ −0,18 K/100m
 es d Td  e dz trocken
adiabatisch
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Feuchtegrößen bei adiabatischen Bewegungen
Luftpaket steigt trockenadiabatisch auf
Sättigungsdampfdruck es [hPa]
~ 6 % Abnahme auf 100 m
Wasserdampfdruck
e [hPa]
~ 1 % Abnahme auf 100 m
Relative Feuchte
f [%]
spezifische Feuchte
q [g/kg]
konstant da Massenverhältnis
Mischungsverhältnis
m [g/kg]
konstant da Massenverhältnis
Taupunkt
Td [°C]
~ 0.2 K Abnahme auf 100 m
Temperatur
T [°C]
~ 1 K Abnahme auf 100 m
~ 5 % Zunahme auf 100 m
Aufgabe: Zeige wie sich die Zunahme der relativen Feuchte ergibt
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Hebungskonsensationsniveau (HKN)
Wie hoch muss ein Luftvolumen aufsteigen, bis Wasserdampf kondensiert?
T = Td
HKN=LCL= Lifting level of condensation
T ( z) = To − Γd z
z
dT
dz
≈ −1 K/100m
tr .ad
zK
HKN
LCL
d Td
dz
erzwungene
Hebung
тdo
≈ −0,2 K/100m
tr .ad
To
T, т
Wolkenphysik und Niederschlag, Susanne Crewell
dτ
Td ( z) = Tdo −
dz
z
tr .ad .
Td ( zK ) ≡ T ( zK ) = Tc
To − Tdo
⇒ zK =
dTd
Γd +
dz tr.ad .
≈ 120 (To − Tdo ) , m
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Pseudoadiabatischer Prozess
ƒ Isentropische Kondensationstemperatur ist erreicht
ƒ Kondensation tritt ein und latente Wärme wird freigesetzt
bei weiterem Aufsteigen sinkt Temperatur langsamer als
vor Einsetzen der Kondensation
Annahme: Kondensat besteht aus Wasser und fällt vollständig aus (ausregnen)
keine weitere Berücksichtigung für Druck/Temperaturzusammenhang
dT
dp
L
≈κ
−
dms
T
p Tc p
dT
T dp L dms
≈κ
−
dz
p dz c p dz
pseudoadiabatische Temperaturabnahme
wenn 0.622·L>R·cp gilt Γs < Γ (Atmosphäre)
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L ms
g
RL T
Γs =
= f (T , p )
cp
L ms des
1+
c p es dT
1+
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Feuchtadiabatischer Temperaturgradient
Гs
[K/100m]
-10°C
0°C
+10°C
+20°C
1000 hPa
0,77
0,65
0,53
0,43
600 hPa
0,68
0,55
0,44
0,35
200 hPa
0,46
-
-
L ms
g
RL T
Γs =
= f (T , p )
cp
L ms des
1+
c p es dT
-
1+
es
e s2
Je wärmer, desto kleiner Гs, da mehr Wasser
auskondensiert pro K Temperaturabnahme
(siehe Abbildung)
Je höher der Druck, desto mehr Luftmasse muss
durch die freiwerdende latente Wärme erwärmt
werden, also umso größer Гs.
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e 1s
T1
T2
T
SS 2005, 26. April