Algebraische Zahlentheorie III Blatt 2

Algebraische Zahlentheorie III
Blatt 2
Dr. Andreas Nickel
Dipl.-Math. Felix Bergunde
20.10.2014
Aufgabe 1
Sei p eine Primzahl. Sei K ein Zahlkörper und K∞ die zyklotomische Zp -Erweiterung
von K.
(i) Zeigen Sie: Kein Primideal in K zerfällt vollständig in K∞ .
(ii) Sei F/K galoissch mit Gruppe Gal(F/K) ' Zp × Zp . Sei q ein Primideal
in K mit q - p. Zeigen Sie: Die Zerlegungsgruppe von q ist entweder trivial oder isomorph zu Zp . Deshalb gibt es einen Zwischenkörper F1 ⊆ F mit
Gal(F1 /K) ' Zp und so dass q in F1 vollständig zerfällt.
Aufgabe 2
Finden Sie einen Zahlkörper K und eine Primzahl p, so dass der erste Schritt K1 /K
in der zyklotomischen Zp -Erweiterung von K unverzweigt ist.
Aufgabe 3
Seien l und p Primzahlen und K eine endliche Erweiterung von Ql . Sei K̃ das
Kompositum aller Zp -Erweiterungen von K. Bestimmen Sie Gal(K̃/K).
Abgabe: 27.10.2014 bis 10 Uhr